用平方法求算术平方根的近似值

用平方法求算术平方根的近似值

四川 倪先德

我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法．

例1 求19的近似值．

析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ．

用“平方法”得：2

2816)4(19a a a ++=+=

因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不

计．即a 81619+≈

此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4．

如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=．

同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ．

所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36．

如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高．

掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值．

解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+=

求得6.0≈a

所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6．

再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=．

求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． ……

你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确．