复旦附中自招真题解析

8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足： 19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ， mn 4m 1 则 ______________． n 【答】 5 ． 【解析】由 19m 99 19m 19 0 19m 、 n 均为 x2 99 x 19 0 的解，
海
昂
AQ 5 x ， AO AQ x
5 2
内
传
A
E
C

12 5 2x x 25
24 2 12 5 x x，0 x 25 5 2 （2）若 PQO ∽ PEQ ， y
D
P
O
A
H
2
则 PO PE PQ 2 PH 2 HQ 2 PH 2 AQ AH
2 16 4m a b 4 3 m 4． 0， a b 2 且m 0， 16 4 m 0
10. 如图，矩形 ABCD 中， AB 3 ， BC 4 ，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把 B 沿 AE 折叠，是点 B 落在点 B 处，当 CEB 为直角三角形时，BE 的长为______________． A D A D
k 2 k 2 2 2 k 1 4 2 k 1 2k 2 2k 5 k 2 为完全平方数， 2 2
k 4 、 3 、 1 ，验证成立，于是 m 2 、
两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为____________．
部 资
A
料
， 严
13. 设 n n 10 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何
1
2
O 60
3
立 方Leabharlann Baidu
内
1
5
O B 【答】5 【解析】首先有五架飞机在 O 降落是可以构造的，只需 O 为正五边形 ABCDE 的中心， 其他飞机场在较远处即可． 其次证明不可能有六架飞机在 O 降落， 如图，对于任意一个飞机场 O 考虑它 60 夹角方向，若区域内有 A 、 B 两飞机场， 则 AOB 60 ，若 A 、 B 同时飞往 O ，则 AO AB ， BO AB ， AB 为 AOB 最大边， AOB 为最大角矛盾； 于是对飞机场 O ，在夹角为 60 的区域内最多有一架飞机． 若存在六架 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 飞机飞到点 O ，以 OA 为边界将点 O 的圆周角 6 等分，则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞到点 O 矛盾．
2
若它们为不同解，则 19m n 19 矛盾 19m n
原式
m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ． 19m 19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x 2 4 x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值范围是______________． 【答】 3 m 4 ． 【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
海
昂
立
智
立 方
内
部 资
O
C
A
B
12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形 都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是______________个． 【答】2．
a 2 b 2 c 2 【解析】设直角三角形三边分别为 a b c ， ab 2 a b c
【解析】以 AD 中点为圆心
a 1 a 2 ． 2
a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
内
部 资
料
的取值范围是______________． 【答】 a 2 ．
， 严
A
D
BD 2 DC 2 AB 2 AC 2 n 1 n 1 BD DC 4 BD DC BC n
2 ，恰有两交点， 3
传
1 ． 2
6
x
当 k 2 ，三条直线平行，于是
2 k 2． 3
5. 如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， CD AB ，设 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AC 与 BD 交于点 O，已知 OEF 是边长为 1 的正三角形， BOC 的面积为 ABCD 的面积为______________． 【答】 16 3 ． 【解析】设 BO a ，则 OD OC a 2 ， 由 AOB 、 ODC 均为正三角形，
OD OA 2 ， OC OB OD2 ， OCD ∽ ODB ，相似比 1: 2 BD 2CD 2a ．
上
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ， （1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ， （2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合， x BB 由 BB AE ， BB 2 3 ， BH 3 x 2 32 x 2 32 18 x 4 BH 2 2 x 2 9 x 18 0 无解 x 9 （3） EBC 90 ，则 C 、 B 、 A 共线， AE 为 BAC 角平分线，
3 1 【答】 （1） m 1 ， （2） m 2 ， ， ， 0 ． 2 2
【解析】 （1） 5 2m 1 4 2m2 m 4m2 8m 1 m 1 ；
2
（2）由 x1 x2 2m 1 2m 为整数设为 k ，
若 a b c 0 ，则 x 若 a b c 0 ，则 x 综上 x
1 或 1 ． 2
a a 1 ， b c a
2. 已知函数 y 2 x2 a 5 x 3 2b x b 3 图像关于 y 轴对称， 则 a b ______________． 【答】4． 【解析】由题意二次函数对称轴 x 0 ，定义域关于原点对称 a 5 0 ， 2b b 3 0 a b 5 1 4 ． 3. 已知函数 y k 2 x2 2kx k 1 的图象与 x 轴只有一个交点， 则 k ______________． 【答】 2 ． 【解析】若原函数不为二次函数，则 k 2 y 4 x 3 与 x 轴只有一个交点成立；
二、解答题 14. 关于 x 的方程 x2 2m 1 x 2m2 m 0 的两个根分别为 x1 ， x2 ． （1）若 x1 x2 5 ，求 m 的值； （2）若 x1 ， x2 均为整数，求 m 的值．
上
海
昂
立
智
4
禁 外
A
60
传
综上 a, b, c 6,8,10 或 5,12,13 ，满足条件的三角形有 2 个．
上
海
若原函数为二次函数，则 4k 2 4 k 2 k 1 0 k 2 0 k 2
昂
立
智
立 方
内
部 资
料
， 严
禁 外
3 3
【解析】原函数图象大致如图， 当 k 0 ， y kx 过二四象限不满足题意， 显然 k 0 ，当 y kx 过 3, 2 则 k
15 sin120 a a 2 3 2 4 则 a 2 2a 1 16 sin 60 2 S 2a 2 ABCD 2
15 3 ，则梯形 4
A
B
O F E
D
禁 外
S
3 4 16 16 3 ． 4
传
C
6. 已知矩形 ABCD 中， AB 1 ， BC a ，若在边 BC 上存在点 Q，满足 AQ QD ，则 a
64 x2 500 x 625 0 4 x 2516 x 25 0
有 c 2 a 2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 而 ab 2 a b c 2 0 b b a 5 ，


2 2 b 7b a 7 ，

若 a 5 ，25 c b c b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立； 若 a 6 ， 36 c b c b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
海
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ， 若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． 【答】4． A 【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1 ，则
昂
立
智
立 方
B
C
上
2
2
B
D C
3 1 、 、0 ． 2 2
（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）联结 QE，若 PQE 与 POQ 相似，求 AP 的长．
（2）5．
部 资
【答】 （1） y
24 2 12 5 x x，0 x ； 25 5 2
料
， 严
P
O
禁 外
Q
B
15. 如图，ABC 中，AB BC 5 ，AC 6 ， 过点 A 作 AD / / BC ， 点 P、 Q 分别是射线 AD、 线段 BA 上的动点， 且 AP BQ ， 过点 P 作 PE / / AC 交线段 AQ 于点 O． 联结 PQ， 记A P x ， POQ 面积为 y．
综上 k 2 ．
2 x 8, x 3 4. 在同一个直角坐标系中，已知直线 y kx 与函数 y 2, 3 x 3 图象恰好有三个公共 2 x 4, x 3 y 点，则 k 的取值范围是______________． 6
【答】
2 k 2． 3
B
B 【答】
E
3 或3． 2
B
料
C
， 严
禁 外
传
B
E H C
x 3 3 3 x ，综上 BE 或 3 ． 4 x 5 2 2
11. 如图，OA、OD 是 O 的半径，延长 OA 至 B，使 OA AB ，C 是 OA 的中点， AOD 为 锐角 ，连接 CD、BD，且 CD a ，则 BD ______________． 【答】 2a ． D 【解析】设 OC 1 ，则 OB 4 ，
复旦附中自招试题 一、填空题 1. 已知 x 【答】
a b c ，则 x ______________． bc ac ab
1 或 1 ． 2
a b c x 【解析】由题意 b a c x a b c 2 a b c x c a b x
D
sin DAQ
立
APO OEB BOE AOP AO AP x ，
智
24 ， 25
立 方
【解析】 （1） cos DAB cos B
52 52 62 7 2 52 25
上
y
sin DAQ AQ AO AP 2