九年级数学上册第24章圆教案(共23套新人教版)
人教版九年级上册第二十四章圆教学设计
人教版九年级上册第二十四章圆教学设计教学目标1.了解圆的基本概念，如圆心、半径、圆的公式等。
2.掌握求解圆的面积和周长的方法。
3.能够运用圆的知识解决实际问题。
4.培养学生归纳和总结的能力，提高学生思维能力和解决问题的能力。
教学准备1.教师课件。
2.学生练习册和笔记本。
3.圆规、直尺、黑板、白板等。
教学过程1. 导入教师通过学生们生活中的例子，如车轮、钟表等向学生介绍圆的概念，让学生尝试通过观察和描述来理解圆的基本属性和特点，激发学生学习兴趣。
2. 新课讲解教师通过课件向学生展示圆的各种属性和公式，并且运用简单的例子，让学生更深入地理解圆。
在讲解的过程中，教师可以与学生进行互动交流，让学生积极参与，提高他们的兴趣和学习积极性。
3. 练习教师通过黑板、白板向学生展示各种典型的计算题目，让学生在巩固理论知识的同时增加实践操作的经验。
针对不同程度的学生，可以设置不同难度的题目，提高学生的学习效果。
4. 巩固在学生对于圆已经有了深刻的理解之后，教师可以运用实际问题案例来讲解，让学生将圆的知识运用到实际生活中。
此外，还可以对上节课和中进行简单的回顾，增强学生的记忆和对圆的理解。
5. 课后作业布置学生完成书面作业和练习册上的题目，并且鼓励学生在日常生活中寻找圆的例子，加深他们的印象与理解。
教学评估1.学生能够准确地解答课堂练习和作业题目。
2.学生能够从实际生活中找到圆的例子，并且能够对其进行准确描述和分析。
3.学生在课堂上的参与度和思考能力逐渐提高。
总结本课的教学旨在让学生深入理解圆的属性、特点、公式等知识，以及将知识运用到实际生活中，提高他们的应用能力和解决实际问题的能力。
通过教师的讲解、学生的练习与讨论，学生对圆这一数学概念有了更加深入的理解，加深了他们对数学的认识。
九年级数学上册24圆学案新版新人教版
第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图)4．如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD 为⊙O 的直径，∠EOD ＝72°，AE 交⊙O 于B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB 构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10 cm ，求OD 的长． 解：5 cm .点拨精讲：这里别忘了圆心O 是直径AB 的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？ (8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．。
人教版九年级数学24章《圆》全章教案(DOC)
课时计划第9周第24课（章、单元）第1节第 1课时2014 年10月29日课时计划第9周第24课（章、单元）第1节第2课时2014 年10月30日课时计划第9周第24课（章、单元）第1节第3课时2014 年10月31日课时计划第10周第24课（章、单元）第1节第 4课时2014 年11月3日课时计划第10周第24课（章、单元）第2节第 1课时2014 年11月5日课时计划第10周第24课（章、单元）第2节第 2 课时2014 年11月6日那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？归纳：判定直线与圆的位置关系的方法有两种：（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；（2）根据性质，由圆心到直线的距离与半径的关系来判断．二、学习探究圆的切线的性质与判断：1、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
2、切线的判断：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对性质和判断作出证明（略）三、运用举例：例1、已知：AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．求证：AT是⊙的切线．例2、如图9，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．例3、如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：AC 是⊙O的切线四、练习1．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________;直线a与⊙O的公共点个数是_______．2．已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是______，直线a与⊙O的公共点个数是_______．课时计划第11周第 24课（章、单元）第2节第 3课时2014 年11月12日三角形的内心：三角形内切圆的圆心．（即三角形三条角平分线的交点）思考：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？四、运用举例：例1：已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
人教版九年级数学上册教案第24章 圆
第二十四章 圆 24．1 圆的有关性质24．1.1 圆01 教学目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等． 02 预习反馈阅读教材P 79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．1．如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．2．圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．以点A 为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB 的长为半径，可以画无数个圆；以点A 为圆心，AB 的长为半径，可以画1个圆．【点拨】 确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 5．到定点O 的距离为5的点的集合是以O 为圆心，5为半径的圆．03 名校讲坛例1 (教材P80例1)矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．【思路点拨】 要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等． 【解答】 证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OC ＝OB ＝OD .∴A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上(如图)．例2 (教材P80例1的变式)△ABC 中，∠C ＝90°.求证：A ，B ，C 三点在同一个圆上． 【解答】 证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC .∵在△ABC 中，∠C ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形．∴OC ＝OA ＝OB ＝12AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∴A ，B ，C 三点在同一个圆上．【跟踪训练1】 (例1的变式题)(1)在图中，画出⊙O 的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：(1)作图略．(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形． 【思考】 由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？ 例3 已知⊙O 的半径为2，则它的弦长d 的取值范围是0<d ≤4． 【点拨】 直径是圆中最长的弦．例4 在⊙O 中，若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是等边三角形． 【点拨】 与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．【跟踪训练2】 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．04 巩固训练1．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条． 【点拨】 这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．2．如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，图中弦的条数为2．3．(《名校课堂》24.1.1习题)点P 到⊙O 上各点的最大距离为10 cm ，最小距离为8 cm ，则⊙O 的半径是1或9cm.【点拨】 这里分点在圆外和点在圆内两种情况．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点．若AC＝10 cm，则OD的长为5__cm．【点拨】圆心O是直径AB的中点．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，则∠A的度数为24°．【点拨】连接OB构造三角形，从而得出角的关系．05课堂小结1．这节课你学了哪些知识？2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？24．1.2 垂直于弦的直径01 教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质． 3．能运用垂径定理计算和证明实际问题． 02 预习反馈阅读教材P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心． 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ， ∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即 如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)， ∴CD ⊥AB ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．03 名校讲坛知识点1 垂径定理例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ； (2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．例2 (例1的变式题)已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C ，D 两点，且OA ＝OB .求证：AC ＝BD .【解答】 证明：作OE ⊥AB 于E .则CE ＝DE . ∵OA ＝OB ，OE ⊥AB ，∴AE ＝BE . ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD .【点拨】 过圆心作垂径是圆中常用辅助线．【跟踪训练1】 若⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为3__cm ． 【跟踪训练2】 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足．若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长． 解：连接OC.∵AE ＝9，BE ＝1，∴半径OC ＝5，OE ＝4. ∵弦CD ⊥AB ，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝3. 又∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CD ＝2CE ＝6.【跟踪训练3】 ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】 当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当M 在A(或B)处时，OM 最大．知识点2 垂径定理的实际应用例3 (教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【思路点拨】 解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB ︵的中点，CD 就是拱高．由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ， 所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)，OD ＝OC －CD ＝R －7.23.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝18.52＋(R －7.23)2. 解得R ≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．04 巩固训练1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是53__cm ． 【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长． 2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134__cm ．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．4．(《名校课堂》24.1.2习题变式)⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．(《名校课堂》24.1.2习题变式)已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点．求证：AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.05课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．24．1.3 弧、弦、圆心角01 教学目标1．通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系． 2．运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．02 预习反馈阅读教材P 83～84内容，回答下列问题． 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．2．如图所示，下列各角是圆心角的是(B )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OBC 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．4．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦．(1)如果AB ＝CD ，那么∠AOB ＝∠COD ，AB ︵＝CD ︵； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； (3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵．5．如图，AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∠CAB ＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)△ACO ≌△ABO ； (2)AD 垂直平分BC ； (3)AC ︵＝AB ︵．(答案不唯一)03 名校讲坛例1 (教材P84例3)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .【解答】 证明：∵AB ︵＝AC ︵， ∴AB ＝AC ，△ABC 是等腰三角形． 又∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝AC ＝BC . ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .【跟踪训练1】 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝75°，求∠BAC 的度数．解：∵AB ︵＝AC ︵，∴∠ACB ＝∠ABC. 又∵∠ACB ＝75°，∠ACB ＋∠ABC ＋∠BAC ＝180°， ∴∠BAC ＝30°.例2 (教材P84例3变式题)如图． (1)如果AD ︵＝BC ︵，求证：AB ＝CD ； (2)如果AD ＝BC ，求证：DC ︵＝AB ︵.【解答】 证明：(1)∵AD ︵＝BC ︵， ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵. ∴AB ＝CD .(2)∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵. ∴AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵，即DC ︵＝AB ︵.例3 (教材补充例题)如图，AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点．CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，分别与圆交于C ，D 点．求证：AC ︵＝BD ︵.【思路点拨】 连接OC ，OD ，构造全等三角形．【解答】 证明：连接OC ，OD . ∵M ，N 分别为AO ，BO 的中点，∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB .又∵OA ＝OB ，∴OM ＝ON .∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.在Rt △CMO 和Rt △DNO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO (HL)．∴∠AOC ＝∠BOD . ∴AC ︵＝BD ︵.【跟踪训练2】 已知：如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是什么？为什么？【点拨】 (1)OM ，ON 具备垂径定理推论的条件；(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN ＝∠CNM.理由如下： 连接OB ，OD.∵M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴BM ＝AM ，DN ＝CN ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OMB ＝∠OND ＝90°. 又∵AB ＝CD ，∴BM ＝DN.在Rt △OBM 和Rt △ODN 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝DN ，OB ＝OD ，∴Rt △OBM ≌Rt △ODN(HL )．∴OM ＝ON.∴∠OMN ＝∠ONM. ∴90°－∠OMN ＝90°－∠ONM ，即∠AMN ＝∠CNM.04 巩固训练1．(《名校课堂》24.1.3习题变式)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，则∠AOE 的度数为75°．2．(《名校课堂》24.1.3习题变式)如图所示，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE ＝DF ，连接OE ，OF ，并且它们的延长线分别交⊙O 于点A ，B .(1)试判断△OEF 的形状，并说明理由；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.【点拨】 (1)过圆心作垂径；(2)连接AC ，BD ，通过证弦等来证弧等． 解：(1)△OEF 为等腰三角形．理由： 过点O 作OG ⊥CD 于点G ，则CG ＝DG . ∵CE ＝DF ，∴CG －CE ＝DG －DF ，即EG ＝FG .∵OG ⊥CD ，∴OG 为线段EF 的中垂线． ∴OE ＝OF ，即△OEF 为等腰三角形． (2)证明：连接AC ，BD . 由(1)知OE ＝OF ， 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF ，∠OEF ＝∠OFE .∵∠CEA ＝∠OEF ，∠BFD ＝∠OFE ， ∴∠CEA ＝∠DFB .在△CEA 和△DFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ，∠CEA ＝∠DFB ，CE ＝DF ，∴△CEA ≌△DFB (SAS)．∴AC ＝BD . ∴AC ︵＝BD ︵.05 课堂小结弧、弦、圆心角之间的关系是证明圆中等弧、等弦、等圆心角的常用方法．24．1.4 圆周角第1课时 圆周角定理及其推论01 教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题． 02 预习反馈阅读教材P 85～87，完成下列问题．1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．已知，如图所示，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，点C 在⊙O 上．若∠AOB ＝90°，则∠ACB 的度数为45°． 4．圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 5．如图所示，点A ，B ，C 在圆周上，∠A ＝65°，则∠D 的度数为65°．6．如图，A ，B ，C 均在⊙O 上，且AB 是⊙O 的直径，AC ＝BC ，则∠C ＝90°，∠A ＝45°．03 名校讲坛知识点1 圆周角定理例1 (教材补充例题)如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，求∠C 的度数．【解答】 ∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°，∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝12∠AOB ＝65°.【跟踪训练1】 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 大小为60°．知识点2圆周角定理的推论例2(教材P87例4)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．【思路点拨】根据AB是直径的条件，得出△ABC，△ABD都是直角三角形，由于Rt△ABC中AB，AC已知，根据勾股定理可求出BC.进一步，因为CD平分∠ACB，根据圆周角定理和弧、弦、圆心角之间的关系，可知AD＝BD，这样，在Rt△ABD中可求出AD和BD的长．【解答】连接OD.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝22AB＝22×10＝52(cm)．例3(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝1．【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．【跟踪训练2】如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．【点拨】连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形．【跟踪训练3】如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠B＝58°．04 巩固训练1．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．2．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝10__cm ．【点拨】 利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线． 3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB ︵的中点，则∠CAB 的度数为65°．4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC.证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角，∴∠AOB ＝2∠ACB. 同理∠BOC ＝2∠BAC. ∵∠AOB ＝2∠BOC ， ∴∠ACB ＝2∠BAC.【点拨】 看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．05 课堂小结圆周角的定义、定理及推论．第2课时 圆内接四边形01 教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题． 02 预习反馈阅读教材P 87～88，完成下列问题． 1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 3．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠A ＝50°，∠BCD ＝130°．03 名校讲坛例 (《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC ︵的中点，那么∠DAC 的度数是多少？【解答】 连接BC . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵∠BAC ＝32°， ∴∠B ＝90°－32°＝58°. ∴∠D ＝180°－∠B ＝122°(圆内接四边形的对角互补)． 又∵D 是AC ︵的中点，∴∠DAC ＝∠DCA ＝12(180°－∠D )＝29°.【跟踪训练1】 已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠D 的度数为90°．【跟踪训练2】 (《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上．若∠A ＝50°，则∠BCE ＝50°．1．(《名校课堂》24.1.4第2课时习题变式)如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠BOD等于120°.2．如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．3．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∴∠A＝180°－∠C＝50°.05课堂小结圆内接四边形的对角互补．24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1点和圆的位置关系01教学目标1．结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．知道确定一个圆的条件；掌握三角形外接圆及三角形的外心的概念．3．掌握反证法，并会应用于有关命题的证明．02预习反馈阅读教材P92～95，完成下列问题．1．设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：点在圆外⇔d＞r，如图中的点C；点在圆上⇔d＝r，如图中的点B；点在圆内⇔d＜r，如图中的点A.如：若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O 的位置关系是点A在圆内．2．经过一个已知点A可以作无数个圆；经过两个已知点A，B可以作无数个圆，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个圆，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部．任意三角形的外接圆有一个，而一个圆的内接三角形有无数个．03名校讲坛例1(《名校课堂》24.2.1习题)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径作圆，判断点B，C与⊙P的位置关系．【解答】∵AB＝8，点P在边AB上，且BP＝3AP，∴BP＝6，AP＝2.根据勾股定理得r＝PD＝（35）2＋22＝7，PC＝PB2＋BC2＝62＋（35）2＝9.∵PB＝6＜r，PC＝9＞r，∴点B在⊙P内，点C在⊙P外．【方法归纳】根据勾股定理求出点到圆心的距离d与半径r比较．【跟踪训练1】(例1变式题)如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系怎样？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？【解答】(1)∵AB＝3 cm＜r，AC＝AB2＋BC2＝5 cm＞r，AD＝4 cm＝r，∴点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上．(2)∵AB＜AD＜AC，且B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，∴3 cm<r<5 cm.【思考】(2)问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外，是指哪个点在圆外？例2(教材P95练习3)如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？【解答】因为A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点O就是圆心．【跟踪训练2】(《名校课堂》24.2.1习题)如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．例3(《名校课堂》24.2.1习题)用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.【解答】证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.【方法归纳】用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；③由矛盾断定假设不成立，从而得到原命题成立．【跟踪训练3】已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．04巩固训练1．用反证法证明命题“△ABC中，至少有两个锐角”时，第一步假设为假设△ABC中，只有一个锐角．2．已知⊙O的半径r＝5 cm，圆心O与点D的距离OD＝3 cm，过点D且垂直于OD的直线l上有三点A，B，C，且AD＝4 cm，BD>4 cm，CD<4 cm.则点A在⊙O上，点B在⊙O外，点C在⊙O内．3．已知线段AB＝4 cm，以3 cm长为半径可作2个圆使其经过A，B两点，其圆心在线段AB的中垂线上，圆心与点A的距离为3cm.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，3 cm为半径作⊙C.(1)点A，B与⊙C有何位置关系？为什么？(2)若将⊙C的半径改为2 cm，其他条件不变，则结果又如何呢？若将⊙C的半径改为4 cm呢？解：(1)由条件及勾股定理得AC＝AB2－BC2＝52－42＝3(cm)．∵AC＝3 cm＝r，∴点A在⊙C上．∵BC＝4 cm>r，∴点B在⊙C外．(2)当⊙C的半径为2 cm时，点A，B都在⊙C外；当⊙C的半径为4 cm时，点B在⊙C上，点A在⊙C内．05课堂小结1．点与圆的三种位置关系．2．三角形外接圆及三角形的外心的概念．3．反证法．24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系01 教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系． 2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．02 预习反馈阅读教材P 95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．03 名校讲坛例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm . 【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D. ∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm . 又∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12BC·AC ，∴CD ＝BC·ACAB ＝ 3 cm .(1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切； (3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆． ①当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；②当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；③当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交．【跟踪训练2】 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系． 【思路点拨】 这里P 到O 的距离等于圆的半径，而不是点O 到直线l 的距离等于圆的半径，因此要分情况讨论．【解答】 相交或相切．【跟踪训练2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】分相切和相交两类讨论．解：r＝2.4或3<r≤4.04巩固训练1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)A．2.5 B．3 C．5 D．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C) A．相交B．相离C．相切D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时 切线的判定和性质01 教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线． 3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．02 预习反馈阅读教材P 97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．03 名校讲坛例 (教材P98例1)如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，求证：AC 是⊙O 的切线．【思路点拨】 根据切线的判定定理，要证明AC 是⊙O 的切线，只要证明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是⊙O 的半径就可以了，而OD 是⊙O 的半径，因此需要证明OE ＝OD .【解答】 证明：过点O 作OE ⊥AC ，垂足为E ，连接OD ，OA . ∵⊙O 与AB 相切于点D ， ∴OD ⊥AB .又△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线．∴OE ＝OD ，即OE 是⊙O 的半径．这样，AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E ，并且垂直于半径OE ，所以AC 与⊙O 相切． 【方法归纳】 在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练1】 (《名校课堂》24.2.2第2课时习题)如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC .试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由： 连接OC .∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵. ∴∠DAC ＝∠BAC . ∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA .∴∠DAC ＝∠OCA .∴OC ∥AD . ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD . 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线．【跟踪训练2】 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，E 是BC 边上的中点，连接PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．解：相切．证明：连接OP ，BP ，则OP ＝OB. ∴∠OBP ＝∠OPB. ∵AB 为直径， ∴BP ⊥PC.在Rt △BCP 中，E 为斜边中点， ∴PE ＝12BC ＝BE.∴∠EBP ＝∠EPB.∴∠OBP ＋∠EBP ＝∠OPB ＋∠EPB ， 即∠OBE ＝∠OPE.∵BE 为切线，∴AB ⊥BC. ∴OP ⊥PE.又∵OP 为⊙O 的半径， ∴PE 是⊙O 的切线．04 巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C.∴∠ODC＝∠B.∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.又∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切．05课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．。
人教版九年级数学上册《二十四章 圆 第二十四章 圆(通用)》优质课教案_6
第二十四章圆的复习---切线的性质与判定教学设计课标分析1.通过小组合作，经历利用所给生活中的物品，探究解决生活中与切线相关的实际问题的过程，理解圆的切线的相关规律.2.通过本节课的探究活动，体会转化思想在数学问题中的应用.教材分析一、本章是人教版九年级上册圆的知识，本节课是在基本性质学习的基础上的第一节复习课，主要复习切线的性质与判定等知识，并用生活中的物品加以演示，加深理解．本章是今后学习解析几何等知识的重要基础,解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识,利用切线的性质与判定解决实际问题需要学生较强的理解能力及转化能力，综合程度较高，是本章的主要难点．二、因为探究切线的性质与判定具有一定的抽象性，需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力，而本节课利用锅和直尺将数学的抽象内容与生产生活实际相联系，在教学中应遵循辩证唯物主义认识论的基本观点，从直观到抽象，从感性到理性，通过观察、画图让学生经历感知切线的性质与判定，让学生在画图、拼图中思考并归纳总结出．三、数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际问题，从实际问题出发引入切线的性质与判定，并通过实际问题的直观，归纳出切线的性质与判定．让学生在实际问题的解决中感受切线的性质与判定学习的重要性．学情分析一、九年级学生由于年龄特征，不具备很强的抽象思维能力，所以教学中在复习切线的性质与判定的时候，在教师的指导、提示启发下，利用生活中的物品，让学生尝试动手操作，通过自主探究、同学间的相互交流，进而引导学生用类比的方法来研究切线的性质与判定，着重加强对数学思想和方法的渗透，使学生不断由“学会”向“会学”发展.二、因为探究切线的性质与判定具有一定的抽象性，需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力，而本节课利用锅和直尺将数学的抽象内容与生产生活实际相联系，在教学中应遵循辩证唯物主义认识论的基本观点，从直观到抽象，从感性到理性，通过观察、画图让学生经历感知切线的性质与判定，让学生在画图、拼图中思考并归纳总结出．1.题.变式题：已知：OB＝5厘米，米，⊙O的半径解疑探究2小组合作及展示训练提升2如图，达标测评信心、毅力、激情三者具备，则天下没有做不成的事。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.1圆教学设计
5.拓展提高题：针对学有余力的学生，设计一些难度较大的题目，如圆与圆的位置关系、圆的切线问题等。这类题目旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的数学思维。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础巩固题：针对圆的基本概念和性质，设计一些选择题、填空题，让学生巩固所学知识。
2.应用提高题：设计一些与生活实际相关的题目，如计算圆形花坛的面积、圆桌的周长等，让学生学会将所学知识应用于实际问题。
3.拓展挑战题：针对学有余力的学生，设计一些难度较大的题目，如圆与圆的位置关系、圆的切线问题等。
2.创设问题情境，引导学生通过探究、讨论的方式，发现和掌握圆的相关性质。
-设计一系列由浅入深的问题，如圆中任意两点到圆心的距离是否相等，引导学生自主探索和发现圆的性质。
-组织小组合作学习，鼓励学生之间交流想法，共同解决难题。
3.将理论知识与生活实际相结合，设计实际应用题，提高学生解决问题的能力。
-通过设计如操场跑道周长、圆形花园面积等实际问题，让学生在实际情境中应用所学的圆的周长和面积知识。
5.教学评价多元化，不仅关注学生的知识掌握，也注重学习过程中的思维方法和情感态度。
-通过课堂提问、小组讨论、课后作业、小测验等多种方式，全面评估学生的学习成效。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养他们的自我反思和批判性思维能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将利用学生对日常生活的经验，激发他们对圆的好奇心和探究欲。首先，我会向学生展示一系列包含圆的图片，如车轮、硬币、圆桌等，让学生观察并思考这些图片中的共同特征。通过这种方式，引导学生发现圆在生活中的普遍存在。接着，我会提出问题：“为什么这些图形都是圆的？圆有什么特别之处？”从而引出本节课的主题——圆。
人教版九年级数学上册第24章《圆》教案
第二十四章圆1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念,理解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点和圆的位置关系.2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.3.探索圆周角、圆心角及所对的弧的关系,理解并证明圆周角定理及其推论.4.了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线.5.了解三角形的内心和外心,会利用基本作图方法作三角形的外接圆、内切圆.6.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系,会利用基本作图方法作圆的内接正方形和正六边形.7.会计算弧长、扇形的面积.1.积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动,了解概念,掌握定理及公式.2.通过探究活动中小组合作交流,培养学生合作意识.3.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生体会分类讨论的数学思想和归纳的数学方法.4.通过平移、旋转等方式,认识直线与圆、圆与圆的位置关系,使学生明确图形在运动变化过程中的特点和规律,进一步发展学生的推理能力.5.探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义,提高学生计算能力和数学思维.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养推理能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.4.对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型——三角形、四边形等图形的基础上,进一步研究一个基本的曲线图形——圆,对圆的概念和性质进行系统梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的逻辑思维能力.在小学学过圆的基础上,进一步学习研究圆的概念和性质,圆的许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、由特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力,圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念,所以圆这一章在初中数学学习中占有重要地位.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本章的学习是高中阶段圆锥曲线的学习基础.【重点】1.垂径定理及其推论的推导及应用.2.圆周角定理及其推论的推导及应用.3.切线的性质及判定、切线长定理的应用.4.正多边形的有关计算.5.弧长、扇形面积及圆锥的侧面积的相关计算.【难点】1.垂径定理及其推论的推导及应用.2.圆周角定理及其推论的推导及应用.3.圆锥的侧面展开图的理解.1.“圆”这部分内容处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段,不仅要求学生能熟练地用综合法证明命题,通过探索,展示推理过程,而且要求了解反证法.教学中要重视推理论证的教学,进一步提高学生的思维能力.另外,这部分内容涉及的图形很多是圆和直线型图形的组合,题目比较复杂,教学时多帮助学生复习有关直线型图形的知识,做到新旧结合,加强解题思路的分析,使学生学会把复杂问题化为简单问题,把一般问题化为特殊问题.2.圆是平面图形中一种基本图形,它是一种特殊的曲线,圆的许多性质是通过与圆有关的线段和角体现的.在教学中,要注意结合相关内容,体现这种研究圆的思路.圆是日常生活中应用较广的一种几何图形,这部分内容与实际生活联系紧密,所以应在教学中创设较多的生活情境问题,帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题.3.本章涉及的数学思想方法较多,如分类讨论思想、建模思想、化归思想、数形结合思想、从特殊到一般的方法等,在教学中多给学生自主探究的机会,让学生体会这些思想方法在学习中的重要作用,同时提高学生分析问题和解决问题的能力.4.圆是一种特殊曲线,它有独特的对称性,不仅是轴对称图形、中心对称图形,而且还有旋转不变性,它的对称性在本章性质的探究活动及实际生活中应用广泛,所以在本章教学中,要重视利用圆的对称性进行证明和计算.24.1圆的有关性质24.4弧长和扇形面积2课时24.1圆的有关性质1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.2.探索并证明垂径定理.3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系.4.理解并证明圆周角定理及其推论,并能应用其解决有关计算和证明.1.结合相关图形性质的探索和证明,进一步发展推理能力.2.在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学方法.3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作交流的良好学习习惯.【重点】1.垂径定理.2.圆心角、弦、弧之间的关系.3.圆周角定理.【难点】探索并证明圆的有关性质,并解决一些实际问题.24.1.1圆1.理解圆的定义,掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.2.通过对圆的相关概念的理解,能够从图形中识别“弦、直径”、“弧、优弧、劣弧”、“半圆、等圆、等弧”.3.能应用圆的有关概念解决问题.1.通过观察生活中存在的大量的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关.2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的方法解决问题.1.经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程,养成自主探究、合作交流的良好习惯.2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲.【重点】与圆有关的概念.【难点】理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等概念.【教师准备】多媒体课件1~6.【学生准备】预习教材P79~80.导入一:【课件1】圆是常见的图形,生活中的许多物体都给我们以圆的形象(如图所示).思考并回答:1.你能举出生活中圆的哪些例子?2.为什么车轮都做成圆形?能不能做成正方形或长方形?3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?【师生活动】学生思考后回答,教师适当点评,导出本节课课题.[设计意图]通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,结合小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,这样从已有的知识体系自然地构建出新知识.[过渡语]实际生活中存在着大量的圆的图形,今天让我们一起认识什么活动1:思考并动手实践你怎样画圆?你能说出圆的形成有几种方法吗?【师生活动】学生思考后会用圆规作圆,教师引导还有没有其他画圆的方法,小组合作交流,共同观察思考圆的特征,老师点评.活动2:自主学习课本79页【学生活动】互相交流圆的概念及表示方法.【课件2】圆的定义:如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”.活动3:根据圆的定义思考1.篮球是圆吗?太阳是圆吗?(强调定义中的同一平面内.)2.以3 cm为半径画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,圆心不确定.)3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,半径不确定.)【师生活动】学生思考、操作,小组合作交流,展示结果,教师点评.教师强调:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,圆心和半径两个元素确定一个圆.[设计意图]通过自学教材形成概念,培养自主学习、合作交流的能力.通过动手操作和生活实例形成圆的概念,体会数学中的建模思想.追加思考,让学生更深入地理解圆的概念,提高学生分析问题的能力.二、共同探究2【课件3】思考并回答下列问题.1.圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律?2.到定点的距离等于定长的点又有什么特点?【师生活动】学生思考后,小组合作交流,教师引导学生通过动手画图得到上述问题2的结论,学生回答问题后,教师点评,并归纳总结.【课件4】1.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r).2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.教师追问:你能不能用动态的观点归纳圆的定义?圆的第二定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.三、共同探究3【课件5】(教材例1)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.思路一教师引导学生思考并回答:圆的定义为,矩形的对角线的性质为.分析题意,题目中已知条件为:,所求证结论为,要证明A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上,只需证明,由矩形的性质:可得.【师生活动】学生独立回答问题后,教师点评并分析如何建立几何模型.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD.∴OA=OC=OB=OD.∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.(如图所示)思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:1.圆上的点到圆心的距离有什么特点?2.要证明点在圆上,只需要证明什么?3.矩形的对角线有什么性质?4.如何把矩形的问题转化到圆上,进而解决问题?5.你能写出证明过程吗?【师生活动】小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD.∴OA=OC=OB=OD.∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心,OA为半径的圆上.[设计意图]师生共同探讨,通过探索证明点在同一个圆上的方法,找到几何问题之间的联系,为学习更多圆的知识做铺垫,同时提高学生利用圆的基本知识解决问题的能力.四、共同探究4活动1:自主学习课本80页【学生活动】互相交流和圆有关的概念及表示方法.【课件6】1.弦、直径.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.如图中,AB,AC 是弦,AB是直径.2.弧、半圆.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A,B为端点的弧记作,读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的;小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的.3.等圆、等弧.能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.活动2:思考下列问题1.直径是弦正确吗?弦是直径呢?直径是最长的弦吗?2.半圆是弧正确吗?弧是半圆呢?半圆是最长的弧吗?3.长度相等的两条弧是等弧吗?为什么?【师生活动】小组合作交流,学生展示后教师点评,强调易错点.[设计意图]通过学生自主学习,掌握和圆有关的概念,培养学生自学能力,同时通过活动2加深学生对概念的辨析与再认识.[知识拓展]1.圆上各点到圆心的距离都等于半径.2.到圆心的距离等于半径的点都在圆上.3.圆可以看作到定点的距离等于定长的点的集合.4.圆是一条封闭的曲线,是指圆周而不是指圆面,圆由圆心确定位置,由半径确定大小.5.弦是一条线段,它的两个端点都在圆上.6.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦.1.圆的定义.(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合.2.圆的元素:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.3.和圆有关的概念:弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧.1.下列说法正确的是()A.直径是弦,弦是直径B.半圆是弧,弧是半圆C.等弧的长度相等D.长度相等的两条弧是等弧解析:直径是弦,但弦不一定是直径,所以A错误;半圆是弧,但弧不一定是半圆,所以B错误;等弧是能够重合的弧,所以等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧,所以C正确,D错误.故选C.2.如图所示,在☉O中,弦的条数是 ()A.2B.3C.4D.以上均不正确解析:观察可得AB,BC,BD,CD都是☉O的弦.故选C.3.圆O的半径为3 cm,则圆O中最长的弦长为.解析:∵圆O的半径是3 cm,∴圆O的直径是6 cm,又直径是圆中最长的弦,∴圆O中最长的弦长为6 cm.故填6 cm.4.证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.已知:如图所示,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别为DA,AB,BC,CD的中点.求证:点E,F,G,H在同一个圆上.证明:∵E,H分别为DA,DC的中点,∴在ΔDAC中,EH∥AC,同理得FG∥AC,EF∥DB,HG∥DB,∴EH∥FG,EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形,又∵AC⊥BD,∴EH⊥HG,∴四边形EHGF为矩形,∴E,H,G,F在同一个圆上.24.1.1圆一、共同探究1圆的第一定义:二、共同探究2圆的第二定义:三、共同探究3例1四、共同探究4和圆有关的概念:一、教材作业【必做题】教材第81页练习的1,2题.【选做题】教材第89页习题24.1的1题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是 ()A.周长相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.同一条弦所对的两条弧是等弧D.半径确定了,圆也就确定了2.如图所示,AB是☉O的弦,∠AOB=80°,则∠A等于()A.50°B.55°C.65°D.80°3.过圆内的一点(非圆心)有条弦,有条直径.4.圆内最长的弦长为10 cm,则圆的半径等于cm.5.如图所示的圆中有条直径,条弦,以点A为一个端点的劣弧有条.6.如图所示,已知OA,OB,OC是☉O的三条半径,∠AOC=∠BOC,M,N分别为OA,OB的中点.求证MC=NC.7.如图所示,AB是☉O的弦(非直径),C,D是AB上的两点,并且AC=BD.求证OC=OD.【能力提升】8.如图所示,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,求BC的长.9.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长.10.如图所示,CD是☉O的直径,∠EOD=84°,AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A 的度数.【拓展探究】11.如图所示,两正方形彼此相邻且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆的直径上,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,B,E两点在半圆O的直径上,点G在大正方形的边AB上,若小正方形的边长是4 cm,求该半圆的半径.【答案与解析】1.A(解析:周长相等的两个圆半径相等,所以是等圆,所以A正确;长度相等的弧不一定能重合,所以B错误;同一条弦所对的两条弧构成一个圆,不一定相等,所以C错误;半径确定圆的大小,圆心确定圆的位置,两者共同确定一个圆,所以D 错误.故选A.)2.A(解析:∵OA=OB,∴∠A=∠B,∵∠AOB+∠A+∠B=180°,∴∠A=-=50°.故选A.)3.无数一(解析:过圆内一点(非圆心)有无数条直线与圆相交,根据弦的定义可知过圆内一点(非圆心)有无数条弦;两点确定一条直线,所以过圆心和该点只有一条直径.)4.5(解析:∵圆内最长的弦长为10 cm,又直径是圆中最长的弦,∴圆的直径是10 cm,∴圆的半径是5 cm.故填5.)5.134(解析:根据圆的有关定义可得图中AB是直径,AB,CD,EF是弦,以A 为一个端点的劣弧有,,,.)6.证明:∵OA,OB为☉O的半径,∴OA=OB,∵M是OA中点,N是OB中点,∴OM=ON,又∵∠AOC=∠BOC,OC=OC,∴ΔMOC≌ΔNOC,∴MC=NC.7.证明:分别连接OA,OB.∵OB=OA,∴∠A=∠B.又∵AC=BD,∴ΔAOC≌ΔBOD,∴OC=OD.8.解:∵AB是☉O的直径,∴OA=OB,∵D是AC的中点,∴AD=DC,∴OD是ΔABC 的中位线,∴BC=2OD=8.9.解:连接OC.∵CD=4,OD=3,∴在RtΔODC中,OC==5,∴AB=2OC=10.10.解:连接OB.∵AB=OC,∴AB=BO,∴∠BOC=∠A,∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A,由OB=OE,得∠E=∠EBO=2∠A,∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A,而∠EOD=84°,∴3∠A=84°,∴∠A=28°.11.解析:设大正方形边长为2x,根据勾股定理可得半圆半径,连接圆心和小正方形右上顶点,也可得直角三角形,已知小正方形的边长,利用勾股定理即可求解.解:设大正方形的边长为2x,半圆的半径为R,则BO=x,AB=2x,∵小正方形的边长为4 cm,∴BE=EF=4,连接OA,OF,由勾股定理,得R2=OB2+AB2=OE2+EF2,即x2+4x2=(x+4)2+42,解得x=4或x=-2(舍去),∴R=4cm.∴该半圆的半径为4cm.本节课由观察图形导入新课,让学生体会圆在实际生活中无处不在,可激发学生探究圆的知识的欲望.本节课的主要学习方式为自主学习、合作交流、共同探究、归纳总结,学生通过观察、操作、交流、归纳,理解圆及和圆有关的概念,由于本节课内容较为简单,故给了学生充分展示的舞台,学生交流后展示,其他组学生补充,让学生真正体会数学概念的形成过程,提高学生归纳总结能力.例题的探究与讨论,让学生体会到几何之间的互相转化,提高学生运用知识解决问题的能力.由于这节课内容较少,加上小学对圆的认识,误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时概念的形成过程中有点过于急躁,造成学生对概念中的细节问题掌握不牢固.对形如例1这样的几何问题,不能找到新旧知识的联系,造成解题困难,在今后的教学中,应注重培养学生逻辑思维能力.圆是一种常见的几何图形,它的应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为圆的问题加以研究.在教学中要重视圆的概念的形成和构建,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到解决图形问题的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.教学中多给学生交流的空间,通过与同学、老师之间的合作交流,体验数学学习带来的快乐.练习(教材第81页)1.提示:拿一根5 m长的绳子,站定一个位置,当做圆的圆心,再让另一个人拉紧绳子,绕走一圈,并画出走的轨迹即可.2.解:=0.575(cm).3.证明:如图所示,取AB的中点O,连接CO.在RtΔABC中,∵AO=BO,∠ACB=90°,∴CO=AB,即CO=AO=BO.∴A,B,C三点在同一个圆上,圆心为点O.本节课主要探究圆的定义和圆的有关概念,是对小学里已学过的圆的认识的巩固,也为本章即将探究的圆的性质打下基础.本节课的重点是通过观察、操作、归纳,理解圆的两种定义,理解弦(直径)、弧(优弧、劣弧、半圆)、等圆、等弧等和圆有关的概念,并通过讨论等活动提高学生用圆的相关知识解决实际问题的能力.课前准备生活中圆形图片,由生活实例入手,激发学生探究圆的知识的欲望,然后引导学生自主学习课本有关概念,通过合作交流解决疑难问题并强化知识点,把课堂真正交给学生,给学生足够的时间思考和探索.教师只是一个引导者,引导学生经历知识的形成过程,从而达到强化学习重点,提高学习能力,发展创新精神的目的.圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少.〔解析〕题目中说到最大距离和最小距离,我们首先想到的就是直径,然后过点P作圆的直径,从而得到圆的半径.通常情况下,我们进行的都是在圆内的有关计算,这逐渐成为一种习惯,使得我们忽略了圆外的情况,所以经常会出现漏解的情况.解:如图所示,分两种情况:(1)当点P为圆O内一点时,过点P作圆O的直径,分别交圆O于A,B两点,由题意可得AP=2,BP=10,所以圆O的半径为=6.(2)当点P在圆外时,作直线OP,分别交圆O于A,B两点,由题意可得BP=10,AP=2,所以圆O的半径为-=4.综上所述,所求圆的半径为6或4.24.1.2垂直于弦的直径1.通过观察试验,理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.3.会用垂径定理解决有关的证明与计算问题.1.通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.2.经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质.2.培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验.【重点】垂径定理及其应用.【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题.【教师准备】多媒体课件1~5.【学生准备】圆形纸片、预习教材P81~83.导入一:【课件1】赵州桥(如图所示)是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).复习提问:1.什么是轴对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.你是用什么方法解决上述问题的?(教师引导折叠课前准备的圆形纸片.)4.直径是圆的对称轴这种说法正确吗?【师生活动】学生思考后小组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的原因.【课件2】圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.[设计意图]通过实际问题导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,引出本节内容,为本节课的学习进行铺垫.思路一在自己课前准备的纸片上作图.1.任意作一条弦AA'.2.过圆心O作弦AA'的垂线,得直径CD交AA'于点M.3.观察图形,你能找到哪些相等线段?4.你能证明你的结论吗?写出你的证明过程.5.如果沿着CD折叠,你能不能得到相等的弧?6.图形中的已知条件、结论分别是什么?你能用语言叙述这个命题吗?【师生活动】让学生独立思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评.【课件3】证明:连接OA,OA',在ΔOAA'中,∵OA=OA',∴ΔOAA'是等腰三角形.又AA'⊥CD,∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线.这就是说,对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A',因此☉O关于直线CD对称.把圆沿着直径CD折叠时,点A与点A'重合,AM与A'M重合,,分别与,重合.因此,AM=A'M,,.即直径CD平分弦AA',并且平分,.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.思路二动手操作:1.把课前准备的圆形纸片(☉O)对折,使圆的两半部分重合;2.把得到的折痕记作CD;3.在☉O上任取一点A,过点A作折痕CD的垂线,沿垂线折叠,得到新的折痕,两条折痕的交点为M,即垂足为M.4.将纸片打开,新的折痕与圆交于另一点A'.(如上图所示)【思考】1.通过上面的操作,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?2.你能不能把刚才的操作当成条件,观察到的结果作为结论,归纳出一个正确的命题?【师生活动】互相交流操作结果及思考后得到的结论,教师对学习有困难的学生给予帮助,学生展示后教师点评.由折叠可得A与A'重合,,分别与,重合.∴AM=MA',,.即直径CD平分弦AA',并且平分,.归纳结论:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.。
九年级数学上册第二十四章圆教案新人教版.docx
文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.第二十四章圆教案单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（ 2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，?圆和圆的位置关系．（ 3）正多边形和圆．（ 4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（ 1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念， ?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； ?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（ 1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．?了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（ 2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（ 3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，?让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（ 4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，?使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、 ?圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1 ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用．2 ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， ?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．14 ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6 ．直线 L 和⊙ O相交d<r ；直线 L 和圆相切d=r ；直线 L 和⊙ O相离d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8． ?经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， ?这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系： d 与 r和 r2之间的关系：外离d>r +r；外切d=r +r；相11212交│ r 2-r 1│ <d<r 1+r 2；内切d=│ r 1-r 2│；内含d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R、边心距 r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12． n°的圆心角所对的弧长为L= n R， n°的圆心角的扇形面积是S扇形= n R2及其180360运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2 ．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，?并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径 R、边心距 r 、中心角θ的关系的应用．11． n 的圆心角所对的弧长 L= n R及 S 扇形＝n R2的公式的应用．18036012．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、 ?性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，?发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13 课时，具体分配如下：24． 1圆3课时24． 2与圆有关的位置关系4课时24． 3正多边形和圆1课时224 ． 4 弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时3。
九年级数学上册第24章圆教案共23套新人教版
九年级数学上册第24章圆教案（共23套新人教版）第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆※教学目标※【知识与技能】探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.【过程与方法】体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【情感态度】在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．【教学重点】圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．【教学难点】圆的集合定义方法．※教学过程※一、情境导入（课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点．学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．二、探索新知1.圆的定义（课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．思考为什么车轮是圆的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．2.圆的有关概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.三、巩固练习1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?3.如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.答案：1.首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.2.23÷2÷20=0.575(cm) ,故这棵红衫树的半径每年增加0四、归纳小结师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点．2.通过这节课的学习，你还有那些收获？※布置作业※从教材习题24.1 中选取．※教学反思※本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.24．1.1 圆01 教学目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．02 预习反馈阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．1．如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．2．圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB 的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．【点拨】确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．5．到定点O的距离为5的点的集合是以O为圆心，5为半径的圆．03 新课讲授例1 (教材P80例1)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点(即圆心)的距离相等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD.∴OA＝OC＝OB＝OD.∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上(如图)．例2 (教材P80例1的变式)△ABC中，∠C＝90°.求证：A，B，C三点在同一个圆上．【解答】证明：如图，取AB的中点O，连接OC. ∵在△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴OC＝OA＝OB＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∴A，B，C三点在同一个圆上．【跟踪训练1】(例1的变式题)(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：(1)作图略．(2)矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？例3 已知⊙O的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0d≤4．【点拨】直径是圆中最长的弦．例4 在⊙O中，若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB 的形状是等边三角形．【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．【跟踪训练2】如图，点A，B，C，D都在⊙O 上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．04 巩固训练1．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．2．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数为2．3．(24.1.1习题)点P到⊙O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则⊙O的半径是1或【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点．若AC＝10 cm，则OD的长为5__cm．【点拨】圆心O是直径AB的中点．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，则∠A的度数为24°．【点拨】连接OB构造三角形，从而得出角的关系．05 课堂小结1．这节课你学了哪些知识？2．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？。
新人教版9年级数学上册第24章圆教案
24．1.1 圆时间：年月日课型: 新授教学目标1．知识与技能1.了解圆的有关概念，并灵活运用圆的概念解决一些实际问题．2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.2.过程与方法通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程，多角度体会和认识圆.3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的理解教学难点圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的区别与联系.教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程的有关性质，用圆的知识解决一些实际问题(一)圆的概念1．有关圆的图片欣赏2.用圆规画圆根据画圆的过程给出圆的描述性定义，及圆心、半径的概念，强调“在一个平面内”.根据圆的定义可知“圆”指的是“圆周”而非“圆面”.3.圆的表示方法和读法4.从集合角度对圆刻画○3.车轮为什么做成圆形的？ （二）弦、弧、半圆、等圆、等弧的概念1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；2.经过圆心的弦叫做直径，如图中线段AB ；3.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧， “以A 、C 为端点的弧记作AC ，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧（如图所示 AC 叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示 CAB 或BCA ）叫做劣弧4.能够重合的圆叫等圆.半径相等的圆是等圆，等圆的半径一定相等5.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧6.直径与弦的区别与联系是什么？ 、课堂训练完成课本80页练习补充：1.以点O 为圆心画圆可以画 个圆，以4㎝为半径画圆可以画 个圆2.下列说法错误的有（ ）○1经过P 点的圆有无数个；○2以P 为圆心的圆有无数个；○3半径为3㎝且过P 点的圆有无数个；○4以P 为圆心，半径为3㎝的圆有无数个； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.一个点到圆的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径是（ ）A.5或13B.6.5C.2.5D. 2.5或6.54.判断：○1直径不是弦，弦不是直径；○2直径是圆中最长的弦； ○3圆上任意两点间的部分叫弧；一条弦 5.如右图，在⊙O 中，点A,O,D 以及点B,O,C 分别在同一条直线上，则图中弦的条数是（ ）A.2条B.3条C.4条D.5条B A CO ⌒1.圆的定义：○1.描述性；○2.集合定义2.弦、弧、半圆、等圆、等弧的概念3.直径与弦的区别与联系作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.1.2 垂直于弦的直径时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.2.过程与方法1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点垂径定理及其运用教学难点发现并证明垂径定理教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径二、探究新知沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（二）、垂径定理1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相等吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 即：直径CD 垂直于弦AB 则CD 平分弦AB ，并且平分弦AB 所对的两条弧．推理验证：可以连结OA 、•OB ，证其与AE 、BE 构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧 垂径定理推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？垂径定理的进一步推广思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来归纳：只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧.”中的两个条件，就可以得到另外三个结论（三）、垂径定理、推论的应用完成课本赵州桥问题分析：1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的？2.结合所画图形思考：圆的半径r 、弦心距d 、弦长a,弓形高h 有怎样的数量关系？3.在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径，作为辅助线，这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a d r完成课本88页练习1. 垂径定理和推论及它们的应用2. 垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题3.圆中常作辅助线：半径、过圆心的弦的垂线段作业设计作业：课本94页 1，95页 9，12补充：已知：在半径为5㎝的⊙O 中，两条平行弦AB,CD 分别长8㎝，6㎝.求两条平行弦间的距离24.1.3弧、弦、圆心角时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念2. 掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用.2.过程与方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推导及其应用．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计 一、导语这节课我们继续研究圆的性质，请同学们完成下题．1.已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．2.圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？我们学过的二、探究新知一）、圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．（二）、圆心角、弧、弦之间的关系定理1.按下列要求作图并回答问题如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ‵OB ‵的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？综合1、2，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？4.定理拓展：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等吗？ ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等吗？综上得到在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等．综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．（三）、定理应用1.课本例12.如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？得到： 在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2.在等圆中相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•则它们所对应的其余各组量都分别相等，及它们的应用．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.1.4圆周角定理时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.2.过程与方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=1∠AOC吗？2②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=1∠AOC吗？2如图⑶，∠ABC=1∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．2根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？四）定理应用三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.2.1点与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.理解点与圆的位置关系并掌握其运用2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念及反证法的证明思想.2.过程与方法学生通过自主探索和交流合作的过程，经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．从三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些相关问题．3.情感态度与价值观激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望，发展实践能力与创新精神.教学重点点和圆的位置关系，过不在同一直线上的三点作圆的方法，运用反证法进行推理论证.教学难点过不在同一条直线上的三点作圆，反证法的证明思路．教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计有好多知识，这节课开始我们来学习与圆有关的位置关系在圆外取一点呢？圆内呢？．得到：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径.即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d点P在圆外⇒d>r；点P在圆上⇒d=r；点P在圆内⇒d<r反之，d>r⇒点P在圆外；d=r⇒点P在圆上；d<r⇒点P在圆内．综合可得：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r（二）确定圆的条件1.作图经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？①作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？②作圆,使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆?其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么?③作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？分析：一个圆的圆心只确定它的位置，半径只确定它的大小，如果它的圆心和半径都确定了，那么这个圆的大小和位置就唯一确定了由③可知：①不在同一直线上的三个点确定一个圆．②经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．③外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心2.反证法l 2l 1P思考：经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？证明：如图，假设过同一直线l 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线1l 上，又在线段BC 的垂直平分线2l 上，•即点P 为1l 与2l 的交点，而1l ⊥l ，2l ⊥l ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．（三）应用1.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．2.如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何问题代数方法解(数形结合法)． 三、课堂训练四、小结归纳2.不在同一直线上的三个点确定一个圆．3.三角形外接圆和三角形外心的概念．4.反证法的证明原理．作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做.24.2.2直线与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.知道直线和圆相交、相切、相离的定义.2.根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线.3.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置.2.过程与方法让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，得到“圆心到直线的距离和半径之间的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，揭示直线和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的结合.．3.情感态度与价值观让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，进一步强化对分类和归纳的思想的认识，把实际的问题抽象成数学模型.教学重点直线和圆的三种位置关系教学难点直线和圆的三种位置关系的应用教具准备：多媒体，ppt课件，课本教学方法：探究、引导、组织、合作教学过程设计一、导语我们都知道，点和圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．那么直线和圆的位置关系又怎样呢？二、探究新知（一）直线和圆的位置关系定义1.大家也许看过日出，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线的关系体现了直线和圆的几种位置关系．2.在纸片上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上推移硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？请做完实验后把你的发现互相交流一下，把结论告诉老师？在实验中我们看到，直线与圆的公共点最少时没有，最多时有两个，在移动过程中发现直线与圆的公共点有时只有一个，即直线与圆的位置关系有三种：①如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离．②如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．③如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交．此时这条直线叫做圆的割线点与圆的位置关系有三种，我们可以用点与半径的大小关系来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系也有三种（相离、相切、相交），那么能否用某种数量关系来描述直线与圆的位置关系呢？（二）直线和圆的位置关系定理1. 如何确定圆心到直线的距离？2.如图：⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d，如何用d和r之间的大小关系来判断直线与圆的位置关系?分析：当圆心O到直线l的距离d大于半径r时，直线上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线l在圆的外部，与圆没有公共点，因此当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离.反之，如果已知直线l与⊙O相离，则d＞r．即：d＞r直线与圆相离，同理可知，d＝r直线与圆相切．d＜r直线与圆相交．（三）应用例1 在△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，(1)若以C为圆心，4 cm 长为半径画⊙C，则⊙C与AB的位置关系怎样？(2)若要使AB与⊙C相切，则⊙C的半径应当是多少？(3)若要以AC为直径画⊙O，则⊙O与AB、BC的位置关系分别怎样？分析：判断⊙C与AB的位置关系应求出点C到AB的距离CD的长，然后再与半径作比较，即可求出⊙C与AB的位置关系．而要求CD 的长，可利用 △ABC 的面积，但应首先 判断 △ABC 为直角三角形？例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与线段AB 有两个交点，若AC ＝3，BC ＝4，求半径r 的取值范围例3 如图，△ABO 中，OC ⊥AB 于C ，∠AOC ＝∠B ，AC ＝16cm ，BC ＝4cm ，⊙O 的半径为8cm ，AB 是⊙O 的切线吗？试说明．三、课堂训练完成课本94页练习 四、小结归纳 直线和圆的位置关系相交 相切 相离 公共点个数2 1 0 圆心到直线的距离与半径的关系d ＜r d ＝r d ＞r 公共点的名称交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无板 书 设 计作业设计复习练习册作业和综合运用为全体学生必做；学有余力的学生拓广探索为成绩中上等学生必做..课题直线与圆有三种位置关系例1 例2 例3 归纳24.2.3圆与圆的位置关系时间：年月日课型: 新授教学目标1.知识与技能1.了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念.2.理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用．2.过程与方法通过复习直线和圆的位置关系和几何操作，迁移到圆与圆之间的五种位置关系并运用它们解决一些具体的问题．3.情感态度与价值观让学生感受到实际生活中存在的圆与圆之间的五种位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
人教版初中数学九年级上册第二十四章：圆(全章教案)
第二十四章圆本章总共分四个模块的内容．模块一：圆的有关性质；模块二：点和圆、直线和圆的位置关系；模块三：正多边形和圆；模块四：弧长和扇形面积．在对圆的初步认识的基础上，通过画圆引入圆的有关概念，通过类比点和线、线和线的位置关系学习点和圆、直线和圆的位置关系，进一步学习正多边形和圆、弧长和扇形面积，进而学会用圆的有关知识解决一些实际问题．在中考中，本章是考查的重点，主要考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆的有关计算．【本章重点】圆的有关性质、直线和圆的位置关系及与圆有关的计算．【本章难点】垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理，切线的性质和判定，切线长定理及正多边形与圆的关系．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过与点和线位置关系的类比，学习点和圆的位置关系．2．体会数形结合思想：如：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系通过“数”“形”转化；弧、弦、圆心角、圆周角的关系通过“数”“形”转化．因此，本章应突出数形结合思想，体会数形结合思想的作用．3．体会分类讨论思想：如：探究平行弦之间的距离、圆心角与圆周角的关系、与圆有关的位置关系．24.1圆的有关性质4课时24.2点和圆、直线和圆的位置关系4课时24.3正多边形和圆1课时24.4弧长和扇形面积2课时24.1圆的有关性质24.1.1圆(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的两种定义及与圆有关的概念，并能够从图形中识别．【过程与方法】通过实际操作体会圆的不同定义，数形结合理解与圆有关的概念，掌握学习几何的一些常用方法：实际操作法、数形结合法等．【情感态度与价值观】通过实际操作，体会数学中的创造与探索精神，体会圆的有关概念．二、重难点目标【教学重点】圆的有关概念．【教学难点】用集合观点定义圆．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．(2)连结圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做__圆弧__；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__.2．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦；圆中以点A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．3．什么叫等圆？什么叫等弧？解：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中正确的是________.(填序号)【互动探索】(引发学生思考)优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的有关概念可知，连结圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧．【例2】如图，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠C ＝90°，∠D ＝90°，点O 是AB 的中点．求证：A 、B 、C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上．【互动探索】(引发学生思考)要使A 、B 、C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，圆上各点到定点(圆心O )的距离有什么关系？点A 、B 、C 、D 与点O 有什么关系？【证明】连结OC 、OD .∵在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°，点O 是AB 的中点， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12AB ，∴A 、B 、C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上．【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r )．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的是__①__.(填序号)2．如图，点A 、B 、C 、E 在⊙O 上，点A 、O 、D 与点B 、O 、C 分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？解：图中有3条弦，分别是弦AB、BC、CE.3．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC、DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.证明：连结ON、OA.∵点A、N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC、DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3 cm为半径的圆有无数个，其中错误的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【互动探索】(引发学生思考)结合圆的定义，怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小．两者缺一不可．【例4】A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是()A．AB＞0B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10D．0＜AB≤10【互动探索】(引发学生思考)连结圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连结圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么？【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)圆⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧圆的集合性定义圆的有关概念⎩⎪⎨⎪⎧ 弦——直径弧⎩⎪⎨⎪⎧劣弧半圆优弧等圆等弧请完成本课时对应练习！24.1.2垂直于弦的直径(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__ ，④__AC＝BC__，⑤__AD＝BD.3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB 为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得C 是AB 的中点，D 是AB ︵ 的中点，CD 就是水深，则BC ＝12AB ＝0.3米．由题意知，OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2＝0.4米， 所以CD ＝OD －OC ＝0.1米， 即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC －CD ＝5－1＝4.∵OC ⊥AB ，∴∠ODA ＝90°，∴AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴∠OCB ＝90°，BC ＝12AB ＝8cm.又∵OB ＝10 cm ，∴OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm ，即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中CD ＝600 m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为点F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径．解：如图，连结OC .设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90)m.∵OE ⊥CD ，CD ＝600 m ，∴∠OFC ＝90°，CF ＝12CD ＝300 m ．在Rt △OFC 中， 根据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即R 2＝3002＋(R －90)2，解得R ＝545.即这段弯路的半径为545 m.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，弦CD ＝10，AB ∥CD ，求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，连结OC 、OA .由题意可知，OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ，OF ⊥CD ，∴OE ⊥AB . 又∵AB ＝24，CD ＝10， ∴AE ＝12AB ＝12，CF ＝12CD ＝5，∴EO ＝OA 2－AE 2＝5，OF ＝OC 2－CF 2＝12， ∴EF ＝OF －OE ＝7.当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，反向延长OF 交AB 于点E ，连结OC 、OA .同(1)可得，EO ＝5，OF ＝12，∴EF ＝OF ＋OE ＝17. 综上，两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【例3】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)求当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施，那么此时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？【解答】不需要采取紧急措施． 理由如下：连结OM ，设OA ＝R m.由题意知，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，CD ＝18 m ，由勾股定理，得R 2＝302＋(R －18)2，解得R ＝34. 在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，∴OE ＝OM 2－ME 2＝30 m ， ∴DE ＝OD －OE ＝4 m.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂直于弦的直径⎩⎪⎨⎪⎧圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论请完成本课时对应练习！24.1.3弧、弦、圆心角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理．【过程与方法】通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系定理．【情感态度与价值观】通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应用．二、重难点目标【教学重点】圆心角、弧、弦之间的关系定理及其应用．【教学难点】圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索和证明．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P83～P85的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．圆是中心对称图形，__圆心__就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转一个角度，所得的图形与原图形__重合__.2．顶点在__圆心__的角叫做圆心角．3．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__.(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__.(3)如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的优弧和劣弧分别__相等__.4．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，若∠AOB＝∠COD，则__AB＝CD，AB＝CD __；若AB＝CD，则__∠AOB＝∠COD，AB＝CD____；若AB ＝CD ，则__∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD __.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】如图所示，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠AOB ＝120°，C 是AB 的中点，试判断四边形OACB 的形状，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)由∠AOB ＝120°，C 是AB 的中点，可想到连结OC ，则结合弧、圆心角之间的关系可以知道什么？又同圆中半径相等，可以猜想出四边形OACB 的形状是什么？【解答】四边形OACB 是菱形． 理由如下：如图，连结OC . ∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝60°.又∵CO ＝BO ，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝BC . 同理可得，△OCA 是等边三角形，∴OA ＝AC . 又∵OA ＝OB ，∴OA ＝AC ＝BC ＝BO ， ∴四边形OACB 是菱形．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线(连结弧中点和圆心)解决问题．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．如图，在⊙O 中，已知AB ＝CD ，则AC 与BD 的关系是( A )A ．AC ＝BDB ．AC ＜BDC ．AC ＞BD D ．不确定2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，求∠BOD 的度数．解：∵BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC .又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BOD ＝23×180°＝120°.3．如图，在⊙O 中，弦AB ＝CD ，那么∠AOC 和∠BOD 相等吗？请说明理由．解：∠AOC ＝∠BOD .理由如下：∵在⊙O 中，AB ＝CD ，∴∠AOB ＝∠COD ，∴∠AOB －∠COB ＝∠COD －∠COB ，∴∠AOC ＝∠BOD .【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB .求证：AD ︵ ＝BD ︵.【互动探索】(引发学生思考)求证AD ︵ ＝BD ︵，由弧、弦、圆心角的关系定理，可以转化为证明什么？转化后的结论又应该怎样证明？【证明】如图，连结OC 、OD .∵AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ＝ON . ∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°.在Rt △OMC 和Rt △OND 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)， ∴∠COM ＝∠DON ，∴AD ︵ ＝BD ︵.【互动总结】(学生总结，老师点评)在同圆或等圆中，如果两条弧(一般同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【例3】如图，⊙O 中，已知∠AOB ＝2∠COD ，求证：2CD ＞AB .【互动探索】(引发学生思考)求证2CD ＞AB ，是比较AB 与2CD 的大小，而题中没有线段长是2CD ，无法直接比较，这就需要将2CD 进行转化或构造2CD ，再进行比较．已知∠AOB ＝2∠COD ，由弧、弦、圆心角之间的关系定理，想怎样将2CD 进行转化或构造2CD ，再想比较两边大小时的方法有哪些．【证明】如图，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连结AE 、BE ，∴AE ＝BE ， ∴∠AOE ＝∠BOE ＝12∠AOB .又∵∠AOB ＝2∠COD ， ∴∠AOE ＝∠BOE ＝∠COD ， ∴AE ＝BE ＝CD .∵在△ABE 中，AE ＋BE ＞AB ， ∴2CD ＞AB .【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意分析题中的已知条件，结合问题将条件进行转化，再求解．解本题的关键是根据∠AOB ＝2∠COD 利用垂径定理将角平分，从而将问题转化为三角形三边关系问题，进而得证．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)弧、弦、圆心角⎩⎪⎨⎪⎧圆是中心对称图形圆心角弧、弦、圆心角的关系请完成本课时对应练习！24.1.4圆周角(第4课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能解决相关问题．2．理解圆内接多边形和多边形的外接圆，掌握圆内接四边形的性质．【过程与方法】1．经历圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学方法．2．经历圆内接四边形性质的证明，引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．【情感态度与价值观】通过圆周角定理的证明向学生渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法，体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律，并在解答问题的活动中获取成功的体验，建立学好数学的信心．二、重难点目标【教学重点】圆周角的概念，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质．【教学难点】探究并论证圆周角定理及其推论．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P85～P88的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．顶点在__圆上__，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__.3. 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角__相等__ ；半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__.4．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的外接圆．5．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角__互补__.环节2合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝110°.若点P 为AB ︵上，求∠P 的度数．【互动探索】(引发学生思考)求∠P 的度数，题中只知道∠C 的度数，两者有什么关系吗？可以转化为求什么？由⊙O 的内接四边形ABCD 可以得到什么？这与求∠P 的度数有什么关系？【解答】如图，连结BD .∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠BAD ＋∠C ＝180°， ∴∠BAD ＝180°－∠C ＝70°. 又∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝12(180°－∠BAD )＝55°.∵四边形APBD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠P ＋∠ADB ＝180°， ∴∠P ＝180°－∠ADB ＝125°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，题中可以多次运用圆内接四边形的性质．【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点(在直径AB 的同一侧)，且BC ︵＝CD ︵，弦AC 、BD 相交于点P ，如果∠APB ＝110°，求∠ABD 的度数．【互动探索】(引发学生思考)求∠ABD 的度数，∠ABD 在△ABP 中，又∠APB ＝110°，此时想到什么？已知AB 是⊙O 的直径，BC ︵ ＝CD ︵结合圆周角定理及其推论，可以求出哪些角？【解答】如图，连结CD 、CB . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠APB ＝∠DPC ＝110°，∴∠CBD ＝∠DPC －∠ACB ＝20°. ∵BC ︵ ＝CD ︵，∴∠CBD ＝∠CAB ＝20°， ∴∠ABD ＝180°－∠APB －∠CAB ＝50°.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等求出∠CAB 的度数．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为( C ) A ．25° B ．50° C ．25°或155°D ．50°或130°【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧． 2．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为__70°__.3．如图，A 、B 、C 为⊙O 上的任意三点，若∠BOC ＝100°，则∠BAC 的度数为__130°__.【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解． 4．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝25°，求∠BAD 的度数．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠ACD ＝25°，∴∠B ＝∠ACD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝6 cm ，∠DAC ＝2∠B ，求AC 的长．解：如图，连结OC .∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝∠DAC ，∴AO ＝AC .又∵OA ＝OC ，∴AO ＝AC ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴AC ＝AO ＝12AD ＝3 cm.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，△ABC 内接于⊙O ，AF 是⊙O 的弦，AF ⊥BC ，垂足为点D ，点E 为BF 上一点，且BE ＝CF .(1)求证：AE 是⊙O 的直径；(2)若∠ABC ＝∠EAC ，AE ＝8，求AC 的长．【互动探索】(引发学生思考)(1)要证明AE 是⊙O 的直径，结合圆周角定理的推论可以转化为证明什么？怎样进行证明？(2)要求AC 的长，求线段长的方法有哪些？题中只给出了AE 的长，AC 的长怎样和AE 建立关系？先从哪儿入手呢？【解答】(1)证明：∵BE ＝CF ，∴∠BAE ＝∠CAF . ∵AF ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°， ∴∠F AD ＋∠ACD ＝90°.又∵∠E ＝∠ACB ，∴∠E ＋∠BAE ＝90°， ∴∠ABE ＝90°，∴AE 是⊙O 的直径． (2)如图，连结OC . ∵∠ABC ＝∠CAE ，∴AC ︵ ＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠EOC . 由(1)知，AE 是⊙O 的直径， ∴∠AOC ＝∠EOC ＝90°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等腰直角三角形． ∵AE ＝8，∴AO ＝CO ＝12AE ＝4，∴AC ＝4 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，也可以逆向思考，即由所求结论和问题出发，看由结论和问题可以推出什么，再结合已知条件进行证明或求解，从而使问题得到解决．【例4】如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且∠BAC ＝20°，AD ＝CD .请连结线段BC ，求四边形ABCD 各内角的度数．【互动探索】(引发学生思考)求四边形ABCD 各内角的度数，由AB 是半圆的直径，且∠BAC ＝20°，想到圆周角定理及其推论，由此可以求出哪些角的度数？又由题可知，四边形ABCD 是圆的内接四边形，由此可以推出什么？【解答】如图，连结BC .∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠BAC ＝20°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝70°. ∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°. ∵AD ︵ ＝CD ︵，∴∠DAC ＝∠DCA ＝12(180°－∠D )＝35°，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝55°，∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝125°. 即四边形ABCD 各内角的度数为55°，70°，125°，110°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合运用了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质．解题时，要仔细审题，明确已知条件和所求问题，一步一步进行推导和计算，做到有理有据．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 圆周角⎩⎪⎨⎪⎧圆周角定理圆周角定理的推论圆内接四边形请完成本课时对应练习！24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．了解点和圆的三种位置关系，掌握点到圆心的距离与半径之间的关系．2．掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆．3．了解反证法的意义，会用反证法进行简单的证明．【过程与方法】1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．【情感态度与价值观】1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．二、重难点目标【教学重点】1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆和外心．【教学难点】反证法的应用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d＜r__.2．已知⊙O的直径为5，若PO＝5，则点P与⊙O的位置关系是__点P在⊙O外__.3．过已知点A，可以作__无数__个圆；过已知点A、B，可以作__无数__个圆；过不在同一条直线上的三点，可以作__一__个圆．4．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．5．锐角三角形的外心在三角形__内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圆有__一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．6．用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论__不成立__；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出__矛盾__；(3)由__矛盾__判定假设__不正确__，从而得到原命题成立．环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生对学)【例1】如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A、B、C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝53，问A、B、C三点与⊙O的位置关系如何？【互动探索】(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径的大小关系．【解答】∵OA＝OD2＋AD2＝62<10，∴点A在⊙O内．∵OB＝OD2＋BD2＝10，∴点B在⊙O上．∵OC＝OD2＋CD2＝111＞10，∴点C在⊙O外．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小．同时注意垂径定理和勾股定理的应用．【例2】用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”．【互动探索】(引发学生思考)用反证法证明命题的步骤是什么？其中最关键的又是哪一步？【解答】假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A＋∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确．即一个三角形中不可能有两个角是钝角．【互动总结】(学生总结，老师点评)用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键，从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．已知⊙O 的直径为8 cm ，点A 与O 距离为7 cm ，试判断点A 与⊙O 的位置关系． 解：∵⊙O 的半径为4 cm,4＜7，∴点A 在⊙O 外．2．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)．解：在圆上任取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可．3．已知：a 、b 、c 三条直线，a ∥c ，b ∥c ，求证：a ∥b .证明：如图，假设a 与b 相交于点M ，则过M 点有两条直线平行于直线c ，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a ∥b .【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，CB ＝8，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、D 、C 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连结DE .(1)求证：AC ＝AE ； (2)求△ACD 外接圆的直径．【互动探索】(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些？结合图形，适宜用哪种方法？看到∠ACB ＝90°，结合图形能得到哪些结论？对于求直径又该使用哪种方法？【解答】(1)证明：∵∠ACB ＝90°，且∠ACB 为⊙O 的圆周角，∴AD 为⊙O 的直径， ∴∠AED ＝90°，∴∠ACB ＝∠AED . ∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∴∠CAD ＝∠EAD ，∴CD ＝DE ，在Rt △ACD 与Rt △AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，CD ＝ED ，∴△ACD ≌△AED (HL)，∴AC ＝AE . (2)∵AC ＝6，BC ＝8，。
人教版数学九年级上册第二十四章圆单元教学设计
（2）判断以下图形中圆与直线、圆与圆的位置关系：
A.两个半径分别为3cm和5cm的圆。
B.一个半径为4cm的圆与一条直线。
2.提高拓展题：
（1）在草稿纸上画一个半径为6cm的圆，并标出圆心、半径、直径、弧、弦、切线等元素。
（2）解决12m的圆形花坛，请你计算花坛的面积，并设计一条小路围绕花坛，小路的宽度为1m。
2.学生分享自己的学习心得和收获。
3.教师总结：本节课我们学习了圆的相关知识，希望大家能够将这些知识运用到生活实际中，解决实际问题。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请运用圆的周长和面积公式，计算以下问题：
A.半径为5cm的圆的周长和面积。
（2）提高题：涉及圆与直线、圆与圆的位置关系，提高学生的几何推理能力。
（3）拓展题：结合实际情境，培养学生解决复杂问题的能力。
7.注重课堂小结，引导学生总结本节课的知识点，提高学生的归纳总结能力。
8.强化课后反馈，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导，确保每个学生都能掌握本章节内容。
在教学过程中，教师要关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在积极参与中提高数学素养。同时，注重培养学生的团队合作精神，提高他们的人际沟通能力，为学生的全面发展奠定基础。
（3）在本节课的学习中，你觉得有哪些收获和不足？
请同学们按时完成作业，并认真检查，确保解题过程清晰、答案准确。通过作业的完成，希望大家能够进一步巩固圆的知识，提高解决问题的能力。同时，鼓励同学们在课后阅读和思考中，积极探索数学的奥秘。教师将根据作业情况，给予针对性的指导和反馈，助力学生成长。
人教版九上数学第24章 圆 24.1.1圆 教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆教案【教学目标】知识与技能：1．认识圆，理解圆的本质属性；2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系；3．利用圆的有关概念进行简单的证明和计算．过程与方法：掌握点和圆的三种位置关系．使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．情感态度与价值观：初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．使学生真正体验到数学知识来源于实践，反过来指导实践这一理论．【教学重点】1．与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系；2．点和圆的三种位置关系．【教学难点】理解圆的本质属性，用集合的观点定义圆．【教学过程设计】一、情境导入在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、新知探究知识点：圆的有关概念【类型一】圆的有关概念的理解例1直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【类型二】点和圆的三种位置关系若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式：点在圆内⇔d＜r点在圆上⇔d＝r点在圆外⇔d＞r这时教师讲清“⇔”符号的组哟用和圆的表示方法.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．接下来为了巩固定义，师生共同分析例1．例2求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．解析：∵AC＝BD ∴21AC＝21BD即OA＝OC＝OB＝OD∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．方法总结：求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上，对于这个问题不是教师讲怎么做，而是引导学生分析这个命题的题设和结论，然后启发学生思考分析这一问题的证明思路．【类型三】圆中有关线段的证明例3如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”、“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论．证明：∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，....OBAC∴OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，∴OC ＝OD .又∵∠O ＝∠O ，∴△AOD ≌△BOC (SAS)，∴BC ＝AD .方法总结：“同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．【类型四】圆中有关角的计算例3 CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E .已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．解析：要求∠AOC 的度数，由图可知∠AOC ＝∠C ＋∠E ，故只需求出∠C 的度数，而由AB ＝2DE 知DE 与⊙O 的半径相等，从而想到连接OD 构造等腰△ODE 和等腰△OCD .解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，OC ，OD 是⊙O 的半径，AB ＝2DE ，∴OD ＝DE ，∴∠DOE ＝∠E ＝18°，∴∠ODC ＝∠DOE ＋∠E ＝36°.∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠ODC ＝36°，∠AOC ＝∠C ＋∠E ＝36°＋18°＝54°.三、教学小结1.圆的两种定义：动态：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形．2.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径：经过圆心的弦叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.1 圆1.圆有关概念的认识2.点和圆的三种位置关系3.圆中有关线段的证明4.圆中有关角的计算【课堂检测】1．圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”决定圆的位置，决定圆的大小。
新人教版九年级数学上册第二十四章圆教学设计
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学习目标1.理解圆的两种定义形式.2.理解与圆有关的一些概念.学习过程设计一、设计问题,创设情境活动1:观察图形,从中找到共同特点.二、信息交流,揭示规律(一)圆活动2:1.画圆2.圆的定义:归纳:圆心是确定圆在平面内的的,半径是确定圆的的,所以,圆是由和两个要素确定的.圆有个圆心,条半径,同一个圆中所有的都相等.活动3:结合定义,师生共同讨论以下几个问题:(1)篮球是圆吗?为什么?(2)以3厘米为半径的圆,能画出几个?为什么?(3)以点O为圆心画圆,能画几个?为什么?(4)在圆的定义中,为什么要强调“另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆”?不是端点行吗?(5)反过来,平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗?3.从画圆的过程可以看出:(1)圆上各点到的距离都等于.(2)到定点的距离等于定长的点都.因此,圆心为O,半径为r的圆可以看成是的点的集合.活动4:讨论圆中相关元素的定义:(二)与圆有关的概念:(画图,结合图形说明)1.弦:.直径:.思考:直径是不是弦?弦是不是直径?答:.2.弧:.半圆:.由此可知:弧可分为三类,大于半圆的弧叫,小于半圆的弧叫,还有半圆.3.等圆:能够重合的圆.等圆的半径.4.同心圆:圆心相同,半径不同的圆.请你画出来:5.等弧:.思考:长度相等的两条弧是否是等弧?为什么?答:等弧只能出现在或中.三、运用规律,解决问题活动5:1.在现实生活中,许多物体给我们以圆的形象,同学们想一想,为什么车轮要做成圆形的,如果是椭圆的或其他形状可以吗?2.判断(1)直径是弦,弦也是直径.()(2)半圆是弧,弧也是半圆.()(3)同圆的直径是半径的2倍.()(4)长度相等的弧是等弧.()(5)等弧的长度相等.()(6)过圆心的直线是直径.()(7)直径是圆中最长的弦.()四、变式训练,深化提高活动6:1.如何在操场上画一个半径是5 m的圆?说出你的理由.2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树生长的年龄.如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?3.如图,正方形OCEF的顶点E在☉O上,求半圆的直径AB.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境活动1:都有圆形.二、信息交流,揭示规律(一)圆活动2:1.2.在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.归纳:位置大小圆心半径1无数半径活动3:(1)不是圆必须是“在同一个平面内”.(2)无数个.圆心不固定.(3)无数个.半径不定.(4)强调端点意在说明:圆上各点到圆心O(定点)的距离都等于线段OA的长(定长).如果不是定长,就可能得到一个别的图形.(5)都在圆上.3.(1)圆心半径(2)在圆上到圆心O的距离等于半径r活动4:(二)1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦直径:经过圆心的弦叫做直径思考:直径是弦,弦不是直径2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆优弧劣弧3.相等4.略5.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧不是,因为必须在同圆或等圆中相等的弧才是等弧等圆同圆三、运用规律,解决问题活动5:1.车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面上滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此当车辆在平坦的路上行驶时,坐车的人会感觉到非常平稳;如果做成其他形状,比如正方形,正方形的中心距离地面的距离随着椭圆的滚动而改变,因此中心到地面的距离就不是保持不变,因此不稳定.2.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×(7)√四、变式训练,深化提高活动6:1.可以用一条长5 m的绳子,将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈.B所经过的路径就是所要的圆.2.解:树干的半径是23÷2=11.5(cm).平均每年半径增加11.5÷20=0.575(cm).3.解:在正方形OCEF中,OC=CE=1,∵OE2=OC2+CE2,∴OE==,∵OE=OB=OA,∴AB=2.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径学习目标1.掌握垂径定理及相关结论.2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:你知道赵州桥吗?它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?二、信息交流,揭示规律活动1:用你手中的一个圆形纸片,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动2:如图1,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.图1(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?相等的线段:相等的弧:由此可得垂径定理:.请结合图形,写出它的推理形式.∵∴若将问题中的直径CD⊥AB改为CD平分AB,你又能得到结论:(图中弦AB是否可为直径?)请结合图形,写出它的推理形式.∵∴三、运用规律,解决问题活动3:1.在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧.2.填空(1)如图(1),半径为4 cm的☉O中,弦AB=4 cm,那么圆心O到弦AB的距离是.(2)如图(2),☉O的直径为10 cm,圆心O到弦AB的距离为 3 cm,则弦AB的长是.(3)如图(3),半径为2 cm的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是.3.解决求赵州桥拱半径的问题.四、变式训练,深化提高活动4:1.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?2.通过本节课的学习,你能编一道用垂径定理来解决的数学问题吗?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境略二、信息交流,揭示规律活动1:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.图2活动2:(1)是轴对称图形,对称轴是CD.(2)AM=BM;=,=.如图(2)所示,连接OA,OB.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,=,=.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵CD是直径,AM=BM,∴CD⊥AB,=,=.三、运用规律,解决问题活动3:1.解:上面三个图可以找到相等的线段或相等的圆弧.2.(1)2 cm(2)8 cm(3)2 cm3.解:在图中AB=37,CD=7.23,OD=OC-CD=R-7.23,AD=AB=×37=18.5,在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2,解得:R≈27.3(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.四、变式训练,深化提高活动4:1.解:如图所示,连接OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,则AE=AB=30 cm.令☉O的半径为R,则OA=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50 cm.即修理人员应准备内径为100 cm的管道.2.略五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标理解弧、弦、圆心角之间的关系,并运用这些关系解决有关的证明、计算问题.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.圆是轴对称图形,其对称轴是.圆还是对称图形,其对称中心是.2.圆绕旋转度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.二、信息交流,揭示规律1.圆心角:顶点在的角,叫圆心角.2.探究:(1)如图,☉O中∠AOB=∠A'OB',则AB A'B',.(2)如图,☉O中=,则∠AOB ∠A'OB',AB A'B'.(3)如图,☉O中AB=A'B',则∠AOB ∠A'OB',.文字语言叙述:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的弧.符号语言:如上图(1)∵∠AOB=∠A'OB',∴,.(2)∵=,∴,;(3)∵AB=A'B',∴,.3.反例:在图中,∠AOB=∠A'OB',但弦AB和A'B'相等吗?和相等吗?三、运用规律,解决问题【例1】如图:在☉O中,弧=,∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.【例2】如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.【例3】如图,在☉O中,AD=BC,比较与的大小.,并证明你的结论.四、变式训练,深化提高为建设我们美丽的校园,学校准备把圆形花坛的外沿分成相等的三部分, 每部分用不同颜色的花砖砌成,请你用所学知识帮助设计一种施工方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.直径所在的直线中心对称圆心2.圆心任意角二、信息交流,揭示规律1.圆心2.(1)= = (2)= = (3)= = 相等相等相等相等相等相等(1)AB=A'B' = (2)∠AOB=∠A'OB' AB=A'B' (3)= ∠AOB=∠A'OB'3.不相等;不相等.三、运用规律,解决问题【例1】证明:∵=,∴AB=AC,△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB=∠AOC=∠BOC.【例2】解:∵==,∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°,∴∠AOE=180°-∠COB-∠COD-∠DOE=75°.【例3】解:∵AD=BC,∴=,∴+=+,∴=.四、变式训练,深化提高做三个相等的圆心角各120°,三个角所对的弧相等.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角(第1课时)学习目标1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.2.初步运用圆周角定理解决相关问题.3.渗透分类讨论思想.学习过程设计一、设计问题,创设情境什么叫圆心角?在图1中画出所对的圆心角,能画几个?图1二、信息交流,揭示规律(一)圆周角定义1.定义:叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是.2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个?(二)探究1:1.根据圆周角与圆心的位置关系可将圆周角分为几类?在下图中画出所对的圆周角.2.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .3.尝试证明你的发现.归纳:圆周角定理:.在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?(三)探究2:在图中画出直径AB所对的圆周角,你有什么发现?归纳:圆周角定理的推论:.三、运用规律,解决问题1.如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?2.如图,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于D,求BC,AD,BD 的长.四、变式训练,深化提高已知在一个圆形博物馆的墙壁周围安装电子监视仪,若每只监视仪最大监视视角为30°,要使博物馆室内每一个角落都能监视到,你认为至少要安装多少个监视仪?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境顶点在圆心的角叫做圆心角.1个.二、信息交流,揭示规律(一)1.顶点在圆上,两边都与圆相交的角 E2.无数个.(二)1.三类.画图略2.同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半3.证明:证法1:∵OA=OC,∴∠A=∠C,又∵∠BOC=∠A+∠C,∴∠BOC=2∠A,即∠A=∠BOC.证法2:作射线AO交☉O于点D.由第1种情况得∠BAD=∠BOD,∠CAD=∠COD,∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD,即∠BAC=∠BOC.证法3:作射线AO交☉O于点D,由第1种情况得∠CAD=∠COD,∠BAD=∠BOD,∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BOD,即∠BAC=∠BOC.归纳:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.=∠AOB相等;因为同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半,圆周角相等,圆心角就相等,圆心角所对的弧就相等.(三)画图略.直径AB所对的圆周角都是直角;同弧或等弧所对的圆周角相等,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.三、运用规律,解决问题1.∠1=∠4;∠2=∠7;∠3=∠6;∠5=∠8.2.解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.在Rt△ABC中,BC===8.∵CD平分∠ACB,∴=,∴AD=BD.又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴AD=BD=AB=×10=5(cm).四、变式训练,深化提高6个.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角(第2课时)学习目标1.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.2.了解直角三角形的一种判定方法.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.如图,AB是☉O的直径,C为圆上一点,则∠ACB= .2.如图,点A,B,C,D是☉O上的点,若∠BOD=100°,则∠A= ,∠C= .二、信息交流,揭示规律如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做这个.问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆, 猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.由此得出圆内接四边形的性质: .三、运用规律,解决问题1.四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A与∠C是一对对角,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .2.☉O的内接四边形ABCD中,∠A,∠C是一对对角,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D= .问题2:如图,CD是△ABC的中线,且CD=AB.求证:∠ACB=90°.由此得直角三角形的判定方法:如果三角形,那么这个三角形是.四、变式训练,深化提高1.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠BOD=110°,则∠C= .2.☉O中,∠AOB=110°,则弦AB所对的圆周角的度数为.3.☉O的内接四边形ABCD中∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是()A.1∶2∶3∶4B.4∶1∶3∶2C.4∶3∶1∶2D.4∶1∶2∶44.已知,▱ABCD是☉O的内接四边形,求证:▱ABCD是矩形.课堂小结1.圆内接四边形的性质: .2.直角三角形的判定方法:.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.90°2.50°130°二、信息交流,揭示规律圆的内接多边形多边形的外接圆问题1:∠A+∠C=180°;∠B+∠D=180°圆的内接四边形对角互补三、运用规律,解决问题1.70°100°2.90°问题2:证明:∵在△ABC中,CD是AB边上的中线,∴AD=BD.又∵CD=AB,∴AD=BD=CD,∴A,B,C在以点D为圆心,AB为直径的圆上.∴∠ACB=90°.一边上的中线等于这条边的一半直角三角形四、变式训练,深化提高1.125°2.55°或125°3.C4.证明:∵▱ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,在▱ABCD中,∠A=∠C,∴∠A=∠C=90°,∴▱ABCD是矩形.课堂小结略五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系学习目标1.理解点和圆的三种位置关系及判定方法,能熟练地运用判定方法判定点与圆的位置关系.2.掌握不在同一直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆.学习过程设计一、设计问题,创设情境问题:我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得了荣誉.右图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?二、信息交流,揭示规律1.点P与☉O有哪几种位置关系?画图说明.2.点P到圆心O的距离为d,根据每种位置关系比较☉O的半径r与d的数量关系.当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r;当点P在圆时,d r.3.结合画图说明:设点P到圆心O的距离为d,☉O的半径为r,若d>r,则点P在圆;若d=r,则点P在圆;若d<r,则点P在圆;归纳:①点P在⇔d r;②点P在⇔d r;③点P在⇔d r.练习:1.已知圆的半径等于5厘米,点到圆心的距离是:A.8厘米B.4厘米C.5厘米请你分别说出点与圆的位置关系.2.如图,已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米.(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B,C,D与圆A的位置关系如何?4.画图探究:图1图2(1)如图1,经过已知点A作圆,这样的圆你能作出多少个?(2)如图2,经过已知点A,B作圆,这样的圆你能作出多少个?它们的圆心分布有什么特点?(3)经过三点作圆①当点A,B,C在同一条直线上时,过这三点能否作圆?②当点A,B,C不在同一条直线上时,过这三点能否作圆?如果能,指出圆心位置.这样的圆能作出多少个?小结:(1)经过一点可以作个圆;经过两点可以作个圆,它们的圆心在上.(2)个点确定一个圆.(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,这个三角形叫做圆的,圆心叫做三角形的.练习:画出以下几个三角形的外接圆归纳:锐角三角形外心在三角形部;钝角三角形外心在三角形部;直角三角形外心在.三、运用规律,解决问题(一)判断题:1.过三点一定可以作圆()2.三角形有且只有一个外接圆()3.任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形()4.三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点()5.三角形的外心到三边的距离相等()(二)思考:如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心.(三)如何解决“破镜重圆”的问题四、变式训练,深化提高1.思考:任意四个点是不是可以作一个圆?请举例说明.2.为美化校园,学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池,在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树(A,B,C),若不动花树,还要建一个最大的圆形喷水池,请设计你的实施方案.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境两种.二、信息交流,揭示规律1.三种.P的三种位置如图A,B,C2.外> 上= 内<3.外上内归纳:①圆外> ②圆上= ③圆内<练习1:A.圆外、B.圆内、C.圆上.2.(1)B在圆上,D在圆外,C在圆外,(2)B在圆内,D在圆上,C在圆外,(3)B在圆内,D在圆内,C在圆上.4.(1)无数个.(2)无数个;经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.(3)①不能.②能.不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心在AB,AC,BC三条线的垂直平分线的公共交点上.小结:略练习:略三、运用规律,解决问题(一)1.×2.√3.×4.√5.×(二)因为A,B两点在圆上,所以圆心必与A,B两点的距离相等,又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以圆心在CD所在的直线上,因此可以作任意两条直径,它们的交点为圆心.(三)四、变式训练,深化提高1.(1)四点在一条直线上时不能作圆;(2)三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;(3)四点中任意三点不在一条直线上有可能作出圆也可能作不出一个圆.2.作三角形ABC的外接圆.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第1课时)学习目标1.理解直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系.2.掌握它们的判定方法.学习过程设计一、设计问题,创设情境活动1:1.点与圆有几种位置关系?2.怎样判定点和圆的位置关系?活动2:你能根据直线和圆的公共点个数想象一下,直线和圆有几种位置关系吗?二、信息交流,揭示规律活动3:(1)直线和圆的公共点个数的变化情况如何?公共点个数最少时有几个?最多时有几个?(2)通过刚才的研究,你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型?1.判断下列直线和圆的位置关系.2.判断下列说法正确与否(1)直线与圆最多有两个公共点.()(2)若C为☉O上的一点,则过点C的直线与☉O相切.()(3)若A,B是☉O外两点,则直线AB与☉O相离.()(4)若C为☉O内一点,则过点C的直线与☉O相交.()活动4:议一议对比点和圆的位置关系的判定方法,是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系?三、运用规律,解决问题活动5:如图,∠AOB=30°,P为OB上一点,且OP=5 cm,以P为圆心,以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么?①R=2 cm;②R=2.5 cm;③R=4 cm.2.填表四、变式训练,深化提高1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,以点C为圆心,r为半径作圆.(1)当r满足时,直线AB与☉C相离;(2)②当r满足时,直线AB与☉C相切;(3)当r满足时,直线AB与☉C相交;(4)当r满足时,线段AB与☉C有且只有一个公共点.2.试着编一道直线与圆位置关系的题目,使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境活动1:1.3种2.(1)点到圆心的距离大于半径时,点在圆外.(2)点到圆心的距离等于半径时,点在圆上.(3)点到圆心的距离小于半径时,点在圆内.活动2:直线和圆有三种位置关系.二、信息交流,揭示规律活动3:(1)一开始没有公共点,到有一个公共点,然后有两个公共点;0;2(2)3种1.相离;与☉O1相离,与☉O2相交;相切;相交.2.(1)√(2)×(3)×(4)√活动4:利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.三、运用规律,解决问题1.解:过点P作PM⊥OA于点M.在Rt△OMP中,∠AOB=30°,OP=5 cm∴PM=2.5 cm.(1)R=2 cm,∵2<2.5,∴☉P与OA相离.(2)R=2.5 cm,∵2.5=2.5,∴☉P与OA相切.(3)R=4 cm,∵4>2.5,∴☉P与OA相交.2.位置关系公共点个四、变式训练,深化提高1.(1)0<r< (2)r= (3)r> (4)r=或5<r≤122.略五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第2课时)学习目标1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.圆的直径是15 cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5 cm,(2)7.5 cm,(3)15 cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1),(2),(3);直线和圆的公共点的个数依次是,,.2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?二、信息交流,揭示规律1.切线的判定定理的得出:作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是;(2)直线l和☉O的位置关系是.归纳:切线的判定定理:经过并且的直线是圆的切线.请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.()(2)与半径垂直的直线是圆的切线.()(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:(1);(2);(3) .三、运用规律,解决问题1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.3.已知点O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于点D,以O为圆心,OD为半径作☉O.求证:☉O 与AC相切.课堂小结若证直线是圆的切线,1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.四、变式训练,深化提高1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.2.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①;②.(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.相交相切相离2102.(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.二、信息交流,揭示规律1.(1)r (2)相切半径的外端垂直于半径∵OA是半径,l⊥OA于点A∴l是☉O的切线.判断:(1)×(2)×(3)×2.总结:(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、运用规律,解决问题1.略2.证明:连接OC(图略).∵在△OAB中,OA=OB,CA=CB,∴AB⊥OC于C.∵OC是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.3.证明:过O作OE⊥AC于点E(图略).∵AO平分∠BAC,OD⊥AB,∴∠DAO=∠CAO,∠ADO=∠AEO=90°,又∵AO=AO,∴△ADO≌△AEO,∴OE=OD,即圆心O到AC的距离d=r,∴AC是☉O的切线.课堂小结:1.这点和圆心直线垂直于经过这点的半径2.圆心直线的垂线段这条线段的长等于圆的半径四、变式训练,深化提高1.证明:过点O作OF⊥AB于点F∵AB=AC,AO⊥BC,∴AO平分∠BAC,又∵OE⊥AC,OF⊥AB,∴OE=OF,∴AB是☉O的切线.2.(1)AB⊥EF ∠CAE=∠B(2)证明:过点O作直径AD,连接DC.∵=,∴∠D=∠B.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°,即∠CAD+∠B=90°.又∵∠CAE=∠B,∴∠CAD+∠CAE=90°,∴OA⊥EF,∴EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼略第二十四章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第3课时)学习目标1.理解切线的性质定理内容和推出过程.2.会用切线的性质定理证明.学习过程设计一、设计问题,创设情境作图1:过☉O外一点P作直线.作图2:若点A为☉O上的一点,如何过点A作☉O的切线?二、信息交流,揭示规律如图,如果直线AB是☉O的切线,切点为点C,那么半径OC与直线AB是不是一定垂直呢?(用反证法说明)归纳:圆的切线的性质:符号表示:∵∴三、运用规律,解决问题1.如图,AB是☉O的直径,直线l1,l2是☉O的切线,A,B是切点,l1与l2有怎样的位置关系?证明你的结论.2.如图,以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,求证:AP=BP.四、变式训练,深化提高1.如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为点D,求证:AC平分∠DAB.2.如图,BC切☉O于点B,AB为☉O的直径,弦AD∥OC.求证:CD是☉O的切线.。
人教版九年级数学上册24、圆(教案)
一、教学内容
人教版九年级数学上册24、圆：
1.圆的基本概念：圆心、半径、直径、弦、弧、扇形；
2.圆的性质：半径相等、直径垂直、弦平分半径、弧相等、圆周角定理；
3.圆的周长和面积：圆周长公式C=2πr，圆面积公式S=πr²；
4.圆的位置关系：相切、相交、内含、外离；
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、周长和面积公式、圆的性质以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对圆的基本概念掌握得还算不错，大多数同学能够迅速理解圆心、半径、直径等定义。然而，当涉及到圆的方程和位置关系时，明显感到有一部分学生开始感到困惑。这让我意识到，这些知识点是学生们理解的难点，需要在今后的教学中加以重视和反复巩固。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的周长和面积的计算。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量硬币的直径和周长，计算其面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分Fra bibliotek）2.教学难点
-圆的方程：圆的标准方程和一般方程是学生理解的难点，尤其是如何从实际问题中抽象出圆的方程。
-圆的位置关系：在实际问题中判断两个圆的位置关系，学生可能会感到困惑，如何运用所学知识进行准确判断。
-实际问题中的圆的计算：将圆的知识应用于解决实际问题，如求一段弧的长度、扇形的面积等，学生可能会在应用上遇到困难。
人教数学九年级上册第二十四章24.1.1圆教学设计
3.增强动手操作能力，提高实践应用能力，为将来的学习和工作打下基础。
4.树立正确的价值观，认识到数学知识在解决实际问题中的价值，增强社会责任感。
5.培养勇于探索、积极进取的精神，面对困难和挑战，保持乐观向上的态度。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何图形认识和操作能力，对圆的概念也有初步的了解。在此基础上，他们对本章节的学习将面临以下挑战：首先，对圆的性质和计算方法的理解需要进一步深化，尤其是圆周率的概念和运用。其次，在实际问题中运用圆的相关知识解决问题时，学生可能需要提高将理论知识与实际情境相结合的能力。此外，学生的动手操作能力和几何直观思维能力也需加强。因此，在教学过程中，应关注学生的个体差异，通过设置不同难度的任务，使每位学生都能在原有基础上得到提高，激发他们的学习兴趣和自信心，为今后的数学学习打下坚实基础。
（2）准备圆规、直尺等教学工具，便于学生动手操作。
2.课堂教学：
（1）导入：通过展示生活中的圆形物体，引导学生发现圆的特点，激发学习兴趣。
（2）新授：采用直观演示和动手操作相结合的方式，让学生掌握圆的性质、画圆方法以及圆周率的运用。
（3）巩固：设计具有代表性的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.学生在规定时间内完成练习题，教师对学生的解答进行批改和反馈，针对共性问题进行讲解。
3.提高。
（五）总结归纳
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结圆的性质、画圆方法、圆周率的运用等知识点。
2.强调圆在实际生活中的重要性，鼓励学生在生活中多观察、多思考，将所学知识运用到实际中。
3.难点突破策略：
（1）开展小组合作学习，让学生在讨论交流中共同解决问题，提高几何直观思维能力。
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九年级数学上册第24章圆教案（共23套新
人教版）
第二十四章圆
1圆的有关性质
1.1圆
※教学目标※
【知识与技能】
探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别.
【过程与方法】
体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．
培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
【情感态度】
在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．
【教学重点】
圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．
【教学难点】
圆的集合定义方法．
※教学过程※
一、情境导入
观察下列图形，从中找出共同特点．
学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．
二、探索新知
圆的定义
观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定：
在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．
同时从圆的定义中归纳：
圆上各点到定点的距离都等于定长；
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
于是得到圆的第二定义：所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．
思考为什么车轮是圆的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
圆的有关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径．
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧.
三、巩固练习
如何在操场上画一个半径是5的圆？说出你的理由.
你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23c,这棵红杉树的半径平均每年增加多少?
如图,一根5长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域.
答案：1.首先确定圆心,然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.
23÷2÷20=0.575,故这棵红衫树的半径每年增加
0.575c.
四、归纳小结
师生共同回顾圆的两种定义，弦，弧，等圆等知识点．通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题24.1中选取．
※教学反思※
本节课是从学生感受生活中圆的应用开始，到通过学生动手画圆，培养学生动手、动脑的习惯，在操作过程中观察圆的特点，加深对所学知识的认识吗，并运用所学知识解决实际问题，体验应用知识的成就感，激发他们的学习兴趣.24．1.1 圆
01
教学目标
．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．
．理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．
02
预习反馈
阅读教材P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．
．如图，在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．2．圆心为o、半径为r 的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．
．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
．以点A为圆心，可以画无数个圆；以已知线段AB的长为半径，可以画无数个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画1个圆．
【点拨】确定圆的两个要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
．到定点o的距离为5的点的集合是以o为圆心，5为半径的圆．
03
新课讲授
例1 矩形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o.求证：A，B，c，D四个点在以点o为圆心的同一个圆上．
【思路点拨】要求证几个点在同一个圆上，即需要证明这几个点到同一个点的距离相等．
【解答】证明：∵四边形ABcD为矩形，
∴oA＝oc＝12Ac，oB＝oD＝12BD，Ac＝BD.
∴oA＝oc＝oB＝oD.
∴A，B，c，D四个点在以点o为圆心，oA为半径的圆上．
例2 △ABc中，∠c＝90°.求证：A，B，c三点在同一个圆上．
【解答】证明：如图，取AB的中点o，连接oc.
∵在△ABc中，∠c＝90°，
∴△ABc是直角三角形．
∴oc＝oA＝oB＝12AB．
∴A，B，c三点在同一个圆上．
【跟踪训练1】在图中，画出⊙o的两条直径；
依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．
解：作图略．
矩形．理由：因为该四边形的对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．
【思考】由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？
例3 已知⊙o的半径为2，则它的弦长d的取值范围是0<d≤4．
【点拨】直径是圆中最长的弦．
例4 在⊙o中，若弦AB等于⊙o的半径，则△AoB的形状是等边三角形．
【点拨】与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．
【跟踪训练2】如图，点A，B，c，D都在⊙o上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？
解：图略.6条．
04
巩固训练
．如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A 为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条．
【点拨】这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．
．如图，⊙o中，点A，o，D以及点B，o，c分别在一条直线上，图中弦的条数为2．
．点P到⊙o上各点的最大距离为10c，最小距离为8c，则⊙o的半径是1或9c.
【点拨】这里分点在圆外和点在圆内两种情况．
．如图，已知AB是⊙o的直径，点c在⊙o上，点D是Bc的中点．若Ac＝10c，则oD的长为5__c．
【点拨】圆心o是直径AB的中点．
．如图，cD为⊙o的直径，∠EoD＝72°，AE交⊙o于B，且AB＝oc，则∠A的度数为24°．
【点拨】连接oB构造三角形，从而得出角的关系．
05
课堂小结
．这节课你学了哪些知识？
．学会了哪些解圆的有关问题的技巧？。