基本图形在相似三角形中

相似三角形中的基本图形

1．锐角△ABC 中，BC=6，S △ABC =12，两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y(y>0)．

（1）△ABC 中BC 边上高AD= ；

（2）当x= 时，PQ 恰好落在BC 边上（如图1）；

（3）当PQ 在△ABC 外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（注明x 的取值范围），并求出x 为何值时y 最大，最大值是多少？

变式：现用一块直角三角形的边角料来加工一个正方形,已知两直角边AC=30cm,BC=40cm.甲,乙两种加工方法如图所示,请你通过计算说明哪种加工方法能使加工成的正方形面积更大。

2． 如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设BP= x, △ADQ 的面积为y.

(1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少?

Q

B

C

P

D

A A A

B B C

M M N

N P P Q

Q D D

（图1

） (图2）

E E

X

变式1：如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． （１）△ABP 与△DPE 是否相似？请说明理由；

（２）设ＡＰ＝x ＤＥ=y ，求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围； （3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由；

（4）请你探索在点P 运动的过程中，△BPE 能否成为等腰三角形？如果能，求出AP 的长，如果不能，请说明理由。

变式2：如图，梯形ABCD 中 AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，

BC=12，AB=10，在线段BC 上任取一P ，作射线PE ⊥PD ，与线段AB 交于点E. （1）试确定CP=5时点E 的位置；

（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式，

并求出自变量x 的取值范围.

变式3：如图，已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点. （1）求此抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点P ，满足∠PBC=90°，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，问在y 轴上是否存在点E ，使得以A 、O 、E 为顶点的三角形与⊿PBC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

A B D P E

C

B C A D E P

A

X=4

2

3 6

C

B

如图，二次函数22

++=bx ax y 的图像与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，经过点

A 的直线2-=kx y 与y 轴相交于点D ，与 直线BC 垂直于点E ，已知AB=3，求这个二次函数的解析式。

如图，已知AC=BC ，∠ACB=90°，点B 的坐标为（1，0），抛物线A 、B 、C 三点。 （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；

（3）在x 轴上方y 轴左侧的抛物线是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A ，

M ，G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似。若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为C ()

3,4-，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.

（1）求二次函数解析式；

（2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点D ，使得以A 、B 、D 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由。

图1-5