图形的翻折填空题及因翻折产生的直角三角形问题

中考数学图形的运动----翻折填空题及应翻折产生的直角三角形

1、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是_______ .

2、如图，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_______ .

3、如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.

请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明:四边形AEGF 是正方形；

(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值.

4、已知如图，矩形OABC 的长OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△

APC.

图11 F E D

C

B A

B

（1）填空：∠PCB=_ ___度，P点坐标为（，）；

（2）若P，A两点在抛物线y=－4

3

x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

因翻折产生的直角三角形问题

1.知抛物线21162

y ax ax a =-+（a<0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC=2OA

（1） 求这个抛物线的函数关系式

（2） 求点A 到直线BC 的距离

（3） 将△ABC 沿直线AC 翻折，使点B 与点B '重合，连结BB ',点Q 是BB '的中点，在抛物线上是否存

在一点P ，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在；请说明理由

2.在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O （0，0），A （3，0），C （0，2），点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合）．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．

（1）设P （x ，0），E （0，y ），求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M ，使△PEM 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M 的坐标．

3.如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，若OA 、OC 的长满足| OA －2|＋(OC －32)2

＝0．

（1）求B 、C 两点的坐标． 图

1 图2

（2）把△ABC 沿AC 对折，点B 落在点B ′ 处，线段AB ′ 与x 轴交于点D ，求直线BB ′ 的解析式．

（3）在直线BB ′ 上是否存在点P ，使△ADP 为直角三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请

说明理由．

4.如图①，点A ′ ，B ′ 的坐标分别为（2，0）和（0，－4），将△A ′ B ′

O 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得△ABO ，点A ′ 的对应点是点A ，点B ′

的对应点是点B ． （1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；

（2）将△ABO 沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）

如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（x ，0），△CDE 与△ABO 重叠部分的面积为S ．

ⅰ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；

ⅱ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？

ⅲ）是否存在这样的点C ，使得△ADE 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－3

4(x －6)与x 轴、y 轴分别相交于A 、D 两点，点B 在y 轴上，现将△AOB 沿AB 翻折，使点O 刚好落在直线AD 的点C 处．

（1）求BD 的长．

（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1·S2的值最大，并求出此时点N的坐标．

（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．

6、如图，△OAB是边长为2 O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折

叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF.

（1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标；

（2）当A ′E//x 轴，且抛物线216

y x bx c =-++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标； (3)当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.