完全弹性碰撞后速公式

如何巧记弹性碰撞后的速度公式

一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式

问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？

图1

设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：

m1v1=m1v1＇+m2v2＇①

②

由①③

由②④

由④/③⑤

联立①⑤解得

⑥

⑦

上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得：

m1v1= （m1+m2） v共

解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前

的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式

解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。

另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很

容易解得⑥⑦式。

二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式

问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？

图2

设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：

m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇①

②

由①③

由②④

由④/③⑤

由③⑤式可以解出

⑥

⑦

要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静

止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度+；

+，即可得到上面的⑥⑦式。

另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度

v1- v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。

例题：如图3所示，有大小两个钢球，下面一个的质量为m2，上面一个的质量为m1，m2=3m1。它们由地平面上高h处下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反弹再与正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是弹性的，这两个球的球心始终在一条竖直线上，则碰后上面m1球将上升的最大高度是多少？

图3

解法1：

设两球下落h后的速度大小为v1，则

v12=2gh ①

选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，设m1和m2两球碰撞后瞬间的速度分别变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得：

m1（－v1）+m2v1=m1v1＇+m2v2＇②

③

将m2=3m1代入，得

2v1=v1＇+3v2＇④

⑤

由④⑤式消去v2＇得:

即

故解出v1＇=v1（舍去，因为该解就是m1球碰前瞬间的速度）

v1＇=2v1 ⑥

设碰后上面球m1上升的最大高度为h＇，则

0－v1＇2=－2gh＇⑦

联立①⑥⑦式解出h＇=4h。

解法2：

在解法1中，列出②③式后，可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬间的速度v1＇。

选向上为正方向，m1、m2两球分别以速度－v1和v1发生对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此m1球碰撞后

的速度+

将m2=3m1代入得v1＇=2v1。

以下同解法1。

解法3：

在解法1中，列出②③式后，也可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬间的速度v2＇。

选向上为正方向，m1、m2两球以速度－v1和v1发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度v1碰静止的m1球。因此碰撞后m2球的速度

+

将m2=3m1代入解得v2＇=0。

从m1球开始下落到m1球上升的最大高度，对m1、m2两球组成的系统，由能量守恒得：（m1+m2）gh= m1gh＇

故解出h＇=4h。

解法4：

设两球下落h后的速度大小为v1，则

v12=2gh ①

选向上为正方向，m2球与地面碰撞后以速度v1反弹并与正在以速度－v1下落的m1球发生弹性碰撞，若以m2球为参考系，则m1球以相对m2球为－2v1的速度去碰静止的m2球，由“一动碰一静”的弹性碰撞公式得：

由于碰前m2球对地的具有向上的速度v1，

故碰后m1球对地的速度为：+ v1=2v1。

以下同解法1。

上面的解法1属于常规的数学解法，求解比较麻烦，用时间也比较长而且容易出错。而解法2、3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解，简单而不易出错，是比较好的选择。

二、知识归纳、总结：

（一）弹性碰撞和非弹性碰撞

1、碰撞

碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化的过程。

2、碰撞的分类（按机械能是否损失分类）

（1）弹性碰撞：如果碰撞过程中机械能守恒，即为弹性碰撞。

（2）非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞。

3、碰撞模型

相互作用的两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”，具体分析如下：

（1）如图所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。

（2）如图所示，物体A以速度v0滑到静止在光滑水平面上的小车B上，当A在B上滑行的距离最远时，A、B相对静止，A、B两物体的速度必定相等。

（3）如图所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球竖直方向上的速度为零），两物体的速度肯定相等（方向为水平向右）。（二）对心碰撞和非对心碰撞

1、对心碰撞

碰撞前后物体的速度都在同一条直线上的碰撞，又称正碰。

2、非对心碰撞

碰撞前后物体的速度不在同一条直线上的碰撞。

3、散射

指微观粒子的碰撞。

（三）反冲