概率论与数理统计第4讲
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B AB A
S
15
②计算条件概率有两种方法: (a) 在样本空间S中, 先求事件P(AB)和 P(A), 再按定义计算P(B|A). (b) 在缩减的样本空间A中求事件B的概 率, 就得到P(B|A).
16
例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次 取得红球时, 求第二次取得白球的概率. 解 设A表示"第一次取得红球", B表示"第 二次取得白球", 求P(B|A).
§1.4 条件概率
1
一, 条件概率的概念 先由一个简单的例子引入条件概率的概 念 引例 一批同型号产品由甲,乙两厂生产, 产品结构如下表:
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1119
次品
25
56
81
合计
500
700
1200
2
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
解法 1 缩减样本空间 A 中的样本点数,
即第一次取得红球的取法为 P31P41, 第二
次取得白球占其中P31P21种, 所以
P(B | A) P31P21 1
P31P41 2
17
也可以直接用古典概型的办法进行考虑, 因为第一次取走了一个红球, 袋中只剩下 4个球, 其中有两个白球, 再从中任取一个, 取得白球的概率为2/4, 所以
10
因条件概率是概率, 故条件概率具有性质: 设 A 是一事件, 且 P(A)>0, 则 (1) 对任一事件 B, 0P(B|A)1;
(2) P(S|A)=1;
(3) 设 A1,,An 互不相容, 则
P(A1An|A)=P(A1|A)++P(An|A).
(4) P(B | A) 1 P(B | A), P( | A) 0
P(B | A) P( AB) P( A)
由这些共性得到启发, 我们在一般的概 率模型中引入条件概率的数学定义.
9
二, 条件概率的定义 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 则称
P(B | A) P( AB)
(4.1)
P( A)
为在事件A发生的条件下, 事件B的条件 概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率. 一 般地, P(B|A)P(B).
P(B | A) P(AB) . P( A)
7
在几何概型中(以
平面区域情形为
例), 在平面上的有 界区域S内等可能
A AB B
投点. 若已知A发生,
则B发生的概率为 S
P(B | A) ( AB) ( AB) / (S) ( A) ( A) / (S)
P( AB)
P( A) 8
可见, 在古典概型和几何概型这两类"等 可能"概率模型中总有
25
56
81
500
700
1200
从这批产品中随意地取一件, 则这件产品 为次品的概率为
81 6.75% 1200
3
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
1200
在已知取出的产品是甲厂生产的条件下, 它是次品的概率为
25 5% 500
4
记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B. 在事件A发生的条件下, 求事件B发生的 概率, 这就是条件概率, 记作P(B|A). 在本例中, 我们注意到:
P(B | A) 2 1 42
18
解法 2 在 5 个球中不放回连取两球的取法
有 P52种, 其中, 第一次取得红球的取法有
P31P41种, 第一次取得红球第二次取得白球
的取法有P31P21种, 所以
P( A)
P31P41 P52
源自文库
3, 5
由定义得
P( AB)
P31P21 P52
3. 10
P(B | A) P( AB) 3/10 1 . P( A) 3/ 5 2
(5) P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)
此外, 前面所证概率的性质都适用于条件
概率.
11
例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7 个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放 回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次 取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次 取出的也是黑球的概率.
12
解 记Ai为事件"第i次取到的是黑球" (i=1,2) (1) 在已知A1发生, 即第一次取到的是黑 球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个 黑球, 7个白球共9个球中任取一个, 根据 古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即 有
P(A2|A1)=2/9
13
(2) 在已知A2发生, 即第二次取到的是黑 球条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但 第一次取球发生在第二次取球之前, 故问 题的结构不象(1)那么直观. 我们可按定 义计算P(A1|A2).
20
例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个 白球, 先后两次从中随意各取一球(不放 回), 求两次取到的均为黑球的概率. 分析 这一概率, 我们曾用古典概型方法 计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个 试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相 应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘 法公式往往是使问题得到简化的关键.
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数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
1200
记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B.
P(B | A) 25 25/1200 P( AB) . 500 500 /1200 P( A)
6
事实上, 容易验证, 对一般的古典概型, 只 要P(A)>0, 总有
由P( A1A2 )
P32 P120
1 15 , P( A2 )
3 ,可得 10
P( A1
|
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
2 9
14
注: ①用维恩图表达(4.1)式, 若事件A已发 生, 则为使B也发生, 试验结果必须是即 在A中又在B中的样本点, 即此点必属于 AB. 因已知A已发生, 故A成为计算条件概 率P(B|A)新的样本空间.
19
三, 乘法公式 由条件概率的定义立即得到:
P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0) (4.2) 注意到AB=BA, 及A,B的对称性可得到:
P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0) (4.3) (4.2)和(4.3)式都称为乘法公式. 利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
S
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②计算条件概率有两种方法: (a) 在样本空间S中, 先求事件P(AB)和 P(A), 再按定义计算P(B|A). (b) 在缩减的样本空间A中求事件B的概 率, 就得到P(B|A).
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例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次 取得红球时, 求第二次取得白球的概率. 解 设A表示"第一次取得红球", B表示"第 二次取得白球", 求P(B|A).
§1.4 条件概率
1
一, 条件概率的概念 先由一个简单的例子引入条件概率的概 念 引例 一批同型号产品由甲,乙两厂生产, 产品结构如下表:
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1119
次品
25
56
81
合计
500
700
1200
2
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
解法 1 缩减样本空间 A 中的样本点数,
即第一次取得红球的取法为 P31P41, 第二
次取得白球占其中P31P21种, 所以
P(B | A) P31P21 1
P31P41 2
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也可以直接用古典概型的办法进行考虑, 因为第一次取走了一个红球, 袋中只剩下 4个球, 其中有两个白球, 再从中任取一个, 取得白球的概率为2/4, 所以
10
因条件概率是概率, 故条件概率具有性质: 设 A 是一事件, 且 P(A)>0, 则 (1) 对任一事件 B, 0P(B|A)1;
(2) P(S|A)=1;
(3) 设 A1,,An 互不相容, 则
P(A1An|A)=P(A1|A)++P(An|A).
(4) P(B | A) 1 P(B | A), P( | A) 0
P(B | A) P( AB) P( A)
由这些共性得到启发, 我们在一般的概 率模型中引入条件概率的数学定义.
9
二, 条件概率的定义 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 则称
P(B | A) P( AB)
(4.1)
P( A)
为在事件A发生的条件下, 事件B的条件 概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率. 一 般地, P(B|A)P(B).
P(B | A) P(AB) . P( A)
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在几何概型中(以
平面区域情形为
例), 在平面上的有 界区域S内等可能
A AB B
投点. 若已知A发生,
则B发生的概率为 S
P(B | A) ( AB) ( AB) / (S) ( A) ( A) / (S)
P( AB)
P( A) 8
可见, 在古典概型和几何概型这两类"等 可能"概率模型中总有
25
56
81
500
700
1200
从这批产品中随意地取一件, 则这件产品 为次品的概率为
81 6.75% 1200
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数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
1200
在已知取出的产品是甲厂生产的条件下, 它是次品的概率为
25 5% 500
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记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B. 在事件A发生的条件下, 求事件B发生的 概率, 这就是条件概率, 记作P(B|A). 在本例中, 我们注意到:
P(B | A) 2 1 42
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解法 2 在 5 个球中不放回连取两球的取法
有 P52种, 其中, 第一次取得红球的取法有
P31P41种, 第一次取得红球第二次取得白球
的取法有P31P21种, 所以
P( A)
P31P41 P52
源自文库
3, 5
由定义得
P( AB)
P31P21 P52
3. 10
P(B | A) P( AB) 3/10 1 . P( A) 3/ 5 2
(5) P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)
此外, 前面所证概率的性质都适用于条件
概率.
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例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7 个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放 回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次 取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次 取出的也是黑球的概率.
12
解 记Ai为事件"第i次取到的是黑球" (i=1,2) (1) 在已知A1发生, 即第一次取到的是黑 球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个 黑球, 7个白球共9个球中任取一个, 根据 古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即 有
P(A2|A1)=2/9
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(2) 在已知A2发生, 即第二次取到的是黑 球条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但 第一次取球发生在第二次取球之前, 故问 题的结构不象(1)那么直观. 我们可按定 义计算P(A1|A2).
20
例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个 白球, 先后两次从中随意各取一球(不放 回), 求两次取到的均为黑球的概率. 分析 这一概率, 我们曾用古典概型方法 计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个 试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相 应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘 法公式往往是使问题得到简化的关键.
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数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
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记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B.
P(B | A) 25 25/1200 P( AB) . 500 500 /1200 P( A)
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事实上, 容易验证, 对一般的古典概型, 只 要P(A)>0, 总有
由P( A1A2 )
P32 P120
1 15 , P( A2 )
3 ,可得 10
P( A1
|
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
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注: ①用维恩图表达(4.1)式, 若事件A已发 生, 则为使B也发生, 试验结果必须是即 在A中又在B中的样本点, 即此点必属于 AB. 因已知A已发生, 故A成为计算条件概 率P(B|A)新的样本空间.
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三, 乘法公式 由条件概率的定义立即得到:
P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0) (4.2) 注意到AB=BA, 及A,B的对称性可得到:
P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0) (4.3) (4.2)和(4.3)式都称为乘法公式. 利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.