数值分析：第八章 非线性方程(组)求根
数值分析第八章非线性方程解法
求 f (x) = 0 的根
其中f (x) 为非线性函数. 如
f ( x ) 3 x 5 2 x 4 x 1,
f ( x ) e 2 x 1 x ln(sin x ) 2.
1
上机作业：求下列方程的非零根
x 513 0.6651x f ( x ) ln 0. 513 0.6651x 1400 0.0918
解
f (1) 9 0, f ( 2) 8 0, [1, 2]为有根区间;
f '( x ) 3 x 2 10 0, f (x)单调增加, 方程有唯一根.
对分区间次数
ln( 2 1) ln(0.5 104 ) n 1 13.288. ln 2 取 n=14.
8
n
0 1
f ( x ) x 3 10 x 20 0 计算结果如下表: an bn xn
1 2 1.5 1.75
f ( xn )
1.6.. 2.8..
1.5 1.5 ...
2 1.75 ...
2 ...
1.625 ...
0.54.. ...
12 1.5944825 1.5947266 1.5946046 0.0007...
L | x * xk 1 | ...... L | x * x0 | 0
k
1 | xk 1 xk | ? ④ | x * xk | 1 L
| xk 1 xk | | x * xk | | x * xk 1 |可用 |*xxk |xk L | x * xk | | x k 1 |来
~ ( x* x )(1 g( ξ )) 0
数值分析第八章 非线性方程(组)求根
足精度要求的根。计算过程如表8.2.1所示
表8.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] [an , bn ]
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2 (ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
第八章
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图8.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
非线性方程求根
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
18:28:03
Numerical Analysis
9
y p0 x0 y
18:28:03
y=x
p1
y= (x)
✓
y p0
y=x
✓
p1 y= (x)
x x1 x2 x*
x0
(x) ( y) L x y
则(x) 在 [a,b] 上存在唯一的不动点 x*
证明：P216
18:28:03
Numerical Analysis
12
收敛性分析
不动点迭代的收敛性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
for k = 1 : n x = g(x); fprintf('k=%2d, x=%.7f\n',k,x); if abs(x-xt)<tol, break, end
end xt = fzero(f,[3,4]);
fprintf('True solution: x = %.7f\n', xt)
% Steffenson 加速
性质：若
lim
k
xk
x *，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
18:28:03
Numerical Analysis
11
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根一、实验目的：1.掌握求解非线性方程的常用方法；2.了解非线性方程求根问题的数值解法；3.熟悉使用数值分析软件进行非线性方程求根的实现。
二、实验原理：非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
非线性方程求根的常用方法包括二分法、割线法和牛顿法等。
其中，二分法是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解；割线法是通过使用割线来逼近方程的解；牛顿法则是通过使用切线来逼近方程的解。
对于给定的非线性方程，可以根据实际情况选择合适的方法进行求根。
三、实验内容：1.编写求解非线性方程的函数，包括二分法、割线法和牛顿法；2.使用编写的函数求解给定的非线性方程，比较各个方法的收敛速度和精确程度；3.根据实际情况分析和选择合适的方法进行求根。
四、实验步骤：1.针对给定的非线性方程，编写二分法的函数实现：（1）首先确定方程的解存在的区间；（2）根据方程的解存在的区间，使用二分法逐步缩小区间范围；（3）根据设定的精度要求，不断循环迭代，直至满足要求或达到迭代次数限制；2.针对给定的非线性方程，编写割线法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据割线的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；3.针对给定的非线性方程，编写牛顿法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据牛顿法的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；4.根据给定的非线性方程，分别使用二分法、割线法和牛顿法进行求解，并比较各个方法的收敛速度和精确程度；5.分析实际情况，选择合适的方法进行求解。
五、实验结果：4.通过比较，发现割线法和牛顿法的收敛速度较快，精确程度较高，因此选择割线法进行求解。
六、实验总结：通过本次实验，我掌握了求解非线性方程的常用方法，并使用数值分析软件实现了二分法、割线法和牛顿法。
数值分析课后参考答案08
第八章习题解答1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：①211x x=+；②x =x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。
解：①令121()1x x ϕ=+，则'132()x x ϕ=-，'132(1.5)0.592611.5ϕ=≈<，故迭代收敛；②令2()x ϕ=2'2322()(1)3x x x ϕ-=+，'2(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛；③令3()x ϕ='3()x ϕ=，'3(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。
以上三中以第二种迭代格式较好。
2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。
试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-(0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20Mλ<<时，均收敛于方程的根。
证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当20Mλ<<时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。
3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根cos 0x x -= 取初值010.5,4x x π==，比较计算结果。
解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =； 割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。
数值分析-求根方程
∴ 取φ ( x ) =
令x0 = 4, 于是得到如下迭代序列：
2
( x − 3),即迭代格式xk +1
2
1 2 = ( xk − 3)。 2
1 2 x1 = ( x0 − 3) = 6.5 2 1 2 x2 = ( x1 − 3) = 19.625 2 1 2 x3 = ( x2 − 3) = 191.0703125 2 1 2 x4 = ( x3 − 3) = 18252.432159423828125 2 1 2 x5 = ( x4 − 3) = 166575638.36718459473922848701477 2 M
§1 §2 §3 §4
§5
引言 二分法 迭代法 牛顿法 劈因子法
引言 /* Introduction */
求 f (x) = 0 的根 1. 基本概念
方程f (x)=0,如果存在某个 ，使得 (x*)=0。则称 为 如果存在某个x*，使得f 方程 如果存在某个 。则称x*为 方程f 的根或者称为函数f 的零点 的零点。 方程 (x) = 0 的根或者称为函数 (x)的零点。
为迭代格式(迭代公式 称xn+1 =φ(xn)为迭代格式 迭代公式 ；φ(x)为迭代 为迭代格式 迭代公式)； 为迭代 函数； 为迭代序列； 函数；求得序列 x ∞ 为迭代序列；上述求根方 法称为迭代法。 法称为迭代法。 k k=0
{ }
例：给定方程 f (x)=x2-2x-3=0，显然它在区间 ，显然它在区间[2,4] 内有唯一实根x*=3。按不同迭代格式来求此解。 内有唯一实根 。按不同迭代格式来求此解。 解：1) f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2 x + 3
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根二分法一、题目用二分法求方程=的所有根x.13要求每个根的误差小于-x+0.001..21二、方法二分法三、程序1、Jiangerfen.M的程序function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2)if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end%nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。
ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。
yb=feval('f',b);if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,endmax=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。
for k=1:maxc=(a+b)/2;yc=feval('f',c);if((b-a)/2<tol2)|(abs(yc)<tol1),break,endif yb*yc<0a=c;ya=yc;elseb=c;yb=yc;endendk,c=(a+b)/2,yc=feval('f',c)2、f.M的程序function y=f(x);y=x^3-2*x-1;四、结果>> format compact>> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]);>> jiangerfen('f',-1.5,-0.8);k =8c =-0.9996yc =3.9017e-004>> jiangerfen('f',-0.8,-0.3);k =8c =-0.6184yc =2.7772e-004>> jiangerfen('f',1.3,2);k =10c =1.6179yc =-9.5348e-004>> jiangerfen('f',2,3);(a,b)不是有根区间方程f(x)=x^3-2*x-1的所有根为-0.9996，-0.6184 ，1.6179 。
数值分析课程第五版课后习题答案
数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。
解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。
对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。
选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。
迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。
b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。
解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。
矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。
c) 使用插值方法求解函数的近似值。
解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。
其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。
对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。
课后习题二：a) 解决数值积分问题。
解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。
b) 使用迭代方法求解线性方程组。
解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。
数值分析(24) 非线性方程的数值方法
数值分析
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程
的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分
解为
f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0,
则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。
当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
数值分析
数值分析
0.3732
x3
0.3753
x4
0.3757
数值分析
数值分析
若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称它 为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须选取初值充 分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。
通常局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快。 因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求 得接近于根的近似值（如二分法），再以其作为新的 初值使用局部收敛法（如迭代法）。
h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛 性。
数值分析
数值分析
定理2（收敛定理） 考虑方程 x = φ (x), φ(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
( II )对 x[a, b],有 | φ’(x) | L < 1 成立。
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程求根方法分解PPT课件
n ln(b a) ln 10.96... ln 2
即最多需要11次二分。
x
xn
1 2
(b11
a11 )
0.000488281
1 10 3 2
12
第12页/共48页
计算结果
k
ak , bk
1
[1.0 , 2.0]
xk
1.5
f (xk )
2.375
1
第1页/共48页
根的概念
• 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.
• 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ， 则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根.
• 本章只讨论实根的求法.
从而
f (x )f (x ) (x ) [f (x )]2
由此知若 x 是f (x ) 0 的一个单根，则在x 附近 x * ＝0 Newton法是局部收敛的，并且收
敛速度至少是平方收敛的.
但如果x 是f (x ) 0 的m>1重根，0则
x*
11 1 m
此时Newton法仅有线性收敛速度.
30
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{xk }
x 2 12.39
21
第21页/共48页
几何示意图
第22页/共48页
例 讨论以下计算 a (a 0) 的算法的收敛阶。
xn 1
1 2
xn
a xn
23
第23页/共48页
解：(1)
(x ) 1 (x a ) 2x
a 1aa
a
2
a
数值分析重点
数值分析重点第一章 误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差/有效数字1、 有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论： （1）、设数 x 的近似值可以表示为 其中 m 是整数,αi ( i=1,2, …, n ) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为（不超过其末尾数的半个单位） 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。
（2）、相对误差与有效数字的关系（误差：精确值与近似值的差值）得到相对误差限2.误差的分类：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）3.误差算法设计应注意的问题 ： （1）、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法 （2）、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。
（3）、绝对值太小的数不宜作除数 考虑能否改变一下算法 （4）、注意简化计算程序，减少计算次数 （5）、选用数值稳定性好的算法 4、误差的传播：Taylor 展开式：f( x 1 , x 2 ,…, x n )在(x 1*, x 2*,…, x n * )的展开：e(y) = f( x 1 , x 2 ,…, x n )-f(x 1*, x 2*,…, x n * )例如：ε（x 1+x 2）=ε(x 1)+ε(x 2)mn x 10.021*⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*m n x 10.0*21⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*132110.-⨯=m n ααααΛ1110-⨯>m α)1(111**1021101021)(----⨯=⨯⨯<-=n m n m r x x x x e αα112212()()()n n nf f f x x x x x x x x x ***∂∂∂≈-+-++-∂∂∂L )()()(2211n nx e x fx e x f x e x f ∂∂++∂∂+∂∂=Λ),,2,1(),,,(21n k x x x f x f n x k k ΛΛ='=∂∂***)()(1k nk kx e x fy e ∑=∂∂≈ε（x 1*x 2）=|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1) ε（x 1/x 2）={|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1)}/|x 2|2第二章 代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。
非线性方程求根的常见方法及其应用
非线性方程求根的常见方法及其应用对于一个非线性方程，其解不一定是唯一的，而且很多情况下解根难以直接求得。
因此，寻找一种可靠、有效的方法来求解非线性方程根是非常重要的。
本文将介绍几种常见的非线性方程求根方法，并且介绍它们的应用场景及求解精度。
一、二分法二分法是一种最基本且易于实现的方法，它能够求解任何单峰函数（函数图像中仅有一个极大值或极小值的函数）的根。
该方法的主要思想是不断缩小根的区间，直到找到根。
具体而言，对于一个单峰函数f(x)，在区间[a,b]上寻找其根。
首先，取中点c=(a+b)/2，计算f(c)。
如果f(c)≈0，则找到了根；否则，根位于[a,c]或[c,b]中的一个区间上，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点是简单易用，适用于大部分单峰函数，并且收敛速度相对较快。
但是，该方法需要区间起点和终点具有异号，否则无法找到根。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的方法，可用于求解任何无奇点的连续可微函数的根。
该方法的主要思想是将一个复杂的函数不断逼近于一条直线，然后通过直线和x轴的交点来不断逼近函数的根。
具体而言，对于一个连续可微函数f(x)，在初始点x0处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处的导数f'(x0)来确定函数的切线。
然后，找到x轴上离该点最近的交点x1处，并将其作为新的起点，迭代上述过程，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
但是，该方法可能会出现迭代过程不稳定的问题，因此需要谨慎选择初值。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的方法，其主要思想是通过一条割线来逼近函数的根。
相比于牛顿迭代法，割线法更加适用于函数的导数难以求得的情况。
具体而言，对于一个函数f(x)，在初始点x0和x1处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处和x=x1处的取值来确定割线，找到x轴上与割线交点x2处，并将其作为新的起点，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根
数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根1.实验目的掌握迭代法求非线性方程根的基本原理和使用方法，加深对数值计算方法的理解与应用。
2.实验原理迭代法是一种通过不断逼近的方法求解非线性方程的根。
根据不同的函数特点和问题需求，可以选择不同的迭代公式进行计算，如牛顿迭代法、二分法、弦截法等。
3.实验内容本次实验使用牛顿迭代法求解非线性方程的根。
牛顿迭代法基于函数的局部线性逼近，通过不断迭代逼近零点，直至满足收敛条件。
具体步骤如下：Step 1：选择初始点X0。
Step 2：计算函数f(x)在X0处的导数f'(x0)。
Step 3：计算迭代公式Xn+1 = Xn - f(Xn) / f'(Xn)。
Step 4：判断收敛准则，若满足则迭代结束，输出解Xn；否则返回Step 2，继续迭代。
Step 5：根据实际情况判断迭代过程是否收敛，并输出结果。
4.实验步骤步骤一：选择初始点。
根据非线性方程的特点，选择恰当的初始点，以便迭代公式收敛。
步骤二：计算导数。
根据选择的非线性方程，计算函数f(x)的导数f'(x0)，作为迭代公式的计算基础。
步骤三：迭代计算。
根据迭代公式Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)，计算下一个迭代点Xn+1步骤四：判断收敛。
判断迭代过程是否满足收敛条件，通常可以通过设置迭代次数上限、判断前后两次迭代结果的差值是否足够小等方式进行判断。
步骤五：输出结果。
根据实际情况，输出最终的迭代结果。
5.实验结果与分析以求解非线性方程f(x)=x^3-x-1为例，选择初始点X0=1进行迭代计算。
根据函数f(x)的导数计算公式，得到导数f'(x0)=3x0^2-1，即f'(1)=2根据迭代公式Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn)，带入计算可得：X1=X0-(X0^3-X0-1)/(3X0^2-1)=1-(1-1-1)/(3-1)=1-0/2=1根据收敛准则，判断迭代结果是否满足收敛条件。
数值分析- 非线性方程求根
( x *) 0，
( p)
( x *) 0 ,
x * 附近是 p 阶收敛的 .
特别地，当
0 | ( x *) | 1时 , 迭代法线性收敛
;
当 ( x *) 0 , ( x *) 0时 , 平方收敛 .
§3
迭代收敛的加速方法
由迭代公式校正一次得
x 0 [ a , b ], 迭代序列 (2.2) 均收敛于 x *, L
k
1 L 1 1 L
| x1 x 0 |, | x k 1 x k | .
在 [1,2] 内考查如下迭代法的敛 1） x k 1
3 3 k
散性：
x k 1 ; 2） x k 1 x 1 .
• • •
设函数f(x)在区间［a,b］上单调连续,且 f(a)·f(b)＜0 则方程(1.1)在区间(a,b)内有且仅有 一个实根x。
二、二分法
二分法简述.
设 f ( a ) f ( b ) 0 , 取 x 0 ( a b ) / 2 . 假如 f ( x 0 ) 是 f ( x )的零点， 那么输出 x 0 , 停止 . 假若不然， 若 f ( a ) 与 f ( x 0 )同号，则 a1 x 0 , b1 b ; 否则 a1 a , b1 x 0 .
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程， x1 ( x 0 ),
再校正一次得 x 2 ( x1 ).
如果 ( x ) 变化不大 , ( x ) L , 则
x1 x * ( x 0 ) ( x *) L ( x 0 - x *), x 2 x * ( x1 ) ( x *) L ( x1 - x *).
八 非线性方程及方程组的解法
, , 结论: 若xn → x∗ ,ϕ( x)在x∗处连续 则x∗是方程的根即
f (x ) = 0
*
y p1 p0
y=x
y p0
y=x
y = ϕ(x)
y = ϕ(x)
p1 x x x0 y y = ϕ(x) p0 p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x x* x1 y=x
x0 y
4ln10 n≥ − ≈ 13.3 ln 0.5
n 故 = 14, x14即为满足精度要求的近 . 似解
>> f=inline('x^3+10*x-20','x'); >> [x,err]=bisection(f,1,2,0.00005,15) n x err 1.00000000000000 1.50000000000000 2.00000000000000 1.75000000000000 3.00000000000000 1.62500000000000 4.00000000000000 1.56250000000000 5.00000000000000 1.59375000000000 6.00000000000000 1.60937500000000 7.00000000000000 1.60156250000000 8.00000000000000 1.59765625000000 9.00000000000000 1.59570312500000 10.00000000000000 1.59472656250000 11.00000000000000 1.59423828125000 12.00000000000000 1.59448242187500 13.00000000000000 1.59460449218750 14.00000000000000 1.59454345703125 15.00000000000000 1.59457397460938 x = 1.59457397460938 err =3.051757812500000e-005
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足精度要求的根。计算过程如表8.2.1所示
表8.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
因而， f (x) 是严格单调的， f (x) 0 最多有一个根， 又因为 f (0) 1 0, f (1) e 8 0 所以， f (x) 0 有唯一实根 x* (0,1)
用二分法求解，要使 xk x* 0.5102，只要
1 0 2k 1
0.5 102
解得 k 2 6.64，取 k 7 。所以只要二等分7次，即可求得满
开始
读入a, h
a x0 f (x0) y0
x0 + h x0
f (x0) y0>0
打印 否
结束
是 继续扫描
例1：考察方程
f (x) x3 x 1 0
x
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
§1 二 分 法
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
图8.1.1 卫星定位示意图
美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 8.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。
设地球上一个点R，同时收到卫星 S1, S2, , S6 发射的信号，
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
f (x) = 0
（8.2.1）
1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？ 2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？ 3．根的精确化。
1.根的存在性
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0 称 为方程x*（8.2.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
m重根
若
Hale Waihona Puke f (x) (x x*)m g(x)
其中， g(x*) 0, m 为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（8.2.1）
的单根或函数 f (x的) 单零点。 当m 时2 ， 称 x为* 方程（8.2.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
计算中，如电路和电力系统计. 算、非线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。
许误差 就可以停止搜索，即
ba 2n
然后取其中点 xn 作为方程的一个根的近似值。
xn
例1 证明方程 ex 10x 2 0 存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。
解：记 f (x) ex 10x 2 ，则对任意 x R ，
f (x) ex 10 0
第八章
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图8.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] [an , bn ]
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2
(ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
假设接收的信息如表8.1.1所示。请设法确定R点的位置。
表8.1.1
图8.1.2 卫星分布图
GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组
F(x) 0 , 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
（8.1.1）
其中，f (x) 可以是代数方程，也可以是超越方程。使 f (x) 0 。
成立的x 值称为方程的根，或称为 f (x)的零点。科学与工程
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。