数值分析：第八章 非线性方程(组)求根

假设接收的信息如表8.1.1所示。请设法确定R点的位置。
表8.1.1
图8.1.2 卫星分布图
GPS导航问题可归结为求解非线性代数数方程组
F(x) 0 , 当 n 1 时就是单个方程.
f (x) 0
（8.1.1）
其中，f (x) 可以是代数方程，也可以是超越方程。使 f (x) 0 。
成立的x 值称为方程的根，或称为 f (x)的零点。科学与工程
lg 2
足精度要求的根。计算过程如表8.2.1所示
表8.2.1
k
0 1 2 3 4 5 6 7
所以，
f(ak)及符号
0(－) 0(－) 0(－) 0(－) 0.0625(－) 0.0625(－) 0.078125(－) 0.0859375(－)
f(xk)及符号
0.5(+) 0.25(+) 0.125(+) 0.0625(－) 0.09375(+) 0.078125(－) 0.0859375(－)
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：
[a,b] [a1, b1] [a2, b2 ] [an , bn ]
4、当 bk1 ak1 时，停止；
注：
xk 1
1 2
(ak
bk )
即为根的近似。
当 n 时，bn an 0 ，即这些区间必将收缩于一点，也就是 方程的根。在实际计算中，只要[an ,bn ] 的区间长度小于预定容
第八章
非线性 方程（组）求根
问题驱动：全球定位系统（GPS）
人类对导航和定位的需求是伴随着人类整个文明历史的进 步而发展的，中国古代“四大发明”之一的指南针是最早的定 位仪器和系统，其后还有经纬仪以及近代的雷达。如图8.1.1所 示全球定位系统（GPS）是基于卫星的导航系统，最早由美国 和前苏联分别在80年代研制，并于1993年正式投入使用。现 代社会中全球定位系统越来越深入到人们生活的方方面面。例 如市场上出售的手持型GPS，定位的精度可以达到10米以内， 这无疑给旅行者提供了方便；安装有GPS的儿童手表，家长在 家里的计算机上可以追踪到孩子的位置，防止儿童走 失；安装有GPS系统的汽车可以帮助新司机辨识道路等等。
m重根
若
f (x) (x x*)m g(x)
其中， g(x*) 0, m 为正整数，则当m=1时，称 x为* 方程（8.2.1）
的单根或函数 f (x的) 单零点。 当m 时2 ， 称 x为* 方程（8.2.1）
的 m重根或函数f (x的) m重零点。
2. 根的搜索
(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) (2) 解析法 (3) 近似方程法 (4) 定步长搜索法
开始
读入a, h
a x0 f (x0) y0
x0 + h x0
f (x0) y0>0
打印 否
结束
是 继续扫描
例1：考察方程
f (x) x3 x 1 0
x
0
0.5
f (x) 的符号 －
－
1.0
1.5
－
＋
§1 二 分 法
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
计算中，如电路和电力系统计. 算、非线性力学、非线性微（ 积分）方程、非线性规划（优化）等众多领域中，问题的求 解和模拟最终往往都要解决求根或优化问题。前一种情形要 求出方程（组）的根；后一种情形则要求找出函数取最大或 最小的点。即使是对实验数据进行拟合或数值求解微分方程， 也总是将问题简化成上述两类问题。上述除少数特殊方程外， 大多数非线性代数方程（组）很难使用解析法求解精确解， 一般需要通过一些数值方法逼近方程的解。这里主要介绍单 个方程的数值解法，方程组也可以采用类似的方法，将放在 后面讨论。
许误差 就可以停止搜索，即
ba 2n
然后取其中点 xn 作为方程的一个根的近似值。
xn
例1 证明方程 ex 10x 2 0 存在唯一的实根 x* (0,1)
用二分法求出此根，要求误差不超过 0.5102 。
解：记 f (x) ex 10x 2 ，则对任意 x R ，
f (x) ex 10 0
因而， f (x) 是严格单调的， f (x) 0 最多有一个根， 又因为 f (0) 1 0, f (1) e 8 0 所以， f (x) 0 有唯一实根 x* (0,1)
用二分法求解，要使 xk x* 0.5102，只要
1 0 2k 1
0.5 102
解得 k 2 6.64，取 k 7 。所以只要二等分7次，即可求得满
f (x) = 0
（8.2.1）
1．根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？ 2．根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？ 3．根的精确化。
1.根的存在性
定义： 如果存在 x使* 得 f (x*，) 则0 称 为方程x*（8.2.1）
的根或函数 f (x的) 零点。
定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
1．画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的位置。 f(x)
x0 a x0 h
x* b
2．从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0
和终点x0 + h的函数值，若 f (x0 ) f (x0 h) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h 作为根的初始近似。
不能保证 x 的精 度
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x*
x
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]， b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。
图8.1.1 卫星定位示意图
美国和前苏联的GPS都包括有24颗卫星，它们不断地向地 球发射信号报告当前位置和发出信号的时间，卫星分布如图 8.1.2所示。它的基本原理是：在地球的任何一个位置，至少 同时收到4颗以上卫星发射的信号。
设地球上一个点R，同时收到卫星 S1, S2, , S6 发射的信号，