第7章非线性方程求根剖析

bk
ak
1 2k
(b a)
1
lim k 2k (b a) 0
即当 k→∞ 时, 区间必将最终收缩为一点x*, 显
然x* 就是所求的根。
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二分法
小结：二分法也可以看作一种迭代法，它 的迭代过程确定了一个区间的序列{ I(k) }，
使每个区间都包含方程的某个解x*。且区
间长度趋于零。显然，当区间的长度足够
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1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
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二分法
应用二分法的前提：已经确定了
非线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
第7章 非线性方程求根
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
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非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
对这类问题通常采用区间法或迭 代法求解。
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非线性方程的有根区间
在微积分中有这样的定理：
若 f(x) 满足条件: (1) 在[a,b]内连续, (2) f(a) ·f (b)<0 ,
则 f(x)=0 在[a,b] 内必有根。
f(x)的有根区间 若 f(x) 在[a,b]内还严格单调,则 f(x)=0在[a,b] 内 只有一根。
(1) 在[a,b]内连续；(2) f(a) ·f(b)<0 ,
(3) f(x) 在[a,b]内严格单调。
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二分法
二分法的基本思想是：通过等分有 根区间，不断压缩有根区间的大小。在 有限步运算中，当区间压缩到一定小的 程度时，用其中点作为原方程的近似解。
取有根区间[a,b]的中点
x0
a
2
b
计算f(x0)，考察f(x0)的正负情况。
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二分法
例：用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区
间(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005。
解：即要求满足 x xk 0.005
| x* xk
|
bk
ak 2
ba 2k 1
0.005
取k =6
k 5.6
20
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二分法
(1)若 f ( x0 ) = 0, 则 x0 就是方程的根x*,计算结束 ; (2)若 f (a) f ( x0 ) 0 ，则x* (a, x0 )
令 a1= a , b1=x0 ; (3)若 f (b) f ( x0 ) 0 ，则x* ( x1, b)
令 a1= x0 , b1= b ; 此时的有根区间为[a1,b1]，该区间大小为原区间的 一半。
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二分法
对压缩了的有根区间[a1,b1]，实行同样的
步骤。
若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程 将无限进行下去。
如此反复进行, 可得一系列有根区间
[a, b] [a1, b1] [a2 , b2 ] [ak , bk ]
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二分法
由于每一区间都是前一区间的一
半，因此区间[ak, bk]的长度为：
2
非线性方程根的不同情况
若 f (x)可表示成： f x (x x )m g(x) m Z
且g ( x* ) ≠0 当 m=1 时，x*称为f (x)的单根； 当 m>1 时， x*称为方程f (x)的m重根，或函数 f (x) 的m重零点。
n次的非线性方程在复数域内有且仅有n个根。
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求根的方法
小时，此区间中任何一点与x*的差必小于
某一个值。所以可以用此区间中任何一点
作为x*的近似，且误差可以容易估计。
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二分法
当区间[ak, bk]的中点作为x*的近似值时，
即：
x*
bk
ak
2
| x* xk
|
bk
ak 2
ba 2k 1
二分法的特点：计算简单，且总是收敛的。但是 收敛速度慢。
二分法适合于寻求一个较好的近似解，作为其它 方法求解的初值。
又因为 f (4)=1>0, 所以第二有根区间可缩小为 (3,4)。
x f (x) f (x)
有根区间
(-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+∞) - 0 -0 ++ + ↘ + ↘- ↗+ ↗
(0,3) (3,4)
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非线性方程的有根区间
逐步搜索法 (增值寻根法)
增值寻根法的基本思想是: 从初值 x0 开始, 按 规定的一个初始步长h 来增值。
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非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, 源自文库2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
对于1次、2次的多项式方程，已经有成 熟、有效的解法；
对于3次、4次的多项式方程，也有公式 可以使用，但形式较为复杂；
高于4次的多项式方程早在1830年就证明 了不可能用公式求解。
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求根的方法
根据前面的讨论，可以把次数高 于2次的多项式方程同一般的非线性方程
f (x)=0的求解作为相同的问题进行研究。
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非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
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非线性方程的有根区间
xn1 xn h (n 0,1, 2, ) 同时计算 f ( xn1 )。
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非线性方程的有根区间
可能遇到三种情形： (1) f ( xn1 ) 0 此时 xn1 即为方程的根 x 。 (2) f ( xn ) f ( xn1 ) 0 说明区间[ xn , xn1]内无根 (3) f ( xn ) f ( xn1 ) 0，说明区间[ xn , xn1]内有根 搜索过程,可从a开始,也可从b开始,这时应取步 长 h< 0。