第7章非线性方程求根剖析
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数值分析ppt第7章非线性方程求根课件
否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧. 若f(a) ·f(x0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0; 若f(x0) ·f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b. 不论出现哪种情况, (a1, b1)均为新的有根区间, 它
的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根 区间的目的.
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二分法的计算步骤: 步骤1 准备 计算函数f(x)在区间[a, b]端点处的值 f(a), f(b). 步骤2 二分 计算函数f(x)在区间中点(a+b)/2处的 值f((a+b)/2).
步骤3 判断 若f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2即是根， 计算过程结束，否则检验.
若f(a)·f((a+b)/2)<0, 则以(a+b)/2代替b ，否则以 (a+b)/2代替a.
3 1.3125 1.375 1.3438
4 1.3125 1.3438 1.3281
5 1.3125 1.3281 1.3203
6 1.3203 1.3281 1.3242
f(xn)
说明
- (1) f(a)<0,
+
f(b)>0
- (2) 根据精
+
度要求，
+
取到小数
-
点后四位
-
即可.
二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点 是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只是用 其为根求得一个较好的近似值.
其中系数ai(i=0,1,,n)为实数.
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方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得 f(x*)=0，若f(x)可分解为
的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根 区间的目的.
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二分法的计算步骤: 步骤1 准备 计算函数f(x)在区间[a, b]端点处的值 f(a), f(b). 步骤2 二分 计算函数f(x)在区间中点(a+b)/2处的 值f((a+b)/2).
步骤3 判断 若f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2即是根， 计算过程结束，否则检验.
若f(a)·f((a+b)/2)<0, 则以(a+b)/2代替b ，否则以 (a+b)/2代替a.
3 1.3125 1.375 1.3438
4 1.3125 1.3438 1.3281
5 1.3125 1.3281 1.3203
6 1.3203 1.3281 1.3242
f(xn)
说明
- (1) f(a)<0,
+
f(b)>0
- (2) 根据精
+
度要求，
+
取到小数
-
点后四位
-
即可.
二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点 是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只是用 其为根求得一个较好的近似值.
其中系数ai(i=0,1,,n)为实数.
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方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得 f(x*)=0，若f(x)可分解为
非线性方程求根word版
第7章 非线性方程求根本章主要内容：1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法.重点、难点一、区间二分法区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。
基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。
区间二分法的计算步骤如下： 1.计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）；确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(ba f + 取21b a x +=3.判断： 若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =*；若 0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈*；令[]],[,111b a x a =若 0)(1<x f ，则有根区间为[]b x x ,1∈*；令 []],[,111b a b x =4. 如果│b-a │<ε（ε为误差限），则方程的根为2ba x +=*；否则转向步骤2，继续二分有根区间[a 1,b 1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│b n -a n │<ε二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式12ln ln )ln(---≥εa b n 确定应二分的次数。
例1 用区间二分法求方程0353=+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001）【思路】参见上述区间二分法的计算步骤解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。
由公式 644.512ln 001.0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥εa b n取n=6， 计算结果列表如下：则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x *≈ x = 1.8328125区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。
非线性方程求根的方法简介与例题
非线性方程求根的方法简介与例题第一篇：非线性方程求根的方法简介与例题非线性方程f(x)=0求根主要可以采用下面三种方法，下面简单介绍下，并附例题，让解法更一目了然。
1)二分法简介：计算步骤如下：例题：2)不动点迭代，也叫简单迭代。
隐式化为显式，迭代法是一种逐次逼近法；其中f(x)'<1才能满足上述迭代格式。
继续迭代。
3)牛顿迭代法，实际上也叫切线法，是通过下面的方式推导出来的。
上述题目很简单，用牛顿法迭代就可以达到目的。
我们先设f(x)=x-cosx=0由公式得x=x0-x-cosx1+sinx0我们用二分法的原理，我们取x得x1=π，=x0-x0-cosx01+sinx0x1-cosx11+sinx1x2-cosx21+sinx2=π-π+11=1 x2=x1-=1-1-cos11+sin1=0.9998x3=x2-=1-1-cos0.99981+sin0.9998=0.9998x3=x2，并具有四位有效数字，所以只需迭代两次就可以达到题目所需的精度要求第二篇：非线性方程迭代上机作业总体要求：1． 2．开发语言可用任一种高级语言作业包括1)一份实验报告2)电子版作业的全套（压缩后提交在Webcc上），包括：⌝程序源代码；⌝可执行程序；⌝电子版实验报告（内容包括：一、实验目的二、模型建立三、模型求解 3.1 开发环境3.2 程序设计说明（要求设计为通用的）3.3 源代码 3.4 程序使用说明 3.5 模型的解四、小结（可含个人心得体会））第六章逐次逼近法§ 3 非线性方程的迭代解法上机实验题求 x5-3x3+x-1= 0 在区间[-8,8〕上的全部实根.试分别用:(1)二分法;(2)Newton法;(3)弦截法(割线法);(4)Newton下山法；求方程的根.准确到6位有效数字.要求:讨论求解的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较.以实验报告的形式提交.完成时间:5月18日第三篇：非线性方程的数值解法《计算方法》期末论文论文题目非线性方程的数值解法学院专业班级姓名学号指导教师日期目录摘要第1 章绪论1.1 问题的提出和研究目的和意义 1.2 国内外相关研究综述 1.3 论文的结构与研究方法第2 章非线性方程的数值解法2.1 二分法 2.2 迭代法2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶 2.4 牛顿迭代法 2.5 牛顿法的改进 2.6 插值摘要数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。
第七章 非线性方程求根
第七章 非线性方程求根
§7.1 二分法 §7.2 迭代法及其收敛性 §7.3 迭代法的加速方法 §7.4 Newton迭代法 §7.5 弦截法与抛物线法 §7.6 解非线性方程组的Newton迭代法
§7.1 二分法(图示)(返回)
§7.2 迭代法及其收敛性(返回)
不动点迭代 压缩映像原理 局部收敛性 收敛阶
y (x)
x
x* x2
x1
x0 x
x* x0 x1
x2
Aitken加速法图示
y y (x)
yx
x x1 x* x1 x0 x2
二分法图示
y
y f (x)
a0 O x* b2 b1
b0
Hale Waihona Puke xNewton迭代法的几何解释
y y f (x)
x* x2
x x1 x0
Newton迭代法算例
不动点迭代(图示)(返回)
压缩映像原理(返回)(例题)
局部收敛性(返回)(例题)
收敛阶(返回)
§7.3 迭代法的加速方法(返回)
Aitken加速法 Steffensen加速法
Aitken加速法(图示)
Steffensen加速法
§7.4 Newton迭代法(返回)
Newton迭代法及其收敛性 简化Newton法 Newton下山法 重根情形的Newton迭代法
Newton迭代法及其收敛性(算例)
简化Newton法
Newton下山法
重根情形的Newton迭代法
§7.5 弦截法与抛物线法(返回)
§7.6 解非线性方程组的 Newton迭代法(返回)
压缩映像原理例题
局部收敛性例题
不动点迭代图示
§7.1 二分法 §7.2 迭代法及其收敛性 §7.3 迭代法的加速方法 §7.4 Newton迭代法 §7.5 弦截法与抛物线法 §7.6 解非线性方程组的Newton迭代法
§7.1 二分法(图示)(返回)
§7.2 迭代法及其收敛性(返回)
不动点迭代 压缩映像原理 局部收敛性 收敛阶
y (x)
x
x* x2
x1
x0 x
x* x0 x1
x2
Aitken加速法图示
y y (x)
yx
x x1 x* x1 x0 x2
二分法图示
y
y f (x)
a0 O x* b2 b1
b0
Hale Waihona Puke xNewton迭代法的几何解释
y y f (x)
x* x2
x x1 x0
Newton迭代法算例
不动点迭代(图示)(返回)
压缩映像原理(返回)(例题)
局部收敛性(返回)(例题)
收敛阶(返回)
§7.3 迭代法的加速方法(返回)
Aitken加速法 Steffensen加速法
Aitken加速法(图示)
Steffensen加速法
§7.4 Newton迭代法(返回)
Newton迭代法及其收敛性 简化Newton法 Newton下山法 重根情形的Newton迭代法
Newton迭代法及其收敛性(算例)
简化Newton法
Newton下山法
重根情形的Newton迭代法
§7.5 弦截法与抛物线法(返回)
§7.6 解非线性方程组的 Newton迭代法(返回)
压缩映像原理例题
局部收敛性例题
不动点迭代图示
第七章 非线性方程求根方法
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
f ( x) g ( x) x f ( x)
7.3 牛顿迭代法和割线法
局部收敛性 设方程 x = g(x)有根x，且在 x* 的某个领域 S = {x | x [x* - d, x* + d]}
内存在一阶连续导数，则
当|g’(x*) |<1时，迭代格式xk+1 = g(xk)局部收敛 当|g’(x*) |>1时，迭代格式xk+1 = g(xk)发散
2.666667 2.645833 2.645751 2.645751
2.625000 2.687500 2.656250 2.640625 2.648438 2.644531 2.646484 2.645508 2.645996
2.645751 2.645751
几何意义
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
xk 1 g ( xk )
可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果g(x)是连续函数 且当k→∞时,序列{xk}有极限x*,则x*是方程f(x)=0的根 迭代序列{xk}收敛，则迭代法收敛；反之，则发散
7.2 简单迭代法 用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。
收敛
对任意xb迭代格式xk1产生的迭代序列都收敛于方程xgx在区间ab上的唯一实根x定理21定理2172简单迭代法73牛顿迭代法和割线法局部收敛性设方程x1时迭代格式xk11时迭代格式xk1发散73牛顿迭代法和割线法牛顿迭代法的局部收敛性73牛顿迭代法和割线法2x迭代公式为73牛顿迭代法和割线法例
第七章
Lk xk x* x1 x0 1 L
证明过程(P100-101)如下:
f ( x) g ( x) x f ( x)
7.3 牛顿迭代法和割线法
局部收敛性 设方程 x = g(x)有根x，且在 x* 的某个领域 S = {x | x [x* - d, x* + d]}
内存在一阶连续导数，则
当|g’(x*) |<1时，迭代格式xk+1 = g(xk)局部收敛 当|g’(x*) |>1时，迭代格式xk+1 = g(xk)发散
2.666667 2.645833 2.645751 2.645751
2.625000 2.687500 2.656250 2.640625 2.648438 2.644531 2.646484 2.645508 2.645996
2.645751 2.645751
几何意义
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
xk 1 g ( xk )
可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果g(x)是连续函数 且当k→∞时,序列{xk}有极限x*,则x*是方程f(x)=0的根 迭代序列{xk}收敛，则迭代法收敛；反之，则发散
7.2 简单迭代法 用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。
收敛
对任意xb迭代格式xk1产生的迭代序列都收敛于方程xgx在区间ab上的唯一实根x定理21定理2172简单迭代法73牛顿迭代法和割线法局部收敛性设方程x1时迭代格式xk11时迭代格式xk1发散73牛顿迭代法和割线法牛顿迭代法的局部收敛性73牛顿迭代法和割线法2x迭代公式为73牛顿迭代法和割线法例
第七章
Lk xk x* x1 x0 1 L
证明过程(P100-101)如下:
7非线性方程求根
不动点迭代的收敛性
若 (x)C1[a,b] 且对任意 x[a,b] 有
|’(x)|L<1
则上述定理中的结论成立。
收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关
全局收敛
2020/3/25
Numerical Analysis
15
举例
例：求 f(x) = x3 – x – 1=0 在区间 [1, 2] 中的根
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
(x)(y)Lxy
则对任意初始值 x0[a,b]，不动点迭代 xk+1=(xk) 收敛，且
x kx 1 L Lx kx k 11L k Lx 1x 0 证明：P217
2020/3/25
Numerical Analysis
14
收敛性分析
非线性方程可能有(无穷)多个解，求解时必须强调求解区间
非线性方程一般没有直接解法，通常都使用迭代算法求解
2020/3/25
Numerical Analysis
4
非线性方程数值解法
几个基本概念
实根与复根 根的重数
f(x)=(x–x*)m ·g(x) 且 g(x*) 0, 则 x*为 f(x)=0 的 m 重根 有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根
x*(x*) 即 f(x*) 0
性质：若 lkimxk x*，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
2020/3/25
Numerical Analysis
12
解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
若 (x)C1[a,b] 且对任意 x[a,b] 有
|’(x)|L<1
则上述定理中的结论成立。
收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关
全局收敛
2020/3/25
Numerical Analysis
15
举例
例：求 f(x) = x3 – x – 1=0 在区间 [1, 2] 中的根
(2) 存在常数 0<L<1，使得任意的 x, y[a,b] 有
(x)(y)Lxy
则对任意初始值 x0[a,b]，不动点迭代 xk+1=(xk) 收敛，且
x kx 1 L Lx kx k 11L k Lx 1x 0 证明：P217
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收敛性分析
非线性方程可能有(无穷)多个解，求解时必须强调求解区间
非线性方程一般没有直接解法，通常都使用迭代算法求解
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4
非线性方程数值解法
几个基本概念
实根与复根 根的重数
f(x)=(x–x*)m ·g(x) 且 g(x*) 0, 则 x*为 f(x)=0 的 m 重根 有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根
x*(x*) 即 f(x*) 0
性质：若 lkimxk x*，则不动点迭代收敛，且 x*
是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。
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Numerical Analysis
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解的存在唯一性
解的存在唯一性
定理：设 (x) C[a,b] 且满足
(1) 对任意的 x[a,b] 有 (x)[a,b]
数值分析 第7章 非线性方程的数值解法..ppt;ppt
2
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式 （1.1） f ( x) 0 其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x) 是多项式函数，即
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
xk
可得一个近似根的序列 x0 , x1 , x2 , xk ,,
2
9
且
x* xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 , x * xk , k ln(b a ) ln 1
ln 2
（1.3）
(4) 要使
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
建立迭代公式 各步迭代的结果如下表
表7 3 k xk k xk
x1 2.375, x2 12.39.
xk 1 3 xk 1 (k 0,1,2,).
发散
如果仅取6位数字，
结果x7 与 x8 完全相同， 说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 0 1 .5 5 1.32476 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 1 1.35721 6 1.32473 x7 即为所求的根. 始点有关。
（1.2）
其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为 n 次代数方程.
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 高次代数方程 超越方程
3
如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f (x)的零点. 若 f (x)可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x),
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言 单变量非线性方程的一般形式 （1.1） f ( x) 0 其中 x R , f ( x) C[a, b], [a, b] 也可以是无穷区间.
f(x)是高次多项式函数或超越函数 如果函数 f (x) 是多项式函数，即
f ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an (a0 0),
xk
可得一个近似根的序列 x0 , x1 , x2 , xk ,,
2
9
且
x* xk (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1 , x * xk , k ln(b a ) ln 1
ln 2
（1.3）
(4) 要使
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
建立迭代公式 各步迭代的结果如下表
表7 3 k xk k xk
x1 2.375, x2 12.39.
xk 1 3 xk 1 (k 0,1,2,).
发散
如果仅取6位数字，
结果x7 与 x8 完全相同， 说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 0 1 .5 5 1.32476 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 1 1.35721 6 1.32473 x7 即为所求的根. 始点有关。
（1.2）
其中 a0 0, ai (i 0,1,, n) 为实数，则称方程(1.1)为 n 次代数方程.
超越函数 不能表示为多项式的函数
如 (x)=3x5-2x4+8x2-7x+1 (x)=e2x+1-xln(sinx)-2 高次代数方程 超越方程
3
如果实数 x *满足 f ( x*) 0，则称 x * 是方程(1.1)的 根，或称 x *是 f (x)的零点. 若 f (x)可分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x),
数值分析 第7章 非线性方程求根综述
7.1.2 二分法
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图：
f(b) a x* f(a) b a x* f ( b) f(a)
满足此方程的解x, 称为方程的根, 也称x是函数f(x)的零点.
如果函数f(x)可以写成
f(x)=(x- x*)mg(x),其中g( x*) ≠0. 当m＞1时，称x*为方程(1.1)的m重根或称x*是函数f(x)的m
重零点;
当m=1时，称x*为方程(1.1)的单根或称x*是函数f(x)的 单重零点.
b
一、二分法的具体计算过程
设
f C[a, b] ,现求方程f(x)=0在区间[a,b] 上的根.
设函数f(x)满足 f (a) f (b) 0, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0.
ab , 计算区间中点的函数值 第一步: 取区间中点 2 ab ) 0, ①如果 f ( 2 f( ab ), 2
分离区间：许多方程往往有两个以上的根，在某个区间[a，b] 上，如果方程在此区间内只含一个根，我们称此区间为方程的 分离区间。 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图： 曲线y=f(x)与 f ( a ) f(b) x轴的交点就是 f(x)的零点.
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
第7章 非线性方程求根
k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,
x1 x* ( )(x0 x* ) M ( x0 x* ), x2 ( x1 ), x2 x M ( x1 x ).
* *
加速迭代法
消去M得
x1 x* x0 x* , * * x2 x x1 x
2
2 x x x ( x x ) 1 0 x* x1 0 2 1 x0 , x2 2 x1 x0 x0 2 x1 x2
斯蒂芬森迭代法
结合埃特金加速法和不动点迭代法形成斯 蒂芬森迭代法：
yk ( xk ), z k ( yk ), ( y k xk ) xk 1 xk z k 2 y k xk
2
(k 0,1, ).
斯蒂芬森迭代法几何意义
定义x点关于方程 x ( x) 的误差为： ( x) ( x) x. * * * * ( x ) ( x ) x 0. 则该方程的根x 的误差
非线性方程的迭代法求根
基本概念 非线性方程f(x)=0的根(解) x*,也称为非线性 函数f(x)的零点，f(x*)=0。 f(x)=0的m重根定义：f(x)=(x-x*)mg(x), g(x*)≠0，则称x*为f(x)=0的m重根，或f(x)的 m重零点。 m重根的判定条件： x*为f(x)=0的m重根当 且仅当 * * ( m1) * ( m) * f (x ) f (x ) f ( x ) 0; f ( x ) 0.
非线性方程求根方法分解PPT课件
度，用二分法需进行
n ln(b a) ln 10.96... ln 2
即最多需要11次二分。
x
xn
1 2
(b11
a11 )
0.000488281
1 10 3 2
12
第12页/共48页
计算结果
k
ak , bk
1
[1.0 , 2.0]
xk
1.5
f (xk )
2.375
1
第1页/共48页
根的概念
• 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.
• 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ， 则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根.
• 本章只讨论实根的求法.
从而
f (x )f (x ) (x ) [f (x )]2
由此知若 x 是f (x ) 0 的一个单根，则在x 附近 x * ＝0 Newton法是局部收敛的，并且收
敛速度至少是平方收敛的.
但如果x 是f (x ) 0 的m>1重根，0则
x*
11 1 m
此时Newton法仅有线性收敛速度.
30
第30页/共48页
{xk }
x 2 12.39
21
第21页/共48页
几何示意图
第22页/共48页
例 讨论以下计算 a (a 0) 的算法的收敛阶。
xn 1
1 2
xn
a xn
23
第23页/共48页
解：(1)
(x ) 1 (x a ) 2x
a 1aa
a
2
a
n ln(b a) ln 10.96... ln 2
即最多需要11次二分。
x
xn
1 2
(b11
a11 )
0.000488281
1 10 3 2
12
第12页/共48页
计算结果
k
ak , bk
1
[1.0 , 2.0]
xk
1.5
f (xk )
2.375
1
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根的概念
• 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.
• 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ， 则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根.
• 本章只讨论实根的求法.
从而
f (x )f (x ) (x ) [f (x )]2
由此知若 x 是f (x ) 0 的一个单根，则在x 附近 x * ＝0 Newton法是局部收敛的，并且收
敛速度至少是平方收敛的.
但如果x 是f (x ) 0 的m>1重根，0则
x*
11 1 m
此时Newton法仅有线性收敛速度.
30
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{xk }
x 2 12.39
21
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几何示意图
第22页/共48页
例 讨论以下计算 a (a 0) 的算法的收敛阶。
xn 1
1 2
xn
a xn
23
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解：(1)
(x ) 1 (x a ) 2x
a 1aa
a
2
a
第七章非线性方程求根
求f(x)=0的根
一、对分区间法 原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) · (b) < f 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。
误差 分析： 第1步产生的
ab ba x1 有误差 |x1 x*| 2 2
| xk x*| ba 2k
第 k 步产生的 xk 有误差
有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.313,1.375) (1.344,1.375) (1.360,1.375) (1.360,1.368)
中点 x n
x 2 1.25 x 3 1.375 x4 1.313 x5 1.344 x6 1.360 x7 1.368 x8 1.364
f ( x0 ) x1 x0 作为第一次近似值 f ( x0 )
重复上述过程
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
y
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
≤
|x k-1-x*|
（|xk-xk-1|+|xk-x*|）,
故有 |xk-x*| ≤
/(1-)|xk-xk-1|.
可用 | xk 1 xk | 来 控制收敛精度
这就证明了估计式(6).
(5) |xk-xk-1| = |g(xk-1)-g(xk-2)|
≤
|x k-1-xk-2|≤…≤
收敛性分析
定义2 若存在常数(0≤ <1),使得对一切 x1,x2∈［a,b］, 成立不等式 |g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射， 称为压缩系数
一、对分区间法 原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) · (b) < f 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。
误差 分析： 第1步产生的
ab ba x1 有误差 |x1 x*| 2 2
| xk x*| ba 2k
第 k 步产生的 xk 有误差
有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5) (1.25,1.375) (1.313,1.375) (1.344,1.375) (1.360,1.375) (1.360,1.368)
中点 x n
x 2 1.25 x 3 1.375 x4 1.313 x5 1.344 x6 1.360 x7 1.368 x8 1.364
f ( x0 ) x1 x0 作为第一次近似值 f ( x0 )
重复上述过程
xk 1
f ( xk ) xk f ( xk )
牛顿法的几何意义
Tangent line : y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
y
f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
≤
|x k-1-x*|
（|xk-xk-1|+|xk-x*|）,
故有 |xk-x*| ≤
/(1-)|xk-xk-1|.
可用 | xk 1 xk | 来 控制收敛精度
这就证明了估计式(6).
(5) |xk-xk-1| = |g(xk-1)-g(xk-2)|
≤
|x k-1-xk-2|≤…≤
收敛性分析
定义2 若存在常数(0≤ <1),使得对一切 x1,x2∈［a,b］, 成立不等式 |g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射， 称为压缩系数
第7章非线性方程求根
第7章 非线性方程求根本章主要内容：1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法.重点、难点一、区间二分法区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。
基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b] ,将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。
区间二分法的计算步骤如下： 1.计算区间端点的函数值f(a) , f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）；确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2(ba f + 取21b a x +=3.判断： 若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =*；若 0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈*；令[]],[,111b a x a =若 0)(1<x f ，则有根区间为[]b x x ,1∈*；令 []],[,111b a b x =4. 如果│b-a │<ε（ε为误差限），则方程的根为2ba x +=*；否则转向步骤2，继续二分有根区间[a 1,b 1]，并计算中点值，继续有根区间的判断，直到满足精度要求为止，即│b n -a n │<ε二分次数的确定：如果给定误差限ε，则需要二分的次数可由公式12ln ln )ln(---≥εa b n 确定应二分的次数。
例1 用区间二分法求方程0353=+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001）【思路】参见上述区间二分法的计算步骤解 ∵f(1.8)=-0.168＜0, f(1.9)=0.359＞0 ∴f(x)在区间[1.8 ，1.9]内有一个根。
由公式 644.512ln 001.0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥εa b n取n=6， 计算结果列表如下：则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x *≈ x = 1.8328125区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。
第7章 非线性方程求根
如果点列﹛Pk﹜趋向于点P*，则相应的迭代值xk收敛到 所求根x*.
例3 求x3 x 1 0在1.5附近的根x * . 解：（）x0 1.5，xk 1 3 xk 1, (k 0,1,2,). 1
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
| xk x* | (bk ak ) / 2 (b a) / 2k 1. (1.3)
1 x xk k 1 (b a ) 2
(1.3)
对于确定的精度ε,从式(1.3)易求得需要二等分
的次数k。
二分法具有简单和易操作的优点。其计算步骤如 下,框图如图7.2所示。
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x ex 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
•
设f(x)为定义在某区间上的连续函数, 方程(1.1)存在实根。虽然方程(1.1)的根的 分布范围一般比较复杂,但我们不难将函 数f(x)的定义域分成若干个只含一个实根 的区间。 • 例如考虑方程 • x2-2x-1=0 • 由图7.1所示,该方程的一个负实根在-1 和0之间,另一个正实根在2和3之间。
虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令人 满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式 x=x3-1 建立迭代公式 xk+1=x3k-1, k=0,1,2,…
第七章非线性方程求根2014-10
3
xk 1
(k 0,1, 2,
)
不妨取x0 =1.5 迭代序列 xk k 0 。
实际计算时如果保留6 位有效数字，则由计算结果得
x7 x8 于是可以认为近似解 x7 x *
计算结果见下表：
Hale Waihona Puke k 0时x0 1.5迭代次数 k 1 2 3 4 5 6 7 8 迭代解 xk 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
设x1* x2*都是方程x ( x)在区间 [a, b]上的根， 由条件（2）
| x1 * x2 *|| ( x1*) ( x2 *) |
L | x1 * x2 *|
0 L 1
| x1 * x2 *|
引出矛盾 x1* x2* , 即区间 [ a, b] 内只能有唯一的实根。
对上述同一问题改写为另一种等价形式： x x3 1 从而可建立迭代格式如下： 迭代初值仍取 x0 1.5 迭代次数 k 迭代解 xk
xk 1 ( xk )
1 2 3 4
2.375 12.39 152.52 3547972.6
继续迭代下去计算结果会越来越大，不可能趋于某个 极限，这种不收敛的迭代过程称为发散。
ab , b) 则 x1 ( 2
即为所求根否则，
反复执行步骤（2）及步骤（3），直到区间 [ a, b] 长度小于容许误差，此时的区间中点 a b x 2 x 即为所求的近似根。
这样不断将区间分半,得到一系列区间
[a, b] [a1, b1 ]
[an , bn ]
第7章非线性方程求根(数值分析)
第7章 非线性方程求根
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
1
非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
6
非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
11
1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
12
二分法
应用二分法的前提：已经确定了非
线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
7
非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
1
非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
6
非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
11
1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
12
二分法
应用二分法的前提：已经确定了非
线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
7
非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
数值分析课件第07章非线性方程求根
由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
值分析
例题 用Newton法求方程
解
因为
在0.5附近的根。 ，故迭代格式为
取初值
，经迭代演算，得到前四次的近似根为
值分析
Newton法的应用 对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程
因为 故得求
的近似值的迭代格式
例题 计算
解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。
数值分析课件第07章非线性 方程求根
值分析
第7章 非线性方程求根
§求根的基本问题及分析方法 §迭代法 §Newton法 §弦截法与抛物线法
值分析
7.1 求根的基本问题及分析方法
方程的求根大致包括3个基本问题： 根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？ 根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。 根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化， 直到满足预先要求的精度为止。
缩小，使根进一步精确化。
设
，且
，则可判定
。
不妨设
，且
。我们从左端开始，按预先选定的步长h
，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。
如果
，则表明根
。
如果精度不够，可将
看成 [a, b]再次进行搜索，并从左端点开始
向右搜索，直到满足精度为止。
在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数
例对
求根的基本问题及分析方法
之根进行隔离。
解 显然，
，由
得驻点
。
因
故
分别
为 极大值和极小值。
从而
内各有一个实根。
由 y=f(x) 的草图可以直观地看到这点。
数值分析(李庆扬)第七章)
x1 x* x2 x*
x0 x* x1 x*
x*
x2
( x2 x1 )2 x0 2x1 x2
此种加速需用两次迭代值进行加工。 (P273)
如果将一次改进值作为一步，
则计算公式如下：
校正 再校正
改进
x% k 1 ( xk )
xk 1 ( x% k 1)
xk 1
xk 1
( xk 1 x% k 1 )2 xk 1 2 x% k 1 xk
证：因 ' ( x)在O(x*, * )内连续，且 ' ( x) 1, 故存 在正数L 1, *, 使得对x [x* , x* ]，有
' (x) L 1 另一方面，由 (x* ) x*, 又有
(x) x* (x) (x*) L x x* 即 (x) [x* , x* ]。由上面定理知，迭代序列 xn1 ( xn )收敛于x*。
1）, 若
f
a
b 2
0
输出根
x
ab 2
, 否则：若
f
a
2
b
0，
令
a1
a
2
b
，b1
b
反之
ab b1 2 , a1 a.
2 ),对 [ a1 ,b1 ] 区间重复1）的计算，并产生 [ a2 ,b2 ],
3),
若
f
ai
2
bi
0，则得到根
x ai bi . 2
二分法的收敛性
二分法产生一个有根区间：
f (2) 1 0
[1.5, 2] 为有根区间。
（1）x x 1 1(x) 因 1.5 1.5 1 1(x) 2 1 2
且
1' (x) 2
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又因为 f (4)=1>0, 所以第二有根区间可缩小为 (3,4)。
x f (x) f (x)
有根区间
(-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+∞) - 0 -0 ++ + ↘ + ↘- ↗+ ↗
(0,3) (3,4)
9
非线性方程的有根区间
逐步搜索法 (增值寻根法)
增值寻根法的基本思想是: 从初值 x0 开始, 按 规定的一个初始步长h 来增值。
(1) 在[a,b]内连续；(2) f(a) ·f(b)<0 ,
(3) f(x) 在[a,b]内严格单调。
13
二分法
二分法的基本思想是：通过等分有 根区间，不断压缩有根区间的大小。在 有限步运算中，当区间压缩到一定小的 程度时，用其中点作为原方程的近似解。
取有根区间[a,b]的中点
x0
a
2
b
计算f(x0)，考察f(x0)的正负情况。
对于1次、2次的多项式方程，已经有成 熟、有效的解法；
对于3次、4次的多项式方程，也有公式 可以使用，但形式较为复杂；
高于4次的多项式方程早在1830年就证明 了不可能用公式求解。
4
求根的方法
根据前面的讨论，可以把次数高 于2次的多项式方程同一般的非线性方程
f (x)=0的求解作为相同的问题进行研究。
2
非线性方程根的不同情况
若 f (x)可表示成： f x (x x )m g(x) m Z
且g ( x* ) ≠0 当 m=1 时，x*称为f (x)的单根； 当 m>1 时， x*称为方程f (x)的m重根，或函数 f (x) 的m重零点。
n次的非线性方程在复数域内有且仅有n个根。
3
求根的方法
第7章 非线性方程求根
第一节 方程求根与二分法
本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题
1
非线性方程根的不同情况
设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是
一种特殊形式的方程，即多项式方程，
也叫n 次代数方程 。
f ( x) a0 a1 x an xn an 0
若x*使得f (x*)=0，则称x*为方程f (x)=0的根 或函数 f (x)的零点。
15
二分法
对压缩了的有根区间[a1,b1]，实行同样的
步骤。
若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程 将无限进行下去。
如此反复进行, 可得一系列有根区间
[a, b] [a1, b1] [a2 , b2 ] [ak , bk ]
16
二分法
由于每一区间都是前一区间的一
半，因此区间[ak, bk]的长度为：
19
二分法
例：用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区
间(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005。
解：即要求满足 x xk 0.005
| x* xk
|
bk
ak 2
ba 2k 1
0.005
取k =6
k 5.6
20
小时，此区间中任何一点与x*的差必小于
某一个值。所以可以用此区间中任何一点
作为x*的近似，且误差可以容易估计。
18
二分法
当区间[ak, bk]的中点作为x*的近似值时，来自即：x* bk
ak
2
| x* xk
|
bk
ak 2
ba 2k 1
二分法的特点：计算简单，且总是收敛的。但是 收敛速度慢。
二分法适合于寻求一个较好的近似解，作为其它 方法求解的初值。
对这类问题通常采用区间法或迭 代法求解。
5
非线性方程的有根区间
在微积分中有这样的定理：
若 f(x) 满足条件: (1) 在[a,b]内连续, (2) f(a) ·f (b)<0 ,
则 f(x)=0 在[a,b] 内必有根。
f(x)的有根区间 若 f(x) 在[a,b]内还严格单调,则 f(x)=0在[a,b] 内 只有一根。
7
非线性方程的有根区间
所以 f(x) 在(-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
区间上分别单调减、单调减、单调增。
分析计算可得：
f (–∞)>0, f (0)=1>0, f (3)=-26<0, f (+∞)>0
可见 f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3) , (3,+∞)
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非线性方程的有根区间
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1.求方程 的有根区间.
解 根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算， 结果如下表：
方程的三个有根区间为［1,2］,［3,4］,［5,6］.
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二分法
应用二分法的前提：已经确定了
非线性方程的有根区间[a,b]。
设方程 f (x)=0 在区间[a,b ]内有且只有一 个实根 x* 。
即 f (x) 满足条件:
xn1 xn h (n 0,1, 2, ) 同时计算 f ( xn1 )。
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非线性方程的有根区间
可能遇到三种情形： (1) f ( xn1 ) 0 此时 xn1 即为方程的根 x 。 (2) f ( xn ) f ( xn1 ) 0 说明区间[ xn , xn1]内无根 (3) f ( xn ) f ( xn1 ) 0，说明区间[ xn , xn1]内有根 搜索过程,可从a开始,也可从b开始,这时应取步 长 h< 0。
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二分法
(1)若 f ( x0 ) = 0, 则 x0 就是方程的根x*,计算结束 ; (2)若 f (a) f ( x0 ) 0 ，则x* (a, x0 )
令 a1= a , b1=x0 ; (3)若 f (b) f ( x0 ) 0 ，则x* ( x1, b)
令 a1= x0 , b1= b ; 此时的有根区间为[a1,b1]，该区间大小为原区间的 一半。
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非线性方程的有根区间
例：判断方程 f(x)=x4-4x3+1=0 有几
个实根，有根区间是什么？
由 f (x)= 4 x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
因此将实轴分为三个区间来讨论： (-∞,0), (0,3)，(3, +∞)
f (x) 在此三区间的符号分别为“ -”、“ - ”、“+”
bk
ak
1 2k
(b a)
1
lim k 2k (b a) 0
即当 k→∞ 时, 区间必将最终收缩为一点x*, 显
然x* 就是所求的根。
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二分法
小结：二分法也可以看作一种迭代法，它 的迭代过程确定了一个区间的序列{ I(k) }，
使每个区间都包含方程的某个解x*。且区
间长度趋于零。显然，当区间的长度足够