十字相乘法分解因式导学案

十字相乘法进行因式分解

【学习目标】

（1）理解二次三项式的意义；

（2）理解十字相乘法的根据；

（3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

学习重点：理解十字相乘法的根据。

学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。

学习过程：

1．二次三项式

多项式，称为字母x 的二次三项式，其中称为二次项，bx 为一次项，c 为常数

项．例如，和都是关于x 的二次三项式．

在多项式中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．

在多项式中，把ab 看作一个整体，即，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，

并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式

c bx ax ++22ax 322--x x 652++x x 2286y xy x +-37222+-ab b a 3)(7)(22+-ab ab 12)(7)(2++++y x y x q px x ++2

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四

个整数，使，，且，

那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型例题】

例1 把下列各式分解因式：

（1）；（2）． 例2 把下列各式分解因式：

（1）；（2）．

))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++c bx ax ++22121,,,c c a a a a a =?21c c c =?21b c a c a =+1221c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 1522--x x 2

265y xy x +-3522--x x 3832-+x x