凸函数及其在证明不等式中的应用

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函数的凹凸性在不等式证明中的应用

函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。

具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。

在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。

首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。

假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。

我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。

由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。

再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。

因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。

其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。

假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。

我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。

具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。

通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。

此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。

例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。

假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。

我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。

我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。

通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。

总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。

凸函数在证明不等式中的运用

凸函数在证明不等式中的运用不等式是数学中一个重要的概念，经常出现在数学问题的解决过程中。

而凸函数作为一种特殊的函数类型，具有很好的性质。

本文将介绍凸函数在证明不等式中的运用。

首先，我们来定义凸函数。

在实数集上的函数f(x)被称为凸函数，如果对于任意的x1、x2∈[a,b]，以及0≤λ≤1，有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)这个定义表明，在凸函数上，任意两点的连线实际上都位于函数曲线的上方或切于函数曲线。

凸函数具有很多良好的性质，其中一个非常有用的性质是“切线大于曲线”，即对于凸函数f(x)，对于任意x1，x2∈[a,b]，有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)。

1.使用切线法。

利用凸函数的“切线大于曲线”性质，我们可以通过构造或应用合适的凸函数来证明各种不等式。

例如，考虑证明柯西-施瓦茨不等式，即：对于任意的a1，a2,…,an和b1，b2,…,bn，有：(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2我们可以取凸函数f(x)=x^2，然后应用“切线大于曲线”性质，即：f(b1^2+b2^2+…+bn^2- λ(a1^2+a2^2+…+an^2)) ≥f(b1^2+b2^2+…+bn^2)− λf(a1^2+a2^2+…+an^2)然后，通过选择合适的λ值，并利用普通不等式，我们可以得到柯西-施瓦茨不等式的证明。

2.使用幂平均不等式。

幂平均不等式是一类难题中常见的不等式之一，它可以通过利用凸函数的特性来证明。

根据幂平均不等式的定义，对于任意的正实数x1,x2,⋯,xn和正实数p,q（p≠q），我们有：((x1^p+x2^p+⋯+xn^p)/(n))^(1/p) ≥((x1^q+x2^q+⋯+xn^q)/(n))^(1/q)这个不等式可以通过定义幂函数f(x) = x^p（其中 p>1）来证明。

凸函数及其在不等式证明中的应用

凸函数及其在不等式证明中的应用
凸函数是一种特殊的函数，它是数学及其应用中最重要的函数之一，它具有许多特性，可以用于在约束条件下寻找最优解和不等式证明中。

凸函数具有一个很重要的性质，它满足凸性，即任何两个点之间的夹
线都必须全部位于函数的上方。

这一性质的重要性在于可以将复杂的
问题表示为凸多变量函数的形式，从而使其更容易求解。

在数学分析中，凸性可以用来证明不同的不等式。

def-convex函数的
不等式可以满足：f（x）> a*x + b，其中a,b是算数常数，x是n维向量。

同样，f（x）< a*x + b也可以适用于凸函数，而这正是满足凸函数性质的常见不等式。

此外，凸函数可以用来求解约束优化问题。

如果函数是凸函数，则可
以确保取得最优值，而这样的解决方案也可以用来验证不等式或求解
数学建模问题。

总而言之，凸函数在数学及其应用中十分重要，它的凸性和求解最优
值的能力可用来证明不等式和解决约束优化问题，可以说是一种非常
强大的函数类型。

浅谈凸函数在证明初等不等式中的简单应用

浅谈凸函数在证明初等不等式中的简单应用【摘要】初等不等式证明是高中数学学习阶段的难点之一。

本文介绍了凸函数在证明初等不等式中的简单应用.【关键词】凸函数；不等式初等不等式证明是高中数学学习阶段的难点之一，很多同学为之头痛。

凸函数是一类重要的函数.它的用处很广。

有些不等式利用凸函数的性质、定理来证明非常简洁、巧妙。

下面进行了简单介绍。

*说明：①下文所说凸函数均为下凸函数。

不等号相反，则称是上的上凸函数，不再重述②定理：若数列{an}是递增差数列，则等号成立时{an}是等差数列.1 凸函数的定义及等价定义定义：设函数f（x）在区间[a，b]上有定义，若对[a，b]上任意两点x1，x2，和正数λ∈（0，1），总有：f[λx1+（1+λ）x2]λf（x1）+（1+λ）f（x2）成立，则称f（x）为区间[a，b]上的凸（下凸）函数，若上式仅不等号成立，则称f（x）为区间[a，b]上的严格凸函数.等价定义：设函数f（x）定义在区间I上，如果对x1，x2，有其中λ1>0，λ2>0，且λ1+λ2=1则称f（x）是I上的凸（下凸）函数.2 凸函数的判定定理设f（x）为区间I上的二阶可导函数，则在I上f（x）为凸函数的充要条件是：f（f″（x）0），x∈I3 凸函数的重要性质性质1.（Jensen不等式）若f（x）为区间[a，b]上的凸函数，则对任意xi∈[a，b]，λi>0i=1，2，…，n，ni=1λi=1有推论：若f为区间I上的凸函数，则x1，x2…xn∈I必有性质2. （几何特性）f（x）是x∈（x1，x2）上的凸函数，则有：4 凸函数的简单应用有一类不等式利用凸函数的性质、定理来证明非常简洁、巧妙。

证明不等好似就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.下面举例说明.例1..若a>0，b>0，p>0、q>1，且1p，1q求证：a1p·b1qap+bq.分析：从所述求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数.因此，我们对此不等式进行适当的变形，不妨在不等式的两边同取自然对数，，由此我们就很容易找到合适的凸函数了.证明：考察函数f（x）=-1nx（x>0），因为f″（x）=1x2>0，故f（x）为x>0上的严格凸函数。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，whichmakes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality). We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#）若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （）若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向.证明由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bb f x n a a n i f a n n n b a f x dx e dx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e （b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2n i b ai f a b n n b a a n a b lmf b a e f x dxa b b a e b a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e （其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤- ()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a b b b b f x x b a a a a a b a a b b a a b b b b a b aa ab a f x dx edx e dx e dx b a b a e e dx e x b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤ 而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x x g x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数.注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少. (4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11n i i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤--- （4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰ （7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'--- 在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-. 在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x--''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x x η-'=- 因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 成立并且在(,)a b 的任何开的子区间f ''不恒等于0.证明第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景；第二个结论，先证充分性由于0f ''≥在(,)a b 成立并且在(,)a b 的任何开的子区间f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证.再证必要性（反证法）因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用围最广的是Jensen 不等式. Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I ∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1）此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n = 有1212 (111)...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1）设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3）证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nn i i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1i ini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i i p p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2）设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤，（2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥. 证明（1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B Cf ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2）令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥.下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥(%)证明设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=- 在上式中令n →∞时，则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x =+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，i i a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i i i i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen不等式，Hadamard不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].文理学院数学系，2001[2] 琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].学报,,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].工贸职业技术学院学报,,2005,3[4]燕建梁,喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].教育学院学报,,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育，2003:167-176[7]碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师学院学报,,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].大学学报,,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师金洪老师的指导是很难进行下去的.老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感.也在此对我们的学校师大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感.也感那在身后的帮助.。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。

在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。

1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。

如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。

2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。

3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。

在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。

这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。

由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。

2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。

这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。

凸函数的性质和一些不等式的证明

凸函数的性质和一些不等式的证明高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：XXX专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿准考证号： XXXXXXXXXXXX指导教师姓名职称：XXX甘肃省高等教育自学考试办公室印制2013 年 3 月 4 日XX 专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题（Properties of convex function andinequality ）论文作者（XX ）论文作者（XXXXXXXXX ）数学专业本科论文目录内容摘要： (4)关键词： (4)一、凸函数 (5)1.凸函数的定义 (5)2.常见的凸函数 (6)4.凸函数的定理 (6)二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)注释： (11)参考文献： (11)凸函数的性质和一些不等式的证明——凸函数的证明XX内容摘要：我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。

并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。

关键词：凸函数、性质、Jensen不等式、三角不等式、一、凸函数1.凸函数的定义我们都学习了二元一次的函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧线总在这两点连线的下方。

我们把具有这一种特性的曲线称为凸的由此，我们定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。

运用凸函数性质证明不等式

不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。

凸函数性质：1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸函数，设，那么2)()()2(b f a f b a f +≥+ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设2b a c +=，那么2)()()2(b f a f b a f +≤+ 当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。

特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：)(0)(x f x f ⇒<''为上凸的函数；)(0)(x f x f ⇒>''为下凸的函数。

将上面的性质加以推广1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸的函数，设xi在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设xi 在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。

（证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。

例1中，求证：323sin sin sin ≤++C B A 证明一：sinA+sinB+sinC令C 为定角:C 为定角，2cos ,4coscc-π为定值，要使2cos 2cos 2cos CB A ++为最大值，只有当A=B 时才成立，由于A.B.C对称，2cos 2cos 2cos CB A ++ 有最大值，当且仅当A=B=C=60°时才能达到3232cos 2cos 2cos≤++∴C B A 2b a c +=运用凸函数性质证明不等式（何仲永浙江诸暨轻工技校 311800 ）摘要：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。

在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。

一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。

如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。

二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。

2.凸函数的二阶导数是非负的。

3.函数的局部极小值点是凸函数。

4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。

三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。

下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。

3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。

如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。

4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。

我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。

在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。

它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#）若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@）若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景；第二个结论，先证充分性由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法）因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1）此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1）设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3）证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2）设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤，（2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明（1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2）令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时，则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用

凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。

在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。

1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。

2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。

首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。

其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。

3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。

也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。

4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。

也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。

凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。

我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。

通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。

2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。

这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。

3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。

Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。

这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。

应用凹凸函数的性质证明不等式解读

2
sin Α+co s Α
2
=1+2sin2Α+
4
2sin (Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+2 2.
例2已知A 1,A 2,A 3,…,A n是凸n边形的n个内角.求证:
sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin (n -2Π
n
.
证明由平面几何知识可知A i ∈
(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n
f (x 2≤2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凸函数;若恒
有f (x 1+f (x 2≥2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理若函数f (x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n有以下不等式成立:
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(x n+1
x n
2
≥(n2+12
n
.
例4设a、b、c为△A B C的三边,S是

凸函数及其在证明不等式中的应用

凸函数及其在证明不等式中的应用凸函数是数学分析中的重要概念，它在不等式的证明中发挥着重要作用。

本文将介绍凸函数以及它在证明不等式中的应用。

凸函数是一个定义在实数轴上的函数，它的一个重要特性是对于函数上任意两点，连接这两点的弦不会低于函数上的任意一点。

凸函数的形象化理解是函数图像位于对应的弦的上方。

具体定义上，设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果对于任意的x1,x2∈[a,b]以及任意介于x1和x2之间的t∈[0,1]，有f(tx1 + (1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2)则称函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数。

凸函数具有很多重要的性质，这些性质在证明不等式中起到了关键作用。

下面将介绍几个常见的凸函数的性质。

首先，凸函数的导函数递增。

也就是说，如果f(x)是一个凸函数，则f'(x)≥0。

这个性质可以用凸函数的定义来证明。

假设存在x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，使得f'(x1)>f'(x2)。

根据导函数的定义，可以得到f'(x1) = lim┬(h→0)⁡(f(x1+h)-f(x1))/hf'(x2) = lim┬(h→0)⁡(f(x2+h)-f(x2))/h由于f'(x1)>f'(x2)，因此存在一个Δ>0，对于任意的0<h<Δ，均有(f(x2+h)-f(x2))/h≤(f(x1+h)-f(x1))/hf(x2+h)-f(x2)≤f(x1+h)-f(x1)由此可得f(x2)≤f(x1)，与凸函数的定义矛盾，因此f'(x)必须递增。

其次，凸函数的二阶导函数非负。

也就是说，对于凸函数f(x)，有f"(x)≥0。

这个性质的证明可以通过分别计算f(x)的一阶导函数和二阶导函数来完成。

如果一阶导函数f'(x)≥0，那么f(x)是递增函数，因此它的二阶导函数f"(x)≥0。

凹凸函数的性质在不等式证明中的应用

凹凸函数的性质在不等式证明中的应用凹凸函数是数学分析中的重要概念，在不等式证明中有着广泛的应用。

凹凸函数在不等式证明中的应用可以帮助我们更精确地估计函数的取值范围，以及确定不等式的成立条件。

下面将分别从凸函数和凹函数两个方面来讨论凹凸函数在不等式证明中的应用。

首先，我们来解释凸函数和凹函数的定义：设函数f(x)在区间I上连续，如果对于区间I上的任意两点x1和x2以及任意t∈[0,1]，都有以下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凸函数；f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凹函数。

接下来，我们将讨论凸函数在不等式证明中的应用。

1.凸函数在不等式证明中的应用：凸函数在区间上的取值比割线的取值更小。

这个性质被称为下凸性。

具体来说，如果函数f(x)在区间I上是凸函数，对于区间上的任意两点x1和x2，都有以下不等式成立：f(x)≥f(x1)+f′(x1)(x-x1)，其中f′(x)表示函数f(x)的导数。

基于凸函数的这个性质我们可以得到以下结论：1.1瑕疵卡西：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意两点，有：f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，即凸函数的和大于等于函数的和。

1.2 杨辉三角形不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意n个实数x1, x2, ..., xn，有：f(x1+x2+...+xn)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ，即凸函数的和大于等于函数的和。

1.3 杨辉不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I 上的任意n个不等的实数x1, x2, ..., xn，有：f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+...+f((xn-1+xn)/2)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/(n-1) ，即凸函数的均值小于等于函数的均值。

凸函数在不等式中的证明

凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。

我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤ 那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.以上若不等式的方向相反，则称()f x 在(,)a b 内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.1.2 ()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n = 是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数[1].性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭子区间上有界.性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内连续.定理1[1]()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()n n i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：1.3凸函数的不等式 1.3.1 凸函数基本不等式设()f x 是(,)a b 内的严格凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组不全相同的值12,,...,n x x x ，必有不等式[2]：1.3.2 Jensen 不等式Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1）设()f x 是(,)a b 内的凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式： 112211221212...()()...()()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤≥++++++ （2）设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而 (),()0,()0ba m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰则当()()t m t M ϕ≤≤为凸（凹）函数时有()()()[()]()()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤≥⎰⎰⎰⎰2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：1212...111...nna a a n na a a +++≤≤+++证明设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=x x f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数，取121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n n n n n n-+++≤----或n n n n n n na a a a a a na a a ...ln )ln ...ln (ln ...ln 211121121-=+++-≤+++- 即12...na a a n+++≤取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i x q i n q q q a n=∈∞==+++= 同样方法，有12...nn a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ，有1212......nna a a n na a a +++≤≤+++例2 证明12,,...,,1n x x x R p +∀∈≥ 有 11212......()p p p pn n x x x x x x n n++++++≤上式称为算术平均不大于(1)p p ≥ 次平均，特别的，当2p = ，得到算术平均值不大于平方平均值。

凸函数及其在证明不等式中的应用

本科毕业论文题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004级2班姓名冀学本学号200402410642008年５月２７日目录摘要 (I)Abstract (I)1引言 (1)2凸函数的等价定义 (1)2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 (2)2.1.1定义1⇔定义2 (2)2.1.2定义1⇔定义3 (4)2.2判定定理与JESEN不等式 (4)3．性质 (5)4凸函数在不等式证明中的应用 (7)4.1利用凸函数定义证明不等式 (7)4.2利用凸函数性质证明不等式 (8)结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式Abstract First has given the convex function three model definition，has analyzed between them the relations，and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality.Then discussed convex function several commonly used nature，has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question.The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application，the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore，the correct understanding convex function's definition，the nature and the application，carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function.In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method，finally has proven several common important inequalities.And obtained several kind of commonly used convex function forms.Key words Convex function，convexity inequality，jensen inequality1引言凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．2凸函数的等价定义定义1[1]若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的割线总在曲线之上．定义2若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有[]12121(()()22x x f f x f x +≤+，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ，恒有000()()()()f x f x f x x x '≥+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线，总在曲线之下．以上三种定义中，定义3要求()y f x =在(,)a b 内是可导的，定义2要求()f x 在(,)a b 上是连续的．而定义1对函数()y f x =则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数()y f x =在(,)a b 上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数()y f x =是可导的，则没有提出．如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的．2.1凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1定义1⇔定义2证明定义1⇒定义3，取12λ=，由定义1推得定义2．定义2⇒定义1首先，论证()f x 对于任意的()12,,x x a b ∈及有理数()0,1λ∈，不等式()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，成立．事实上，对于此有理数λ总可以表示为有穷二进位小数，即12121122220.2n n n n n na a a a a a a λ---++++== ，其中0i a =或1，()1,2,,1;1n i n a =-= ．由于1λ-也是有理数．所以也可以表示为有穷二进位小数，即121211222210.2n n n n n nb b b b b b b λ---++++-== ，由于()11λλ+-=，有0i b =或1，()1,2,,1;1n i n b =-= ，于是[]()()()12121,2,,1i i i i f a x b x a f x b f x i n +≤+=- ．所以()121f x x λλ+-⎡⎤⎣⎦12121211211222222222n n n n n n n n n n a a a a b b b b f x x ------⎡⎤++++++++=+⎢⎥⎣⎦()22221112121122112222n n n n n n a a b b f a x b x f x x ----⎛⎫++++≤+++ ⎪⎝⎭232323123111121211222222()2n n n n n n n n n n a a a a b b b b a x b x x x f --------⎡⎤⎛⎫+++++++++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()22221112121122112222n n n n n n a a b b a f x b f x f x x ----⎛⎫++++≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()()()()()()()()()3311122122122221112212211122112221111*2222221112221n n n n n n n n n n n n a b a f x b f x a f x b f x f x x a f x b f x a f x b f x a f x b f x a x b x f --------⎛⎫++++≤+++++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭≤≤++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()()()()()111221221112211211122212n n n n n n a f x b f x a f x b f x a f x b f x a f x b f x ---≤++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎡⎤⎣⎦ ()()()()()12121211211212222222221n n n n n n n n n na a a ab b b b f x f x f x f x λλ------++++++++=+=+- ．下面再论证()f x 对λ为无理数时定义1也成立．事实上，对任意无理数()0,1λ∈，存在有理数列{}()()0,1,n n n λλλ⊂→→∞，所以()()()121211n n x x x x n λλλλ+-→+-→∞，由于()f x 在(),a b 内连续，所以()()()()()()()()()()12121212121lim 1lim 1lim 11n n n n n n f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣⎦≤+-⎡⎤⎣⎦=+-．综上即知，定义1与定义2等价．2.1.2定义1⇔定义3证明定义1⇒定义3：对(),a b 内任意的0x 及x ，若0x x <，则取0h >，使00x x h x <+<．于是，可以得到()()()()0000f x h f x f x f x h x x +--≤-，上式中令0h →，由于()f x 可微，所以有()()()000f x f x f x x x -'≤-，即()()()()000f x f x f x x x '≥+-．若0x x <，则取0h >，使0x x h x <+<，同理可证．定义3⇒定义1：对于区间(),a b 内的任意12,x x （不妨设12x x <）以及()0,1λ∈，令12x x x <<，则有()()()1122211,x x x x x x x x λλ-=---=-，由泰勒公式，得()()()()111f x f x f x x θ'=+-及()()()()222f x f x f x x θ'=+-，其中1122x x x θθ<<<<，于是()()()()()()()()12122121111f x f x f x x x x f f λλλλλλθθ''+-=+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦再进一步由()()21f f θθ''>，所以()()()()121211f x f x f x x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦即()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的．2.2判定定理与Jesen 不等式判定定理[2]设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()0f x ''≥，x I ∈．用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的．在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．定理(Jensen 不等式)[3]设函数:(,).f a b R →f 在(,)a b 上处处二次可微，且()0f x ''≥(对任意(,)x a b ∈，则()f x 为(,)a b 上的凸函数，即对任意m N ∈，(,)k x a b ∈及10,1mk k k λλ=≥=∑成立如下不等式11()()m m k k k k k k f x f x λλ==≤∑∑，（1）该不等式称为Jensen 不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况．可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用．利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路．注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而()(1,2,3)i f x i =都满足不等式（1）．（a ）11()0,0)f x x a a x =>≥+ （，（b ）21()(0)f x x c c x =<<-，（c ）3()(0)xf x x c c x =<<-．凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之．3．性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明．函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析．凸函数是一类重要的函数．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．性质1[4]设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，则()()f x x +g 在区间I 也为凸函数．证明：()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，从而()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，且()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．于是有()()()()()()()()()12121122[11][]1[]f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+因此()()f x +g x 在区间I 为凸函数．性质2设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，则()(){}max ,f x g x 在区间I 为凸函数．证明()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈，因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数从而有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，且()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．令()()(){}max ,F x f x g x =，则()()()()()(){}1212121max 1,1F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-()()()()()(){}1212max 1,1f x f x g x g x λλλλ≤+-+-()(){}()()(){}()()()112212max ,1max ,1f x g x f x g x F x F x λλλλ≤+-=+-．因此，()()(){}max ,F x f x g x =在区间I 为凸函数．性质3[5]设函数()()f x x 、g 在区间(),a b 为递增的非负凸函数，则()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．证明()12,,x x a b ∀∈，设12x x <，因()()f x x 、g 为非负凸函数，由定理3知(),x a b ∀∈，()()f x x 、g 在点x 连续，且()()12120()()22f x f x x x f ++≤≤，()()12120()()22g x g x x x g ++≤≤．因此()()f x x g 在区间(),a b 连续，因()()f x x 、g 递增，从而()()()()()()()()()()()()2121112212210f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x --=+-+≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且()()()()21211212()()2222f x f xg x g x x x x x f g ++++≤()()()()()()()()()()()()11221221221142f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ++++=≤由定义知()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举．4凸函数在不等式证明中的应用4．1利用凸函数定义证明不等式例1求证：对任意实数,a b ，有()12a ba b e e e +≤+．证明设()x f x e =，则()()0,,f x x ''≥∈-∞+∞，故()x f x e =为(),-∞+∞上的凸函数．从而对121,,2x a x b λ===，由定义有()12121111(1)(1)()2222f x x f x f x ⎡⎤+-≤+-⎢⎥⎣⎦，即()12a ba b e e e +≤+．例2设01,01x a <<<<，则有()()1111a ax x x -+-<-．证明设()()()111a a f x x x -=+-()01x <<，那么()()()()()()111111a a a a f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()()()()()11112111111111a a a a a a a a f x a a x x a a x x a a x x a a x x --------''=--+---+--+--+()()()()()()11122111111a a a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1122111111a a a a a a x x a a x x -----=--+-=-+-，于是01,01x a <<<<时，()0f x ''>．由严格凸函数的定义，其中12,1,0x x x λ===得()()()()()110110f x f x x x f x f =+-<+-⎡⎤⎣⎦ ，即()()1111a ax x x -+-<-．例3[6]若()f x 为(),a b 内的凸函数，(,),1,2,,i x a b i n ∈= ，求证()111()nini i i xf f x n n ==≤∑∑．证明对12,2n x ==，不等式是显然的，设对1n -不等式成立，则因为1212111n n n x x x x x x n x -++++++-=+- ，这里1n n λ-=，()()121,,,1n n x x x a b x a b n -+++∈∈- ，由定义有()()1111111()()1n n ii ni i n ii xx n f f f x f x n n n n n-===-≤+=-∑∑∑，例4若()0,i θπ∈，1,2,,i n =则12sinn nθθθ+++≥ ．证明令()ln(sin )i i f θθ=-，()0,i θπ∈，1,2,,i n = ．由于()2sec 0i i f θθ''=>则()f x 为()0,π上的严格凸函数，所以由例3的不等式有1111ln(sin )ln(sin )n ni i i i n n θθ==-≤-∑∑，即12121ln(sin)ln(sin sin sin )n n n nθθθθθθ+++≥ ，由1e >得12sin n nθθθ+++≥ ，上式等号仅在12n θθθ=== 成立．4.2利用凸函数性质证明不等式例5证明不等式：122212122()n n x x x x x x n n++++++≤≤ ，其中10,1,2,,x i n >= ．证明考虑对数函数()()ln 0f x x x =>，因为()210,f x x ''=-<故函数()ln f x x =是上凸函数，由上凸函数的性质，即得()12121ln ln ln ln ln n n x x x x x x n n +++≥+++= ，由对数性质，即证明了12nx x x n+++≤．（2）又考虑函数()()20g x x x =->，所以()20g x ''=-<．故()2g x x =-也是上凸函数，由上凸函数的性质，得22221212()n n x x x x x x n n+++-----≥ ，即22221212()n n x x x x x x ++++++≤ ，因此12221212()n n x x x x x x n n++++++≤ ，（3）综合（2），（3）整个命题证明结束．例6设12n ααα ，，，均为正数，且121n ααα+++= ．求证：22221212111(1)()()()n n n nαααααα+++++++≥ ．证明考虑函数()2,f x x =因为()20f x ''=>，所以()2f x x =是下凸函数，令1111,x a a =+1,n n nx a a =+ ，由下凸函数的性质，则有2221212111()((n na a a a a a ++++++ 12212111()n n a a a a a a n n++++++≥ （4）2121111(1)nn a a a =++++ ，由柯西不等式：22222111()()()nnniii i i i i a b a b ===≥∑∑∑得1212111111(()1n na a a a a a +++=+++ ()21212111()n na a a n a a a =++++≥ ，于是有212111()nn a a a +++≥ ，并代入（4）式即得22221212111(1)()()()n n n nαααααα+++++++≥ ，证毕．例7[7]在ABC ∆中，求证sin sin sin 2A B C ++≤．证明考虑函数()sin 0y x x π=<<，因为()sin 00y x x π''=-<<<，所以sin y x =在()0,π内是上凸函数，由上凸函数的性质有sin sin sin sin33A B C A B C++++≤，由于A B C π++=．故sin sin sin 2A B C ++≤．例8[8]设,i i a b R +∈，1,2,,i n = ，11nni i i i a b ===∑∑，则21112nni i i i i ia a ab ===+∑∑．证明记1ni i s a ==∑则11ni i a s ==∑，取()1,01f x x x=>+，易知()0f x ''>，有判定定理知()f x 为凸函数，取ii i b x a =，由于11n n i i i i a b s ====∑∑．故由性质得21111111211nn i i nni i i i i i i ii i a a s s s s ab a b s x x ss=====≥==++++∑∑∑∑．例9设,0i i a b >，1,2,,i n = ，有1111nnnqp q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑，其中0,0p q >>，111p q+=．证明令(),1,0p f x x p x =>>，因为()2(1)0p f x p p x -''=->，由判定定理知(),1,0p f x x p x =>>，在()0,+∞上是严格凸函数，由Jensen 不等式得到11()nnppi i i ii i x x λλ==≤∑∑，今设12,,,n u u u 为非负实数且10ni i u =≠∑，在上述表达式中以1niii u u=∑代替i λ，得到1111()()()n n npp p i i i ii i i i u x u x u -===≤∑∑∑．由题设111p q+=知()1q pp =-令1,q q i i i i iu bx a b -==，不妨设10ni i b =≠∑，代入上式便得不等式1111nnnqp q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．特别地，取2p q ==时得就到柯西不等式1ni i i a b =≤∑．综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解．结束语通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性．给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen 不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的．至于凸函数在其他领域的应用则未涉及．参考文献[1]花树忠．凸函数的三种典型定义及其间的等价关系[J]．邯郸职业技术学院学报．2002(1)：52-54．[2]李碧荣．及其性质在不等式证明中的应用[J]．广西师范学院学报．2004，21(2)．[3]林银河．凸函数的等价描述与Jensen 不等式[J]．丽水师范专科学校学报．2001，23(2)．[4]杜厚雄．凸函数的性质及其应用[J]．现代企业教育．2007:173-174．[5]白景华．凸函数的性质、等价定义及应用[J]．开封大学学报．2003，17(2):59-64．[6]曹良干．凸函数的定义及应用[J]．阜阳师范学院学报．1994(2)．[7]燕建梁，张喜善．凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J]．太原教育学院学报．2002，20(4)：63-65．[8]李荣春．利用凸函数证明不等式[J]．宁德师专学报．1998，10(1)．致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的．在这里首先要感谢我的导师吴开腾老师．吴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料到论文开题，中期检查，后期修稿定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的论文较为复杂烦琐，但是，吴老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩吴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学与应用数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文才会顺利完成．最后感谢数学与信息科学学院和我的母校—内江师范学院大学四年来对我的大力栽培．谨以此文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学和朋友们．我唯有在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！谢意难尽，前途漫长，除了热血、辛劳、泪水和汗水之外，我别无奉献．论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”．。

凸函数及其性质在不等式证明中的应用

凸函数及其性质在不等式证明中的应用
凸函数是数学中重要的一个分支，它的性质直接关系到许多应用中的非线性规划问题的求解。

它的作用横跨金融、优化运筹、机器学习等多个领域，能够极大地提高工作效率和解决方案质量，是越来越受到重视的数学工具。

在不等式证明这一领域，凸函数的优势表现得淋漓尽致。

它可以快速、准确地解决诸如约束最优化等复杂的数学模型，使收敛性更高、解决效果更佳，从而大大提高工作效率。

此外，它还可以有效、精确地计算任意函数的边界，并可以根据实际情况求解凸集或凸函数的局部参数最优化问题。

凸函数还有一个重要的特点，即它的近似性可以在一定程度上控制在可接受范围内。

这一特点与一般的函数相比，在处理复杂场景时有着重要的意义，可有效减少误差，从而获得更准确的结果。

凸函数具备多种强大的优势，同时也是一种理想的数学工具，可以最大限度地满足一般不等式证明所需的要求。

因此，强烈推荐从事不等式证明研究的专家学者们使用凸函数，作为解决复杂问题的利器，可以从根本上有效解决约束最优化等复杂的算法问题，实现更高效的计算证明。

凸函数及其在不等式证明中的应用_尚亚东

第4卷第1期2005年 2月广州大学学报(自然科学版)Journal of Guangzhou University(Natural Science Edi tion)Vol.4 No.1Feb. 2005收稿日期:2004-04-12基金项目:国家自然科学基金资助项目(10271034)作者简介:尚亚东(1963-),男,教授,博士,主要从事非线性偏微分方程研究.文章编号:1671-4229(2005)01-0001-06凸函数及其在不等式证明中的应用尚亚东,游淑军(广州大学数学与信息科学学院,广东广州 510405)摘要:凸性是一种重要的几何性质,凸函数是一种性质特殊的函数,凸集和凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学等领域都有着广泛的应用.借助凸集引入凸函数概念,介绍了凸函数的基本性质,特别研究了凸函数的Jensen 不等式在不等式证明中的应用.关键词:凸性;凸集;凸函数;Jensen 不等式中图分类号:O 174.13;O 178 文献标识码:A凸性是一种几何性质,也是一种代数性质.凸函数则是一类性质独特的函数.凸性和凸函数在不等式、泛函分析、最优理论、运筹学、控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用.本文首先借助于凸集概念引出凸函数定义,揭示凸函数概念与凸性这一几何性质的联系.随后介绍凸函数的几何直观描述、解析定义和凸函数的重要性质.在此基础上,利用凸函数的Jensen 不等式,证明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等式,显示出凸函数在不等式证明中的重要性.最后进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用.1 凸函数的定义及性质为了从较高的起点来给出凸函数的定义,清晰地看出凸函数与凸性的联系,先给出凸集的两个定义.定义1[1]某集合称为凸集,是指连接该集合中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合中.定义2[1] 设X 是一个线性空间,x 1,x 2I X为任意两点,称[x 1,x 2]={x K I X |x K =K x 1+(1-K )x 2,K I [0,1]}为连接x 1,x 2的闭线段.定义3[1]设X 是一个线性空间,子集A <X称为凸集,是指对P x 1,x 2I A 及K I [0,1],有K x 1+(1-K )x 2I A 或P x 1,x 2I A,[x 1,x 2]<A.从代数上看,凸集是子空间概念的推广.定义4[1] 设f B (a,b)y R 为定义在R 中的开区间(a,b )B ={x I R |a <x <b }上的实值函数,这里a 、b 满足-][a <b [+].下列集合epi f ={(x ,A )I R 2|x I (a,b ),f (x )[A }(1)称为函数f 的上图(epigraph ).图1 f (x )的上图Fig.1 Epi graph of f (x )由图1可以看出,函数的上图就是函数的图像再并上图像上方的所有点.定义5[1]如果函数f B (a,b )y R 的上图epi f 是凸集,则f 称为(a ,b )上的凸函数.f 称为(a,b )上的凹函数则是指-f 是(a,b)上的凸函数.由凸函数的定义可知:函数图像上的两点的连接线段使图像的连接该两点的部分在其下侧(如图2).图2凸函数的几何直观图Fig.2Geometric graph of convex function从几何直观上讲,也可采用如下直观描述性定义:(1)如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方,则相应的函数称为凸函数.(2)如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方,则相应的函数是凸函数.下面命题说明凸函数也可用解析式来定义.命题1(a,b)上的函数f是凸函数的充分必要条件为P x1,x2I(a,b),x1X x2,P K I(0,1),f(K x1+(1-K)x2)[K f(x1)+(1-K)f(x2)(2)证明设f是凸函数,即epi f凸集,则对于任何K I(0,1),(x1,A1),(x2,A2)I epi f,有(K x1+(1-K)x2,K A1+(1-K)A1)I epi f,即f(K x1+(1-K)x2)[K A1+(1-K)A2.由于(x1,f(x1)),(x2,f(x2))I epi f,因此,上式对A1=f(x1),A2=f(x2)成立,于是有(2)式成立.反之,若对P x1,x2I(a,b),x1X x2,P K I (0,1),有f满足(2)式,对任意K I(0,1),(x1, A1),(x2,A2)I epi f,令y=K x1+(1-K)x2,B=K A1+(1-K)A2,则由(2)式和图2的定义,有f(y)=f(K x1+(1-K)x2)[K f(x1)+(1-K)f(x2)[K A1+(1-K)A2=B.于是(y,B)I epi f,即(K x1+(1-K)x2,K A1+(1-K)A2)I epi f.从而epi f为凸集,即f是凸函数.利用凸函数的解析定义和数学归纳法,易证对于(a,b)上的凸函数f,有更强的不等式成立:对P x1,x2,,,x n I(a,b),P K1,K2,,,K n>0,E n i=1K i=1,f(E ni=1K i x i)[E ni=1K i f(x i)(3)对于凸函数的不等式(3),通常称为Jensen不等式.对于连续函数,有下面凸函数的判据.命题2设f B(a,b)y R为连续函数.如果P x1,x2I(a,b),f(x1+x22)[f(x1)+f(x2)2,那么f是(a,b)上的凸函数.关于凸函数的导数性质,有如下结果.命题3[2]f(x)为区间(a,b)上的凸函数等价于下列条件之一:i)P x1,x2I(a,b),x1<x2,P x0I(x1,x2),f(x1)-f(x0)x1-x0[f(x2)-f(x0)x2-x0,即对于任何x0I(a,b)来说,f在x0处的左差商不大于右差商.ii)P x1,x2I(a,b),x1<x2,P x0I(x1,x2), f(x2)-f(x1)x2-x1[f(x0)-f(x1)x0-x1,即对于任何x1I(a,b),f在x1处的右差商当自变量差分减小时不增.iii)P x1,x2I(a,b),x1<x2,P x0I(x1,x2), f(x1)-f(x2)x1-x2[f(x0)-f(x2)x0-x2,即对于任何x2I(a,b),f在x2处的左差商当自变量差分减小时不减.iv)f(y)-f(x)y-x,y X x,对x和y都是不减函数.v)f(x)在区间(a,b)上处处左右可导,从而处处连续.同时,其左、右导数f c-、f c+满足P x1,x2I(a,b),x1<x2,f c-(x1)[f c+(x1)[f(x2)-f(x1)x2-x1[f c-(x2)[f c+(x2).在实际应用中,常常用下面的较弱结果.定理1设f为(a,b)上的可导函数,那么f 为(a,b)上的凸函数的充要条件为其导数f c在(a,b)上不减.特别是,当f二阶可导时,f为(a, b)上的凸函数的充要条件为其二阶导数f d(x)\0在(a,b)上总成立.2凸函数在不等式证明中的应用Jensen不等式是凸函数的一个重要性质,利用其证明一些重要不等式可以更简捷,凸函数构造也有其妙处.在初等数学中,调和平均值不大于几何平均值,几何平均值不大于算术平均值,算术平均值不大于平方平均值,而证明用到数学归纳法.其实这2广州大学学报(自然科学版)第4卷些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1设x i>0,(i=1,2,,,n),证n1 x1+1x2+,+1x n[n x1x2,x n[x1+x2+,+x nn当且仅当所有x i(1[i[n)全部相等时,等号成立.证明要利用Jensen不等式来证明,关键是找出合适的凸函数.观察不等式n x1x2,x n[ x1+x2+,+x nn的形式,易知两边取对数变成ln x1+ln x2+,+ln x nn [ln x1+x2+,+x nn,这就很容易找到合适的凸函数了.首先考察f(x)=-ln x(x>0)的凸性.因为f d(x)=1x2>0,由定理1知,f(x)是(0,])上的严格凸函数.由Jensen不等式知,当x i>0,(i=1,2,,,n)不全相等时有-ln x1+x2+,+x nn<-ln x1+ln x2+,+ln x nn及-ln 1x1+,+1x nn<-1n(ln1x1+,+ln1x n),所以有n1 x1+1x2+,+1x n[n x1x2,x n[x1+x2+,+x nn成立例2[3]证明P x1,x2,,,x n I R+,P\1,有x1+x2+,+x nn [xp1+x p2+,+x p nn1/p,上式称为算术平均不大于p(p\1)次平均,特别,当p=2,得到算术平均值不大于平方平均值.证明考虑函数f(x)=x p(p\1),由于有f d(x)=p(p-1)x p-2>0,P x>0,所以f(x)= x p(p\1)为凸函数,从而P x1,x2,,,x n I R+,P K1,K2,,,K n I(0,1),E n i=1K i=1,有(K1x1+K2x2+,+K n x x)p[K1x p1+K2x p2+,+K n x p n.在上式中,令K1=K2=,=K n=1/n,即得x1+x2+,+x nn [xp1+x p2+,+x p nn1/p.例3证明Cauchy-HÊlder不等式.设a1,a2, a n,b1,b2,b n为两组非负实数,p>1,q>1,p+q =1,则E a i b i[(E a p i)1p(E a q i)1q.证明同样地,可考虑函数f(x)=x p(p>1),由前例知,f(x)=x p(p>1)为凸函数,从而P x1,x2,,,x n I R+,P K1,K2,,,K n I(0,1),E n i=1K i= 1,有(K1x1+K2x2+,+K n x x)p[K1x p1+K2x p2+,+K n x p n.在上式中,令x i=a ib1/p-1i,b i>0,K i=b q iE ni=1b q i,i= 1,2,,,n.而q=p/(1-p)可得E ni=1a ib i[Enia p i1/p Eni=1b q i1/q.在上式中特别取p=q=2,得到著名的Cauchy-Schwartz不等式E ni=1a ib i[E n i a2i1/2E n i=1b2i1/2.HÊlder不等式的变形为E x A i y B i[E x i A E y i B,这里x i,y i>0,i=1,2,,,n,A,B>0,A+B=1.例4若a>0,b>0,p>0,q>0,E>0且1p +1q=1,求证:Young不等式a#b[E a pp+b qq E q/p.证明从所求证的不等式的形式来看,不容易直接找到合适的凸函数.因此,我们要对它进行一定的变形.不妨不等式两边同取自然对数,则有ln(a#b)<lnE a pp+b qq E q/p,由此很容易找到合适的凸函数.考虑函数f(x)=-ln x(x>0),因为f d(x)=1x2>0.由定理1知,f(x)在x>0时为凸函数.因为有p>0,q>0,1p+1q=1,所以-lnE a pp+b qq E q/p[-1pln(E1p a)p-1qln(E-1p b)q= -ln(E1p a)-ln(E-1p b)=-ln(ab).于是ln(a#b)[lnE a pp+bqq E q/p,即a#b[E a pp+b qq E q/p.特别地,当E=1,p=q=2时,此不等式就是前面例1的结果,即平均值不等式.Young不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广.3第1期尚亚东等:凸函数及其在不等式证明中的应用凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下.例5[4]设p i I R+,x i I[0,P],证明:sin p1x1+p2x2+,+p n x n p1+p2+,+p n\p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x np1+p2+,+p n.证明取f(x)=-sin x,它是[0,P]上的凸函数,由Jensen不等式,得-sin p1x1+p2x2+,+p n x n p1+p2+,+p n[-p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x np1+p2+,+p n,所以sinp1x1+p2x2+,+p n x np1+p2+,+p n\p1sin x1+p2sin x2+,+p n sin x np1+p2+,+p n.特别地:¹如果在这个不等式中,令p i=1(i=1, 2,,,n)则得n sin x1+x2+,+x nn\sin x1+sin x2+,+sin x n;º对于三角形的三个内角A、B、C,有sin A+sin B+sin C[3sin A+B+C3=332.例6设x I0,P2,证明:(sin x)1-c os2x+(cos x)1+cos2x\2.证明先将原不等式化为(sin2x)sin2x+ (cos2x)cos2x\2,因为f(x)=x x为(0,])上的凸函数,故当a>0,b>0时,有f a+b2[12[f(a)+f(b)],令a=sin2x,b=cos2x,则fa+b2=fsin2x+cos2x2=f12=1212=22,而12[f(a)+f(b)]=12[(sin2x)]sin2x+(cos2x)cos2x],所以(sin x)1-cos2x+(cos x)1+cos2x\2.这道题目很难用初等知识证明,但通过构造凸函数f(x)=x x,巧妙地令a=sin2x,b=cos2x,便可很方便地证得.对于数学分析、泛函分析中一些重要不等式,利用凸函数也可以建立统一框架,简捷方便地进行证明.例7设f(x)在[a,b]上可积,m[f(x)[M,U(t)是[m,M]上的凸函数,则U1b-a Qbaf(x)d x[1b-a QbaU(f(x))d x.证明由Jensen不等式,有U1nE nk=1t k[1nE nk=1U(t k),令t k=f(a+k b-an),则有U1b-aE nk=1f(a+kb-an)#b-an[1b-aE nk=1U f(a+k b-an)b-an.由于f(x)可积,U(t)为凸函数,故U(f(x))可积.上式中令n y],取极限,即得到U1b-a Qbaf(x)d x[1b-a QbaU(f(x))d x.特别地,若f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,取U(t)=-ln t,则有ln1b-a Qbaf(x)d x\1b-a Qbaln f(x)d x.前例结合凸函数的定义,可得Hadamard不等式:设U(t)是区间[m,M]上的凸函数,P t1,t2I[m,M],则U t1+t22[1t2-t1Qt2t1U(t)d t[U(t1)+U(t2)2.前面例5的结果可以进一步推广为所谓的加权Jensen不等式,即对于连续的凸函数f(x),有:f(x)是[a,b]内的一个连续的凸函数,p1,p2,,,p n是n个正实数,a=x0<x1<,<x n=b.则fE p i x iE p i[1E p i(E p i f(x i)).加权的Jensen不等式还有如下积分形式:例8设<(x)是[m,M]上的有界凸函数,f(x)与p(x)在[a,b]上可积,m[f(x)[M,p(x)\0,Q b a p(x)d x>0,则有不等式<Q b a p(x)f(x)d xQ b a p(x)d x[Q b a p(x)<(f(x))d xQ b a p(x)d x.证明以a=x0<x1<,<x n=b,将[a,b]分成n等分,任取N i I[x i-1,x i],i=1,2,,,n,则E ni=1f(N i)p(N i)b-anE ni=1p(N i)b-an=E ni=1f(N i)p(N i)E ni=1p(N i).4广州大学学报(自然科学版)第4卷由于<(x )为凸函数,且p (N i )>0,由加权Jensen 不等式:fE p i x iE p i[1E p i(E p i f (x i ))有<E ni =1f (Ni )p (N i )E ni=1p (N i )[1E ni=1p (N i )E ni =1p (Ni )<(f (N i )),于是<b -a n b -a nE ni =1f (N i )p (N i )E ni=1p (Ni )[1E ni=1p (N i )b -a n E ni=1p (N i )<(f (N i )b -an).在上式中令n y ],取极限则得所要证明的不等式.特别有:设F(x )定义于(-],+]),F d (x )>0,f (x )为[0,P2]上的连续函数.FQ P2f (x )sin x d x [Q P 2F(f (x ))sin x d x.对于H Êlder 不等式,也有积分形式:例9 设p ,q >0,1p +1q =1,若f 和g 是定义在[a ,b]上的实函数,使|f |p 和|g |q在[a,b ]上可积,则Qb af (x )g (x )d x [Qb a f(x)pd x1pQb ag(x )qd x1q.证明若Qb af (x )pd x1p或Qb ag(x)qd x1q其中之一为零,则f (x )或g(x )在[a,b ]上几乎处处为零.于是f (x )g(x )在[a,b]上几乎处处为零.从而Qb af (x )g(x )d x 为零.当Qbaf (x )pd x1pQ bag (x )qd x 1qX 0,令a =fQBAfpd x1p,b =gQBAgqd x1q,代入ab [a p p +b q q ,其中,a >0,b >0,p ,q >0,1p+1q =1,得到fQBAfpd x1p#gQBA gqd x1q[fpp #Q BAfpd x+gq q #Q BAgqd x.两边从A 到B 积分,由1p +1q=1,可知QBAf (x )g (x )d x [QBAf (x )pd x1pQBAg (x)qd x1q.特别地,当p =q =2时则得H Êlder 不等式:QBAf (x )g(x )d x [QBAf (x )2d x12QBAg (x)2d x12.Young 不等式也有如下积分形式:设f (x ),g(x )在[a,b ]有定义,且1p +1q=1,Q b a f (x )pd x ,Qb a g(x )qd x 存在,则Qba f (x)g (x )d x [E p Qbaf (x )pd x +1q #E -q p Qbag (x)qd x.特别地,若f (x )在[a,b ]上有一阶连续导数,则有Qba f 2(x )d x +14Qb a fc 2(x )d x \f 2(b)-f 2(a)2.证明在积分形式的Young 不等式中,令p =q =2,E =12,即得14Qb a fc 2(x )d x +Qba f 2(x )d x \Qb af (x )f c (x )d x =f 2(b )-f 2(a)2.例10 若f (x )在[a,b ]上有一阶连续导数,则当f (x )X 0时,对p >1有Qba f (x )pd x +(p -1)p p 1-pQbaf (x )p1-p d x \b - a.证明由积分形式的Young 不等式Qb af (x )g(x )d x [E p Qb af (x )pd x +1q #E -q p Qbag(x )qd x ,令E =p ,p 1-p =-q ,则1p +1q =1,Ep =1,且1q #E -q p=p -1pp 11-p =(p -1)p p1-p ,Q baf (x )pd x +(p -1)p p1-pQ b af (x )p1-p d x=E p Q baf (x )pd x +1q E -q pQbaf (x )-qd x \Q b af (x )#1f (x )d x =b - a.致谢:衷心感谢袁文俊教授的热情鼓励和支持帮助.5 第1期尚亚东等:凸函数及其在不等式证明中的应用6广州大学学报(自然科学版)第4卷参考文献:[1]史树中.凸分析[M].上海:上海科学技术出版社,1990.SHI Shu-zhong.Convex analysis[M].Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1990.[2]史树中.凸性[M].长沙:湖南教育出版社,1991.SHI Shu-zhong.Convexity[M].Changsha:Hunan Educati on Press,1991.[3]黄宣国.凸函数与琴生不等式[M].上海:上海教育出版社,1991.HUANG Xuan-guo.Convex functi ons and Jensen.s inequali ties[M].Shanghai:Shanghai Education Press,1991.[4]D S密特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社,1987.Mitrinovic D S.Analytic inequalities[M].Beijing:Science Press,1987.[5]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004.KUANG J-i chang.On general inequalities[M].Jinan:Shandong Science and Technology Press,2004.Convex function and its application in proving inequalitiesSHANG Ya-do ng,YOU Shu-jun(School of Mathematics and Information Science,Guangz hou Universi ty,Guangzhou510405,China)Abstract:Convexity is an important geometric property.The convex function is a kind of function with special prop-erties.Convexity and convex func tion have e xtensive applications in functional analysis,optimal theory,and mathe-matical economy.In this paper,we introduce the definition of convex function by the aid of convex set.We discuss some foundational properties of the convex function.Especially,we study the applications of Jensen inequality of c on-vex function in proving inequalities.Key words:convexity;conve x set;convex function;Jensen inequality=责任编辑:周全>裴定一教授主持的国家自然科学基金重点项目通过验收国家自然科学基金委员会数理学部于12月22日在我校组织召开交叉学科重点项目验收会,我校信息安全研究所所长裴定一教授主持完成的项目/电子商务系统信息安全的理论和技术研究0通过验收.裴定一教授在验收会上作了项目总结报告.参加验收会的专家们一致认为该项目在密码基础理论研究、密码算法研究及实现技术、电子商务应用系统研究等方面全面完成了计划,研究工作取得突出成果.(科技处提供)。