高三数学解析几何知识整理

江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理(解析几何)

直线部分

一、直线的倾斜角和斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线

重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o

0，所以直线的倾斜角αo o

（2）直线的斜率：倾斜角不是o

90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，

①斜率是用来表示倾斜角不等于o

90的直线对于x 轴的倾斜程度的。

②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 ③斜率计算公式： 设经过

),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21

x x ≠时，2

121tan x x y y k --=

=α；当21

x x =时，o 90=α；斜率不存在；

二、直线方程的几种形式：

（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：

)(00x x k y y -=-；

注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x

=；

②

k x x y y =--0

表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。

（2）斜截式：若已知直线在

y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；

注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121

,y y x x ≠≠）

，则直线的方程：1

21

121x x x x y y y y --=

--； 注意：①不能表示与x 轴和

y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何

一条直线。

（4）截距式：若已知直线在x 轴，

y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

y

a x ； 注意：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与

y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使

用。

（5）参数式：⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，),(2222b

a b b a a ++； a b k =；2

2

||||b

a t PP o +=；

点21,P P 对应的参数为21,t t ，则2

2

2121||||

b

a t t P P +-=

；

⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜

角为)0(παα<≤。

（6）一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；

（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次 方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数

C B A ,,是

否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，),

(

2

2

2

2

B

A A B

A B +-+ （单位向量）

；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） 三、两直线的位置关系：

位置关系

2221

11::b x k y l b x k y l +=+=

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 平行

⇔ 21k k =，且21b b ≠ 212121C C B B A A ≠= 重合

⇔ 21k k =，且21b b =

2

12121C C B B A A == 相交

⇔ 21k k ≠ 2

121B B A A ≠ 垂直

⇔

121-=⋅k k

02121=+B B A A

设两直线的方程分别为：222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21

k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点

坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222

111C

y B x A C y B x A 解； 注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=⋅B A B A

②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。 ③对于0212

1=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。

四、两直线的交角