高三数学一轮复习解析几何(解析版)
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数 学
H 单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＝2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.
20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410
5
，
故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2.
由
|F 1F 2|
|DF 1|
＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝2
2
c .
从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→
＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2
1＝0.
由椭圆方程得1－x 21
2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，
由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1
x 1＋1＝－1.
而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5
3
.
圆C 的半径|CP 1|＝⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫13－532＝4 23
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为
x 2＋⎝⎛⎭⎫y －532＝329
.
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＝2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.
18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段