二次函数的图像与性质(顶点式)培优训练

第三节：y=a(x-h)2+k的图像与性质

一、知识形成：

在坐标系中画出下列函数草图。并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值

1(x＋

（1）y=﹣（x﹣5）2+3，(2) y＝－

2

1)2－1 （3）y=(x+2)2-3 (4)y=3(x-1)2+2

【观察图像思考归纳】：对于y=a(x-h)2+k

（1）开口方向（2）对称轴

（3）顶点（4）增减性

（5）最值

二、例题与练习

例题1、如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，该图在

y轴右侧与x轴交点的坐标是_________．

例题2求二次函数的解析式.

例题3：y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于A 、B , 与y 轴正半轴交于C 点, D 为顶点, 对称轴交x 轴于E 点, DE ＝AB , 求解析式.

【练习】一、解析式的求法（顶点式）

1、y ＝－94(x －2)2＋m , 顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝55

2, 求解析式.

2、 已知: 如图1, 二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象交x 轴负半轴于

点A , 交x 轴正半轴于点B , 交y 轴负半轴于点C , 且OB ＝3OA .

(1) 求二次函数的解析式;

3、如图（1），在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线

y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，

与y 轴交于点C （0，-3），其顶点为M,且cos ∠BCO＝

31010. (1)求此抛物线的函数表达式；

4、已知: 二次函数y ＝a (x +6)2－3的图象交x 轴负半轴于点A ,B 两点，直线DE ⊥x 轴于点E , 交Y 轴于点C ,D 为顶点。 且AE 2= 3DE. (1) 求二次函数的解析式;

5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2429y (x ) c =--+与x

轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其

顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin∠MOH ＝

552． （1）求此抛物线的函数表达式；

图（1） y x A O B M C

6、已知：抛物线2(2)1y a x =-+,与y 轴相交于点C,与轴相交于A,B(3,0)两点，且S △ABC =3（如图所示）

(1) 求此抛物线的函数表达式；

7、函数y =a (x －1)2－4的顶点为D , 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C 点, 对称轴与x 轴交于H 点, 且HD =AB .

(1) 求抛物线的解析式;

二、能力提高

1、抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。

(1) 求抛物线的解析式;

（2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点的坐标。

答案P(2,-3)

2、抛物线y =ax 2+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴正半轴交于C ，AB=4.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，AD 交抛物线于点P,求P 点的坐标。

y x D P O C B A M y x P O C B

A

3. 如图, 抛物线y=a(x－2)2+1与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于点C, 抛物线的对称

轴交抛物线于点D, 交x轴于点E, 若AB=2DE.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 沿抛物线的对称轴向下平移抛物线, 平移后的抛物线交线段BC于F、G两点,

1BC, 求平移后抛物线的解析式;

若FG=

2

(3) 如图, 点P是第四象限的对称轴右侧抛物线上的一个动点, PN⊥BC于点N(N在线段

BC上), 在P点的运动过程中, 是否存在这样的点P, 使得△CPN和△OAC相似? 若存在, 求P点坐标; 若不存在, 请说明理由.

4. 如图, 二次函数y=a(x－1)2－4的顶点为D, 与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C 点, 对称轴与x轴交于H点, 且HD=AB.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 若M为对称轴右侧抛物线上一点, MN∥x轴交抛物线于另一点N, 以MN为斜边的直

角三角形的直角顶点在x轴上, 当这个直角顶点至少有一个时, 求M点纵坐标y M的取值范围;

(3) 经过C、D两点的直线与x轴交于E点. P为对称轴右侧抛物线上一点, CP交对称轴

于点F, 是否存在这样的一点P, 使△CDF与△EAC相似? 若存在, 求P点坐标; 若不存在, 请说明理由.

5. 如图, 已知抛物线y=a(x－2)2－1与x轴交于A、B两点, 与y轴正半轴交于点C, D为抛物线的顶点, 且S△ABD=1.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 点P在抛物线的对称轴上, 且∠APD=∠ACB, 求点P的坐标;

(3) M为抛物线上一点, 过M作MN⊥x轴于点N, 是否存在这样的点M, 使得以A、M、

N为顶点的三角形与△AOC相似? 若存在, 求出所有符合条件的M点坐标; 若不存在, 请说明理由.