3.1 随机事件的概率 课件(北师大必修3)

某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大
量的重复试验，用随机事件发生的 频率 作为它的概率 的估计值．
3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随
机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能
使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是 大小 度量事件发生的可能性的 ，不能确定是否发生．
[研一题] [例1] 下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n
为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次 试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率.
实验序 抛掷的次 数n 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500
一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查， 发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右．如果这个调 查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定 出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变)．你觉得这
种看法对吗？说出你的理由．
[错解] 于0.001. [错因]
这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等
[读教材·填要点] 1．概率 在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事 件A发生的频率会在某个 常数 附近摆动，即随机事件A
发生的频率具有 稳定 性．这时，我们把这个常数叫作
随机事件A的概率，记为P(A)．
2．频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的 频繁程度 ，但频率 是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率 来反映随机事件发生的 可能性的 大小．在实际问题中，
正面向上的次 数m 251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
“正面向上” 出现的频率
[自主解答]
利用频率的定义，可分别得出这10次
试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为：
0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，
1
m m1 (3)用频率近似等于概率建立关系式 n ≈ ； n1 m·1 n (4)求出 n≈ ，注意这个 n 值仅是真实值的近似． m1
[通一类] 3．为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法： 先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼
作上记号且不影响其存活，然后放回水库．经过适当
的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水 库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的 鱼，设有40条．试根据上述数据，估计水库中鱼的条 数．
解：设水库中鱼的条数为 n，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的 2 000 概率为 n .第二次从水库中捕出 500 条，带有记号的鱼有 40 40 2 000 40 条，则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为 ，由 n ≈ ， 500 500 得 n≈25 000，所以水库中约有鱼 25 000 条．
4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度 量该事件发生的 可能性 大小．小概率(接近于0)事件不是不
发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，
而是经常发生．
[小问题·大思维] 1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次 正面朝上，502次反面朝上，则此次试验正面朝上的频 率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，对吗？
估计该自然保护区中天鹅的数量．
[自主解答]
设保护区中天鹅的数量为 n，假定每只天鹅
被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件 A＝ 200 {捕到带有记号的天鹅}，则 P(A)＝ n . 第二次从保护区中捕出 150 只天鹅，其中有 20 只带有记 号，由概率的定义可知 P(A)≈ 20 . 150
提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验 来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的， 对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也
可能没有治愈．
“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的 增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人， 那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前 提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．
(2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.
[研一题]
1 掷一颗均匀的正方体骰子得到 6 点的概率是 ， 6
[例 2]
是否意味着把它掷 6 次能得到 1 次 6 点？
[自主解答]
把一颗均匀的骰子掷 6 次相当于做 6 次试
验， 因为每次试验的结果都是随机的， 所以做 6 次试验的结 果也是随机的． 这就是说， 每掷一次总是随机地出现一个点 数，可以是 1 点，2 点，也可以是其他点数，不一定出现 6 1 点．所以掷一颗骰子得到 6 点的概率是 ，并不意味着把它 6 掷 6 次能得到 1 次 6 点．
498 提示：正确．由题意，正面朝上的频率为 ＝0.498， 1 000 通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在 0.5 附近摆动， 故掷一次硬币， 正面朝上的概率是 0.5.即 0.498 是 1 000 次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定 的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
2．某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人 没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的 概率是0.3?
[悟一法]
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中
含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是
客观存在的，它与试验次数没有关系．
[通一类]
2．掷一枚硬币，连续出现 5 次正面向上，有人认为下次出 1 现反面向上的概率大于 ，这种理解正确吗？ 2
解：不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机 的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面 1 朝上”、“反面朝上”的可能性都为 .连续 5 次正面向上 2 这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的， 1 1 其出现正面和反面的可能性还是 ，不会大于 . 2 2
频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数
的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数．
[正解]
这种看法是错误的．随着试验次数的增加，
频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定 于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概 率．
0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统 计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
[悟一法] 频数、频率和概率三者之间的关系
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频
率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的 可能性的规律体现； (2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的 结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不 会随试验次数的变化而变化．
200 20 所以， n ≈ ，解得 n≈1 500， 150 所以该自然保护区中天鹅的数量约为 1 500.
[悟一法]
利用频率近似等于概率的关系求未知量 (1)抽出 m 个样本进行标记，设总体容量为 n，则标记概 m 率为 n ； (2)随机抽取 n1 个个体，出现其中 m1 个被标记，则标记 m1员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 n 进球次数 m m 进球频率 n (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？ 8 6 10 8 12 9 9 7 10 7 16 12
解：(1)进球的频率依次是： 0．75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75.
[研一题]
[例3]
为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使
用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如 200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回 保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅 充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150
只．查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，