抽象函数及反函数专题

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重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)

抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。

压轴题型03 抽象函数问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 2．()f x 是定义在R 上的函数，(0)2f =，且对任意R x ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．20183．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为84．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知()y f x =的定义域为R ，且对任意,x y ∈R ，有()()()1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,414．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义1,()0,M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[]2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.20．定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈都有()()f x f x -=-且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为__________．21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．四、双空题五、23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．六、解答题七、24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),,x x Pf x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若P ∩M ＝∅，且f (x )是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对(),a b ，使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.30．设函数()f x 对任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且0x <时，()0f x >，1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.31．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足①()13f =；②()2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12n x =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知{}0,1M x x x =∈≠≠R ，()()1,2,n f x n =⋅⋅⋅是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.33．设()y f x =是一个定义域为R 的函数.若S 是R 的一个非空子集，且对于任意的s S ∈，都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.34．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.35．f （x ）=x 3+2ax 2+bx+a ，g （x ）=x 2﹣3x+2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y=f （x ）与y=g （x ）在点（2，0）处有相同的切线l ．（Ⅰ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（Ⅱ）若方程f （x ）+g （x ）=mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1＜x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f （x ）+g （x ）＜m （x ﹣1）恒成立，求实数m 的取值范围．。

抽象函数专题二(函数模型相关)

抽象函数专题二——函数模型相关【知识点突破】①正比例函数模型：1212()(0)()()()f x kx k f x x f x f x =≠⇒+=+ ②一次函数模型：1212()(0)()()()f x kx b k f x x f x f x b =+≠⇒+=+- ③指数函数模型：1212()(01)()()()x f x a a a f x x f x f x =>≠⇒+=⋅且 1122()()(01)()()x f x f x a a a f x x f x =>≠⇒-=且④对数函数模型：1212()log (01)()()()a f x x a a f x x f x f x =>≠⇒⋅=+且 1122()log (01)()()()a x f x x a a f f x f x x =>≠⇒=-且⑤正切函数模型：121212()()()tan ()1()()f x f x f x x f x x f x f x ±=⇒±=⑥凹凸函数模型：凹函数模型：1212()()()22x x f x f x f ++≥ 凸函数模型：1212()()()22x x f x f x f ++≤（注意：凹凸函数模型中的“＝”） ⑦单调函数模型：单调增函数模型：1212()()f x f x x x ->-单调减函数模型：1212()()0f x f x x x -<-⑧斜率模型：121212()()()f x f x x x x x <<随着变量的增大，动点与原点连线的斜率也逐渐增大。

121212()()()f x f x x x x x ><随着变量的增大，动点与原点连线的斜率逐渐减小。

【典例专练】一、选择题1、若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正解的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x +1为奇函数D ．()f x +1为偶函数 2、给出四个函数，分别满足①()()()f x y f x f y +=+ ②()()()g x y g x g y +=⋅ ③()()()h xy h x h y =+ ④()()()t xy t x t y =⋅ 又给出四个函数图像：正确的匹方案是A ．①—丁 ②—乙 ③—丙 ④—甲B ．①—乙 ②—丙 ③—甲 ④—丁C ．①—丙 ②—甲 ③—乙 ④—丁D ．①—丁 ②—甲 ③—乙 ④—丙3、定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅，对任意x R ∈，总有()0f x >且1(1)2f =，则使得()4f a >的a 的取值范围为（）A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞4、设指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠，则下列等式不正确的是（） A ．()()()f x y f x f y +=⋅ B ．[()]()()n n n f x y f x f y ⋅=⋅ C ．()()()f x f x y f y -=D ．()()n f nx f x =5、在222,log ,,cos 2x y y x y x y x ====这四个函数中，当1201x x <<<，使1212()()()22x x f x f x f ++>恒成立的函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36、如图所示，是定义在[0,1]上的四个函数()(1,2,3,4)i f x i =，其中满足性质：“对[0,1]中任意的12,x x ，任意[0,1]λ∈，1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-恒成立”的只有（）A ．13(),()f x f xB ．2()f xC ．23()()f x f xD ．4()f x(0)x a x <7、已知函数()f x = 满足对任意12x x ≠，都有()f x =(3)4(0)a x a x -+≥1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]4B ．(0,1)C ．1[,1)4D ．(0,3)二、填空题1、对于任意实数x ，y ，有()()()f x y f x f y ⋅=+， ①(1)0f = ②1()()f f x x =-③()()()xf f x f y y=-则上述结论中正确的有。

高中数学抽象函数专题复习

抽象函数复习资料特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。

[]11log ,13评析：已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。

相当于求内函数()x ϕ的值域。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为。

(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

反函数典型例题

反函数求值例1、设有反函数，且函数与互为反函数，求的值．分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果．解：设，则点在函数的图象上，从而点在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而．小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．两函数互为反函数,确定两函数的解析式例2 若函数与函数互为反函数，求的值.分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法：解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为.又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴.∵g(x) 的值域为 ,由条件可知的定义域是 , ,∴.∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴ 3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1)； (2)； (3)；(4)； (5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且.对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数 , ,求的反函数.分析: 由于已知是 ,所求是的反函数,因此应首先由找到 ,再由求出的表达式,再求反函数.解:令 ,则, , ,.于是有 .由得 ,由于 ,.又 ,的值域是 ,的反函数是 .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数与其反函数是同一个一次函数 ,试指出的所有取值可能.分析:此题可以有两种求解思路:一是求解的反函数的解析式,与比较, 让对应系数相等,列出关于的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程.解：由知点在图象上,则点定在的图象上,于是 (1)又过点 ,则点也在的图象上,于是 (2)由(1)得或 ,当时,代入(2),此时(2)恒成立即 ;当代入(2)解得 .综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.选题角度：反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。

归纳抽象函数常见题型及解法

5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是般向特殊转化的必要手段.式.解：在设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。

高三数学函数图象、反函数、抽象函数(文)人教实验版(A)知识精讲

高三数学函数图象、反函数、抽象函数（文）人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数图象、反函数、抽象函数二. 重点、难点： 1. 求反函数（1）判断是否有反函数（2）将0)(=-y x f 看成关于x 的方程y 为参数，解出)(1y f x -=（3）改写为习惯形式)(1x fy -=（注明定义域）2. 图象（1）基本函数图象（2）函数图象的平移、伸缩（3）含绝对值函数图象的画法（4）利用图象解题【典型例题】[例1] 求下列函数反函数（1）122+=x xy（2）)2(log 32++=x y （3）196--+=x x y 答案：（1）x x xxy y y 22122=+⋅+= y y x =-)1(2y y x -=12yyx -=1log 2 ∴xxx fy -==-1log )(21)1,0(∈x （2）)2(log 32++=x y22,22),2(log 3332-==++=---y y x x x y∴22)(31-==--x x fy R x ∈（3）196--+=x x y 1996)9(-+-+-=x x y1)39(2-+-=x y 2)39(1+-=+x y391+-=+x y 319-+=-y x 9)31(2+-+=y x∴9)31()(21+-+==-x x f y ),8[+∞∈x[例2] 一次函数)(x f y =，反函数还是自己，求)(x f y =答案：设)0()(≠+==a b ax x f y ∴ab x a x f-=-1)(1∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==011b a a bb aa 或⎩⎨⎧∈-=Rb a 1 ∴x x f y ==)(或b x x f y +-==)(（R b ∈）[例3] a 为何值时，方程-+x x 2222=-x a 有两个不等实根答案：2222x a x x -=-+作函数22-+=x x y22x a y -=的图象使两个图象恰有两个不同的交点∴)1,1(-∈a 无解 )2,1[]1,2(⋃--∈a 一解),2[]2,(+∞⋃--∞∈a 两解[例4] 方程3lg =+x x ，310=+xx 的解为21,x x ，求21x x +。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且，则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；（2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

抽象函数专题讲解

3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2017)=_______.
解:令 x=y=0,得：f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
f ( x) 的定义域．
2 例 2 已知函数 f ( x 2 x 2) 的定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 x 2 ≤ 5 ．
2
令 u x 2 x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ，1 ≤ u ≤ 5 ．
解： f ( x) 的定义域为 15 ，，1≤ 3x 5 ≤ 5 ，故函数 f (3x 5) 的定义域为，． 3 3ຫໍສະໝຸດ 4 10 ≤ x≤ ． 3 3
4 10
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域其解法是：若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为
1 1 2 f (1) 0,f (1) .令x n, y 1, 得f (n 1) f (n) 2[f (1)] f (n) , 2 2
1 n 2017 即 f(n 1) - f(n) ,故f(n ) , f(2001) . 2 2 2
三、抽象函数常见模型
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及图象问题。

高三抽象函数知识点汇总

高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。

本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。

简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。

二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。

定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。

2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。

函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。

3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。

输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。

4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。

符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。

三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。

2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。

3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。

4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。

四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。

2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。

2023届高三数学一轮复习+抽象函数专题+课件

合理赋值常用结论函数模型
总结归纳常见考查类型和解法数形结合合理赋值常用结论函数模型
抽象函数与导数结合 ——构造函数的常见类型
例.(丽湖衢三地市检测.12)
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给
出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题。这类问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性及其性质的隐蔽性和多变性，学生往往无从下手。而这类问题作为函数内容的一个难点，却也是近几年来高考全国卷的热点和难点之一。
3.(丽湖衢三地市检测.12) 4.(丽湖衢三地市检测.15)
①定义域 ②求值 ③解析式 ④值域 ⑤单调性 ⑥奇偶性 ⑦周期性
①合理赋值函数概念(第一课时) ②转化化归
③数形结合
④利用常用结论
⑤寻找函数模型函数性质(第二课时)
⑧对称性
⑨结合导数构造函数(第三课时)
抽象函数与函数概念
1.求定义域问题 2.求值问题
（奇偶性+对称性）
(kx a)
（奇偶性+导数）
常用结论：（单调性）
例1.(2020新高考山东卷.8)
数形结合
例2.(丽湖衢三地市检测.15)
【解析】
常用结论
例3.(2022新高考全国II卷.8)
合理赋值
例3.(2022新高考全国II卷.8)
函数模型
例4.(2022新高考全国I卷.12)
1.(2020新高考山东卷.8)
2.(2020新高考全国II卷.8) 同上
3.(2021新高考全国II卷.8) 4.(2021新高考全国甲卷理.12) 5.(2021新高考全国甲卷文.12)

抽象函数考法梳理

微专题抽象函数的考法题型归纳模块一、定义域例题1 若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域【解析】),21(]31,(+∞--∞【小结】函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

模块二、值域例题2 函数f (x )的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x ,y 都有f (xy )= f (x )+f (y )且f (4)=2 ，则f = 【解析】12模块三、解析式角度1 对称性：定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法结论1：设函数f (x )的定义域为R ，且f (a+x )=f (b-x )，则函数f (x )的图象关于直线 2ba x +=对称；特别地，当f (a+x )=f (a-x )时，f(x)的图象关于x=a 对称（自身对称）结论2：对于定义在R 上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2a b x -=对称（相互对称）例题3 设)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=图象关于（） A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称【解析】D巩固1 已知函数y =f (x )满足f (x +2)=f (2-x )；若方程f (x )=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______ 【解析】6角度2 周期性：充分理解与运用相关的抽象式是关键结论3：设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1=x 对称。

证明)(x f y =是周期函数。

【证明】由)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，得)()2(x f x f -=+，又)(x f y =是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-∴)()2(x f x f -=+，则)()]([)2()]2(2[)4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+由周期函数的定义可知4是它的一个周期。

高考抽象函数专题

抽象函数专题几类抽象函数模型练习题1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，假设f (4)＝2，则f (2)的值为_________．答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝12．2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______．答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×12＝1009．3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，假设f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1C ．19D ．43答案：D ．解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9累加，得f (8)＝43．(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，假设f (1)＝1，则f (－8)＝A．－1 B．1 C．19 D．43答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：f (1)－f (0)＝2f (0)－f (－1)＝1f (－1)－f (－2)＝0f (－2)－f (－3)＝－1f (－3)－f (－4)＝－2f (－4)－f (－5)＝－3f (－5)－f (－6)＝－4f (－6)－f (－7)＝－5f (－7)－f (－8)＝－6累加，得f (－8)＝19．另外：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (x)＋f (－x)＝x 2－24．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则以下说法正确的选项是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B 解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝12 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (325)的值为．答案：127．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式．解：因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②．相减得4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9．(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥223．证明：因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1x ②．②×2得2f (1x )－4f (x )＝2x③．①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥223．8．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)假设f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围．解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0．取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式(3)(394)0x x x f k f ⋅+--<等价于(3)(394)x x x f k f ⋅<-++，因此3394x x x k ⋅<-++，即4133x xk <-++，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－23． (1)判断f (x )为奇偶性；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值．解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0．取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )．因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－43；f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得，f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1x )＝－f (x )；(2)求证：f (x )为偶函数；(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减．解：(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0．所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．解法2：设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1x 2)．因为x 1x 2>1，所以f (x 1x 2)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．12．(12分)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；(3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)假设f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围．解：(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f 〔－x 〕．当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1f 〔－x 〕 ∈(0，1)．综上，f (x )>0．(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)假设f (2)＝2，*n ∈N ，设a n ＝ f 〔2n 〕2n ，b n ＝ f 〔2n 〕n，求证数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．解：(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0．取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋1)＝2 f (2n )＋2n ＋1．同除以2n ＋1，得 f 〔2n+1〕2n+1 ＝ f 〔2n 〕2n＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．a 1 ＝ f 〔2〕2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．因为b n +1b n＝2，所以数列{b n }为等比数列．14．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1． (1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)假设f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．解：(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ．于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1x )．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．(3)由(1)知假设f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)．所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0．所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1．(3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．假设f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．假设f (x ) ∈[0，1)，别离参数a ≤1－f (x ) ＋14[1－f (x )]．因为1－f (x ) ＋14[1－f (x )]≥2[1－f (x )]14[1－f (x )]＝1，当f (x )＝12时等号成立．所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．备选：1．(12分，重庆)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)假设f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)当x 1，x 2 (0，12)时， f (x 1)＋2<log a x 2，求a 的取值范围．3．(12分)已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－21)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1f (x )－f (y )，存在正常数a ，使f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．。

抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。