浙江财经大学 微积分 下册总复习

下册 总复习
考试题型： 一、选择题（2分*5=10分） 二、填空题（2分*10=20分） 三、求积分（6分*3=18分） 四、求偏导数（6分*4=24分） 五、求解微分方程（7分） 六、求二重积分（7分） 七、综合应用题（7分*2=14分） 1、定积分的应用（求面积，求体积） 2、最大利润（二元函数求极值）
' '
'
cos( x y ), 求 ： z x , z y
x ), 求 ： z x , z y
' '
(4) z f ( xy ,
y y " (5) z x ; 求 : z xy
（6）求由方程 导数。
sin z xyz 所确定的隐函数z=f(x,y)的偏
隐函数求导
Th1：由方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称作隐函数，
dy dx
ux
du dx
,
ux
du dx
cot udu
dx x
;
cot udu
dx x
;
ln | sin u | ln | x | ln C;
sin u cx
变量还原 sin
y x
cx

一阶线性非齐次微分方程 的通解为
y P(x)y Q(x).
'
csc xdx ln | csc x cot x | C
三、求积分（6分*3=18分） 1、第一换元法：凑微分（解决复合函数求 积分） 凑内层函数的导数
已 知 f ( x ) dx F ( x ) C ,
f[ (x)] ( x ) dx f[ (x)]d ( x ) F [ (x ] C
其导函数为： f ' ( x )

Fx
' '
Fy
Th2：由方程F(x,y,z)=0确定的函数z=f(x,y)称作隐函数， 其导函数为：z x F x / F z
' ' '
, z y F y / Fz
' '

'

(1)求由方程
e
y
2x y
xyz
所确定的隐函数y=f(x)的导函数。
'
复合函数 凑内层函数的导数 1 5 5 ' 1) (2 x 1) dx ( 2 x 1 ) ( 2 x 1 ) dx 2
1 2
( 2 x 1 ) d ( 2 x 1)
5
(2 x 1) 12
6
C
5 x 3 dx
1 5 1 5
1
5x 3
2 0 1 2 2 2 0
x
2
2

x
3
1
3
)
0
1 6
V x ( x ( x ) ) dx
x
3
(
3

x
5
1
5
)
0
2 15
o 1
yx
2
x
Vx [外边界 -内边界 ]dx
2 2 a
b
多元函数取极值的充分条件
• 定理(充分条件): 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻 域内连续、存在二阶连续偏导数,且
c

2. 旋转体的体积
Vx

绕 x 轴旋转一周 绕 y 轴旋转一周

b
a
[外边界 2 -内边界 2 ]dx
1) 求由 y x , y x , 围成的图形的面积；
2
x
此图形绕 x 轴旋转形成的旋转体的
1
体积 V x .
x
y
yx
2
解：A
( x x )dx (
sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
ln x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形的面积。
b
A
[ 上 边 界 下 边 界 ]dx
a
d
A
[ 右 边 界 左 边 界 ]dy
2 2
L p1 0 . 4 p1 32 0 由 L p 2 0 . 1 p 2 12 0
" "
( 80 , 120 ).
"
A L p1 p1 0 . 4 ; B L p1 p2 0 ; C L p2 p2 0 . 1
（3） B AC 0 不能确定,还需另作讨论。
2
练习
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售 价分别为 p1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 ，需求 函数分别为 q1 24 0 .2 p1 和 q 2 10 0 .05 p 2 总成本函数为 C 35 40 ( q1 q 2 )
1 e

1 2
( x ln x
2
1 1 e

x
2
2
)
1 e
1 4

3 1 4e
2
四、求偏导数或全微分 dz z x ( x , y )dx z y ( x , y )dy
' '
(1) z arctan
(3) z e
xy
y x
; 求 :dz
'
(2) z f ( xy ); 求 :z x , z y
问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得总 利润最大？最大总利润是多少？
练习解答
L( p1 , p 2 ) R( p1 , p 2 ) C ( p1 , p 2 ) p1 q1 p 2 q 2 [ 35 40 ( q1 q 2 )]
0 .2 p1 32 p1 0 . 05 p 2 12 p 2 1395
f ( x 0 , y 0 ) 0， f ( x 0 , y 0 ) 0
' x
' y
" " " 记 f xx ( x 0 , y 0 ) A，f xy ( x 0 , y 0 ) B， f yy ( x 0 , y 0 ) C
则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下： 2 （1） B AC 0 时具有极值, 当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; （2） B 2 AC 0 时没有极值;
y
sin xdx
cos x C
即 cos x e
y
C是 方 程 的 通 解
x 0, y 0时 ， C 0 方 程 的 特 解 为 即 cos x e
y
0
奇次微分方程---变量代换 dy y 形如 f( ) dx x 基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程 作变量代换 代入原式
x 2 ( y ).
（2）Y-型区域 D=｛(x,y)| c y d , 1 ( y )
}

D
f ( x , y )d

d c
dy
2 ( y ) 1 ( y )
f ( x , y )dx .
(1 )
x
D
y d , 其中 D 是由两条抛物线
2
y
dt =2
0
t 11 1 t
2
dt =2 (1
0
1 1 t
)dt
=2 (t-ln|1+t|) 0 =2(2-ln3)
2
2)

'

1 0
1 1 x
2
dx .
dx sec tdt ,
2
解：令 x tan t ,

x 0 t 0, x 1 t

4
,

1
e dx
x 0

1
xe
x
1 1 e
1 0
1
(2) x ln xdx
1 e
1 2
2
ln x ( x ) dx
2 '
1 1 e 1
1 2

1
ln xdx
1 e
2

1 2
( x ln x


1 e
x d ln x )
1
2
1 2
( x ln x
2
1 1 e
1

xdx )
ye
P(x)dx
P(x)dxdx C] [ Q(x)e
(3)求 方 程 源自文库
解： P ( x ) 1 ,
x
1 x
y
sin x x
的通解。
,
Q( x)
sin x x
y e

x
1
dx
1 sin x x dx x e dx C
2
及 y 2 x 所围成的闭区域 . .
解 积分区域如下图所示
y
( x y x )d
2 2 D
D


0
2
dy y ( x y x ) dx
2 2 2
y
o
0
2
[
x
3
3
y x
2
x
2
x
3
2
3
] dy
y y 2
0
2
(
19 24
y
3 8
y ) dy
2
[
19 24
3) xe dx .
x
3) x arctan xdx .

b a
u ( x ) d v ( x ) u ( x ) v ( x )|
a
1
1
b

b
v ( x )d u ( x )
a
x
(1) xe dx
x 0

0
x e
x

'
1
dx
e

0
x
xde
1 0
x
xe

1 0
原式

4 0
sec tdt (ln | sec t tan t |) 04
ln( 2 1)
3.分部积分：
uv dx udv uv vdu.
'
1) x cos xdx 2) x sin xdx
1) x ln xdx 2) xarc sin xdx

1 4
y
4
1 8
y ]
2 0

13 6
六、微分方程计算
求 （1） ： dy dx
y
g(y)dy f (x)dx
e sin x 的 通 解 和 满 足 x = 0, y = 0的 特 解 。 dy e
y
解：分离变量
sin xdx
y
两 边 同 时 积 分 e dy
e
x,
y x 所围成的区域
解 积分区域下图所示
x
D
yd
2
3 2

1 0
xdx
x
x x
2
y dy
D

x [ y ] x 2 dx 3 7 1 2 2 4 6 4 ( x x ) dx 0 3 3 55

(2)
( x
D
2
y x ) d , 其中 D 是由直线 y 2 , y x
基本积分表：
1) kdx 2) x dx
3)
4)

kx C
x
1
8)
( 1)
dx cos x
2

sec xdx tan
2
x C;
1
9)
1 x
dx ln | x | C
1
2
sin
dx
2
x
2 csc xdx cot x C ;
即
u x du dx
即 y xu,
f (u ),
dy dx
u x
du dx
,
du dx

f (u ) u x
.
可分离变量的方程
（2）求 ：
解：
dy dx

y x
tan
y
的通解。
作变量代换 u 代入原式
分离变量
x y
x
, 即 y xu,
u tan u,
1
(5 x 3 ) dx
'
1
5 x 3 d (5 x 3) 5
1
ln | 5 x 3 | C
x
2
e dx
x
3

(ln x ) x
3
dx
2.第二换元法：变量代换
(1)
(2)
ax b 可令
a x
2 2
ax b = t
可令
2
x a sin t ;
x a tan t ;
(2)求由方程 sin z
所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。
五、重积分的计算
（1）X-型区域 D=｛(x,y)| a x b , 1 ( x ) y 2 ( x ). ｝

D
f ( x , y )d
dx
a
b
2( x)
1 ( x )
f ( x , y ) dy .
5)
1 x 1
dx arctan x C
10) sec x tan xdx sec x C ;
11) csc x cot xdx csc x C ;
1 x
2
dx arcsin x C
6) cos xdx sin x C ;
12) e dx
x
e C;
x
7 ) sin xdx cos x C ;
13)
a
x
dx
a
x
ln a
C;
补充公式：
tan xdx ln | cos x | C ; cot xdx ln | sin x | C sec xdx ln | sec x tan x | C
(3)
a x
2
可令
2
(4)
x a
2
可令
x a sec t .
5
2)
1
1 1 x1
dx
2 2
解：令t
x 1; x 1 t ; dx d (1 t ) 2 tdt
2 2
x = 1时 , t = 0; x = 5 时 , t = 2
原式 =
0
2t 1 t