浙江财经大学微积分(下册)总复习共34页
浙江财经大学微积分下期末试卷2
x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______
微积分下册主要知识点,DOC
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注:以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有a),22x a -可令;sin t a x =b),22a x +可令;tan t a x = c),22a x -可令.sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法⎰性质3⎰⎰⎰+=bccab adx x f dx x f dx x f )()()(.性质4.1a b dx dx ba ba -==⋅⎰⎰性质5若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤则,)()(⎰⎰≤ba ba dx x g dx x f ).(b a < 推论1若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则,0)(≥⎰ba dx x f ).(b a < 推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6(估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则性质7(定积分中值定理)如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ,使5.3微积分的基本公式（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(.(4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似.但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(txϕ=把变量x换成新变量t时,积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)(ϕ'的一个原函数)(tΦ后,不必象计算不定积分那fϕt([t)]样再把)(tΦ变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(tΦ然后相减就行了.⎰变量，并确定它的变化区间],[b a，任取],[b a的一个区间微元]x+，,[dxx求出相应于这个区间微元上部分量U∆的近似值，即求出所求总量U 的微元(=；dU)dxxf(2)由微元写出积分根据dx=写出表示总量U的定积分dU)(fx微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1)所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许旋转体的体积微元,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积.)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元,dV=Ax)(dx所求立体的体积.)(⎰=b a dxAVx5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系方程0yxF的),,(=z F称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程0 z),,(=xy图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然.其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数.方程(1.3)称q p z 22+=同号与q p 双曲抛物面z qy p x =+-2222(p 与q 同号)单叶双曲面1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念x {00A y x f y y x x =→→),(lim 0.或A y x f →),(（),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或A P f →)()(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述.为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数,若在D上取得两个不同的函数值,则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,当y 固定(（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商.但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数 在点)0,0(的偏导数为但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.表示当价格为p 、消费者收入为y 时,Q 对于p 的变化率.称 为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率.而表示当价格p 、消费者收入为y 时,Q 对于y 的变化率.称为需求Q 对收入y 的偏弹性. 五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，区域D 内连续,则在该区域内有yx zx y z ∂∂∂=∂∂∂22. 6.4全微分 一、微分的定义定义1如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量可以表示为),(ρo y B x A z +∆+∆=∆(4.2)其中A ,B 不依赖于y x ∆∆,而仅与x ,y 有关,,)()(22y x ∆+∆=ρ则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分,y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分,记为,dz 即函数沿各个方向的变化情况.但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性.一般地，我们有：定理2(充分条件)如果函数),(y x f z =的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x 连续,则函数在该点处可微分. 三、微分的计算习惯上，常将自变量的增量x ∆、y ∆分别记为dx 、dy ，并分别称为自变量的微分.这样，函数),(y x f z =的全微分就表为.dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=(4.5) 上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.例如，三元函数),,(z y x f u =1．复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=（5.1） 公式(5.1)中的导数dtdz称为全导数.2、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =,xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(5.3) ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂(5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 定理3如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数,函数v v 根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性.以二元函数为例，设),(v u f z =,),(),,(y x v v y x u u ==是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有由此可见，尽管现在的u 、v 是中间变量，但全微分dz 与x 、y 是自变量时的表达式在形式上完全一致.这个性质称为全微分形式不变性.适当应用这个性质，会收到很好的效果. 三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程000续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =,它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF Fx z -=∂∂-=∂∂(5.14) 6.6多元函数的极值及求法 一、二元函数极值的概念定义1设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00y x 的任意一点),(y x ,如果 则称函数在),(00y x 有极大值；如果则称函数在),(00y x 有极小值;极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(根据定理1与定理2，如果函数),(y x f 具有二阶连续偏导数，则求),(y x f z =的极值的一般步骤为：第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点； 第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、B 、C 的值，并根据2B AC -的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数f在极值点处的极值.)x,(y二、二元函数的最大值与最小值求函数),(y x f的最大值和最小值的一般步骤为:（1）求函数),(y x f在D内所有驻点处的函数值;（2）求),(y x f在D的边界上的最大值和最小值;设二元函数),(y x f和),(y xϕ在区域D内有一阶连续偏导数，则求ϕ的极值问题，可以转化为求拉格朗日,)xy(=f),(yz=在D内满足条件0x函数（其中λ为某一常数）的无条件极值问题.于是，求函数),(y x fϕ的极值的拉格朗日乘数法yx,(=z=在条件0)的基本步骤为：(1)构造拉格朗日函数 其中λ为某一常数;(2)由方程组解出λ,,y x ,其中x ,y 就是所求条件极值的可能的极值点.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分,记为,),(⎰⎰Dd y x f σ即⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆=ni i i i f 1),(lim σηξλ(7.2)其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式,σd 称为面积微元,x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域,并称∑=∆ni i i i f 1),(σηξ为积分和.对二重积分定义的说明:(1)如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在，则称函数),(y x f 在区域D 上是可积的.可以证明，如果函数),(y x f 区域D 上连续，则),(y x f 在区域D 上是可积的.今后，我们总假定被积函数),(y x f 在积分区域D 上是连续6.8在直角坐标系下二重积分的计算 一、区域分类-X 型区域：)}()(,|),{(21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤.其中函数)(),(21x x ϕϕ在区间],[b a 上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于y 轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.-Y 型区域：)}()(,|),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤.其中函数)(),(21x x ψψ在区间],[d c 上连续.这种区域的特点是：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点.二、二重积分的计算假定积分区域D 为如下-X 型区域:（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D 的积分限（3）写出结果四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算.在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题.如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数),(y x f的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面.为应用方便，我们总结如下：1.如果积分区域D关于y轴对称，则。
微积分(下)总复习
2）设想把区间[ a , b ] 分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为[ x , x d x ] ，求出相应于这小区间的 部分量 U 的近似值．如果 U 能近似地表示为 [ a , b ] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与d x 的乘 积，就把 f ( x )d x 称为量U 的元素且记作d U ，即 d U f ( x )d x ； 3）以所求量U 的元素 f ( x )d x 为被积表达式，在区
2. 定积分计算 例2 求 2 1 sin 2 xdx .
0
解原 式
2 0
sin x co s x d x
4 0
(co s x sin x )d x
2
(sin x co s x )d x
4
2 2 2.
例3 求
ln 2
1 e
2 x
dx .
[ a , b ] 上的定积分等于 [ a , b ] 上的增量 .
5.定积分的计算法
（1）换元法
b a
f ( x )d x
f [ ( t )] ( t )d t
换元公式
（2）分部积分法
b a
u d v [ u v ]a
b
b
vd u
a
分部积分公式
6. 微元法理论依据
性质6
设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间[a , b ]
上的最大值及最小值，
则
m (b a )
【免费下载】浙财微积分下期末试卷1
浙江财经学院课程期末考试试卷浙江财经学院 ～ 学年第二学期《微积分B 下》课程期末考试试卷（ B 卷）考核方式：闭卷考试日期： 年 月 日适用专业、班级：题 号一二三四五六七八九十总分得 分评卷人（共九大题）评卷人得分一、选择题（每小题2分共10分）1．＝（ ）。
⎰A ．B ．C ．D ．4π2ππ32π2．设收敛，则（ ）。
∑∞=12n n u A ．收敛B ．收敛∑∞=1n n u ∑∞=-1)1(n n n u C ．发散 D ．发散∑∞=-12)1(nnnu ∑∞=1n n u 3．下列积分中不是广义积分的是（ ）。
A ．B ．C ．D ．1222(1)-⎰dxx 1ln ⎰edxx x11-⎰ 0+∞-⎰x e dx4．设，其中具有连续的二阶偏导数，则（ ）。
)()(y x y x z -++=φϕφϕ,A ．B ． 0""=-yy xx z z 0""=+yy xx z z浙江财经学院课程期末考试试卷C ．D ．0"=xy z 0""=+xx xy z z 5．微分方程的通解是（）。
0)1()1(22=+++dx y dy x A ．B ．c y x =+arctan arctan cy x =+tan tan C ．D ．c y x =+ln ln cy c x c =+tan tan 评卷人得分二、填空题（每小题2分共20分）1．设，则______________________。
22 ()cos =⎰x xf x u du =)('x f 2．函数的定义域为)410ln()arcsin(222y x y x z --+-=_____________________。
3．＝______________________。
∑∞=+1)1(1n n n 4．＝_______________________________。
2019年--2《微积分(下)》.doc
系 别 经贸与管理工程系 专 业 年 级 2011级任课教师姓名 教研组负责人签名华南理工大学广州学院基础部数学组关于11级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知通知要点★考试的重点内容与要求 ★考试的形式与试卷结构 ★题型示例与答案统考考试时间定于2012年6月29日上午。
一、考试的重点内容与要求考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求： 1、 定积分及其应用理解定积分的定义（含两点补充规定：当a b =时，()0baf x d x =⎰；当a b >时，()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰）。
理解定积分的几何意义与定积分的基本性质。
掌握变上限的定积分及其导数的定理求函数的导数。
掌握牛顿—莱布尼茨公式。
掌握定积分的第一、二类换元法及分部积分法。
会用定积分求平面图形的面积与旋转体的体积。
会求无限区间上的广义积分。
2、 无穷级数理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解级数的基本性质（含级数收敛的必要条件）。
熟悉几何级数（即等比级数）0nn aq ∞=∑（0,a q ≠叫公比）、调和级数11n n ∞=∑与p -级数11(0)p n p n∞=>∑的敛散性，掌握正项级数的比较判别法及比值判别法。
了解交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与收敛的关系。
了解幂级数nn n a x∞=∑及其收敛域、和函数等概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用函数11x-、xe 、ln(1)x +等的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成x 的幂级数。
注意到无穷级数的内容不易掌握，因此复习时应有多次反复。
还应注意知识间的联系，例如常数项级数与幂级数之间，前者是后者的基础，后者是前者的发展，两者的一些公式与方法是相通的。
文科-经管类-微积分--微积分(下)总复习--PPT
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x
结束
铃
求旋转体体积
d
V c A( y)dy
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
..
V d g 2 ( y)dy c
y
x=g(y)
A( y) . g 2 ( y)
c
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x
结束
.
铃
由平面图形 0 a x b, 0 y f (x)
微积分 (下) 总复习
•基本初等函数的导数公式小结
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x
(11)
(log a
x)
1 x ln
a
(12) (ln x) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)
a2 x2
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
2. 凑微分法
g(( x)) '( x)dx g(( x))d( x)= g(u)du
3. 第二换元法
令x (t )
浙江财经大学慕课微积分2
浙江财经大学慕课微积分2
《微积分》课程是高等院校经济、金融、管理等各专业必修的一门公共数学基础课，由微积分）和微积分下两门课组成，本学期开课的是第5期《微积分》。
本课程强调数学理论与各专业的有机结合，它是学习现代经济、管理理论的前提和基础，也是财经类院校学生学习专业课程的重要工具。
本课程系统地介绍了微积分的基本概念、基本理论和基本方法。
课程主要内容有：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、多元函数微积分学、微分方程、差分方程等。
微积分Calculus是以函数为研究对象，运用极限的思想进行微分和积分计算的一门数学学科。
微积分的内容丰富多彩，它呈现出概念严谨、理论系统、逻辑性强、表达形式抽象的特点。
我们不仅要对微积分的定义、定理、结论等进行严谨的讲解、推理、研究，还会通过多种教学手段，引导学生关注数学概念的背景，从而理解抽象的数学概念，进而掌握概念的内涵和外延。
课程讲解力求由浅入深，突出重点和难点，从核心概念理解和应用出发，直至抽象的理论完整理解。
通过本课程的学习，目的是使学生深刻领会数学的思想和方法，能综合运用所学的数学知识提高分析问题和解决实际问题的能力，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，提升学生的数学修养和综合素质，为学生今后从事各项经济工作和研究、培养新时期应用型复合人才奠定坚实的基础。
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
经济数学微积分(下)期末复习题1
《微积分（下）》课程期末复习题（1）一、计算下列积分(每小题5分,共15分)1. 22arctan 1x xdx x ++⎰2.40⎰3. 1ln eexdx ⎰二、 求由曲线3 , 02()4 , 2x x f x x x ⎧≤≤=⎨->⎩和x 轴所围平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积（9分）三、求下列函数的偏导数或全微分（18分）1. ()cos sin ,x z e y xy =+，求,z z x x∂∂∂∂2. 设()yx y x z 2354+-=,求zx∂∂及z y ∂∂.3. 若(),z z x y =由方程()2sin 2323x y z x y z +-=+- 确定，计算.z z x y∂∂+∂∂四、某厂生产两种型号的产品. 已知生产A 产品x 单位. B 产品y 单位时的总成本函数为()1003070,++=y x y x C . 两种产品的需求函数分别为330 . 550B A py p x -=-=（B A p p , 分别为两种产品的价格），若限制总产量为20 ， 试求 y x , 使总利润最大。
（9分）五、重积分（15）1.已知sin()xyf x dyyπ=⎰，计算0()f x dxπ⎰。
2.计算二重积分D xydxdy⎰⎰，其中D是由抛物线2y x=及直线2y x=+所围成的闭区域。
六、 选择题 (每小题2分,共10分)1. 设⎰=+=+)( cos )1(x f c x dx x f 则( )A .)1sin(-xB .)1sin(--xC .)1sin(+xD .)1sin(+-x2. 设平面区域D 由(),(),,y f x y g x x a x b ====围成，其中a b <，(),()f xg x 均连续且()()0f x g x ≤≤，则平面区域D 绕x 轴旋转所成旋转体体积为（ ）A .()2()()baf xg x dx π-⎰B .()22()()ba g x f x dx π-⎰C . ()22()()b af xg x dx π-⎰D . ()()baf xg x dx π-⎰3. 已知00(,)3f x y =，00(,)2x f x y '=，00(,)4y f x y '=，[]00ln (,)x f x y '=( )A .13 B . 23 C . 43D . 0 4. 设二元函数(,)z f x y =在()00,x y 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且00(,)2xxA f x y ''==00(,)0xyB f x y ''==00(,)2yyC f x y ''==，则点()00,x y （ ） A . 不是极大值点 B . 不是极小值点 C . 是极大值D . 是极小值5. 设{}22(,)14 D x y x y =≤+≤，则Ddxdy =⎰⎰（ ）A . πB . 2πC . 3πD . 4π七、填空题(每小题2分,共20分)1. 若2()f x dx x C =+⎰，则211()f dx x x =⎰______________2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()ba d f x dx dx =⎰3. 设)(x f 的一个原函数是cos x ，则 ='⎰dx x f x )(4.11cos )x x dx -=⎰5. 1001lim (1sin 2)xu x u du x →+⎰=6. 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为7. 设(2)x z e f x y -=--，且当0y =时，2z x =，则zx∂∂=8. 已知21xx yyx dz e dx e dy y y=-, 则2z x y ∂=∂∂ . 9. 函数333z x y xy =+-的极值点是___________________.10. 设(,)(,)Df x y x f x y dxdy =+⎰⎰, 其中D 是由(0,0),(1,0),(1,1)A B C 围成的三角形闭区域，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=___________________.八、证明：11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰（4分）。
微积分第二学期期末复习题
李芳凤
考试题型
• • • • 1填空题（12分，共4小题） 2选择题（18分，共6小题） 3计算题（44分，共5小题） 4综合题（26分，共2小题）
微积分部分
1 求 函 数 f ( x, y ) e
2
3 2 3
x y
2
的偏导数
f
2
x y
z x
围成．
8 计 算 x y d , 其 中 D 是 由 抛 物 线 y
D 2
x及
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。
x1 x 2 x 3 2 x 4 2 x3 4 x 4 4 5 解线性方程组 2 x1 (克莱姆法则) 3 x 2 x x 1 1 2 3 x1 2 x 2 x 3 2 x 4 4
6 当 取何值时, 下列齐次方程组有非零解？
2
,
f
.
2
设 z x y 3 xy xy 12
及
z
3
yx xy
,
z
2
,
x
3
。
3
求u
1 x y z
2 2 2
的全微分。
4
计算函数 u x sin
y 2
e
yz
的全微分.
5 设隐函数 z z ( x , y ) 由方程 sin z x yz 确定，
2 3 求矩阵A 1 1 2 1 2 3 0 的秩。 1
2 1 2
3 0 ， 3
2 x1 3x2 x3 2, 4 求解线性方程组 3x1 2 x2 3x3 18, (用消元法) x 2 x 2 x 1. 2 3 1
微积分下册总复习
z
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x ( x0, y0 ) x0
x
lim f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
D
b
dx
2( x) f ( x, y对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
第20页/共107页
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
第23页/共107页
D {( x, y) ,0 r ( )}
其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
( )
f ( x, y)d d 0 f (r cos ,r sin )rdr;
D
r ( )
D
O
A
第24页/共107页
D {( x, y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
D
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
第21页/共107页
交换积分次序的步骤
(1) 利用已给的二次积分的积分限得出 相应的二重积分的积分区域, 并画出草图;
浙江财经大学 微积分 下册总复习
考试题型：
一、选择题（2分*5=10分） 二、填空题（2分*10=20分） 三、求积分（6分*3=18分） 四、求偏导数（6分*4=24分） 五、求解微分方程（7分） 六、求二重积分（7分） 七、综合应用题（7分*2=14分）
1、定积分的应用（求面积，求体积） 2、最大利润（二元函数求极值）
eycosxC
即 c o s x e y C 是 方 程 的 通 解 x0 ,y0 时 ， C 0
方 程 的 特 解 为 即 c o s x e y 0
（6）求由方程 sinz xyz所确定的隐函数z=f(x,y)的偏 导数。
隐函数求导
Th1：由方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称作隐函数，
其导函数为：f
'( x)
F
' x
F
' y
Th2：由方程F(x,y,z)=0确定的函数z=f(x,y)称作隐函数，
其导函数为：z ' x F x '/F z ' ,z ' y F y '/F z '
2
[1 29 4 1 4y41 8y3]0 2
13 6
六、微分方程计算
g(y)dyf(x)dx
（1）求 ： d y e y s in x 的 通 解 和 满 足 x = 0 ,y = 0 的 特 解 。 d x
解 ： 分 离 变 量d ey y sinxdx
两 边 同 时 积 分 e y d y sin x d x
1
2
(2x1)5d(2x1)
(
2
x 12
1)6
C
5
1 x
dx 3
155x13(5x3)'dx 155x13d(5x3)
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时,;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题.一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法.这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题.选取一个积分变量.例如x 为积分变量.并确定它的变化区间],[b a .任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +.求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值.即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时.应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性.即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(.即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下.要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事.因此.在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体.但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积.那么.这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV =所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系在平面解析几何中.我们建立了平面直角坐标系.并通过平面直角坐标系.把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样.为了把空间的任一点与有序数组对应起来.我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴. 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）.统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中.如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F .而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程.则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件.建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程.研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示.反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中.我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面.从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕）.通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法.简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集.如果对于D 内的任一点),(y x .按照某种法则f .都有唯一确定的实数z 与之对应.则称f 是D 上的二元函数.它在),(y x 处的函数值记为),(y x f .即),(y x f z =.其中x .y 称为自变量. z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域.数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地.可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义.如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时.函数),(y x f 无限趋于一个常数A .则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限.我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义.如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续.则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似.二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论.当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时.只要算出函数在该点的函数值即可.特别地.在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如.有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地.函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明.在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数.然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数.补充以下几点说明：（1）对一元函数而言.导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似.对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中.我们知道.如果函数在某点存在导数.则它在该点必定连续. 但对多元函数而言.即使函数的各个偏导数存在.也不能保证函数在该点连续.例如.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =.)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点.过点0M 作平面0y y =.截此曲面得一条曲线.其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见.pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理.yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且.其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
微积分下册复习资料PPT课件
射 线 之 间 的 夹 角 ( 0 ) 称 为 a ， b 的 夹 角 , 记 作
(a，b )
5
问题：写出以下平行四边形中相等的向量：
D
C
Ao
B
6
二、向量的加减法与数乘运算
1. 向量的加法：平行四边形法则
b
c
a
3
如或果共两 线个，向记量为方a向//b相。同或相反，则称之为平行 注：零向量平行于任何向量。 如果k个向量把它们的起点放在同一点时，它们的 起点和终点在同一平面上，则称这k个向量共面。
4
向量的模(norm):
向量的大小(长度),记作 |
a
|或
|
M1M2|
模为1的向量称为单位向量.
向量的夹角：
（两要素：大小和方向）
向量表示：有向线段，如
M2
a或 M1M2
a M 1
(以 M1为起点， M2为终点的有向线段.)
2
向量的记法：
用小写字母记为
a,
f,v 等。
用大写字母记为 MN,OA等。
特别地，零向量记为 0, 它表示方向任意的一个点。
相等向量：大小相等且方向相同的向量。
说明：如果两个有向线段的大小和方向是相同的， 则不论它们的起点是否相同，我们就认为它们表示 同一向量，这里理解的向量叫做自由向量。若不加 说明，我们这里所讨论的向量都是自由向量。
ADb.试
用a和b表示向M量A, MB, MC,
MD,这里M是平形四边形对交 角点 线 . 的
D b M Aa
C
B
14
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More