平面图形的镶嵌.
《平面图形的镶嵌》教案1
《平面图形的镶嵌》教案教学目标1. 知识与技能：（1）通过探索平面图形的镶嵌，使学生了解平面图形镶嵌的概念，了解任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面图形，并能运用这几种图形进行简单的平面图形镶嵌设计；（2）培养学生观察、动手操作能力。
2. 过程与方法：引导学生在图形镶嵌和拼图解题的过程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用；（2）开发、培养学生的实践能力、创新意识和团结协作精神；（3）让学生在活动中感受数学的美，进一步发展学生的审美情趣。
教学重点探索多边形镶嵌的条件的过程以及多边形镶嵌的条件。
教学难点寻找多边形镶嵌的条件,并如何运用镶嵌的条件解决问题。
教学过程一、欣赏图案，引入课题概念1、用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏(如图1).提问学生这些图案有什么共同特征？让同学们分组讨论、交流.共同特征：①这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的;②这些图形不但是形状相同，而且大小也一样,也就是全等的图形;③这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠。
2、引入本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念归纳:这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片”，这就是数学上“平面图形的镶嵌”，又称做“平面图形的密铺”。
这节课，我们一起来进行课题学习“平面图形的镶嵌”。
多媒体投影本课课题及“平面图形的镶嵌”的概念:用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重叠地铺成一片，这叫做平面图形的镶嵌，或平面图形的密铺.3、让学生举出一些生活中身边的镶嵌图案在我们生活中，有许多图案是“平面图形的镶嵌”。
不知同学们是否曾留意过身边的一些镶嵌图案？你能举出你身边的镶嵌图案吗？让同学们议论.如:家里的地板图案,,人行道上地砖铺成的图案,一些房间里墙纸上的花纹图案, ……4、拼接纸片，探索镶嵌条件（1）用正三角形、正方形、正六边形硬纸片模拟铺地面砖近年来，随着社会经济的不断发展，人民生活水平的不断提高，往房条件越来越好.用室内装饰的事例导入。
镶嵌(数学八年级上P26)
镶嵌（八年级上P26）1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形实行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。
2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。
(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)能够密铺；(3)单一正n边形密铺的条件：假设360°除以正n边形的一个内角等于整数，则能够单独用它密铺；就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。
(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°；b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。
典型例题为了美化校园环境，在学校广场用两种边长相等的正多边形地砖镶地面，现已有一种正方形，则另一种正多边形能够是()A.正三角形B.正五边形C.正六角形D.正三角形或正八边形答案：D解析:分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴正三角形能够；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360°显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120度．90m+120n=360°，m=4-4/3n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，∵90°+2×135°=360°，∴正八边形能够．应选D．。
《平面图形的镶嵌》教案
《平面图形的镶嵌》教案一、教学课题《平面图形的镶嵌》二、教案背景课标中已将综合实践活动作为数学学习的一个重要组成部分。
“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动．学生在教师的指导下，将所学过的知识有机地结合，增强对知识的理解；注意与实际问题有机地结合，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
三、教材分析（一）学习目标分析：本课是在信息环境、资源环境中让学生通过实例理解图形的镶嵌，理解构成镶嵌的条件，在发现只用正三角形、正四边形、正六边形能够镶嵌的基础上，上升到任意三角形、四边形能够镶嵌平面，再将图形的镶嵌知识由平面拓展到空间。
通过学生思考，相互讨论，动手操作，丰富学生对镶嵌的理解，提升动手水平，发展空间观点，增强审美意识。
（二）资源环境分析：现代信息技术及各种有效的资源既能调动学生思维的主观能动性，培养其创新精神，又能使学生活跃思路，多角度、全方位的思考问题。
为此，我构建了图形镶嵌的图片资源、拼图动画资源、现场实物操作资源等环境。
在思考、操作、欣赏与提升各板块的活动中，充分利用现代信息技术让学生欣赏图形的镶嵌、感受到图形镶嵌的魅力；在合作学习、快乐体验中达到学习目标。
整个活动过程中学生积极性很高，最后学生在欣赏图片中，将图形的镶嵌知识由平面拓展到空间，从而达到了活动的高潮。
（三）学生学习心理分析：我所面对的教学对象是八年级学生，他们思维活跃、求知欲强，对事情有自己的看法，他们的学习在很大的水准上受着兴趣、情感的支配。
信息技术的使用这对他们来说是一种新异刺激，可使其充分集中注意力，更激发他们参与活动的内在动机。
苏霍姆林斯基说：“儿童是用形象、色彩、声音来思维的”。
从儿童心理学角度看，儿童具有直观、形象的思维特征。
所以我同时又在信息环境的氛围中采用具体、形象的教学形式，学生在信息技术的引导下清楚的了解到图形镶嵌的实质。
学生在整个活动中思维活跃，从接受灌输的被动地位转变为发现知识、理解知识掌握知识的主体地位，构成了探究式的学习氛围。
镶嵌
还能找到能密铺的其他正多边形吗？ 还能找到能密铺的其他正多边形吗？
• 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看： 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 种正多边形的一个内角的倍数是否是 ° 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60° 在正多边形里，正三角形的每个内角都是 °， 正四边形的每个内角都是90° 正四边形的每个内角都是 °，正六边形的每 个内角都是120°，这三种多边形的一个内角 个内角都是 ° 的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个 的倍数都是 ° 内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边 内角的倍数都不是 ° 所以说： 形里只有正三角形、正四边形、 形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以 密铺，而其他的正多边形不可密铺． 密铺，而其他的正多边形不可密铺．
做一做
正五边形可以密铺吗？ 正五边形可以密铺吗？
1 3 2
正五边形不能密铺
正六边形可以密铺吗？ 正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
能否 平面 镶嵌
正三角形 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
3
结论1： 结论 ： 可以用同一种正多边形密铺的图形只有 正三角形，正四边形，正六边形. 正三角形，正四边形，正六边形 结论2: 结论 用一种形状 大小完全相同的三角形、 形状、 用一种形状、大小完全相同的三角形、四边形 也能进行平面镶嵌
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
（3）正八边形和正方形 ）
用正五边形和什么多边形能密铺？ 用正五边形和什么多边形能密铺？
平面图形镶嵌说课稿比赛
《平面图形的镶嵌》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！我是来自八五九农场学校的数学教师李建莹，很荣幸能够参加此次说课大赛，今天我说课的内容是人教版七年级（下）第七章第四节——平面图形的镶嵌. 下面我将从以下几个方面对本课的设计进行详细的说明。
一、深入研究——说理念课程标准倡导“动手操作、自主探索、合作交流的学习方式，倡导在教师的指导下开展“数学知识的再创造学习活动”，培养学生的探究能力。
”因此，我在本课的设计中，以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，由浅入深、循序渐进的设计流程，让学生亲历知识的再创造过程，在主动探索与合作交流中，体会数学的应用价值，实现规律在操作中发现，思维在交流中拓展，能力在应用中提升。
二、纵横联系——说教材“课题学习——镶嵌”是人教版七年级下册第七章第四节内容。
学生在本单元已经学习了三角形的有关概念和性质及多边形内角和、外角和公式。
镶嵌作为课题学习的内容，安排在本章的最后，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用。
通过课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合运用所学知识解决问题的全过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要的意义。
三、结合实际——说学情本节课的教学对象为七年级学生，七年级学生对镶嵌的认识大多来源于生活中的感性认识，对其内在规律往往关注不够，因此需要教师通过创设问题情境，组织学生动手操作，在活动中与学生共同探究，充分利用本年级学生对生活有很强的好奇心，乐于探索，愿意与人合作的性格特点，加深学生对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识，完成本节课的教学目标。
四、把握教材——说目标根据课程标准的要求，教学内容的特点以及七年级学生的认知水平,我确立了如下的教学目标：知识与技能目标：通过探索多边形平面镶嵌，知道三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
数学人教版八年级上册平面图形的镶嵌课件
60° 60° 60 ° 60° 60 ° 60°
n=3 n=4 n=5 n=6
的 平 面 镶 嵌
正 方 形
90° 90° 90° 90°
n=3 n=4 n=5 n=6
正 六 边 形 的 平 面 镶 嵌
n=3 n=4 n=5 n=6
正五边形可以镶嵌吗？
1 2
原来拼不了！ 为什么?
3
∠1+∠2+∠3=?
形镶嵌问题的资料
让我们放飞理想， 翱翔于种形状、大小相同的平 面图形进行拼接,彼此之间不留缝隙, 也不重叠地铺成一片,叫做平面图形 的镶嵌.也叫平面图形的密铺。
上一页
判断：下列图形是平面图形的镶嵌吗？
图1
图2
图3
图4
小试牛刀1
试着用一种正多边形拼平面镶嵌图。
n=3 n=4 n=5 n=6
正 三 角 形 的 平 面 镶 嵌
正五边形不能镶嵌!
n=3 n=4 n=5 n=6
小试牛刀2
试着用两种或两种以上正多边形拼 平面镶嵌图。
自己动手制作一幅美丽的平面镶嵌
图，并说出其寓意。
小结
• • • • 平面图形镶嵌的概念及其特点 数学在生活中的应用 数学的美 学生创造力的培养
、
选择你喜欢的题目
1.身体力行:完成学习探究里的习题二 2.挑战自我:设计镶嵌图案,为本班设 计班徽，并说明设计理想 3.开拓视野:到网站上查询有关平面图
《平面图形的镶嵌》教学课件
镶嵌的条件
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
学生心得体会分享
学生A
通过学习，我深刻理解了 平面图形镶嵌的原理和方 法，感受到了数学的美妙 和实用性。
学生B
在动手实践中，我发现了 很多有趣的镶嵌组合，对 平面图形的认识也更加深 入了。
学生C
节奏与韵律感营造方法
通过调整图形元素的间距、大小、形态和色彩等视觉属性，形成有规律 的排列组合和变化，营造出富有节奏感和韵律感的视觉效果。
03
节奏与韵律感在设计中的应用
如网页设计、UI设计、插画设计等，利用节奏和韵律感来增强视觉吸引
力和提升用户体验。
色彩搭配和视觉效果优化
色彩搭配原则
在平面图形镶嵌中，色彩搭配应遵循色彩的和谐与对比原则，通过合理的色彩组合来营造 出符合主题和氛围的视觉效果。
引导学生对自己的作品进行客观 评价，发现自己的优点和不足，
为今后的创作提供改进方向。
展示与交流
鼓励学生之间相互评价作品，发现 他人的优点并学习借鉴，同时提出 建设性的意见和建议，促进共同进
步。
互相评价
教师对学生的作品进行点评，肯定 学生的成绩和进步，指出存在的问 题并提出改进意见，引导学生不断 提高创作水平。
《平面图形的镶嵌》教学课件
contents
目录
• 平面图形镶嵌基本概念 • 常见平面图形镶嵌方法 • 美学原理在平面图形镶嵌中应用 • 创意设计实践：个性化平面图形镶嵌 • 评价标准及欣赏能力提升途径 • 课堂总结与拓展延伸
01 平面图形镶嵌基本概念
镶嵌定义及性质
镶嵌定义
用形状、大小完全相同的一种或 几种平面图形进行拼接，彼此之 间不留空隙、不重叠地铺成一片 ，这就是平面图形的镶嵌。
小学数学点知识归纳平面镶嵌的基本规律及应用
小学数学点知识归纳平面镶嵌的基本规律及应用小学数学点知识归纳：平面镶嵌的基本规律及应用平面镶嵌是数学中一个有趣且常见的概念，它可以帮助我们理解图形的特性和空间关系。
本文将介绍平面镶嵌的基本规律及其在实际中的应用。
一、平面镶嵌的定义和基本规律平面镶嵌是指将多个相同形状的多边形拼接在一起，使得它们的边和顶点完全贴合，形成一个封闭的平面图案。
在进行平面镶嵌时，要注意以下基本规律：1. 角度和：在任何一个顶点处，镶嵌的多边形的内角和等于360度。
这是因为，在顶点处，每个多边形都共享一个顶点，而内角和是指多边形的内角的总和。
2. 边的个数：每个多边形都有相同数量的边，且每两个相邻的多边形之间，边对边且一一对应。
这意味着，如果一个多边形有n条边，那么整个平面镶嵌中就有n个多边形。
3. 关于对称性：在平面镶嵌中，多边形的排列具有一定的对称性，这有助于我们观察和推导图形的特性。
常见的对称性包括镜像对称、旋转对称等。
二、平面镶嵌的实际应用平面镶嵌不仅在数学中是一个重要的研究领域，还有着广泛的实际应用。
以下将介绍一些平面镶嵌在不同领域的具体应用。
1. 地砖铺贴：在建筑和装修中，地砖的铺贴是一个常见的应用平面镶嵌的场景。
地砖通常是规则的正方形或长方形，在铺贴时需要将它们完全贴合，使整个地面呈现出美观的图案。
2. 拼图游戏：我们常见的拼图游戏也是基于平面镶嵌的原理设计的。
拼图游戏通过将多个图块按照一定的规则拼接在一起，来还原或创建特定的图案或形状。
3. 手工制作：在手工制作中，我们经常需要使用多个相同形状的图案，将它们镶嵌在一起制作手工艺品，如纸片剪贴、拼贴画等。
平面镶嵌为手工制作提供了一种简单且创造性的方式。
4. 几何模型：平面镶嵌也常用于制作几何模型，如正多面体和星形多边形等。
通过将多个相同形状的多边形拼接在一起，我们可以制作出各种具有美观形态的几何模型。
结语：平面镶嵌作为数学中的一个重要概念，对于我们理解图形的特性和空间关系具有重要意义。
平面图形的镶嵌ppt
剪出一些形状、大小完全相同 的任意三角形纸板，拼拼看，它们 能否镶嵌成平面图案？
剪出一些形状、大小完全相同 的任意四边形纸板，拼拼看，它们 能否镶嵌成平面图案？
D
4
A1
3C 2B
整个图案可以由一个基本图形通过平移、旋转 或对称得到。
探究二 哪两种正多边形可以组合镶嵌
镶嵌组合 正三边形 正四边形 正五边形 正六边形
0
5
10
15
20
用形状、大小 完全相同的一 种或几种平面 图形进行拼接， 彼此之间不留 空隙、不重叠 地铺成一片， 就是平面图形 的镶嵌．(也 叫平面图形的 密铺）
探究一 哪些正多边形可以单独镶嵌
每个内角和度数
正三角形
正四边形
能否镶嵌
正五边形
正六边形
能够单独镶嵌的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形。 用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是：内角整除360度
….
能否组 合镶嵌？ 正三边形
正四边形
正五边形
正六边形
……
平面镶嵌的条件
满足边长相等和每个公共顶点处几个内角 的和为360度，两个正多边形就进进行镶嵌。
1、边长相等。 2、每个公共顶点处几个内角的 和为360°。
用同一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”， 我们称之为环形密铺
小结
• 从实际生 活出发• Biblioteka 面图形 的镶嵌• 图案设计
hanks
0
5
10
15
20
第六章综合与实践平面图形的镶嵌课件
知2－练
2 阿男的父亲想购买同一种大小一样、形状相同
的地板砖铺设地面．阿男根据所学的知识告知
父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，
购买的地板砖形状不能是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
知2－练
3 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的 规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地砖________块； (2)第n个图案中有白色地砖________块．
知2－讲
导引：A、正三角形的一个内角度数为180°÷3＝60°， 是360°的约数，能进行平面镶嵌；B、正六边形 的一个内角度数为180°－360°÷6＝120°，是 360°的约数，能进行平面镶嵌；C、正方形的一 个内角度数为180°－360°÷4＝90°，是360°的 约数，能进行平面镶嵌；D、正五边形的一个内角 度数为180°－360°÷5＝108°，不是360°的约 数，不能进行平面镶嵌．
嵌而成，其中三个分别为正三角形、正方形、正
六边形，则另一个为( )
A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．正三角形
知3－练
3 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围
有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的
关系式是( )
A．2m＋3n＝12
B．m＋n＝8
C．2m＋n＝6
D．m＋2n＝6
1. 用相同的正多边形镶嵌的条件： (1)边长要相等； (2)有公共顶点； (3)在公共顶点处各内角的和为360°.
知2－讲
1. 平面镶嵌的原则：环绕一点拼在一起的多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角．
2. 平面镶嵌的常用方法： (1)只用一种正多边形； (2)同时用两种正多边形； (3)用非正多边形．
北师版数学八下《平面图形的镶嵌》教学设计
《平面图形的镶嵌》教学设计一、教材分析1.从教材编写角度看《平面图形的镶嵌》是北师大版数学教材八年级下册的一节综合实践课，本节课主要是让学生通过动手操作、小组合作、多媒体辅助（几何画板）等多种形式探究平面图形镶嵌的条件。
在此之前，学生已经学习了三角形的内角和、多边形的内角和等知识。
通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。
2.从在教材中的地位与作用看本综合与实践活动课具有一定的现实性，可以激发学生的学习兴趣，形成良好的数学观，同时也有利于发展学生的数学应用意识。
进行本节课的学习，需要学生对图形进行一定的分解、组合、拼接，需要进行图案设计等操作活动，同时也需要应用所学习的平面图形的有关知识，因此本节课还具有一定的实践性和综合性。
本节课需要学生经历一个具体的研究过程，探索过程中需要从事一定的归纳、猜想、验证、推理等思维活动，这都有助于丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生经历了对平行四边形性质和判定的探索活动，并掌握了如何求解多边形的内角和以及外角和。
在本章前几节的综合实践活动中，学生体现出了较强的主动合作和实践动手能力，积累了丰富的探索图形性质的经验。
八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本节课教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究，从而加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
三、教学任务分析1.教学目标（1）知识传授：通过探索平面图形的镶嵌，认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基本镶嵌图案的一些方法。
（2）能力培养：经历动手拼、相互交流、展示成果等活动，探索发现多边形镶嵌的条件，培养学生发现问题、提出问题的能力，进一步发展探究意识，积累探究经验。
平面图形的镶嵌问题
图 ５
点评 ： 本题 可先从 多项 式 ２ ＋５６ ｂ 的 ０ ＋２ 因式 分解人手 ，由于 ２２ ａ ＋２ ２ ＋ｂ ａ＋５ｂ ｂ＝（ａ ）
图３
Ｉ一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 Ｉ
ｌ Ｉ
Ｉ
Ｉ
（ ＋２ ） 口 ，因此要拼成 面积为 ２２ ａ ＋２ ａ＋５ｂ ｂ 的 矩形 ， 形的长为 ｎ ６ 宽为 ２ ＋６至此易 该矩 ＋２ ， ｎ ．
故选 Ｄ ．
兰 一
图１ 图２
点评 ： 本题要结合多边形内角和 、 外角和的
知识进行解答．
’例 ２ 用两种正多边形镶嵌 ，不能与正三 角形匹配 的正 多边形 是 （ ） ．
Ａ Ｂ ｃ ・ 寺 ・ ｛ 。 寻
解 析 ： 接从 “ 天鹅 ” 手较 难 ， 意到 直 小 入 注
纸片 （ 每种 至少用 一次 ） 图 ４的虚线 方框 中 在
ａ ｂ ｂ
拼成一个矩形 （ 每两个 纸片之 间既不重叠 ， 也
无缝隙 ， 出的图 中必须保 留拼图 的痕迹 ）使 拼 ，
拼 出的矩形 面积 为 ２２ Ⅱ ＋２ ｚ并标 出此矩 口＋５６ ｂ，
形的长和宽．
。
［ ６ ［］ ＝口 ］
略举几 例解析 如下 ， 同学们 学 习 供 局部求解 ， 往往无法解决 ； 而从 全局着眼 ， 体 角度 问题 ， 整
板 中的梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ。易知梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积是 解 析 ：要 确 保矩 形 的面 积 为 ２２ ａ ＋ ａ＋５ｂ 正方形 纸片 ２ 。ｘ 块 ａ ｂ的正方形纸片 ５ ， 块 通过
—
同一 种 地 面 砖 ，则 下 列 多 边 形 中不 能 选 用
平面镶嵌知识点聚焦
平面镶嵌知识点聚焦随着新课程改革的深入，中考试题也随着不断革新，在近年的中考试题中，出现了和平面镶嵌有关的问题，为了帮助大家学好平面镶嵌的问题，下面把平面镶嵌的知识要点进行简要归纳．知识点1、镶嵌的认识1.镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做多边形覆盖(或平面镶嵌).2.实现镶嵌的条件:用多边形拼地板,即能拼成一个既不留下一丝空白,又不互相重叠的平面图形的条件是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于0360.平面密铺的含义:⑴平面图形的形状、大小完全相同;⑵拼接后彼此之间不留空隙，不能重叠;⑶若在每个拼接点处几个平面图形的内角和构成0360,则这些平面图形就能密铺.知识点2:实现平面镶嵌的常用方法 1、普通图形的镶嵌（1）任意三角形可以完成镶嵌 （2）任意四边形可以完成镶嵌2、用正多边形进行镶嵌：探究一:用一种正多边形镶嵌设所用正多边形的边数为n,且在一个顶点处有k 个正n 边形.根据上述限定条件有方程k ×n1802(0）一n =3600整理,得kn-2k-2n=0,即n=2k k 2一=2+2k 4一 n,k 皆为正整数, 当k=3时, n=2+234一=6 当k=4时, n=4当k=6时, n=3 进而限用一种正n 边形的镶嵌有三种情况: 正多边形的边数 一个顶点处正多边形的个数 3 6 4 4 63也就是说，若仅限于用一种正多边形镶嵌，符合条件的只有三角形、正方形和正六边形。
其相应的镶嵌图案如图1所示。
探究二:用多种正多边形镶嵌以正三角形和正四边形为例,设正三角形有x个,正四边形有y个,根据限定条件有方程600x+900y=3600整理,得2x+3y=12,得整数解x=3，y=2即:用3个正三角形和2个正方形可以镶嵌.类似可讨论出:（1）、用4个正三角形和1个正六边形可以镶嵌;用2个正三角形和2个正六边形可以镶嵌;（2）、用2个正五边形和1个正十边形可以镶嵌,等等.（3）、用1个正三角形与2个正十二边形（4）、用1个正四边形与2个正八边形（5）、3个正三角形与2个正方形第1种情况图解第5种情况图解第4种情况图解第（1）种情况图解（用2个正三角形和2个正六边形）探究三、用多种正多边形进行镶嵌，例如：（1）、1个正方形，1个正六边形与1个正十二边形（2）、1个正三角形，2个正方形与1个正六边形（3）、1个正三角形，1个正七边形与1个正42边形（4）、1个正三角形，1个正八边形与1个正24边形（5）、1个正三角形， 1个正九角形与1个正十八边形（6）、1个正三角形，1个正十边形，1个正十五边形，第（2）种情况图解（7）、1个正四边形，1个正五边形与1个正二十边形知识点例析例1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6例2.在美丽的岳阳南湖广场中心地带整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面，在下面的地板砖：①正方形②正五边形③正六边形④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种例3.下列正多边形的组合中,能够铺满地面(即平面镶嵌)的是( )A.正三角形和正四边形B.正四边形和正五边形C.正五边形和正六边形D.正六边形和正八边形例 4.小明家用瓷砖装修卫生间还有一块墙角面未完工(如图乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下图中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)。
《平面图形的镶嵌》)
曲线形镶嵌
使用曲线形状进行镶嵌，如波浪线、 弧线等，可以营造出柔和、流动的视 觉效果。
组合图形镶嵌
1 2
几何图形组合镶嵌
将不同种类的几何图形（如三角形、正方形、圆 形等）组合在一起进行镶嵌，可以形成富有创意 的视觉效果。
图案与几何图形组合镶嵌
在几何图形的基础上，加入特定的图案或纹理进 行镶嵌，可以丰富视觉效果，增加层次感。
提升自身技能，拓展应用领域
学习掌握新技术
设计师需要不断学习和掌握新技术，如参数化设计、3D打印等，以提升平面图形镶嵌的 设计水平和制造能力。
拓展应用领域
平面图形镶嵌具有广泛的应用前景，设计师可以积极拓展应用领域，如建筑、艺术、工业 设计等，为不同领域提供更多的创新解决方案。
加强实践与交流
通过参与实际项目、参加专业研讨会等方式，加强实践与交流，不断提升自身的专业素养 和实践能力。
检查镶嵌作品是否完整， 对不满意的地方进行修
饰和完善。
注意事项及常见问题解答
注意事项
使用剪刀和刻刀时要注意安全，避免 划伤；粘贴时要确保图形平整，避免 起皱或翘起。
常见问题解答
如遇到图形大小不合适、颜色搭配不 协调等问题，可重新设计图案或调整 裁剪方式；如粘贴不牢固，可更换胶 水或增加粘贴面积。
06 总结与展望
平面图形镶嵌广泛应用于建筑、装饰、纺织、计算机图形学等领域。
意义
镶嵌不仅是一种美学上的表现形式，更是数学、物理学等学科研究的重要对象， 对于理解平面图形的性质、空间结构以及自然界中的晶体结构等具有重要意义。
02 常见平面图形镶嵌方法
规则图形镶嵌
三角形镶嵌
使用等边三角形或等腰三 角形进行镶嵌，可以形成 美观且稳定的图案。
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(2)正三角形与正六边形 正三角形的每个内角是60°，正六边形的 每个内角是120°，对于某个拼结点处，设 有x个60°角，有y个120°角，即： 60x+120y=360° 即x+2y=6 x、y是正整数 x 4 x 2 解得： y 1或 y 2
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形， 或者用二个正三角形和两个正六边形，如上图.
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地 砖铺砌成美丽的图案.
一、认识平面图形的镶嵌
观察在线
欣赏时空
美 丽 的 镶 嵌 图 案
欣赏时空 美 丽 的 镶 嵌 图 案
观察小结 平面图形的镶嵌
用形状、大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
（10 ）
收获与评价
• 本节课你有什么收获和感受？
• 本节课你有什么疑惑和问题？ • 你能给自己和同伴在本节课的学习
作个评价吗？
课堂小结
学到了什么？
探索平面图形的镶嵌
镶嵌的含义 (观察 感悟) 镶嵌的条件 (实践 理解) 镶嵌的应用
(经历 感受)
思想 方法
｛
观察、实验、探究、 合作、比较、归纳
｝
从正方形出发，按下列步骤设计图案：
1 2 1 2 4 1
3
画一个正方 取正方形一边 同样，画出部 经过上述步骤 的中点， 分3， 形； 并将 后，得到一个
画出部分1， 其剪下补在 2 新的图案。 并将其剪下 补 的位置上； 在2的位置上；
（1） 按上述步骤，你得到了一个“箭头”了吗？ （2） 剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案
二、探索正多边形的镶嵌
知识介绍： 在平面内，各角相等，各边也都相等的多边 形叫做正多边形。 边数为n的多边形的内角和等于（n-2)· 180° 问 题： 用大小相同的正三角形、正六边形能否镶 嵌平面？简述你的理由。能否用正五边形镶嵌 平面？
探索活动
正三角形的镶嵌
正六边形的镶嵌
思考 探究 除正三角形、正四边形、 正六边形能镶嵌面外，还能 找到其他能镶嵌平面的正多边 形吗？
(3)正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和 两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.
结论： 由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： (1)n个正多边形中一个内角的和的倍数是360° (2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个 正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的 整数倍.
合作议论归纳
1.同一种正多边形 是否可以镶嵌平面的关键是：一种正多边形 的一个内角的倍数是否360°。
2.用大小相同的 (n-2)×180° n 正三角形、正四边形、正六边形都可以镶嵌 平面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。
三、探索用两种正多边形镶嵌平 面的条件.
(1)正三角形与正方形 正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内 角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角， 有y个90°角，则： 60x+90y=360 即：2x+3y=12 又x、y是正整数 解得：x=3,y=2 即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方 形的两个内角进行拼接.(如上图)
设计密铺图案的方法与要求:
1.全等的图形之间无缝隙、不重叠
2.选取一个可以密铺的图案(三角形,四边 形,六边形等).在原图上截下一部分把它平 移到相对位置，组成一个新的图形，以新 的图形为基本图案可以进行密铺 3.应该是”铺”出来的而不是”画”出来的
4.图案设计要有自己的创意
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
交流乐园
如何以下图中的（1）、（2）为拼图的“基本单 位”，拼出图（3）、（4）、（5）、（6）？如果允 许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？
（1） （3） （5） （7） （9）
（2） （4） （6）
（8）
综合与实践
平面图形的镶嵌
1.经历平面图形镶嵌的探索过程，进一步发展探 究意识、积累探究经验. 2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的 一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基 本镶嵌图案的一些方法。 3.经历小组合作和交流过程，进一步积累合作与 交流的活动经验，增强合作意识. 4.通过图案设计活动，发展空间观念、以及综合 运用数学知识解决问题的能力。
用同一种四边形可以镶嵌平面 平面图形能镶嵌平面的条件是，每个拼接点处 的多边形各内角之和能组合成 180°或360°
五、利用可以镶嵌的基本图形来设计新的 镶嵌图形
思考时空 怎样利用可以密铺的基本图形来 设计新的可以密铺的图形？
在原图上截 下一部分把 它平移到相 对位置，组 成一个新的 图形，则新 的图形可以 进行密铺
四、探索任意三角形、四边形的镶嵌
实践之窗
问题
用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌平面？ 如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这 种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明 为什么。 用同一种四边形能否镶嵌平面呢？
任意三角形的镶嵌
实践之窗
任意四边形的镶嵌
实践小结 用同一种三角形可以镶嵌平面
解决 问题
学习目标
为我校40年校庆献礼 实践作业
用彩色卡纸设计图案（其中 蕴含平移、旋转、轴对称以及平 面图形镶嵌知识）