哈工程大物电磁感应讲解
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2πR 2
v 0 Il ( 1 vt )
2π R vt R2
(2) 当 =0时， 将改变方向
1 R vt
vt R2
0
t ( 5 1)R 2v
B2
B1
例3、如图在真空中两条无限长载流均为I的直导线中间．放置 一门框形支架(支架固定)，该支架由导线和电阻联接而成．载 流导线和门框形支架在同一竖直平面内．另一质量为m的长为l 的金属杆ab可以在支架上无摩擦地滑动．将ab从静止释放。 求∶
边界条件： t 0 , v v0 t 0, I 0
C2 v0
dv dt
C1 cost C2 sin t
B0aI m
C1 0
a
b
0
x vdt
B0
v
0
x
例2、半径为R的无限长实心圆柱导体载有电流I，电流沿轴向 流动，并均匀分布在导体横截面上．一宽为R，长为l的矩形回 路(与导体轴线同平面)以速度向导体外运动(设导体内有一很 小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布)．设初始时刻矩形回
0
1 BL2 sin 2
2
电动势的方向从a b
Bb
(v B) v
a
2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁场 中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属 直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离 环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强 度。（设金属单位长度的电阻为r0）
3.计算回路中的电动势
dΦ 0d (ln 4) d I 0d ln 4
d t 2 3 d t 2 3
方向：顺时针
7.一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。导 线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在该平 面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，O点到导线 的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面成角时， 棒内感应电动势的大小和方向。
dv ( A cv )
mR
t
dt
v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dv A cv
1 c
v
d(A cv A cv
)
0
0
0
t 1 ln A cv cA
v
A (1 ect ) c
mgR sin B2l2 cos2
(1 ect )
例5 、一圆形极板电容器，极板的面积S，两极板的间距为d。
0 Ir0 2 cos2
ln
ro
L cos
r0
8.一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀 速转动，角速度为。另有一个半径为b的大圆环 (b>>a) ， 固定不动，其中通有不变的电流I.小环与大环有共同的圆心。 t=0时二环共面。小圆环的电阻为R，自感可以不计。试求: 大圆环中的感生电动势。
I
a b
解： B21
0I
2b
12
0I2
2b
a 2
cost
I1
1 R
d12
dt
0 I2a2
2bR
sin t
M 12 0a2 cost
I2
2b
21 MI1
(0a)2 I2
8b2 R
sin
2t
I
a
b
21
d
dt
(0a)2
4b 2 R
B2
1 3
0 I1
2R
0 I1
6a
二者大小相等，方向相反， 互相抵消
B0
0I 4r
(cos1
cos2 )
3 0 I 2a
3.如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、 长度为l 的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度
沿与棒成 角的方向移动．开始时，棒的A端到导线的距
πc
Ii
ab
R
0Iv ln
R
cl c
F
mg
l
IiBd
r
mg
(0I
ln
c
c
l )2
v R
m dv dt
0
v
dv
0 g ( 0I ln c l )2
v
t
dt
0
π c mR
[ ] v g 1 exp[( 0I ln c l )2 t ]
I1
a I
r1
O
I2
v r2
c
R r r1r2 ( r1 r2
3
4
9
)ar0
I bc
R(
3vB
3
4
9
)r0
I1r1 I 2r2 I1 : I2 1: 2
B1
2 3
0 I1
2R
0 I1
3a
=0时，x =0．试求在
， 为常矢量的磁场情况下，回
路中的感应电动势 和时间t的关系。
I2
cos 2t
三、计算题
四、典型例题：
例1、如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够
长）．金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻．线框
的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁
感应强度为 B0 的均匀磁场中， B0 的方向垂直矩形线框平
面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v=v(t)和沿x轴
B d
c
a l
b
解: i Blv cos
Ii
i
R
Blv R
cos
F
I i Bl
Blv cos
R
Bl
A g sin
c B 2l 2 cos2 /(mR)
mg sin Blv cos Bl cos m d v
R
dt
dt
g sin
dv
B2l 2v cos2
四、典型例题： 1. 求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定
轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的方位 角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
B
L
b
解： ab (v B) dl
0
L
vBdl sin
0
L
l sin dl sin
B
L
I
o
r0
解：
a
(v
B)
dl
B
o
r0 Lcos l 0 I dl
r0
2x
I
r0
其中: x r0 l cos
dx dl cos
dl
x
o
r0 L cos
0I ( x r0
)
dx
r0
2x cos cos
0 IL 2 cos
0Iv[ l
2π a
23 3
ln
a
3 2 a
l
]
其方向为顺时针
6、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反 的电流 I，电流变化率 dI /dt = >0．一个边长为d 的正方形线 圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的
感应电动势，并说明线圈中的感应电流的方向．
b
a O v
c
解：由
b
(v
B) dl 得
c a
bc (v B) dl
3vBa 方向：c
b
b
利用几何关系
r 3ar0
r1
4 3
ar0
r2
2 3
ar0
b
一根长为的极细的导线在极板间沿轴线与两板相连，已
知细导线的电阻为R，两极板外接交变压 U U0 sint ，
（ U0 , 为常数）求：
（1）细导线中的电流；
I U U0 sin t
R
R
（2）通过电容器的位移电流；
（3）极板间离轴线为处的磁感应强度。（r比极板半径小）
r
解： 2）通过电容器的位移电流
方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)．
动生电动势： B0av
自感电动势： L dI
dt
dI B0av L dt 0
B0av L
dI dt
0
dv B0aI m dt
d 2v dt 2
B0a m
dI dt
d 2v dt 2
2v
0
2 B02a2 mL
v C1 sint C2 cost v0 cost
I
I
d d
解：1.规定回路的正方向 2.计算任意时刻的磁通量
B 0I 0I 2x 2 ( x d )
d B dS Bddx
I
I
d
o
d
d
3d
[
0
I
0I
]ddx
2d 2x 2 (x d )
dx x
0 Id ln 3 2 4
离为a，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒 哪端的电势高．
I
a
A
v
l
B
解：
B
alvt cos
AB (v B) dl vBdxsin
A
avt cos
alvt cos
v
0I
dx sin
0 Iv
sin
ln
a
l
c B b
o
R
a
d
解：选 abcd 回路的绕行方向顺时针为正，则有
B dS BS abmn
d
dt
Sabmn
dB dt
3.68mV
方向：逆时针
另由：
E
dl
S
B t
dS
E dl E dl E dl E dl E dl
(v
B)
d
l
vB cos 60d l
d2
v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
al cos30 a
v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
30Iv ln a l 3 / 2
6
a
同理
3 2
1
2 2
π c mR
mR
( 0I ln c l )2
πc
mgRπ2
vm ax
(0I
ln
c
c
l
)2
例4 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸
导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为 B竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为 m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成 电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时间t的 函数关系．
C
v
I
D
a
A
解：
(v
B)
dl
ACDA
C
1 2 3
I
v
D
C
a
1
(v B) dl
A
D
A
2
(v B) dl
C
A
3
(v B) dl
D
1
vlB
v l0 I
2πa
方向：A指向C
d2
0S
d
U
0
c
ost
Q S
CU S
0
d
U
0
sin
t
3）极板间离轴线为r处的磁感应强度
r
Ⅲ 动生、感生并存电动势的计算
例4、如图所示，等边三角形平面回路ACDA位于磁感强度
为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于回路平面．回路上的CD
段为滑动导线，它以匀速远离A端运动，并始终保持回路是
等边三角形．设滑动导线CD到A端的垂直距离为x，且时间t
vt cos
avt cos 2x
2
a vtcos
a+vtcos
o
A
v
x
l
B
A点电位高
4.均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方 向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在 平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场 以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知=/3，Oa=Ob=6cm. 求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
(1) ab上的感应电动势．
(2) ab上的电流．
(3) ab在t时刻的的速度，
(4) ab所能达到的最大速度．
c
c
l
解： B 0 I ( 1 1 )
2 c r c l r
l
ab Bv d r
0
0Iv (ln c l
2π c
ln c l ) c
0Iv ln c l
路一边与导体轴线重合，求： (1) t ( t R/v ) 时刻回路中的
感应电动势． (2) 回路中的感应电动势改变方向的时刻．
R
R
l
I
v
解：(1) 取逆时针方向为回路正向
vB1l vB2l
B1
0I
2(R vt)
B2
0I (vt)2 2π(vt) R2
0 Ivt
c
B
ab m
ab
bc
E dl E dl
B
cd
dS
ab
cd
S t
da
oo
R
ba n
d
Sabmn
dB dt
5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直 导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈ACD．该线圈的
A内C以边匀与速长v直 远导离线长距直离导最线近运且动相，互且平与行长．直今导使线线相圈垂AC直D．在求纸当面 线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势．
v 0 Il ( 1 vt )
2π R vt R2
(2) 当 =0时， 将改变方向
1 R vt
vt R2
0
t ( 5 1)R 2v
B2
B1
例3、如图在真空中两条无限长载流均为I的直导线中间．放置 一门框形支架(支架固定)，该支架由导线和电阻联接而成．载 流导线和门框形支架在同一竖直平面内．另一质量为m的长为l 的金属杆ab可以在支架上无摩擦地滑动．将ab从静止释放。 求∶
边界条件： t 0 , v v0 t 0, I 0
C2 v0
dv dt
C1 cost C2 sin t
B0aI m
C1 0
a
b
0
x vdt
B0
v
0
x
例2、半径为R的无限长实心圆柱导体载有电流I，电流沿轴向 流动，并均匀分布在导体横截面上．一宽为R，长为l的矩形回 路(与导体轴线同平面)以速度向导体外运动(设导体内有一很 小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布)．设初始时刻矩形回
0
1 BL2 sin 2
2
电动势的方向从a b
Bb
(v B) v
a
2、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁场 中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属 直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离 环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强 度。（设金属单位长度的电阻为r0）
3.计算回路中的电动势
dΦ 0d (ln 4) d I 0d ln 4
d t 2 3 d t 2 3
方向：顺时针
7.一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。导 线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在该平 面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，O点到导线 的垂直距离为r0 (r0>L)。试求金属棒转到与水平面成角时， 棒内感应电动势的大小和方向。
dv ( A cv )
mR
t
dt
v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dv A cv
1 c
v
d(A cv A cv
)
0
0
0
t 1 ln A cv cA
v
A (1 ect ) c
mgR sin B2l2 cos2
(1 ect )
例5 、一圆形极板电容器，极板的面积S，两极板的间距为d。
0 Ir0 2 cos2
ln
ro
L cos
r0
8.一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀 速转动，角速度为。另有一个半径为b的大圆环 (b>>a) ， 固定不动，其中通有不变的电流I.小环与大环有共同的圆心。 t=0时二环共面。小圆环的电阻为R，自感可以不计。试求: 大圆环中的感生电动势。
I
a b
解： B21
0I
2b
12
0I2
2b
a 2
cost
I1
1 R
d12
dt
0 I2a2
2bR
sin t
M 12 0a2 cost
I2
2b
21 MI1
(0a)2 I2
8b2 R
sin
2t
I
a
b
21
d
dt
(0a)2
4b 2 R
B2
1 3
0 I1
2R
0 I1
6a
二者大小相等，方向相反， 互相抵消
B0
0I 4r
(cos1
cos2 )
3 0 I 2a
3.如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、 长度为l 的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度
沿与棒成 角的方向移动．开始时，棒的A端到导线的距
πc
Ii
ab
R
0Iv ln
R
cl c
F
mg
l
IiBd
r
mg
(0I
ln
c
c
l )2
v R
m dv dt
0
v
dv
0 g ( 0I ln c l )2
v
t
dt
0
π c mR
[ ] v g 1 exp[( 0I ln c l )2 t ]
I1
a I
r1
O
I2
v r2
c
R r r1r2 ( r1 r2
3
4
9
)ar0
I bc
R(
3vB
3
4
9
)r0
I1r1 I 2r2 I1 : I2 1: 2
B1
2 3
0 I1
2R
0 I1
3a
=0时，x =0．试求在
， 为常矢量的磁场情况下，回
路中的感应电动势 和时间t的关系。
I2
cos 2t
三、计算题
四、典型例题：
例1、如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和b（b足够
长）．金属线框的质量为m，自感系数为L，忽略电阻．线框
的长边与x轴平行，它以速度v0沿x轴的方向从磁场外进入磁
感应强度为 B0 的均匀磁场中， B0 的方向垂直矩形线框平
面．求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v=v(t)和沿x轴
B d
c
a l
b
解: i Blv cos
Ii
i
R
Blv R
cos
F
I i Bl
Blv cos
R
Bl
A g sin
c B 2l 2 cos2 /(mR)
mg sin Blv cos Bl cos m d v
R
dt
dt
g sin
dv
B2l 2v cos2
四、典型例题： 1. 求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定
轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的方位 角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
B
L
b
解： ab (v B) dl
0
L
vBdl sin
0
L
l sin dl sin
B
L
I
o
r0
解：
a
(v
B)
dl
B
o
r0 Lcos l 0 I dl
r0
2x
I
r0
其中: x r0 l cos
dx dl cos
dl
x
o
r0 L cos
0I ( x r0
)
dx
r0
2x cos cos
0 IL 2 cos
0Iv[ l
2π a
23 3
ln
a
3 2 a
l
]
其方向为顺时针
6、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反 的电流 I，电流变化率 dI /dt = >0．一个边长为d 的正方形线 圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的
感应电动势，并说明线圈中的感应电流的方向．
b
a O v
c
解：由
b
(v
B) dl 得
c a
bc (v B) dl
3vBa 方向：c
b
b
利用几何关系
r 3ar0
r1
4 3
ar0
r2
2 3
ar0
b
一根长为的极细的导线在极板间沿轴线与两板相连，已
知细导线的电阻为R，两极板外接交变压 U U0 sint ，
（ U0 , 为常数）求：
（1）细导线中的电流；
I U U0 sin t
R
R
（2）通过电容器的位移电流；
（3）极板间离轴线为处的磁感应强度。（r比极板半径小）
r
解： 2）通过电容器的位移电流
方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)．
动生电动势： B0av
自感电动势： L dI
dt
dI B0av L dt 0
B0av L
dI dt
0
dv B0aI m dt
d 2v dt 2
B0a m
dI dt
d 2v dt 2
2v
0
2 B02a2 mL
v C1 sint C2 cost v0 cost
I
I
d d
解：1.规定回路的正方向 2.计算任意时刻的磁通量
B 0I 0I 2x 2 ( x d )
d B dS Bddx
I
I
d
o
d
d
3d
[
0
I
0I
]ddx
2d 2x 2 (x d )
dx x
0 Id ln 3 2 4
离为a，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒 哪端的电势高．
I
a
A
v
l
B
解：
B
alvt cos
AB (v B) dl vBdxsin
A
avt cos
alvt cos
v
0I
dx sin
0 Iv
sin
ln
a
l
c B b
o
R
a
d
解：选 abcd 回路的绕行方向顺时针为正，则有
B dS BS abmn
d
dt
Sabmn
dB dt
3.68mV
方向：逆时针
另由：
E
dl
S
B t
dS
E dl E dl E dl E dl E dl
(v
B)
d
l
vB cos 60d l
d2
v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
al cos30 a
v
0I 2x
cos60
dx sin 60
2
30Iv ln a l 3 / 2
6
a
同理
3 2
1
2 2
π c mR
mR
( 0I ln c l )2
πc
mgRπ2
vm ax
(0I
ln
c
c
l
)2
例4 有一很长的长方的U形导轨，与水平面成角，裸
导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为 B竖直向上的均匀磁场中，如图所示．设导线ab的质量为 m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成 电路，t =0时，v =0. 试求：导线ab下滑的速度v与时间t的 函数关系．
C
v
I
D
a
A
解：
(v
B)
dl
ACDA
C
1 2 3
I
v
D
C
a
1
(v B) dl
A
D
A
2
(v B) dl
C
A
3
(v B) dl
D
1
vlB
v l0 I
2πa
方向：A指向C
d2
0S
d
U
0
c
ost
Q S
CU S
0
d
U
0
sin
t
3）极板间离轴线为r处的磁感应强度
r
Ⅲ 动生、感生并存电动势的计算
例4、如图所示，等边三角形平面回路ACDA位于磁感强度
为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于回路平面．回路上的CD
段为滑动导线，它以匀速远离A端运动，并始终保持回路是
等边三角形．设滑动导线CD到A端的垂直距离为x，且时间t
vt cos
avt cos 2x
2
a vtcos
a+vtcos
o
A
v
x
l
B
A点电位高
4.均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方 向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在 平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场 以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知=/3，Oa=Ob=6cm. 求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
(1) ab上的感应电动势．
(2) ab上的电流．
(3) ab在t时刻的的速度，
(4) ab所能达到的最大速度．
c
c
l
解： B 0 I ( 1 1 )
2 c r c l r
l
ab Bv d r
0
0Iv (ln c l
2π c
ln c l ) c
0Iv ln c l
路一边与导体轴线重合，求： (1) t ( t R/v ) 时刻回路中的
感应电动势． (2) 回路中的感应电动势改变方向的时刻．
R
R
l
I
v
解：(1) 取逆时针方向为回路正向
vB1l vB2l
B1
0I
2(R vt)
B2
0I (vt)2 2π(vt) R2
0 Ivt
c
B
ab m
ab
bc
E dl E dl
B
cd
dS
ab
cd
S t
da
oo
R
ba n
d
Sabmn
dB dt
5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直 导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈ACD．该线圈的
A内C以边匀与速长v直 远导离线长距直离导最线近运且动相，互且平与行长．直今导使线线相圈垂AC直D．在求纸当面 线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势．