方程与函数的关系
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
函数的零点与方程的解的关系
函数的零点与方程的解的关系在数学中，函数的零点和方程的解是两个非常重要的概念。
函数的零点指的是函数取值为零的点，而方程的解则是使方程等号成立的数值。
在这篇文章中，我们将探讨函数的零点和方程的解之间的关系。
1. 函数的零点函数的零点是指函数在自变量取何值时，函数的取值等于零。
数学上常用符号表示函数的零点，如对于函数f(x)，其零点通常表示为f(x) = 0。
求解函数的零点可以通过方程求解的方法来实现。
2. 方程的解方程的解是指使方程成立的数值。
方程是一个数学表达式，通常使用等号将两个表达式连接起来。
方程的解可以是实数或复数，取决于方程的类型和要求。
3. 函数的零点与方程的解的联系函数的零点与方程的解之间存在紧密的联系。
一方面，我们可以将函数的零点转化为方程，通过求解方程来确定函数的零点。
另一方面，方程的解也可以代入函数中，判断是否为函数的零点。
4. 使用函数的零点求解方程当我们要求解一个方程时，有时候可以将方程转化为函数的形式，并找到该函数的零点来得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其转化为函数f(x) = x^2 - 4，然后求解函数f(x) = 0的零点来得到方程的解。
5. 函数的零点与方程的解的示例让我们以一个简单的例子来说明函数的零点与方程的解之间的关系。
考虑方程x^2 - 9 = 0，我们将其转化为函数f(x) = x^2 - 9，然后求解函数f(x) = 0的零点。
首先，我们将函数的表达式设置为零：x^2 - 9 = 0。
然后解这个方程，我们可以得到x = 3或x = -3。
这两个数值就是方程的解，也是函数f(x) = x^2 - 9的零点。
6. 应用举例函数的零点和方程的解在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，函数的零点可以表示系统的平衡点，而方程的解可以用来描述物理现象。
另一个例子是金融领域中的利息计算。
我们可以将某个金融问题建模为一个函数，并通过求解函数的零点来得到方程的解，从而计算出利率或其他相关的数值。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
一元二次方程和一次函数的关系
3 图像表示
一次函数的图像可以 通过绘制直线、标记 截距和斜率来表示。
一元二次方程与一次函数的关系
交点
一元二次方程和一次函数的 交点表示了两者的解集，可 以通过求解方程组得到。
平行线
当一元二次方程的抛物线与 一次函数的直线平行时，方 程没有实数解。
切线
当一元二次方程的抛物线与 一次函数的直线相切时，方 程有且仅有一个实数解。
因式分解
通过找到一个数对(a, b)， 使得二次项和一次项的 乘积等于常数项，将方 程因式分解为两个一次 因式。
求根公式
应用二次方程的求根公 式，直接计算方程的根。
实例分析
方程
a=1, b=4, c=4 a=1, b=-3, c=2 a=2, b=-5, c=3
解集
x =-2 x=1, x=2 x=1/2, x=3/1
一元二次方程和一次函数 的关系
本次演示将阐述一元二次方程与一次函数的关系。通过深入剖析这两个数学 概念的定义、性质以及图像表示，我们将揭示它们之间的紧密联系，并分享 一些有趣的求解方法及实例分析。
一元二次方程的定义与性质
定义
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a ≠ 0。
结论与应用
1 结论
一元二次方程和一次函数之间的关系提供了解方程的方法和图像表示的便利性。
2 应用
这种关系在物理、经济、工程等领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
3 扩展
进一步学习多项式函数和其他高阶方程的性质和求解方法。
性质
一元二次方程的图像是一个抛物线，且其开口方向与a的正负有关。方程的解可以为实数或 复数。
图像表示
初中数学教材中方程(组)与函数的关系
初中数学教材中方程（组）与函数的关系作者：魏向春来源：《中小学教学研究》2009年第11期初中数学教材中方程(组)、函数二者同属于数与代数的范畴。
从难易程度和由特殊到一般的规律上的顺序:方程(组)即等式→函数,符合认知规律。
下面我们恰恰由一般到特殊即由共性到个性进行分析,即函数→方程(组)。
方程(组) 方程一元一次方程一元二次方程二元一次方程二元二次方程方程组:二元一次方程组函数一次函数(含正比例函数)二次函数反比例函数一、一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)的关系1.一次函数■2.一元一次方程当一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量y=0时,表达式为kx+b=0(k≠0),就成为了一元一次方程,方程的解为x=-■,图象是直线x=-■,平行于y轴。
直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点的坐标为(-■,0),横坐标的值即为一元一次方程kx+b=0的解。
例如:一次函数y=x+1,当y=0时,x+1=0,是一元一次方程,方程的解为x=-1,图象是直线x=-1,平行于y轴。
直线y=x+1与x轴的交点的坐标为(-1,0),横坐标的值x=-1即为一元一次方程x+1=0的解。
3.二元一次方程当把一次函数y=kx+b(k≠0)中的变量x、y当作未知数时,就成为了二元一次方程,变形为kx-y+b=0(k≠0)时,图象是直线y= kx+b,这条直线上的任何一个点的坐标所对应的一对数值都是二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的解,同样把二元一次方程kx-y+b=0(k≠0)的每一个解中的x、y值作为一个点的横纵坐标,则这些点恰好构成直线y=kx+b(k≠0),也正是因为每条直线上有无数个点,所以二元一次方程的解有无数个。
4.二元一次方程组对于变量x、y,某一变化过程同时满足两种关系:y= k1x+b1 和y=k2 x+b2,即构成了二元一次方程组函y= k1x+b1 y=k2 x+b2 一方面其解是这两条直线的交点坐标,另一方面这两条直线的交点坐标即为此方程组的解。
方程和函数思想的关系（摘录）
方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。
王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
（1） 方程思想。
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已之与未知数的对立统一。
(2) 函数思想。
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。
一次函数与一元一次方程之间的关系
一次函数与一元一次方程之间的关系1. 概述一次函数与一元一次方程是初等数学中的重要概念，它们之间存在着密切的通联。
通过研究一次函数与一元一次方程之间的关系，可以帮助我们更好地理解数学概念，提升解决实际问题的能力。
2. 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b是常数且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，因此也称为线性函数。
一次函数的特点是经过点（0，b），斜率为a。
3. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形式为ax+b=0的方程，其中a和b是已知常数且a不等于零。
一元一次方程的解是使得等式成立的未知数的值。
4. 一次函数与一元一次方程的关系一次函数与一元一次方程之间有着密切的通联。
通过一次函数的表达式y=ax+b，我们可以得到一元一次方程ax+b=0。
而通过一元一次方程ax+b=0，我们也可以得到一次函数的表达式y=ax+b。
5. 一次函数的斜率与一元一次方程的解一次函数的斜率a代表了直线的倾斜程度，而一元一次方程的解x就是使得方程成立的值。
通过一次函数的斜率a，我们可以判断直线的走势，而通过一元一次方程的解x，我们可以得到使得等式成立的值。
6. 一次函数的图像与一元一次方程的解一次函数的图像是一条直线，而一元一次方程的解对应了直线与x 轴的交点。
通过一次函数的图像，我们可以直观地看出直线与x轴的交点坐标，而通过一元一次方程的解，我们可以计算出交点的具体数值。
7. 解一元一次方程画一次函数的图像通过解一元一次方程来画一次函数的图像是一种常见的方法。
首先根据一元一次方程ax+b=0，求出未知数x的值，然后将这些值代入一次函数的表达式y=ax+b，得到对应的y值，最后用这些点画出一次函数的图像。
8. 画一次函数的图像解一元一次方程通过画一次函数的图像来解一元一次方程也是一种常见的方法。
首先根据一次函数的表达式y=ax+b，画出函数的图像，然后找到直线与x轴的交点坐标，即为一元一次方程的解。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
谈函数与方程间的关系与转化
是关于 x 的二次方程,常规解法是证明判 别式 ∆ > 0 ,但对于此题 ,要证 ∆ > 0 不容易 ,有 下面的证法.令 f ( x) = ( x − a)( x − c) + t ( x − b)( x − d ) , 易知: f (b), f ( d ) 的值与 t 无关, ∵ f (b) = (b − a)(b − c) , f ( d ) = ( d − a )( d − c) , 又∵ a < b < c < d ,∴ f (b) < 0, f ( d ) > 0 . 即二次函数 f ( x) 有两个函数值异号 ,据 此,不难知道二次函数的图像与 x 轴必有两个 交点,从而方程 f ( x) = 0 必有两个不等的实根. 例 6 设函数 f ( x) = x 2 + bx + c ,方程 f ( x) − x = 0 的两个实根为 x1 , x2 ,且 x2 − x1 > 2 . (I) 求证 : x1 , x2 是方程 f [ f ( x)] = x 的两个 根. (II) 若四次方程 f [ f ( x)] = x 的另两个根为 x3 , x4 ,且 x3 < x4 ,试判断 x1 , x2 , x3 , x4 的大小. 分析 (I)的证明略, (II) 先把四次方程 f [ f ( x)] − x = 0 的左边 分解出因式 ( x − x1 )( x − x2 ) . ∵ f ( x) − x = ( x − x1 )( x − x2 ) , ∴ f ( x) = x + ( x − x1 )( x − x2 ) . 故 f [ f ( x)] − x = f ( x) + [ f ( x) − x1 ][ f ( x) − x2 ] − x = ( x − x1 )( x − x2 ) + [( x − x1 ) + ( x − x1 )( x − x2 )][( x − x2 ) + ( x − x1 )( x − x2 )] = ( x − x1 )(x − x2 ) + ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ ( x − x2 +1)( x − x1 + 1) = ( x − x1 )( x − x 2 )[1 + ( x − x1 + 1)( x − x2 + 1)]. 令 g ( x) = 1 + ( x − x1 + 1)( x − x2 + 1) , 易知 x3 , x4 是方程 g ( x) = 0 的两个根. ∵ g ( x1 ) = 1 + x1 − x2 + 1 = 2 − ( x2 − x1) , g ( x2 ) = 1 + x2 − x1 + 1 = 2 + ( x2 − x1) , ∵ x2 − x1 > 2 ,∴ g ( x1 ) < 0 , g ( x2 ) > 0 , 据上面的结论,知 x3 < x1 < x4 < x2 .
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：y = ax ∙ b（a = 0）,这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，X是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令y =0,上面的解析式也就变成了ax ^0 ,也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与X轴交点的时候，令y=0（同理求一个函数图像与y轴交点的时候，令X = 0 ）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y变为0,那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与X轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数y =2x -3的图像如右所示：3该函数与X轴的交点坐标为（3,0）,也就是在函数2解析式y =2x - 3中，令y = 0即可。
令y = 0也就意味着将一元一次函数y = 2x - 3变成了一元一次方程2x -3 =0 ,其解和一次函数与X轴的交点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数y=2x2-5x 2的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与X轴的交点的横坐标正是方程2χ2 -5x • 2 = 0的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数y =2χ2-5X 2对应的方程是2x2 -5x ^0，先求出这个方程的两个解。
很容1易根据十字相乘法(2x _1)(x 一2) = O得出该方程的两个解分别为和2。
中考数学总复习一次函数与方程、不等式的关系
一次函数与方程、不等式的关系考点·方法·破译 1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx ＋b ＝0(k 、b 为常数，k ≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y ＝kx ＋b 中，当y ＝0时则为一元一次方程．2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax ＋by ＝c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0，b ≠0)都可以化为y ＝a c x b b-+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0(a 、b 为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定 【解法指导】由图象可知l 1与l 2的交点坐标为(－1，－2)，即当x ＝－1时，两函数的函数值相等；当x ＞－1时，l 2的位置比l 1高，因而k 2x ＞k 1x ＋b ；当当x ＜－1时，l 1的位置比l 2高，因而k 2x ＜k 1x ＋b ．因此选A ．【变式题组】01．(浙江金华)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜3时，y 1＜y 2中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．302．如图，已知一次函数y ＝2x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图像可得不等式2x ＋b ＞ax －3的解集是________． 03． (武汉)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (2，1)，B (－1，－2)两点，则不等式12x ＞kx ＋b ＞－2的解集为_________．第1题图 第2题图 第3题图【例2】若直线l 1：y ＝x －2与直线l 2：y ＝3－mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m 的取值范围． 【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x mm y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201m m m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________．04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求∴ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∴l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∴y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)． ∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S ∴ABC ＝12×2×3＝3．【变式题组】01． 已知一次函数y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 的图象相交于A (m ，4)，且这两个函数的图象分别与y 轴交于B 、C 两点(B 上C 下)，∴ABC 的面积为1，求这两个一次函数的解析式． 02． 如图，直线OC 、BC 的函数关系式为y ＝x 与y ＝－2x ＋6．点P (t ，0)是线段OB 上一动点，过P 作直线l 与x 轴垂直．⑴求点C 坐标； ⑵设∴BOC 中位于直线l 左侧部分面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，直线l 平分∴COB 面积． 演练巩固·反馈提高 01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么∴ABC 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________．08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S ∴ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________．10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________． 11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________． 13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l 2、l 1的解析式；⑵求l 2、l 1与x 轴围成的三角形的面积； ⑶x 取何值时l 1的函数值大于l 2的函数值？14．(河北)如图，直线l 1的解析式为y ＝－3x ＋3，l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A (4，0)，B (3，32-)． ⑴求直线l 2的解析式； ⑵求S ∴ADC ；⑶在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得S ∴ADP ＝S ∴ADC ，求P 点坐标．第14题图15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．⑴当x 为何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0？ ⑵当－1＜x ≤4时，求y 的取值范围； ⑶当－1≤y ＜4时，求x 的取值范围．16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg (1μg ＝10－3mg )，接着就逐步衰减，10h 后血液中含药量为每毫升3μg ，每毫升血液中含药量y (μg )随时间x (h )的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， ⑴分别求x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；⑵如果每毫升血液中含药量在4μg 或4μg 以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？第16题图l 2。
一次函数与二元一次方程的关系
一次函数与二元一次方程的关系一次函数与二元一次方程一次函数的表达式就是一个二元一次方程，反过来，任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y=3x+2是一函数表达式，也是二元一次方程；而2x-y=5是一个二元一次方程，不是函数表达式.但可以将其化为y=2x-5，就是一个函数不表达式.一般来说，一个二元一次方程有无数多个解.以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象.如以方程3x-y=5的解为坐标所有的点组成的图形就是y=3x-5的图象.一次函数与二元一次方程组一个一次函数图象上的任意一点，它的坐标一定能适合相应的二元一次方程.如一次函数y=21x-1图象上的一点(2,0),它适合方程x-2y=2,即⎩⎨⎧==0,2y x 是方程x-2y=2的一个解.一方面，两个一次函数图象的交点的坐标可以看作是相应二元一次方程的解.如一次函数y=2x-1与y=3x+1图象的交点(-2,-5),相应地⎩⎨⎧-=-=52y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=-13,12y x y x 的解. 另一方面,以二元一次方程组的解为坐标的点,可以看作是两个相应一次函数图象的交点,如二元一次方程⎩⎨⎧=+=-.823,32y x y x 的解⎩⎨⎧==1,2y x 也可看作是一次函数y=2x-3与y=23-x+4图象的交点(2,1).图象法解二元一次方程组利用图象法解二元一次方程组一般按下步骤进行:(1)将二元一次方程组中的两个方程分别转化为一次函数关系式. (2)在同一直角坐标系中,作出这两个一次函数的图象. (3)找出两个一次函数图象的交点坐标. (4) 写出方程组的解.如用图象法解方程组⎩⎨⎧+==+.12,4x y y x ，可在直角坐标系中，画出两个二元一次方程所对应的一次函数的图象（如图1），确定其交点坐标，交点坐标为（1，3）， 图1所以方程组⎩⎨⎧+==+.12,4x y y x 的解是⎩⎨⎧==.3,1y x 由图象确定方程组由一次函数的图象确定相应的方程组，关键是根据一次函数经过的点的坐标确定两个一次函数关系式，然后将两个一次函数关系式组合成方程组.如根据如图2，确定相应的二元一次方程组，应先根据两条直线所经过的点的坐标，确定函数关系式，分别是，y=3731+-x 和y=-3x-3，然后将这两个函数关系式组合在一起，即得到相应的方程组图2 ⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.33,3731x y x y 或⎩⎨⎧-=+=+33,73y x y x。
函数与方程的紧密联系
函数与方程的紧密联系1. 引言函数和方程是数学中两个基本概念，它们在解决数学问题和实际应用中发挥着重要的作用。
函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素；而方程则是等式的表示形式，在其中未知数与已知数之间建立了关系。
尽管它们在概念上有所不同，但函数和方程之间存在着紧密的联系。
本文将深入探讨函数与方程之间的这种联系，并提供一些观点和理解。
2. 函数与方程的定义及基本属性2.1 函数的定义函数可以看作是一种映射关系，它将集合A中的元素通过某种规则映射到集合B中的元素，记作f: A → B。
其中，A称为定义域，B称为值域。
函数的定义可以采用不同的表达方式，如显式表达、隐式表达或参数表达式。
2.2 方程的定义方程是等式的表达形式，其中包含一个或多个未知数和已知数之间的关系。
方程可以是线性的、非线性的，也可以是代数方程、函数方程等等。
3. 函数与方程的关系3.1 函数的图像与方程的解的关系函数的图像是函数在坐标平面上的表示，它展示了函数的性质和行为。
而方程的解是满足方程等式的未知数的取值。
函数的图像与方程的解之间存在着密切的联系。
对于给定的函数f(x)，我们可以将其转化为方程f(x) = 0，并求解这个方程，得到函数的零点或根，也就是函数的图像与x轴的交点。
3.2 方程与函数图像的交点方程和函数图像的交点是方程的解和函数的零点。
通过解方程和求函数的零点，我们可以找到方程与函数图像的交点。
这些交点在坐标平面上有特定的位置和特征，它们揭示了方程和函数图像之间的关系。
4. 函数与方程的应用函数和方程在数学和现实生活中有广泛的应用。
例如：4.1 函数在数学分析中的应用函数作为数学分析的基础，广泛应用于微积分、实分析和复分析等领域。
函数的性质与方程的解密切相关，在数学分析中，我们需要研究函数的连续性、可导性以及函数的极值等等，这些问题与方程的解有着紧密的联系。
4.2 方程在物理学中的应用方程在物理学中有着重要的应用。
浅谈函数、方程、不等式之间的联系
浅谈函数、方程、不等式之间的联系
函数、方程、不等式是数学中三个不同概念。
他们之间有着紧密的联系，可以协同工作来求解数学问题。
一、函数
函数是一类特殊的数学表达式，它是把一个值或变量变换为另一个值或变量的过程，可以根据其中一个值确定另一个值。
它定义在一组对应关系中，只要给定其中一个值，就可以确定另一个值。
例如，函数f （x）=x2+3x+1就是根据x的值，来计算f（x）的值的过程。
二、方程
方程就是用一个或多个未知量组成的函数，使得一个函数等于另一个保留常数的函数，其中解决的问题就是未知量的值。
例如2x+3=10，是求未知量x的值的一个方程。
三、不等式
不等式指的是给定一个函数，以及给定的上下限（可以是无限的），让函数值来在特定的范围内，以此限制变量或常数的一定范围。
例如2x+1≥3，可以求x≥1这个不等式的范围。
总而言之，函数、方程和不等式有着紧密的联系，函数可以用来求解方程，方程可以求解不等式的范围，在解决数学问题时，这三个概念
是紧紧联系在一起的。
他们是一套解析方法，使用这套方法可以更快地解决数学问题。
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方程与函数的关系
方程和函数是数学中两个不同的概念。
方程是描述数学关系的等式，其中包含一个或多个变量，通过解方程，我们可以确定变量的值使得等式成立。
函数是一种特殊的数学关系，其中每个输入都对应唯一的输出。
函数可以表示为一个数学表达式，其中包含一个或多个变量以及操作符和常数。
函数可以用来描述因果关系，其中输入（自变量）的变化会引起输出（因变量）的变化。
方程可以用来解决问题，确定变量的值；而函数可以用来描述和预测数学关系。
方程和函数之间的关系是，函数可以用方程的形式表示，通过解方程可以确定函数的自变量和因变量的值。