第三章 课后习题——运筹学课件PPT
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运筹学PPT——第三章
第三章整数规划Integer Programming§1问题的提出[eg.1]用集装箱托运货物问：甲乙货物托运多少箱，使总利润最大？货物m3/箱百斤/箱百元/箱甲5220乙4510限制2413分析：设x1为甲货物托运箱数，x2为乙货物托运箱数。
则max z= 20x1+10x25x1+4x2≤242x1+5x2≤13x 1,x2≥0x 1,x2取整数图解法：x 1x 24321012 4.8①2.6②(4,1)∴x 1*= 4 x 2*= 1 z I *= 90一般，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。
对于max 问题，z I * ≤z l *对于min 问题，z I *≥ z l *数学模型：取整数j j nj iijij nj jj x nj x m i b xa x c z ,,10,,1max 11 =≥=≤=∑∑==§2 分枝定界法用单纯形法，去掉整数约束IP LP xl*判别是否整数解x I *= xl*Yes去掉非整数域No多个LP……§3 0-1规划（xi= 0或1的规划）[eg.2]选择投资场所A i 投资Bi元，总投资≤B，收益Ci元.问：如何选择Ai ，使收益最大？A6A7A4A5A3A2A1最多选2个最少选1个最少选1个分析：引入xi= 1 A i选中0 Ai落选max z= C1x1+C2x2+… +C7x7x 1+x2+x3≤2x 4+x5≥1x 6+x7≥1B 1x1+B2x2+… +B7x7≤Bx i = 0或1南区西区东区[eg.3]求解如下0-1规划max z= 3x1-2x2+5x3x1+2x2-x3≤2 ①x 1+4x2+x3≤4 ②x 1+x2≤3 ③4x2+x3≤6 ④x 1,x2,x3= 0或1解：(1)观察一个可行解x1= 1 x2= x3= 0此时，z= 3(2)增加一个过滤条件3x1-2x2+5x3≥3 *(3)列表计算x x x *可行？z0015√51003110√3123①②③④0000×-1115010-2×01131×110180211√81101×111626×∴ 最优解：x 1*= 1 x 2*= 0 x 3*= 1 此时，z *= 8第四章。
运筹学 PPT3
2005/05
-10-
---第 3 章 线性规划---
例2：合理下料问题：
要制作1000套钢筋架子，每套含2.9米、2.1米、1.5 米的钢筋各一根。已知原料长7.4米，问：如何下料，使 用料最省？
长度
Ⅰ
1
Ⅱ
2
Ⅲ
Ⅳ
1
Ⅴ
2.9米 2.1米
2
2 7.1 0.3
1
1.5米
合计(米) 料头(米)
2005/05
2. 应用程序 规划求解——Solver for Excel 电子表格（spreadsheet）程序 LINDO——LINDO公司开发，用于个人机，教 学，商用 What’s Best! for LOTUS 1-2-3 类似规划求解（Solver）程序，windows平台
2005/05 -30-
x12 200,000
x21+ x23300,000 x12+ 0.2 x11 x23 150,000 x31+ x34300,000 x23 +0.2(x11+ x21)+0.5x12 x34100,000
2005/05
xij0, (i=1,2,3; j=1,2,3,4)
-14-
---第 3 章 线性规划---
例4：排班问题
一家昼夜服务的大饭店，24小时中需要的服务员数 如下表所示。每个服务员每天连续工作8小时，且在时 段开始时上班。问：最少需要多少名服务员？试建立 该问题的线性规划模型。
起迄时间 2----6 时 6---10 时 10--14 时 14--18 时 18--22 时 22---2 时
2005/05
（2） 要求所解决的问题的目标可用数值指标描述， 并且能表示成线性函数；
运筹08(第三章运输问题)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
12
2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
2012-8-18
13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
2012-8-18
7
3
4
6
10
5
5
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
12
2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。 （或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
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13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价 产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量 （吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
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7
3
4
6
10
5
5
运筹学第三章课件
B3
3 2 10 ３
B4
10 8 5
日产量
罚金成本
A1 A2 A3
销量 罚金成本
7 4 9-6
0 1 1
０ 1 ２
②
6 5
5 1
6 -３ 3
①
1.5 表上作业法
③重复步骤②，直至求得求得初始调运方案。与最小元素法相同，最后表中 应有m＋n－1个数字格。对应初始基本可行解的m＋n－1个基变量。
x13 =5,x14 =2,x 21 =3,x 24 =1,x 32 =6,x 34 = 3
······
0
i=m j=1 j=2
0 1 0
······
······ 0 ···· ···· ·· 0 ······ 0 0 1 ······
0 1 0
······
······ 1 ···· ···· · 0 ······ 0 0 1
0 ······ 0 ···· ···· ·· 1 ······ 0 ······
日产量（吨）
A1 A2 A3
日销量（吨）
7 4 9
问该公司应如何确定调运方案，在满足各销地需求量的前提下可 使得总运费最小？
1.5 表上作业法
最小元素法确定初始基本可行解的步骤：
① 从全部单位运价中找出最低单位运价（若有两个以上最低单位运 价，则可在其中任选其一）。然后比较最低运价所对应的加工厂的日 产量和销地的日销量，并且确定第一笔供销关系。
1.5 运输问题
运输问题（Transportation Problem）： 一类特殊的线性规划问题：它们的约束方程组的系数矩阵 具有特殊的结构，利用这一特点，可能找到比单纯形法更 简便的算法。
运输问题及其数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
第三章运筹学-PPT精品文档
•
求“权值”ψ i 线性插值法：最高 8分,最低1分, ψ 列。 ∑max - ∑ min a）求极差d
d
max - min
123 37 8 1 12.29
∑ i - ∑ min i a d 113 37 1 1 12 . 29 7 . 18 123 37 12 . 29 1
矿业信息技术基础
第 五 章 第三章 运筹学
Microsoft Excel 97
多媒体教学课件 电子表格系统
中国矿业大学 采矿工程专业
2.1 多目标决策
矿井是复杂的发展着的系统，要使系统达到多个 且有时是相互矛盾的目标。因此要从各不相同的开采 方案中选出最优方案，要针对研究课题的性质和范围， 选择技术和经济上的一组指标作为方案优选性准则体 系。 通常开采强度、投资等是很重要的指标，而综合 性的指标如成本、折算费用等也能反映更多的技术经 济内容。
( )X
相差太大，明显大于正态分布判断标准
。
八
1
2 …… …… …… 6 8 …… …… …… 7 …… …… …… 3 1 5 4 …… …… …… ┆ …… …… …… …… …… …… …… …… ……
…… …… ……
七 六 将每位专家对8项指标所得的分数只排出名次分。 指标专家 一 二 三 四 五 6 5 3 4 8
A n
(n -1) 28 2
• • • •
方法特点： 对角线上为0 以对角线为轴，1和0存在“反对称”关系 ∑A值只表示名次分
•累加相对重要性序列
将25 I 位专家的相对重要性序列相加.
J 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 0 13 12 12 11 3 7 4 12 0 12 10 12 1 5 0 13 13 0 13 12 7 8 6 13 15 12 0 13 4 5 2 14 13 13 12 0 3 9 2
运筹学(第三章)PPT课件
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
-
14
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
10
5
14
14
B3
i =1
xij 0
-
31
此时增加一个假想的产地m+1，该产地的产量
为n
bj
m
ai，而假想产地到各销地的单位运价定为
j =1
i =1
0，就转化成产销平衡的运输问题。
销地 产地 A1
A2
B1
C 11 x 11
C 21 x 21
Am
A m+1 (虚产地)
销量
x m1
x m+1，1 b1
C m1 0
B2
-
37
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 2 1 3
10
B2 4 5 2
4
B3 3 6 4
6
产量 6≤a1≤11
a2=7 a3≥4
A3最多可能送出的产品数量：(10+4+6)-(6+7)=7
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
苏州大学运筹学课件第三章运输问题ppt-第三章运输问题
12
13
z31-c31=(c21-c23+ c33)-c31=(8-2+10)-5=+11
第三章 运输问题
闭回路法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
-5
-5
8
4
2
2
8
13
6
5
9
10
3
+11
+3
6
22
13
12
z32-c32=(c22-c23+ c33)-c32=(4-2+10)-9=+3
第三章 运输问题
4
3
-7 14
34
利用西北角法给出初始解
1
2
3
4
8
5
6
0
1
15
10
5
-2
-5
7
10
9
0
2
+6
25
5
10
10
10
10
10
10
第三章 运输问题
35
X21进基，x22离基
1
2
3
4
8
5
6
0
1
15
5
10
+4
+1
7
10
9
0
2
5
25
-6
10
10
10
10
10
10
第三章 运输问题
36
X13进基，x11离基
1
2
3
4
8
1
-4
5
6
运筹学课件 第三章
2013-7-12 Introduction to Operations Research Page 7
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章PPT课件
B1b CB B1b
z
B 1 CBB
1
XB X N1 X N2
(27)
12
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
单纯形表中的数据
基变量
非基变量
等式右边
XB 系数矩阵 B 1 B 1
检验数
0
XN
Xs RHS
B1N1
B1
B1b
CN1 CBB1N1 CBB1 CBB1b
13
.
小结
4
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
若以Xs为基变量，并标记成XB，可将系数矩阵（A，I） 分为（B，N）两块。B是基变量的系数矩阵，N是非基 变量的系数矩阵。并同时将决策变量也分为两部分：
X
X X
B N
相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和CN，分别 对应于基变量XB和非基变量XN，并且记作
C=（CB, CN）
10
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
（2）θ规则表示为：
RHS值
表示选用>0的分量
m i((B B n 1 1 P bj))ii (B1P j)i0 ((B B 11 P bj))ii
换入变量的系数向量
11
.
第1节 单纯形法的矩阵描述
（3）单纯形表与矩阵表示的关系
0 1
B 1 N1
1 0 CN CB B1N1
a1m a2m
am1
am2
amm
16
.
第2节 改进单纯形法
以a11为主元素, 进行变换
主元素
a11 P1 a12
1/ a11
1
a21/
a11
(1)
a1m
运筹学第三章运输问题课件
30
20
70
30
10
50
需求地区 化工厂
Ⅰ’ 16 14 19 M
Ⅰ’’ 16 14 19 0
Ⅱ 13 13 20 M
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ’ 17 15 M M
Ⅳ’’ 17 15 M 0
12
A B C D
2015年6月10日星期三
第二步见表3-6，3-7
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
cij xij
i 1 j 1
2015年6月10日星期三
5
满足：
n 1 xij ai j 1 m xij b j i 1 xij 0
m n n 1 j 1
由于这个模型中
i 1
ai b j bn 1 b j
0
0
5
-18
2015年6月10日星期三
20
3.表中还有负检验数。说明未得最优解，利用闭回路调 整法，见表3-21
需求地区 化工厂
Ⅰ’ Ⅰ’’
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’
Ⅳ’’
A B C D 销量(万吨)
(-10) 30 10 10 (+10)
50 20 30 (-10) 0 (+10) 70 30 10 10
30
20
' cij cij,
' cij 0,
当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,„，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
' ' min z ' cij xij cij xij ci' , n 1 i 1 j 1 m n i 1 j 1 i 1 m n 1 m n m
运筹学第三章课后习题答案PPT课件
计算所得结果z*=35为最优解。
16
表3-29
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：（2）表3-29用三种方法计算，用位势法检验。因 为总产量=13，总销量=10，所以该题的总产量＞总销 量，所以该题是产销不平衡的问题，故假设一销地B5 ①用最小元素法计算如下表所示
3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有什么特征？
答： 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有如下特征：1.运输问题不象一般线性规划问 题那样，线性规划问题有可能有无穷多最优解，运输问 题只有有限个最优。2.运输问题约束条件系数矩阵的元 素等于0或1；且每一列有两个非零元素。3.运输问题的 解的个数不可能大于(m+n-1)个。 3.2 运输问题的基可行解应满足什么条件?试判断形表 3-26和表3-27中给出的调运方案是否作为表上作业法迭 代时的基可行解?为什么?
17
①最小元素法求解：
销地 B1
B2
4
排运输。这就是最小元素法和沃格尔法质量不同的原因。
3.7 表3-28和表3-29分别给出了各产地和各销地的产量 和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业 法求最优解。
表3-28
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
16
表3-29
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：（2）表3-29用三种方法计算，用位势法检验。因 为总产量=13，总销量=10，所以该题的总产量＞总销 量，所以该题是产销不平衡的问题，故假设一销地B5 ①用最小元素法计算如下表所示
3.1 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有什么特征？
答： 与一般线性规划的数学模型相比，运输问题的数 学模型具有如下特征：1.运输问题不象一般线性规划问 题那样，线性规划问题有可能有无穷多最优解，运输问 题只有有限个最优。2.运输问题约束条件系数矩阵的元 素等于0或1；且每一列有两个非零元素。3.运输问题的 解的个数不可能大于(m+n-1)个。 3.2 运输问题的基可行解应满足什么条件?试判断形表 3-26和表3-27中给出的调运方案是否作为表上作业法迭 代时的基可行解?为什么?
17
①最小元素法求解：
销地 B1
B2
4
排运输。这就是最小元素法和沃格尔法质量不同的原因。
3.7 表3-28和表3-29分别给出了各产地和各销地的产量 和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业 法求最优解。
表3-28
销地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
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第三章 线性规划对偶 理论及其应用
3.1 写出下列线性规划的对偶规划：
(1) max z 3x1 2x3 4x4
2x1 x2 x3 3x4 3
s.t.3x1x1x22 x2
x3 x4 2x4 5
8
x1 0, x2 0, x3、x4无约束
min ω= -3y1+8y2+ 5y3
min ω= 6y1+4y2
y1- y2 ≥ 2
3y1+ 2y2 ≥-1
y1
≥1
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0,
(2) ∵x1=6>0 ∴由互补松弛定理 y1- y2 = 2 又X=(6,0,0)T带入原问题约束条件得: -x1+2x2＜4 ∴由互补松弛定理 y2 = 0 联立求解得： y1*=2 , y2* = 0, ω *=12
3.4 解: (1)线性规划问题的对偶问题为:
min ω= 2y1+5y2+ 2y3
2y1+ 3y2
≤2
-y1+ 4y2 + y3 ≥-1
3y1 + y2 - y3 = 1
y1 ≥ 0, y2≤0, y3无约束
(2)显然Y=(1,0,2)T是对偶问题的一组可行解,此时w=6 由弱对偶性知 z≤6
3.5 解: (1)线性规划问题的对偶问题为:
1
0
2 -1
1 -1/3
σj
0
0
-3 -1 -2 31/3
2
x2
2
1
5
0 3/2 5
0
x4
-1
0
-2
1
-1 1/3
σj
-1 0 -5 0 -3 10
所以最优解变化, x*=(0,5,0,1/3,0)T, z*=10
② b2=10/3→ b2=7/3时,
xB=B-1 b =
2 -1
-1/2 1
11/6 7/3
max ω= -2y1+3y2+ 5y3 2y1+ y2 + 3y3 ≥ 5
-3y1+ 2y2 + 3 y3 = 2
4y1 +3 y2 + y3 ≤ -3 y1 ≥ 0, y2无约束, y3 ≤0
mn
(3) min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai ,
i 1,2,, m
j1
证明: 首先写出其对偶问题 min w=7y1+5y2 x21y+1+24xy22≤≥53 2-3xy1+1 -xy2 2≤4≥2
st. 44xy11++32xy22≤9≥3 xy11,x,y22≥≥00
由第二个约束条件，显然无可行解 而x=(0,0,0)T是原问题的一个解,即原问题存在可行解 所以原问题存在无界解
所以线性规划问题有无穷多最优解,最优值不变
(2) ① b1=11/6→ b1=11/3时
xB=B-1 b =
2 -1
-1/2 1
11/3 10/3
=
17/3 -1/3
∵x1= -1/3 , 所以需要进行对偶单纯形迭代:
Cj
3
2
5
0
0
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x2
0
1
1
2 -1/2 17/3
3
=
5/2 1/2
>0
所以最优基不变, x*=(1/2,5/2,0,0,0)T, z*=13/2
(3) σ6= c6 – YP6 = 2-(1,2)( 1/4,1/2)T =3/4>0, 所以最优解改变
P6=B-1 P6 =
2 -1
-1/2 1
1/4 1/2
=
1/4 1/4
, σ6,P6 带入最终表:
+x33 = b3 v3 +x34= b4 v4
xij≥0 , i=1, 2, 3 ; j=1, 2, 3, 4
对偶问题为:
3
4
max
aiui
b jv j
i 1
j1
ui + vj ≤ cij i=1, …, 3 ; j=1, …,4
s.t. ui , vj无约束
3.3 试运用对偶理论证明下面的线性规划问题存在无界解。
2y1+ 3y2 + y3≥ 3
-y1+ 2y2 - y3≤ 0
y1 - y2
=2
3y1 + y2 + 2y3 = -4
y1 ≤ 0, y2≥0, y3无约束
(2) min z 5x1 2x2 3x3
2x1 3x2 4x3 2
s.t.3x1x123xx2 23xx33
3 5
x1 0, x2无约束，x3 0
2
x6 8/3 4/3 20/3 0
2
1 20/3
σj
-7/3 -2/3 -25/3 0 -4 0 40/3
所以最优解变化, x*=(0, 0, 0, 1/6, 0, 20/3)T, z*=40/3
x21+ x22 +…+ x2n
= a2
… … ……
x11 + x12
x21 +…
+
+
x22 +…
… … ……
xm1+ xm2+…+xmn= am
xm1
= b1
+
xm2
= b2
x1n +
x2n +…
xij≥0, i=1,2, …,m, j=1,2, …,n
+
xmn= bn
假设m=3, n=4
min z = c11x11+c12x12+c13x13+c14x14+ c21x21+c22x22+c23x23+c24x24
3.7 线性规划问题最终表
2/3 1/3 B-1 B= [ P2 P1]= 2/3 4/3
Cj
3
2
5
0
0
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x2
0
1
1
2 -1/2 2
3
x1
1
0
2
-1
1 3/2
σj
0
0
-3 -1 -y1 -2-y2 17/2
(1) C3=5→ C3=8时 σ3= 8-(2×1-3×2)=0, 其他σj 不变
s.t. m
xij
bj,
j 1,2,, n
i1
xij
0,
i
1,2,, m;
j
1,2,, n
min z = c11x11+c12x12+…+c1nx1n+ c21x21+c22x22+…+c2nx2n +…+
cm1xm1+cm2 xm2+…+cmnxmn
x11+ x12 +…+ x1n
= a1
Cj
3
2
5
0
0
2
bθ
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
1
2 -1/2 1/4 2
8
3
x1
1
0
2 -1 1 1/4 3/2 6
σj
0
0
-3 -1 -2 3/4 31/3
2
x2
-1
1
-1 3 -3/2 0 1/2 1/6
2
x6
4
0
8 -4 4
16 -
σj
-3
0
-9
2
-5
0 13
0 x4 -1/3 1/3 -1/3 1 -1/2 0 1/6
+ c31x31+c32x32+c33x33+c34x34
对偶变量
x11+x12+x13+x14
= a1 u1
x21+x22+x23+x24
= a2 u2
x31+x32+x33+x34= a3 u3
x11
+x21
+x31
= b1 v1
x12
+x22
+x32
= b2 v2
x13 x14
+x23 +x24
3.1 写出下列线性规划的对偶规划：
(1) max z 3x1 2x3 4x4
2x1 x2 x3 3x4 3
s.t.3x1x1x22 x2
x3 x4 2x4 5
8
x1 0, x2 0, x3、x4无约束
min ω= -3y1+8y2+ 5y3
min ω= 6y1+4y2
y1- y2 ≥ 2
3y1+ 2y2 ≥-1
y1
≥1
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0,
(2) ∵x1=6>0 ∴由互补松弛定理 y1- y2 = 2 又X=(6,0,0)T带入原问题约束条件得: -x1+2x2＜4 ∴由互补松弛定理 y2 = 0 联立求解得： y1*=2 , y2* = 0, ω *=12
3.4 解: (1)线性规划问题的对偶问题为:
min ω= 2y1+5y2+ 2y3
2y1+ 3y2
≤2
-y1+ 4y2 + y3 ≥-1
3y1 + y2 - y3 = 1
y1 ≥ 0, y2≤0, y3无约束
(2)显然Y=(1,0,2)T是对偶问题的一组可行解,此时w=6 由弱对偶性知 z≤6
3.5 解: (1)线性规划问题的对偶问题为:
1
0
2 -1
1 -1/3
σj
0
0
-3 -1 -2 31/3
2
x2
2
1
5
0 3/2 5
0
x4
-1
0
-2
1
-1 1/3
σj
-1 0 -5 0 -3 10
所以最优解变化, x*=(0,5,0,1/3,0)T, z*=10
② b2=10/3→ b2=7/3时,
xB=B-1 b =
2 -1
-1/2 1
11/6 7/3
max ω= -2y1+3y2+ 5y3 2y1+ y2 + 3y3 ≥ 5
-3y1+ 2y2 + 3 y3 = 2
4y1 +3 y2 + y3 ≤ -3 y1 ≥ 0, y2无约束, y3 ≤0
mn
(3) min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai ,
i 1,2,, m
j1
证明: 首先写出其对偶问题 min w=7y1+5y2 x21y+1+24xy22≤≥53 2-3xy1+1 -xy2 2≤4≥2
st. 44xy11++32xy22≤9≥3 xy11,x,y22≥≥00
由第二个约束条件，显然无可行解 而x=(0,0,0)T是原问题的一个解,即原问题存在可行解 所以原问题存在无界解
所以线性规划问题有无穷多最优解,最优值不变
(2) ① b1=11/6→ b1=11/3时
xB=B-1 b =
2 -1
-1/2 1
11/3 10/3
=
17/3 -1/3
∵x1= -1/3 , 所以需要进行对偶单纯形迭代:
Cj
3
2
5
0
0
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x2
0
1
1
2 -1/2 17/3
3
=
5/2 1/2
>0
所以最优基不变, x*=(1/2,5/2,0,0,0)T, z*=13/2
(3) σ6= c6 – YP6 = 2-(1,2)( 1/4,1/2)T =3/4>0, 所以最优解改变
P6=B-1 P6 =
2 -1
-1/2 1
1/4 1/2
=
1/4 1/4
, σ6,P6 带入最终表:
+x33 = b3 v3 +x34= b4 v4
xij≥0 , i=1, 2, 3 ; j=1, 2, 3, 4
对偶问题为:
3
4
max
aiui
b jv j
i 1
j1
ui + vj ≤ cij i=1, …, 3 ; j=1, …,4
s.t. ui , vj无约束
3.3 试运用对偶理论证明下面的线性规划问题存在无界解。
2y1+ 3y2 + y3≥ 3
-y1+ 2y2 - y3≤ 0
y1 - y2
=2
3y1 + y2 + 2y3 = -4
y1 ≤ 0, y2≥0, y3无约束
(2) min z 5x1 2x2 3x3
2x1 3x2 4x3 2
s.t.3x1x123xx2 23xx33
3 5
x1 0, x2无约束，x3 0
2
x6 8/3 4/3 20/3 0
2
1 20/3
σj
-7/3 -2/3 -25/3 0 -4 0 40/3
所以最优解变化, x*=(0, 0, 0, 1/6, 0, 20/3)T, z*=40/3
x21+ x22 +…+ x2n
= a2
… … ……
x11 + x12
x21 +…
+
+
x22 +…
… … ……
xm1+ xm2+…+xmn= am
xm1
= b1
+
xm2
= b2
x1n +
x2n +…
xij≥0, i=1,2, …,m, j=1,2, …,n
+
xmn= bn
假设m=3, n=4
min z = c11x11+c12x12+c13x13+c14x14+ c21x21+c22x22+c23x23+c24x24
3.7 线性规划问题最终表
2/3 1/3 B-1 B= [ P2 P1]= 2/3 4/3
Cj
3
2
5
0
0
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x2
0
1
1
2 -1/2 2
3
x1
1
0
2
-1
1 3/2
σj
0
0
-3 -1 -y1 -2-y2 17/2
(1) C3=5→ C3=8时 σ3= 8-(2×1-3×2)=0, 其他σj 不变
s.t. m
xij
bj,
j 1,2,, n
i1
xij
0,
i
1,2,, m;
j
1,2,, n
min z = c11x11+c12x12+…+c1nx1n+ c21x21+c22x22+…+c2nx2n +…+
cm1xm1+cm2 xm2+…+cmnxmn
x11+ x12 +…+ x1n
= a1
Cj
3
2
5
0
0
2
bθ
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
x2
0
1
1
2 -1/2 1/4 2
8
3
x1
1
0
2 -1 1 1/4 3/2 6
σj
0
0
-3 -1 -2 3/4 31/3
2
x2
-1
1
-1 3 -3/2 0 1/2 1/6
2
x6
4
0
8 -4 4
16 -
σj
-3
0
-9
2
-5
0 13
0 x4 -1/3 1/3 -1/3 1 -1/2 0 1/6
+ c31x31+c32x32+c33x33+c34x34
对偶变量
x11+x12+x13+x14
= a1 u1
x21+x22+x23+x24
= a2 u2
x31+x32+x33+x34= a3 u3
x11
+x21
+x31
= b1 v1
x12
+x22
+x32
= b2 v2
x13 x14
+x23 +x24