高等流体力学第3讲

第三讲 流体静力学
一、 静止流体中的应力特性
静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。

因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。

即
n p =-p n （3-1）
式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。

上式也可以写成张量形式
P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p 00000011⎡⎤
⎢⎥1⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
= -p I （3-2） 式中I 为单位张量。

静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。

二、 欧拉平衡方程
惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即
0∑=F （4-3）
在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为
d ρττ
⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为
d d A
A
p A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）
根据第一个平衡条件（3-3）可得
d d =0A
ρτp A τ
-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有
d =d A
p A p ττ
∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）
将（d ）式代入（c ）式则可得
d 0ρp ττ
-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有
=0ρp -∇f
或
1
=p ρ
∇f （3-4）
这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为
111x y z p f ρx p
f ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=
⎪∂⎩
（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。

三、 静压流场的质量力条件（自学）
对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得
1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（）f
上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之
p ∇⨯∇（）=p p p x
y z ⎛⎫
∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k
=
x y z p p p x
y z
∂
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂i
j k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-
⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭
i j k =0（矢量）
将上式与（3-4）式进行点乘则有
()1=
p p ρ
ρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得
()=0∇⨯f f （3-6）
由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯f
f 。

（此式自然成立啊，为什么还要证明呢？）
对于不可压缩流体，由于密度为常数，则平衡方程（3-4）式可写成
=p ρ⎛⎫
∇ ⎪⎝⎭
f （3-7） 对上式两端取旋度则有
=p ρ⎛⎫
∇⨯∇⨯∇ ⎪⎝⎭
f =0 （3-8）
这是不可压缩流体静止时对质量力所附加的限制条件，即质量力必须无旋。

（矢量场的四等价定理：无旋必有势；有势必无旋；环量为零；线积分与路径无关。

） 四、 等压面
等压面是指由静压力相等的点组成的面，等压面的性质包括以下几点： 1. 等压面与质量力相垂直； 2. 等压面是质量力的等势面；
【证明】设质量力f =X i +Y j +Z k 所代表的质量力场中，若存在标量函数U 满足
U Xdx Ydy Zdz =-++⎰或()d d d d U X x Y y Z z =-++
则称之为质量的势函数，其中的负号表示质量力做正功时质量力的是函数减小。

在静止流场中任取一个微元矢量力d r =d x i +d y j +d z k ，
()d d =d U U U U dx dy dz U Xdx Ydy Zdz x
y z ⎛⎫
∂∂∂∇=++==-++- ⎪∂∂∂⎝⎭r f r
由于d r 是任意的微元矢量，所以有
U =-∇f
将其代入（3-4）式可得
1
p U ρ
∇=-∇ 上式表明等压面方程p ∇=0与等势面U ∇=0等价。

【证毕】
3. 等压面是不相容流体间的分界面；
4. 等压面是等密度面。

五、 静力学基本公式——静压力分布规律
21p p ρgh =±
它表明：○
1重力作用下的均质流体内部的静压力，与深度h 呈线性关系，因此，水坝都设计成上窄下宽的形状；○
2静止流体内部任意点的静压力由液面上的静压力p 0与液柱所形成的静压力ρgh 两部分组成，深度h 相同的点静压力相等；○3静止流体边界上压力的变化将均匀地传递到流体中的每一点，这就是著名的帕斯卡定律。

六、 压力标准
1. 流体静压力的计量标准
流体力学中，静压力的计量有两个标准，一个是以物理真空为零点的标准，称为绝对标准，按照绝对标准计量的压力称为绝对压力；另一个是以当地大气压力为零点的标准，称为相对标准，按照相对标准计量的压力称为相对压力。

2. 流体静压力的表示方法 绝对压力用ab
p 表示，对敞口容器中液面以下深度为h 的点来讲，其绝对压力可
表示为
=ab a p p +ρgh （3-9） 绝对压力不能小于零。

工程中绝对压力的数值可以大于当地大气压力，也可以小于当地大气压力。

因此，相对压力便有了正负之分。

当绝对压力大于当地大气压力时，相对压力大于零，称为表压，用pM 来表示，即
==M ab a p p p ρgh -。

（3-10）
之所以称之为表压是因为压力表所显示的压力就是这个压力。

当绝对压力小于当地大气压力时，相对压力小于零，称为真空压力或真空度，用pv 来表示，即
=v a ab
p p p - （3-11）
真空压力采用真空表测量。

绝对压力、表压和真空度之间的关系可用图3-1来表述。

从中可以看出，表压的含义是比当地大气压力大多少，真空度的含义是比当地大气压力小多少。

表压越大压力越大，真空度越大压力越小，反之亦然。

工程流体力学中所说的压力如不特殊说明指的就是表压，为了简便通常将其下标M 省略，仅以p 表示。

至此，可以归纳出以下的关系
=ab a p p +p
（3-12）
=ab a v
p p p - （3-13）
==ab a v
p p p p -- （3-14）
真空度与表压的符号相反，真空度不能直接参与计算，计算工程中必须将真空度转换为负的表压代入方程中，这一点在以后的计算中要予以注意。

七、 静力学基本方程式
+=p z c ρg
（3-15a ）
1212=p p z z ρg
ρg
++
（3-15b ）
物理意义：z 称为比位能，p /ρg 称为比压能，而z ＋p /ρg 称为总比能。

因此，静力学基本方程的物理意义是：静止流体中总比能为常数。

几何意义：z 称为位置水头，p /ρg 称为压力水头，而z ＋p /ρg 称为测压管水头。

因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。

八、 作用在平面上的总压力
sin C C C P =ρgy αA =ρgh A =p A （3-16） 式中pC 代表形心C 处的压力。

它表明：作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心C 处的压力的乘积。

总压力的作用点称为压力中心。

压力中心的yD 坐标的计算公式为
图3-1 绝对压力与相对压力
p
C D C C J y =y +
y A
（3-17）
因为J C /y C A 恒为正值，所以y D >y C ，说明压力中心D 永远低于平面形心C 。

但是，这一结论对水平放置的平面不适用，此时的压力中心与形心重合。

在应用上述计算公式时应该注意以下两点：
（1）没有考虑大气压的影响。

这主要是因为工程实际中容器外也会受到大气压的作用，两者形成的总压力相互抵消，所以在计算总压力时不考虑大气压力的影响，而仅仅考虑液体形成的总压力。

（2）在压力中心的计算公式中y 坐标原点的取法。

式（3-17）只是适用于液面压力为大气压时的情形。

即y 的坐标的原点位于自由液面与平面延长线的交点处。

但是，当自由液面上的压力不是大气压时，式（3-17）中y
坐标的原点只能在等效自由液面与平面延长线的交点处。

那么什么是等效自由液面呢？现在考察图3-2所示的两种情形，左图为液面压力大于大气压的情形，其液面绝对压力为p 0’=p a ＋ρgh ，右图为将原有液面升高了h =（p 0’－p a ）/ρg 后，且液面绝对压力等于大气压时的情形，两者对平面AB 形成了完全相同的压力分布，同时两者作用在平面上的总压力是完全相同的。

因此，称右图中的自由液面为左图中液面的等效自由液面。

在计算过程中绝对不可以将左图中的O ’点作为y 坐标的原点，而应取右图中的O 点作为y 坐标的原点。

也就是说，在进行压力中心位置计算时，应该将液面压力不是大气压的液面转换成等效自由液面，然后重新找出y 的原点进行计算。

对液面绝对压力低于大气压的情形应该用类似的方法来处理，具体如何处理请读者自己思考。

九、 作用在曲面上的总压力
1. 总压力的水平分量
x C x P =ρgh A y C y P =ρgh A
图3-2 等效自由液面
z C z P =ρgh A
2. 总压力的铅直分量
z P =ρgV
3. 压力体
压力体可以表述为：压力体是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。

压力体是从积分式A z hdA ⎰得到的一个体积，它是一个纯数学的概念，与这一体积内是否充满液体无关，图3-3是两个典型的压力体。

比较图中（a ）和（b ）的压力体，不难发现两者有着明显的不同，○
1压力体所形成的总压力方向不同，图3-3a 中压力体形成的总压力方向向下，图3-3b 中的压力体所形成的总压力方向向上；○
2是两者压力体与液体所处的位置不同，图3-3a 中的压力体与液体位于曲面的同一侧，图3-3ｂ中的压力体与液体则不在曲面的同一侧。

由此可以引入定义：如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（+）来表示；如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（-）来表示。

图3-3a 中的压力体是实压力体，它对曲面形成向下的压力。

图3-3b 中的压力体是虚压力体，它对曲面形成向上的浮力。

需要注意的是：以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体，虚压力体就是内部没有液体的压力体。

其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关，图3-4中FG 的压力体是实压力体，但压力体的上半部分却没有充满液体。

∇
A
B C
D E
F G
H
I
J 图3-4 压力体的合成
（＋）
（－）
（＋）
（－）
图3-3 压力体的虚实
(a)
(b)
再一个问题就是压力的合成，图3-4中CDE 曲面的压力体的画法对初学者来讲有一定的难度，首先我们把曲面划分为CD 和DE 两部分，先画出CD 部分的压力体，即图中的画右斜线部分，这部分压力体为虚压力体；后画出DE 部分的压力体，即图中的左斜线部分，这部分压力体为实压力体；最后将两者合成，交叉部分的压力体虚实相抵后剩下的凸出部分便是CDE 曲面的压力体，其压力体为实压力体，压力体对曲面的作用力是向下压力。

图中HIJ 曲面的压力体的画法与CDE 的画法完全相同，合成后的压力体为内凹部分的体积，是虚压力体，压力体对曲面的作用力是向上的浮力。

与平面总压力相似，前面介绍的情况均没有考虑液面上大气压力的影响。

当液面上的压力不为大气压时也应采用平面总压力中介绍的方法先找出等效自由液面，然后再画压力体。

物理学中的阿基米德定律也可以用压力体的方法来证明。

图3-5所示的为浮体和潜体的压力体均为虚压力体，物体受到流体的浮力等于物体所排开的液体所受的重力G =ρgV 。

综上所述，压力体的画法可以归纳为以下几步：（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段；（2）找出各段的等效自由液面；（3）画出每一段的压力体并确定虚实；（4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力体。

十、 物体在液体中的潜浮原理
1. 潜伏原理：飘浮在液面上并有部分露出液面的物体称为浮体，完全浸没在液体中的物体称为潜体，并且浮体和潜体之间是可以相互转化的。

2. 平衡：
图3-6 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡（位置势能最小、最大和不变）
3. 潜体的沉浮及平衡
当物体受到的重力G 大于其所受到的浮力P 时，物体所受到的合力方向向下，物体将下潜；当物体受到的重力G 等于其所受到的浮力P 时，物体所受到的合力为
∇
H
图3-7 潜体的平衡
图3-5 阿基米德定律
0，物体将会稳定在一个水平面上；当物体受到的重力G小于其所受到的浮力P 时，物体所受到的合力方向向上，物体上浮。

潜艇就是按照这一原理，通过调整艇内水箱中的水量实现上浮和下潜的。

潜体的稳定平衡必须是浮心在重心之上。

4.浮体的平衡
当潜体的浮力大于其所受的重力时便会浮出水面，潜体就变成了浮体，同时浮体的稳定平衡与潜体的稳定平衡有着本质的不同。

比如水面船只，在外界横向载荷的作用下，船体会发生一定的倾斜，但倾斜后其浮心的位置也会发生变化，如图3-8所示，此时的浮力与重力会形成一个力矩使之恢复到原来的平衡状态。

这就是船舶为什么会在风浪中不停摇摆而不会翻转的原因。

图3-8 浮体的平衡
出现这种情况的主要原因是船舶甲板之上还要构建许多的建筑和设施，其重心多在水面之上，如果想使其重心降低就必须在船底人为地加上多余的重物，这样一方面会加大其吃水深度，增加航行阻力；另一方面这些人为添加的重物会减小船舶的有效载荷。

所以，大多数的船舶都设计成重心在上浮心在下的形式。

十一、习题
1. 试证明等压面是不相容流体间的分界面。

2. 试证明等压面是等密度面。