高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
1_场论与张量基础
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
18/72
第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
20/72
第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
11/72
第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
流体力学 1章讲稿
第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
高等流体力学第1讲
第一讲绪论一、参考教材1.流体力学，周光炯等编写，高等教育出版社2.流体力学，吴望一编写，北京大学出版社3.流体力学的先期课程：数学（微积分、线性代数、复变函数、数理方程、场论、张量分析、数值分析、偏微分方程数值解法乃至泛函分析等等）、力学（分析力学）基础。
二、流体力学的研究方法实验方法:同物理学等其它的自然科学学科的研究方法一样，非牛顿流体力学的研究方法包括理论方法和实验方法。
理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律；实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。
在非牛顿流体力学的发展过程中，实验方法是最先采用的方法，也是最基本的方法。
即使到现在，不使用实验方法，航空航天、大型水利枢纽、聚合物驱油等复杂系统的研究几乎是不可能的。
实验方法主要包括以下几个步骤：○1运用相似理论，针对具体的研究对象确定相似准数和相似准则；○2依据模型律来设计和制造模型，确定测量参数，选择相应的仪器仪表，建立实验装置；○3制定实验方案并进行实验，观察流动现象，测量流动参数；○4运用量纲分析等方法整理和分析实验数据，与其它方法或著作所得的结果进行比较，从中总结出流动规律。
实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。
实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。
解析方法:解析方法是非牛顿流体力学各种研究方法中最为准确的和最为理想的方法。
解析方法主要包括：○1详细分析问题的物理学本质，通过适当的简化建立物理模型；○2运用物理定律建立数学模型，通常是建立起微分方程或微分方程组，确定流动方程边界条件和初始条件；○3运用数学方法求解出流动方程的解析解；○4列举计算实例，然后再与其他方法所得的结果进行比较，以检验物理模型和数学模型的合理性。
高等流体力学的讲义课件流体力学的基本概念
1.1 连续介质假说
流体质点
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙 地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
流体质点是流体力学学科研究的最小单元。 当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速 度和密度。
ur
dA3
ur
n
tt
1 . 3 雷诺输运定理
CSIII
物理意义
CSI
II III
DN du rn rdA
Dt tCV CS
I
ur
dA3
ur
dA 1
n
DN Dt
d t CV
t
n
tt
系统中的变量N对时间的变化率;
固定控制体内的变量N对时间的变化率，
由 的不定常性引起 ;
tCVdCVt d
urnrdA
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体 控制体
流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。 流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时 间变化。 为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制 体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得 到欧拉参考系中的基本方程组。
D
rr rr
r
D t d t d Au n d A Au n d A (u ) d
z
urnrdAadAadAadAadA
A
A左
A右
A前
A后
2adA2adA0
y
r
A上
A下
rr
r
场论及张量基本知识
旋度（curl）
直角坐标（Cartisian）：
柱坐标（Cylindrical）：
球坐标（Spherical）：
i v x vx er v r vx er re v r vr rv
j y vy re rv
ε-δ恒等式： ijk ist js kt jt ks
张量表示在微分算子运算中的应用
( u ) ( u ) u
U (u )u u ( u ) 2
(a b ) (b )a (a )b a( b ) b ( a)
增加的方向，大小等于函数在法线方向上的方向导 数
梯度在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数
梯度的方向是函数变化最快的方向
Hamilton算子（Nabla）
i j k x y z
同时具有微分算子和矢量的特性
散度（divergence）
直角坐标（Cartisian）：
柱坐标（Cylindrical）：
球坐标（Spherical）：
p 1 p 1 p p er e e r r r sin
梯度的性质
梯度描述了标量场内任一点M邻域内函数的变化情
况，它是标量场不均匀性的量数
k z vz ez z vz
S 0
lim
v dl
S
(r sin )e (r sin )v
涡量场和梯度场的特点
( u ) 0 0
（无源场）
（有势场）
无源场的性质
无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量相同 矢量管不能在场中发生或终止，一般来说只能延伸
1 场论与张量基本知识
（3） 矢量的代数运算
1）矢量的加减
（a）矢量的加法
c a b
平行四边形法则 性质： 满足交换律： 满足结合律：
a b b a
(a b ) c a (b c )
（3） 矢量的代数运算
（b）减法为加法的逆运算
若从矢量 a 中减去矢量 b ，则可将矢量 a 加
a1b1 a 2 b2 a3b3 a1 a 2 a3
2 2 2
b1 b2 b3
2
2
2
（3） 矢量的代数运算
（c）、矢量的叉积（矢性积、矢量积） c a b
两矢量的叉积是一个矢量
a 模：absin(a, b ) ——以 , b 为棱边的平行四边形面积
、 若 a 、 b 、 c 为单位矢量， a 、 c u3 ， u1 b u2
则 d mu1 nu2 pu3 上式各项称为矢量 d 的可分解分量
u 1 、u 2 、u3 正交，则上式各项称为矢量 d 的投影分量 若 若 d 为零矢量 ，d ma nb pc 0 ，则矢量 a 、 b 、c 共面，退化为： c ma nb
rj rj rj rj
关于矢量的投影有下列基本定理
（3） 矢量的代数运算
三维笛卡尔坐标系中，任一矢量 a 可写为 a ax i a y j az k 其中， ax , a y , az ——矢量 a 在坐标轴 x,y,z上的投影 上述表达式称为矢量 a 的投影式
流体的温度、密度、浓度等均是标量。
只有大小，没有方向
流体力学讲义第一讲
称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。在直角坐标系中
向量场的通量和散度
物理量的散度可用来判别场是否有源。通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则曲面积分
图0.4.1 通量
l
有源场和无源场： 散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。 |diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场为无源场，否则为有源场。
4、坐标线的切线方向的单位向量 的正交性 式中 为克罗内克符号，i，j，k为1，2，3的循环排列。 5、正交曲线坐标系中的拉梅系数 在正交曲线坐标系中，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi不一定相等，坐标线上的微分增量dsi与坐标值的增量dqi一般要乘以系数Hi（拉梅系数），才会变成坐标线上的微分增量dsi，即
4）拉普拉斯算子
5）算子
柱坐标及球坐标下的拉梅系数及常用微分算式
球坐标系
柱坐标系
柱坐标的微分算子
球坐标下的微分算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
哈密顿算子
拉普拉斯算子
如何确定Hi？ 象在笛卡儿坐标中一样，在空间某 一点A，沿三个坐标轴为棱边作一 微分六面体，由于其边长分别为 ， ， , 设AB边在笛卡儿坐标中的分量为dx，dy，dz，由于它们都只是 由于dq1的变化而引起的数，故 所以
四、几个重要公式 1、 2、 3、 4、
拉普拉斯算子
总乘
叉乘
五、几个积分定理 1、高斯定理 2、散度定理 3、旋度定理 4、斯托克斯定理 斯托克斯定理的证明：对 应用散度定理：
旋度经过S的通量
环量
（体积分与面积分之关系)
第一讲(流体力学)
−φi−2 +16φi−1 − 30φi +16φi+1 −φi+2 + h(φi−2 −8φi−1 + 8φi+1 −φi+2 ) − 24h2φi = 0 (−1+ h)φi−2 + (16 −8h)φi−1 − (30 + 24h2 )φi + (16 + 8h)φi+1 − (1+ h)φi+2 = 0 −φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 8φ2 − 54φ3 + 24φ4 − 2φ5 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0
(2 − h)φi−1 + (−4 − 4h2 )φi + (2 + h)φi+1 = 0
− (2 − h)φi−1 + 4(1+ h2 )φi − (2 + h)φi+1 = 0 −φi−1 + 8φi − 3φi+1 = 0
φ4 = 0.3944
φ3 = 0.1552
φ2 = 8φ3 − 3φ4 = 61 4 − 24φ5 φ
dp
1
p ρ Π= γ p γ +1 ρ
不可压流体 等熵流动的气体
ρ
p
gradp = gradΠ
ρ
γ
=C
例
~ f • dr = −dF
单位质量流体的质量力
dr • gradφ = dφ dr • a = dφ
z
力势函数
f =
mg =g m
g • dr = −gdz = −d( gz)
−φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 −φ2 + 8φ3 − 3φ4 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
10.01.2021
18
所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
15
二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
10.01.2021
16
二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
10.01.2021
12
数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
10.01.2021
③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
10.01.2021
25
梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
10.01.2021
26
四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
流体力学-第一讲,场论与张量分析初步
x2 y2
方向导数
f l
li m 0 f(xx,yy)f(x,y)
方向 f导 fc 数 o sfsin
运动学 动力学
以实际流体为主
24.11.2020
h
2
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章 流体运动学
第三章 流体力学基本方程组
第四章 粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章 边界层理论
第七章 流体的旋涡运动
第八章 湍流理论
24.11.2020
h
3
第一章 场论与张量分析初步
h
8
矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以
位移的大小.
a b a b co a ,b s
coa ,sb axbxa yb yazbz ab
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
cx cy cz
a a b b c c c a c a b b b c a
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
24.11.2020
h
13
数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b = 0 ， 是 a ,b ,c 共 面 的 充 分 条 件
矢量线的描述是从欧拉法引出
矢量线方程：
设
dr
是矢量线的切向元素，
则据矢量线的定义有
a d r0
直角坐标：
d r id x jd k y d z a ia x ja y k a z
则有：
1第一章-场论与张量基本知识
(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。 可直观看出函数值的大小分布，以及变 化快慢
矢量场可用矢量线来表示。 任一点的矢量方向可由矢量线的切线方 向定出；也可以从矢量线的疏密程度估 计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则 称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只 出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次， 则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中 可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多 于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标： 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质， 其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义
第一章场论及张量初步知识分享
证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法 线方向上的方向导数来表示
lim(M1)(M)
n MM 1 0
MM 1
lim (M)(M)
s M M 0 M M
当M1无限接近M时，近 似为过M1点的切线
(M)(M 1)
M1 M M M co n,s s)(
MM MM1 cosn(,s)
(M)(M 1)
对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点M， 围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面 为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。
速度场
速度场
电场
磁场
均匀场：同一时刻场内各点 函数值都相等
定常场：场内函数值不随时 间t改变
均匀场
定常场
1.1 场的几何表示
等高线
等高线
根据等高线的相对位置、疏密程度 看出标量函数-高度的变化状况
矢量场的几何表示
矢量的大小是一个标量，可以用等位 面的概念来几何表示，矢量的方向则 采用矢量线来表示。
V a xx a yy a zz d V V a xx a yy a zz Q
函数在体积V上的积分
在积分体上Q点处的函数值
注意：Q点是积分体上的一个确定点
sandSVaxx
ay y
az z
Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
sandSVaxx
ay y
az z
Q
它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量 场不均匀性的量度。
g rad n
n
其他方向的方向导数可以由过M点的梯度 的大小来表示
g rad n
n
cosn,(s)
s
n
s•grad
梯度在直角坐标系中的表达式
场论和张量初步
w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =− ∂ρ =单位体积空间内的质量变化率的负值， ∂t
δτ
即单位时间从单位体积空间流出的质量。为精确表述空间任意一点 M 0 处的质量变化率，可
对 δτ 取极限， lim
w ∫∫ ρV ⋅ dS
Σ
K
K =−
Σ→ M 0
δτ
K ∂ρ 。可见 div ( ρV ) 表示单位时间内从单位空间体积表 ∂t
δ ls
K
K M ( x + δ x, y + δ y , z + δ z , t ) ，密度沿方向 s 上的
变化率为
δ l →0
M ( x, y , z )
lim
ρ ( x + δ x, y + δ y, z + δ z , t ) − ρ ( x, y, z , t ) ∂ρ . = δl ∂l
K K 磁通量 w B ∫∫ ⋅ dS = 0
Σ
一般地，对于任意矢量场 m ，定义其散度 div m = lim 散度是标量。 3）散度计算公式（直角坐标系）
K
K
K K m w ∫∫ ⋅ dS
Σ
Σ→ M 0
Hale Waihona Puke τ。以体积通量为例。 以 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 为中心取正六面体形状的闭合曲面 Σ ， 边长分别为
⎛ ∂u ⎜ ∂x K ⎛ δ u ⎞ ⎛ gradu ⋅ δ r ⎞ ⎜ K ⎟ ⎜ ∂v ⎜ ⎟ ⎜ δ δ = ⋅ =⎜ v gradv r ⎜ ⎟ ⎜ K⎟ ⎜ δ w ⎟ ⎜ gradw ⋅ δ r ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜∂ w ⎜ ∂x ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ⎞ ⎟ ∂z ⎟ ⎛δ x ⎞ ∂v ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ δ y⎟ ∂z ⎟ ⎜ ⎜δ z ⎟ ⎝ ⎠ ∂w ⎟ ∂z ⎟ ⎠
高等流体力学—场论及张量初步
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
第一章 场论和张量初步
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
第一章 场论和张量初步
第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。
反之为不均匀场。
定常场：场内函数值不依赖于时间。
反之为不定常场。
1.2场的几何表示标量场：等位线。
矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。
1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。
在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。
梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。
2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。
定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。
例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。
I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。
高等流体力1
高等流体力1高等流体力学重庆交通大学陶礴温馨提示：⑴该课程是学位课，学习态度很重要。
⑵该课程所涉及到的相关知识较多，例如：张量分析，场论，数学分析，线性代数，微分方程（包括常微分方程与偏微分方程）。
③该课程理论性较强，学时为50学时。
第一章：预备知识本章内容简介：这是学好流体力学的一些相关的数学知识，包括张量与场论的基础知识，对学习流体力学来说，是相当有必要的。
1.1 笛卡尔直角坐标系中的张量1.1.1 张量的定义凡是坐标旋转时能保持自身不变的量，叫做张量。
例如：标量（关于标量，我们或许在一些情况下可以把它理解成一个常数。
既然是常数，那么无论坐标怎么样旋转，它还是一个常数，其数值保持不变）。
矢量（在现实生活中，我们接触过很多矢量，例如：力，速度，等等，当坐标旋转时，矢量在各个坐标轴上的分量会发生变化，但是，就矢量本身来说，它的大小不变，方向永远也只有一个，因此它不依赖于坐标的旋转而发生变化）。
我们注意到，标量有一个分量，矢量有三个分量。
定义：如果一个张量是n 阶张量，那么，其分量个数为：3n 个。
那么，我们不难得出以下结论： ① 标量是零阶张量 ② 矢量是1阶张量③ 二阶张量具有9个分量，三阶张量有27个分量，n 阶张量具有3n 个分量。
1.1.2 张量的表示方法ij σ为二阶张量，有9个分量。
通常用如下的式子来表示：ij σ=()ij σ=111213212223313233σσσσσσσσσ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭在流体力学中，二阶张量用得相当广泛。
此外，一阶张量可表示为:i V 三阶张量可表示为:ijk A1.1.3 约定求和法则为书写方便，我们约定在同一项中，如果有两个脚标相同时，就要对这个脚标从1到3求和。
例如： ① 112233i i a b a b a b a b =++② 312123i i u u u u x x x x =++∂∂∂∂∂∂∂∂ ③ 2222123.i i i x x x x x x ==++ 1.1.4 单位张量(1) 二阶单位张量二阶单位张量又称为克罗内克符号：ij δ，ij δ={10i j i j=≠ ,1,2,3i j =于是，二阶单位张量有9个分量，可以表示成如下形式：ij δ=100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故称之为二阶张量。
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Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
divA = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
简单地说,散度是单位体积上的发散量的极限.
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说明: 散度是通量对体积的变化率, 且 div A > 0 ，表明该点处有正源； div A < 0 ，表明该点处有负源； div A = 0 ，表明该点处无源。
∂y ∂z ∂z ∂x
∂x ∂y
A(x, y, z)在点(x, y, z)处的旋度。记为 :
i jk rot A = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z PQR
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散度的运算 (1) div( kA) = k div A (k为常数 ) (2) div(A ± B) = div A ± div B (3) div(uA) = u div A + A⋅ grad u (u为数量函数)
等值面的定义：
空间区域Ω中的函数（数量场）u = f (x, y, z), 在Ω中有连续的一阶偏导数，则曲面 f (x, y, z) = C
称为该数量场的等值面。 例如：等温面、等压面。
等值面的特点： 1) 等值面是彼此不相交的。 2) 等值面的疏密，表示标量函数的变化情况。
7
10
§0-1 场论基础
成为该物理量的场。
场的分类： 标量场、矢量场 定常场、非定常场 均匀场、非均匀场
标量场：φ = φ( x, y, z, t ) = φ(r , t ) 矢量场：a = a ( x, y , z , t ) =量场的梯度 梯度定义：
梯度是矢量，方向为电位变化最陡的方 向，即最大方向导数的方向；大小变化最大 方向的变化率，即最大方向导数。 梯度与坐标无关，是标量场不均匀性的量度。 梯度表达式：
5
4 学科交叉及发展前沿
多相流体力学 生物流体力学
应用领域：
非牛顿流体力学
水利、航空航天、
化学反应流体力学 能源动力、化工、
天体流体力学
机械、建筑 、医疗
电磁流体力学
微纳尺度流体力学
5 对从事CFD研究的特殊重要性
3
四、课程要求
教学环节： 课堂讲课：思路、方法 课后自学：补充参考书知识扩展 作业： 以简答、推导为主
二者共线则：A×dr = 0
dx = dy = dz Ax Ay Az
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3. 矢量场的散度 定义: 在矢量场中点 M(x, y, z) 处，存在矢量
A(x, y,z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k 则数量函数 ∂P + ∂Q + ∂R 称为矢量场 A(x, y, z)
评价标准： 平时20分
100分 期末80分
闭卷考试
平时出勤/测验10分
作业10分
概念、简答 推导 选择、计算题（待定）
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讲授纲要
0 场论与张量初步 1 一维定常可压缩流 2 二维定常可压缩流 3 一维不定常可压缩流 4 粘性流体动力学基础 5 湍流基础知识
§ 0.1.2 标量场的梯度
1、标量场的几何表示——等值面
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A = 0, 则称 A 为无源场.
2. 矢量场的旋度:
在空间直角坐标系里， 设有向量场 A(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k
向量( ∂R − ∂Q )i + ( ∂P − ∂R ) j + ( ∂Q − ∂P )k 称为向量场
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§ 0.1.3 矢量场的散度
1. 矢量场的几何表示——矢量线
定义：矢量线是这样的曲线，在它上面每一 点处，场的矢量都位于该点的切线上。
矢量线的方程：
已知矢量场A=A(x,y,z)，M(x,y,z)为矢量线上任一点，
矢量： A = Axi + Ay j + Azk 矢径：dr = dxi + dyj + dzk
0.1.1 场的定义与分类 0.1.2 标量场的梯度 0.1.3 矢量场的散度 0.1.4 矢量场的旋度 0.1.5 矢量场的分类 0.1.6 哈密顿算子
2、方向导数
定义：场在指定方向的变化率，叫做场在该 方向的方向导数。
方向导数的计算式
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§ 0.1.1 场的定义与分类
场的定义： 每个空间点上对应某个物理量，则这个空间
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梯度的性质：
2. 矢量场的通量
定义: 向量场 A 沿选定方向曲面S 的面积分。
设有矢量场：A = Axi + Ay j + Azk
ψ = ∫∫ A ⋅dS
S
∫= S Axdsx + Aydsy + Azdsz
通量在物理学中有多种意义, 如液体流量，电通 量，磁通量等.
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矢量场通量的物理意义