离散序列傅里叶变换习题教学教材

1、 2、 11、
试求以下各序列的时间傅里叶变换（1）1()(3)x n n δ=-
（2）211
()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=
+++- （3）3()(),01n
x n a u n a =<<
（4）4()(3)(4)x n u n u n =+-- 12、
设()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性
质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2
()()g n x n =
（7）(),
()2
0,
n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
13、
试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）1()(),||1n
x n a u n a =< （2）2()(),||1n
x n a u n a =->
（3）||3,
||()0,
n a n M x n n ⎧≤=⎨
⎩为其他
（4）4()(3),||1n
x n a u n a =+<
（5）50
1
()()(3)4n
m x n n m δ∞
==
-∑
（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
14、
设()x n 是一有限长序列，已知
1,2,0,3,2,1,0,1,2,3,4,5()0,
n x n n --=⎧=⎨
⎩为其他
它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω
，试直接确定下列表达式的值。

（1）0
()j X e （2）()j X e π （3）()j X e d π
ωπ
ω-
⎰
（4）
2|()|j X e
d π
ω
πω-
⎰
（5）2
()|
|j dX e d d ωπ
πωω
-⎰ 15、 试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）11,||()0,
n N x n n ≤⎧=⎨
⎩为其他
（2）21||/,||()0,
n N n N x n n -≤⎧=⎨
⎩为其他
（3）3cos(),||()20,
n n N x n N
n π⎧≤⎪
=⎨⎪⎩为其他
6、证明：若()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而
1(),
()0,
n n
x x n k
k
⎧⎪=⎨⎪⎩为整数
其他
则1()()j j X e X e ωω
=。

7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为
1
()(2)1j j l X e l e ω
ω
πδωπ∞
-=-∞
=+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω
表示其
他序列的离散时间傅里叶变换。

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即
2
21
|()||()|2j n x n X e
d π
ω
πωπ∞
-
=-∞
=
∑⎰
10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即
()
[()]j dX e DTFT nx n j d ωω
=
式中，()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。

11、证明：
（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω
是ω的实偶函数。

（2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。

12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

13、设实序列()x n 的偶对称序列1
()[()()]2
e x n x n x n =
+-，奇对称序列1
()[()()]2
o x n x n x n =--，试证明
2
2
2
|()|
|()|
|()|
e
o
n n n x n x n x n ∞
∞
∞
=-∞
=-∞
=-∞
=
=
∑∑∑
14、设实序列()x n 的波形如图所示，
（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

（2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。

画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？
（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω，分析()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部
Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。

15、已知序列()()(01)n
x n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称
序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω。

16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ω
ω=+
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，
已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的虚实部()j I X e ω为
()sin j I X e ω
ω=-
求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X e
ω
ω
-=
19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω
，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为
2
21(){()][()()]2
j j j Y e DTFT y n X e X e ωω
ω
-==+
试求序列()y n 。

离散时间傅里叶变换习题解答：
1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=-
解：3()j j X e e ω
ω
-=
（2）211
()(1)()(1)22
x n n n n δδδ=
+++-
解：()1cos j X e ω
ω=+
（3）3()(),01n
x n a u n a =<<
解：1
()1j j X e ae ω
ω
-=
-
（4）4()(3)(4)x n u n u n =+--
解：771111()1cos cos 2cos32221j j j a e X e ae ω
ω
ω
ωωω---=+++=-
2、 设()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求
下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）()()(1)g n x n x n =--
解：()(1)()j j j G e e
X e ω
ω
ω-=-
（2）()*()g n x n =
解：()*()j j G e X e
ω
ω
-=
（3）()*()g n x n =-
解：()*()j j G e X e ω
ω
=
（4）()(2)g n x n =
解：()()j jn n G e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑(2)jn n x n e
ω
∞
-=-∞
=
∑
令'2n n =，
'
2
'()(')jn j n G e x n e
ω
ω
-=
∑
为偶数
21[()(1)()]2jn n
n x n x n e ω
∞-=-∞
=+-∑
2211()()22j jn jn n X e x n e e ωωπ∞-=-∞=+∑()22
211()()()22j j jn jn n X e X e x n e e ωωωππ∞--=-∞
=+∑ （5）()()g n nx n =
解：()()j dX e jnx n d ωω⇔-Q ()()j j dX e G e j d ωω
ω
∴= （6）2
()()g n x n =
解：
1
()()*()2j j j G e X e X e ωωωπ
=
（7）(),
()2
0,
n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
解： ()()j jn n G e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑22()()j m j m x m e
X e ω
ω∞
-=-∞
=
=∑
3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）1()(),||1n
x n a u n a =<
解： 1
()1j j X e ae
ω
ω
-=
- （2）2()(),||1n
x n a u n a =->
解： 11
()1j j X e a e ω
ω
-=
-
（3）||3,
||()0,
n a n M x n n ⎧≤=⎨
⎩为其他
解： ()()12Re[
]M
M
j jn n jn n jn n n M
n M
X e x n e
a e
a e
ω
ω
ω
ω
∞
---=-∞=-=-=
=
=+∑∑∑
122
1cos cos[(1)]cos 2Re[
]12112cos M M M
n jn n M
a a M a M a e
a a
ω
ωωωω++-=---++=-=--+∑ 2122
12cos[(1)]2cos 12cos M M a a M a M a a
ωω
ω++--++=-+ （4）4()(3),||1n x n a u n a =+<33
(3),||1n a a u n a -+=+<
解： 3311
()1j j j X e a e
a e
ωω
ω
--=-
（5）501()()(3)4n m x n n m δ∞
==
-∑301()(3)4
m
m n m δ∞
==-∑
解： 3333300
111()()()(3)()1441()4
j jn m jn m j m j n n m m X e x n e
n m e e e
ω
ω
ω
ωωδ∞
∞∞
∞
----=-∞
=-∞===
=-==-∑∑∑∑
（6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(/3)sin(/4)12/3/4n n n n ππππ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：
2sin()
()c
c c c n g n
ω
ωπ
ωωω⇔
% 23
2
sin(/3)sin(/4)
3()
4()/3
/4
n n g g n n ππππωωππ∴
⇔⇔%%
232
1
()()*()2j X e g g ωππωωπ∴=
%%
1
0()12
4
77()[()]/2()/21212
12412j j X e X e ωωπ
ωπ
πππ
π
ωωπωπ
∴≤≤
=
≤≤=--+=-
1
,04
12
()77()/2,12
1212
j X e ωπ
ωππ
π
ωπω⎧≤≤
⎪⎪
⎨⎪-≤≤⎪⎩
4、 设()x n 是一有限长序列，已知
1,2,0,3,2,1,
0,1,2,3,4,5()0,
n x n n --=⎧=⎨
⎩为其他
它的离散傅里叶变换为()j X e ω。

不具体计算()j X e ω
，试直接确定下列表达式的值。

（1）0
()j X e
解：()()j jn n X e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑ 5
()()1j n X e x n ==
=∑
（2）()j X e π
解：()()j jn n X e x n e
ω
ω
∞
-=-∞
=
∑ 5
()(1)
()1j n
n X e x n π
==
-=-∑
（3）
()j X e d π
ωπ
ω-
⎰
解：1
()()2j jn x n X e
e
d π
ω
ω
πωπ
-
=
⎰ ()2(0)2j X e d x π
ωπ
ωππ-==-⎰
（4）
2|()|j X e
d π
ω
πω-
⎰
解：
221|()||()|2j n x n X e d π
ωπ
ωπ
∞
-
=-∞
=
∑⎰
2
2
|()|2|()|
2(14941)38j n X e
d x n π
ω
πωπ
ππ∞
-
=-∞
==++++=∑⎰
（5）2
()|
|j dX e d d ωπ
πωω
-⎰ 解：
()()j dX e jnx n d ωω
⇔-
22()||2|()|2(01149916425)2174348j n dX e d jnx n d ωπ
πωππππω
∞
-=-∞
==⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯=∑⎰试求以下各序列的时间傅里叶变换
（1）11,
||()0,
n N x n n ≤⎧=⎨
⎩为其他
（2）21||/,||()0,
n N n N x n n -≤⎧=⎨
⎩为其他
（3）3cos(
),||()20,
n n N x n N
n π⎧
≤⎪=⎨⎪⎩为其他
6、证明：若()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而
1(),
()0,
n n
x x n k
k
⎧⎪=⎨⎪⎩为整数
其他
则1()()j j X e X e ωω
=。

7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为
1
()(2)1j j l X e l e ω
ω
πδωπ∞
-=-∞
=+--∑ 8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω
表示其
他序列的离散时间傅里叶变换。

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即
221|()||()|2j n x n X e d π
ωπ
ωπ
∞
-
=-∞
=
∑⎰
10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即
()
[()]j dX e DTFT nx n j d ωω
=
式中，()j X e ω
是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。

11、证明：
（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω
是ω的实偶函数。

（2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。

12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

13、设实序列()x n 的偶对称序列1
()[()()]2
e x n x n x n =
+-，奇对称序列1
()[()()]2
o x n x n x n =--，试证明
2
2
2
|()|
|()|
|()|
e
o
n n n x n x n x n ∞
∞
∞
=-∞
=-∞
=-∞
=
=
∑∑∑
14、设实序列()x n 的波形如图所示，
（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

（2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。

画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？
（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω，分析()j X e ω
、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部
Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。

15、已知序列()()(01)n
x n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称
序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω。

16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ω
ω=+
求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，
已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω
的虚实部()j I X e ω为
()sin j I X e ω
ω=-
求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω。

18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X e
ω
ω
-=
19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω
，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为
221(){()][()()]2
j j j Y e DTFT y n X e X e ωω
ω
-==+ 试求序列()y n 。