晶体能带的对称性

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晶体的对称性

晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出: 1.把所有滑移面全部转换成镜面; 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如: 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 (按照晶胞的特征对称元素分类)
旋转,反射,反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴,滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则,可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号: 3 或 `3 (如: Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号: 4, `4 , 41, 42 或 43 (如: P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号: 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如: P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置:所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置;
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子,即比一般位置小(一个整数倍)。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个(或多个)是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 (化学成分)
2、名称
Chem Name Min Name

晶体的对称性

晶体的对称性

晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性,并不排斥在某些特定的方向上性质相同。

这是因为在晶体的格子构造中,这些方向质点的排列是一样的,这就是晶体的对称性,表现在晶体外形上,即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。

晶体的对称性是晶体极其重要的性质。

中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作,能使其等同部分产生规律性的重合特性。

应用学科
材料科学技术(一级学科),材料科学技术基础(二级学科),材料科学基础(三级学科),材料组织结构(四级学科)
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。

由于晶体具有最小的内能,所以处于相对稳定的状态,这就是晶体的稳定性。

晶体只有在得到外来能量时,才能破坏其稳定性,有使之向非晶质转化。

这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。

晶体的对称性

晶体的对称性

21
c
开普勒的老问题:为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺 地的二维问题 来联想一下:
AB = 2acos = n a 由于-1cos1,所以,n = 0,±1,±2 所以,cos = 0,±1/2,±1; 得到基转角为90o,180º;60º,120º,360º 对应的旋转轴为 1,2,3,4,6对称轴。
晶体中存在3,6;不存在5,7,8
晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性.
32个晶体学点群
将宏观对称元素合理组合得到32个宏子点群与晶体点群的区别: 水 C2V 冰 D6h 苯 D6h 苯晶体 D2h
晶体结构的对称性
晶体结构的对称性
晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组 直线点阵平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而 与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 的轴次只有1、2、3、4、6.

4.5晶体能带的对称性晶体具有对称性,因而晶体中电子的

4.5晶体能带的对称性晶体具有对称性,因而晶体中电子的
晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同,我们可 以参照理解。
一、平移对称性 En (k ) En (k G h )
Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电子波函数位相的 变化。如果 k 改变一个倒格矢量,它们所标志的原胞之间波函数位 相的变化是相同的,也就是说 k 和 k+Gh 是等价的。从这点出发我们 也可认为 En(k) 是 k 空间的周期函数,其周期等于倒格矢。简约波矢 的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞,即第一布里渊区内。 我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一 个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理,更高的Brillouin区也可通过 适当的平移与第一区重合,因此我们可以把注意力仅限制在第一区 内,它包含了晶体能带的所有必要信息。
r
由于晶体在所属点群操作T(α)下保持不变。
引入点群对称操作T(α),对任意函数 f(r)有:
T f (r) f ( 1r)
相当于改变了 坐标系
r
r’
首先证明,点群对称操作与Hamiltonian 对易
H 1 2 V r
2m
T Hr
1 2m
2 1r
V
1r
1r
1 2m
2
种表示法称为周期布里渊 区图象。
扩展布里渊区
简约布里渊区
二、晶格点群对称性 En (k ) En (k )
为晶体所属点群的任一点对称操作。该式表明能带与晶格 有相同的对称性。
证明:设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数,本征值为 En(k):
Hˆ nk (r) En (k) nk (r)
V
r
T
r
HT r

晶体对称性

晶体对称性

晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分,它是晶体结构的关键,可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。

其中,最常见的是空间群,它用数学表示法确定变换的形式。

接下来,让我们来更多地了解晶体对称性:一、空间群1. 什么是空间群:空间群是一种变换群,也是对称性理论的基础,可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。

举个例子,如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转,那么它就只具有一种(即旋转)拓扑群。

2. 空间群划分:空间群可以根据对称性来划分,主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。

其中,有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变;无限对称群指的是无限种变换,其轴心、空间点或空间构造不变;而单调的对称群是单一的元素组成的,在该空间群中任何对称性都不变。

二、对称性1. 什么是对称性:对称性是空间群的基础,一般来说,它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性,也可以用数学表示法来表达这种特征。

2. 对称性的类型:对称性的类型可以分为四大类,分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。

其中,正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换,立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作,而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作,而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。

三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么:晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分,它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。

2. 晶体对称性的应用:晶体对称性可以用来研究和设计多种材料,如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等,它们是将材料化学性质同物理性质关联起来,从而更好地理解材料的特性。

此外,晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。

四、总结从上文可以看出,晶体对称性是一个非常重要的概念,它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构,而且可以应用于许多不同的领域,如材料的研究与设计等。

12 晶体的对称性一 对称性的概念二 晶体中允许的对称操作三 晶体

12 晶体的对称性一 对称性的概念二 晶体中允许的对称操作三 晶体

1.2 晶体的对称性一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述:点群四. 七个晶系和14种晶体点阵五. 晶体的微观对称性:空间群六. 二维情形七. 点群对称性和晶体的物理性质参考:黄昆书1.5-1.7 节阎守胜书 2.2 节一.对称性的概念:一个物体(或图形)具有对称性,是指该物体(或图形)是由两个或两个以上的部分组成,经过一定的空间操作(线性变换),各部分调换位置之后整个物体(或图形)保持不变的性质。

对称操作:维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。

即:操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。

点对称操作:在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。

有限大小的物体,只能有点对称操作。

对称元素:对称操作过程中保持不变的几何要素:点,反演中心;线,旋转轴;面,反映面等。

●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性?从旋转来看,圆形对绕中心的任何旋转都是不变的;正方形只能旋转才保持不变;后2个图形只有3,,πππ2π以上,考察在一定几何变换之下物体的不变性,使用的几何变换(旋转和反射)都是正交变换——保持两点距离不变的变换:111213212223313233'''x a a a x y a a a y z a a a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=∙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111213212223313233i j a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 其中A ij 为正交矩阵从解析几何知道,符合正交变换的是:绕固定轴的转动(Rotation about an axis) 绕z 轴旋转θ角cos sin 0sin cos 0001i j A θθθθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭数学上可以写作:如果,一个物体在某一正交变换下保持不变,我们就称这个变换为物体的一个对称操作。

一个物体可能的对称操作越多,它的对称性就越高。

立方体具有较高的对称性,它有48个对称操作:绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作;绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作;绕6 条棱对角线可以转动π,共 6 个对称操作;加上恒等操作共24个。

4、晶体的对称性

4、晶体的对称性
第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约,也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴,分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性(操作的总效果一样)。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x

x22

x32

x~
'x'

x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'

x3'

x~ ' 为转置矩阵,即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系,即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下,其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即,晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6, i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴,晶体周期性结构限制了只能

高中化学竞赛【晶体的对称性】

高中化学竞赛【晶体的对称性】
同理, 可以求出晶 面2的晶面指标是: (001); 晶面3的晶面指 标是: (201)。可以看出 1个晶面指标代表一组 平行的晶面。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见, 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。

固体物理第四章能带理论5(新疆大学李强老师课件)模板

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Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
Xinjiang University
§4.6 晶体能带的对称性

能带的3种表示方法
① 扩展能区图式
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
2018/10/24
当k落在布里渊区边界上,N(E)出现奇点,对应能量 在此处断开。
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li 2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
E s (k ) E0 2 J1 (cos kx a cos k y a cos k z a)
§4.7 能态密度和费密面

等能面 等能面垂直于布里渊边界, ∵此处 k E (k ) 0
E E0 2 J1 E X
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
E E0
2018/10/24
§4.7 能态密度和费密面

能态密度以及范霍夫奇点
在等能面上为常数
V dS V 1 能态密度函数 N ( E ) 2 2 3 (2 ) k E (2 )3 k E V m 2 V mk 2 4 k 2 2 (2 )3 2 k V 2m 3/2 ( 2) E 2 2
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li

固体物理晶体能带的对称性PPT课件

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—— 成键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的价带 —— 反键态对应的四个能带交叠在一起形成Si的导带
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04_06 晶体能带的对称性 1 能带关于k的周期性
2 电子波矢 k k n 的布洛赫函数 a
2 E (k ) E (k n ) a
能量本征值
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikR E (k ) i J ( Rs )e s s
E (k ) i J 0
Rs Nearest
ikR s J ( R ) e s
2 原子能级与能带的对应
2 E (k ) E (k n ) a
2 k' k n a
—— 三维情况中表示
E(k ) E(k Gn )
2 能带的时间反演对称性 可以证明
E ( k ) E ( k )
3 能带的3种表示图式 1) 扩展能区图式 第一能带 E1 (k )
k

a
~

固体物理 Solid State Physics
第四章 能带理论
§4.6晶体能带的对称性
1 模型与微扰计算
—— 紧束缚近似方法的思想
—— 电子在一个原子(格点)附近时 主要受到该原子势场的作用 —— 将其它原子势场的作用看作是微扰
对于确定的 k
晶体中电子的波函数
1 k (r ) N
a
第二能带 E2Hale Waihona Puke (k )2 k ~ a a
2 ~ a a

2) 简约能区图式 —— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性

结构化学晶体结构的对称性和基本定理

结构化学晶体结构的对称性和基本定理

点击按钮观察动画.注意:反映滑移操作中
的“反映”是虚操作,可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映,请勿误解!
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去, 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块,每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标: A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B (每个晶胞中有4个结构基元)
CsCl型晶体
原子的分数坐标: A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子,若按左图取素格子只能表现三方对称性;若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖):
14种布拉维格子之一:立方简单(cP)
14种布拉维格子二:立方体心(cI)
14种布拉维格子三:立方面心(cF)
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ




(1)晶胞的大小、型式

晶胞的大小可由晶胞参数确定,晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
(2)晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标,它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八:正交简单(oP)
14种布拉维格子之九:正交体心(oI)

能带理论

能带理论

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础,它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中,因此,这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子,由于电子和周围势场的相互作用,晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂,而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似:电子质量远小于离子质量,电子运动速度远高于离子运动速度,故相对于电子的运动,可以认为离子不动,考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响,取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何,都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题,若不简化求解是相当困难的,但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题,从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程,即其中二、两个模型(1)近自由电子模型1、模型概述在周期场中,若电子的势能随位置的变化(起伏)比较小,而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时,电子的运动就几乎是自由的。

因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似,而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

(也称为弱周期场近似) (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用,E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带,这时晶体电子行为与自由电子相差不大,因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带:在零级近似下,电子被看成自由粒子,能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

固体物理学_能带理论之晶体能带的对称性

固体物理学_能带理论之晶体能带的对称性
04_06 晶体能带的对称性
1 能带关于k的周期性
E (k ) E k 2n a
电子波矢 的布洛赫函数
04_06_晶体能带的对称性 —— 能带理论
—— 在k的状态中观察的物理量与在k’的状态中是相同的
—— 三维情况中表示
2 能带的时间反演对称性 可以证明
04_06_晶体能带的对称性 —— 能带理论
3 能带的3种表示式
1) 扩展能区图式 第一能带
第二能带
04_06_晶体能带的对称性 —— 能带理论
2) 简约能区图式
—— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性
—— 每一个能带 在简约布里渊区有各自图像
—— 简约布里渊区标志一个状态 i) 它属于哪一个能带 ii) 它的简约波矢 是什么
04_06_晶体能带的对称性 —— 能带理论
3) 周期能区图式
—— 对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数 —— 任意一条能量曲线 通过倒格子矢量从 一个布里渊区移到 其它布里渊区 —— 在每一个布里渊区 画出所有能带构成 k空间中能量分布 的完整图像
04_06_晶体能带的对称性 —— 能带理论

晶体化学(晶体对称性)

 晶体化学(晶体对称性)

划分正当晶胞或单位的原则中,主要做了两方
面的规定:
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状;
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P,I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P,C(或侧心),I,F
面心F
单斜 P,C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴,通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中,必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma,并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点),-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种,但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素,也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中,宏观对称元素组合时,必受以下两条的限制:
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子,若按左图取素格子只能表现三方对称性;若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖):

晶体的对称性

晶体的对称性

一个具有21的图形
21所对应的对称操作群为:
L(π )T (t ),[ L(π )T (t )]2 = T (2t ),[ L(π )T (t )]3 = L(π )T (3t ) ⋅ ⋅ ⋅
τ = a = 2t 是基本向量。对称操作有无穷多个。 螺旋轴中的一些对称操作包括在平移群T内。
续表:
特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
对称 晶 性的 高低 系 四 方
4
a=b≠c α = β = γ = 90 o
D2d
c4 v
4 mm
42m 422 mmm
4 ,4 m
4 ,2 2 ,2 m
4 , 4 2 ,5 m , i
3 + i = 3, 3 + mh = 6
4
2.晶体的宏观对称元素的组合与32个晶 体学点群
由上述的 8种独立的宏观对称元素按一定的规则 (即对称元素至少要通过一个公共点;组合时不能 出现 5次轴及大于6的对称轴)进行组合,总共有32 种组合形式,称为32个晶体学点群。晶体的宏观外 形不论形状如何,必属于这32个晶体学点群中的某 一个。
描述分子对称性与晶体宏观对称性所常用的对称 元素及相应的对称操作对照表
分子对称性 对称元素 符号 对称轴 Cn 对称面 对称操作 符号 晶体宏观对称性 对称元素 符号 旋转轴 n 反映面 或镜面 对称操作 符号 旋转 反映 倒反
ˆ 旋转 C
n
L(α )
M I
σ
反映 反演
ˆ σ
ˆ i
n
m
对称中心 i 象转轴
7.2 晶体的对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称系之 分。前者是指晶体的外形对称性,后者指晶体微 观结构对称性。

晶体结构的对称性.

晶体结构的对称性.

晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式,但在实际确定晶胞


时,要尽可能选取对称性高的初基单胞,还要兼 顾尽可能反映晶体内部结构的对称性,所以有时 使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞。 (1)符合整个空间点阵的对称性。 (2)晶轴之间相交成的直角最多。 (3)体积最小。 (4)晶轴交角不为直角时,选最短的晶轴,且交 角接近直角。
关系,旋转角度为的反轴和旋转角为(p)的映轴是 等价的对称轴,这一关系也很容易从他们的表示矩 阵看出。所以1次, 2次, 3次, 4次和6次反轴分 别等价于2次, 1次, 6次, 4次和3次映轴。
_ ~_ ~_ ~_ ~_ ~ 1 2, 2 1 , 3 6, 4 4, 6 3
晶体结构的对称性
主要内容
晶体的平移对称性:三维点阵和晶胞
晶体学中的对称操作元素:
(旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋 轴和滑移面) 晶体学点群,晶系和点阵型式 空间群及其应用:空间群符号,等效点系,分数 坐标,不对称单位

晶体性质
晶体是原子(包括离子,原子团)在三维空间中 周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同性 质: 1. 均匀性;
σv) 或 垂直于(horizontal , σh) 主轴。 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面, σd ( dihedral plane )。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴,简称反轴 (Axis of inversion ,
Rotoinversion axis),其对称操作是先进行旋转 操作(n)后立刻再进行倒反操作,这样的复合操作 称为记为

晶胞内部 1
石墨晶体结构
三维点阵和晶胞

04_10_晶体能带的对称性

04_10_晶体能带的对称性




2 的状态中是相 ( x ) e [ e a i 2 n x a
in
2 x a
u
k n
2 a
( x )]
可以证明 e
u
2 k n a
( x ) uk ( x ) ——
2 k n a
( x ) eikx uk ( x ) k ( x ) 2 的状态中是相同的 a
固体物理讲义_第四章 能带理论
04_10 晶体能带的对称性
1 空间群操作与算符 空间群 —— 由晶体的全部对称操作构成 简单空间群的表示: ( tl1l2l3 ) —— 点群对称操作和平移对称操作

tl1l2 l3 l1a1 l2 a2 l3a3 —— 平移晶格矢量:平移对称操作 复杂空间群的表示: ( tl1l2 l3 a ) —— 点群对称操作和平移操作 a —— 表示晶格小位移,不是晶格矢量 ( R l1a1 l2 a2 l3a3 ) 位移
结果表明在波矢 k 的状态中所观察到的物理量与在波矢 k k n 即 E (k ) E (k n
2 ) a
2) 点群对称操作对电子态的影响 引入描述点群对称操作的算符 T ( ) 对于任意函数有: T ( ) f ( r ) f ( r )
1


1 —— 的逆操作,物理意义是点 1r 经过 操作后,变换到 r 点

p 带 点波函数
m
s T ( ) s ( 1r Rm ) —— 对所有格点求和 T ( ) s [ 1 ( r Rm )] —— 原子 s 波函数具有球对称性,波函数在旋转、反演后保持不变

固体物理学:4-6 晶体能带的对称性

固体物理学:4-6 晶体能带的对称性
对称操作算符T和哈密顿量H是对易的。
二、E(k)函数的对称性 1. 能带的反演对称性 2. 能带对k的周期性 在k的状态中观察的物理量与在k’的状态中是相同的
三维情况中表示为:
3 . 能带的3种表示图式 简约能区图式 周期能区图式 扩展能区图式
三、波函数的对称性 已知电子波矢
的布洛赫函数:
当β群(算符)作用于布洛赫函数时,只是周期性函数 部分发生变化,对于不同的能带,周期性函数变化规律可能 不同,称为波函数具有不同的对称性。 (具体例子看书p208。)

三波函数的对称性群算符作用于布洛赫函数时只是周期性函数部分发生变化对于不同的能带周期性函数变化规律可能不同称为波函数具有不同的对称性
§4-6 晶体能带的对称性
一、空间群操作及其算符
晶体全部对称操作的集合构成空间群。分为 两大类,一类是简单空间群,即是由平移群和点 群(旋转、反演等对称变换构成)的乘积构成的;另 一类是复杂空间群。
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ky
的不可约体积。依此类推,对于立方晶系的
Oh(m3m) 点群,只需研究 (1/48)b即可。减
少在确定、计算能带时所要做的工作是对称性
研究的意义之一。
P’
P
kx
P’’
对于一般位置 k ,简约区中对称相 关的波矢量数就等于点群的阶数。但若 k 在简约区中的某些特殊位置(对称点、 对称轴或对称面)上,即在晶体点群中, 存在某些对称操作,使得
为简单,取 k 的单位为

a
E(0) n
k
k
2n2
En(0)(k)的单位为
2 2
2m a
0k 1
第一能带:n=1,n’=0
E(0) 1
k
k
2
0 1
相应波函数:
(0) 1,k
x
eikx
第二能带:n=2,n’=-1
E(0) 2
k
k
22
4 1
相应波函数:
(0) 2,k
x
eik2x
E(0) k 2k2
2m
这里,k’为广延波矢,不一定在简约区中,但我们一定可
以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得
k k Gn
k为简约波矢。
2
E(0) n
k
E(0) n
k Gn
E(0) n
k
2m k Gn 2
1. 一维情况
Gn '
n'
2
a
E(0) n
k
2
2m
k
2
a
n
2
k为简约波矢
二、 En(k)图示
以二维正方晶格为例,二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以,对于一般位 置 P,在简约区中共有 8个点与 P点对称
相关。在这些点,电子都有相同的能量 En(k)。 因此,我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中
电子的能量状态,就可以知道整个 k 空间中
的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区
E const
1
4
3
m 2k
4 k 2
2m
3 2
2 2 3
1
E2
考虑周期场的影响,在近自由电子情况下,周期场的影响主要表
现在布里渊区边界附近,而离布里渊区边界较远处,周期场对电子运 动的影响很小。
下面以简单立方晶体为例,考察第一布里渊区内电子的等能面,从原
点出发,等能面基本保持为球面,在接近布里渊区边界时,等能面开始向 边界突出。
3. En (k ) En (k )
反演对称性
在晶体中电子运动的哈密顿算符
2
H 2 U r
2m
是实算符,H*=H。
如果 nk(r) 是方程的解,那么 *nk(r) 也是方程的解, 且这两个解具有相同的能量本征值。即有
Hˆ Hˆ
nk
nk
(r ) (r )
En En
(k )
(k )
nk
nk
n (r ) nk (r )
应为具有同样本征值的另一本征函数。
nk
(r
Rn
)
eik Rn
nk
(r)
又由于晶体点群操作应保持点乘积不变,则有:
A B (A B) AB 1A B 1AB AB
因此有:
n
(r
Rn
)
nk
[
(r
Rn
)]
eik Rn
nk
(r)
ei
1k Rn
nk
同样可以给出:
,能带
E1 k
近邻:
2
a
,
2
a
,
2
a
2
a
,
0,
2
a
E2
3
1 2m
2
a
2
E2X
2
1 2m
2
a
2
E2 k 是四重简并的。见黄昆书图4-15
以此类推,可以给出前页图。详见黄昆书 p178~184 在计入周期势场的微扰作用后,上述高对称点或轴的
简并性将部分地消除,通常用群论方法来确定某些高
2
a
,
0
E1X
2 2
2m a
2
1 2
2m a
2
面心立方晶体的第一布里渊区: 如果 fcc 的晶格常数为 a,则其
z
倒格子的晶格常数为
4
所以:
a
X
:
0,
2
a
, 0
(0,0,0)
L
:
2
a
,
2
a
,
2
a
K
:
2
a
,
2
a
,
0
y
: 111
x
: 110
: 100
X是 01方0向,记作
简并态如何分裂,一维情况,布里渊区区心和边界都
是二重简并的,6.2节的计算中已经使用了这个结果。
三维情况复杂的多,简并微扰需要按不同的 k,不同的能带分布进行。 下面是Si 的第一布里渊区和能带图
Energy (eV)
L
X U,K
Si 的能带图
Ge 的能带图
GaAs能带图
导带 价带
L
X U,K
k
kx 2n1 2
ky 2n2
2
在X轴上,ky=0
100
/a ky
M
Z
X kx
-/a
E(0) n1n2
kx 2n1 2 4n22
相应的波函数为
n1,
n2
(0)
n1
,
n2expi kx来自2n1 x 2n2 y
显然,当n1和n2的绝对值最小 时,相应的能量最低。
n1n2 00
证毕。
这表明,在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同的对称性。这样就 可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若干个等价的小区域,
只取其中一个就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f,f 为晶体点群 对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48。
原胞是晶体点阵的最小重复单位,因此点阵具有的点群对称性全部反映在 原胞中是能够理解的。
(r)
所以 n(r) 的波矢标记应该是:
1k
n(r)是本征函数之一,所以可以写成:
n 1k (r )
从而有:
n 1k (r ) nk (r )
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等,即有:
En ( 1k ) En (k )
由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作,所以有:
En (k ) En (k )
8 5 (双)
相应的波函数:
1,1 exp i kx 2 x 2 y
{ 1,1 exp i kx 2 x 2 y
E(0) 11
E(0) 11
kx 2 2 4
8 13 (双)
相应的波函数:
1,1 exp i kx 2 x 2y
{ 1,1
(r ) (r )
同时按照Bloch定理有:
nk
(r
Rn )
nk (r Rn
eik Rn
nk
(r )
)
eik Rn
nk
(r
)
因此,nk(r) 和n-k(r) 能量是相同的。
En (k ) En (k )
这个结论不依赖于晶体的点群对称性,不管晶体中是否
有对称中心,在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。
点:k 0,0,0
M点:k
a
,
a
,
0
100 点线:k k,0,0
110 点线:k k,k,0
X点:k a ,0,0
R点:k
a
,
a
,
a
Z点线:k a ,k,0
S点线:k a ,k,k
T点线:k
a
,
a
,k
111 点线:k k, k, k
R
S T X
Z M
三、自由电子的能带
自由电子的能量为
(第一布里渊区)
E(0) 00
k
2 x
0 kx 1
0 1 (单)
相应的波函数:
(0,0)
0,0 eikxx
第一近邻倒格点:
n1n2 10,01,01,10
10
E(0) 10
kx
22
4 1 (单)
波函数:
1,0 exp i kx 2 x
E(0) 01
E(0) 01
kx2 4
原因是明显的:在 6.2节已经指出,周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量 下降,而等能面的凸出正意味着达到同样的能量 E ,需要更大的 k 值,当能量 E 超过边界上A点的能量EA,一直到 E 接近于在顶角C点的能量EC (即达到第 一能带的顶点)时,等能面将不再是完整的闭合面,而成为分割在各个顶角附 近的曲面。
3rd BZ 4th BZ
2. En (k ) En (k ) 点群对称性
该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属点群的任一点对称 操作。证明如后:
设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数,本征值为 En(k)。

nk
(r )
En
(k )
nk
(r )
由于晶体在所属点群操作下保持不变,则点群操作作用于本征函数的结果,
45
波函数:
0,1 exp i kx x 2 y
{ 0,1
exp
i kx x
2 y
E(0) 10
kx
22
4 9 (单)
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