晶体能带的对称性

ky
的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的
Oh(m3m) 点群，只需研究 (1/48)b即可。减
少在确定、计算能带时所要做的工作是对称性
研究的意义之一。
P’
P
kx
P’’
对于一般位置 k ，简约区中对称相 关的波矢量数就等于点群的阶数。但若 k 在简约区中的某些特殊位置（对称点、 对称轴或对称面）上，即在晶体点群中， 存在某些对称操作，使得
为简单，取 k 的单位为
，
a
E(0) n
k
k
2n2
En(0)(k)的单位为
2 2
2m a
0k 1
第一能带：n=1，n’=0
E(0) 1
k
k
2
0 1
相应波函数：
(0) 1,k
x
eikx
第二能带：n=2，n’=－1
E(0) 2
k
k
22
4 1
相应波函数：
(0) 2,k
x
eik2x
E(0) k 2k2
2m
这里，k’为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可
以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得
k k Gn
k为简约波矢。
2
E(0) n
k
E(0) n
k Gn
E(0) n
k
2m k Gn 2
1. 一维情况
Gn '
n'
2
a
E(0) n
k
2
2m
k
2
a
n
2
k为简约波矢
二、 En(k)图示
以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以，对于一般位 置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称
相关。在这些点，电子都有相同的能量 En(k)。 因此，我们只需研究清楚简约区中 1/8 空间中
电子的能量状态，就可以知道整个 k 空间中
的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区
E const
1
4
3
m 2k
4 k 2
2m
3 2
2 2 3
1
E2
考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表
现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运 动的影响很小。
下面以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区内电子的等能面，从原
点出发，等能面基本保持为球面，在接近布里渊区边界时，等能面开始向 边界突出。
3. En (k ) En (k )
反演对称性
在晶体中电子运动的哈密顿算符
2
H 2 U r
2m
是实算符，H*＝H。
如果 nk(r) 是方程的解，那么 *nk(r) 也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有
Hˆ Hˆ
nk
nk
(r ) (r )
En En
(k )
(k )
nk
nk
n (r ) nk (r )
应为具有同样本征值的另一本征函数。
nk
(r
Rn
)
eik Rn
nk
(r)
又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：
A B (A B) AB 1A B 1AB AB
因此有：
n
(r
Rn
)
nk
[
(r
Rn
)]
eik Rn
nk
(r)
ei
1k Rn
nk
同样可以给出：
，能带
E1 k
近邻：
2
a
,
2
a
,
2
a
2
a
,
0,
2
a
E2
3
1 2m
2
a
2
E2X
2
1 2m
2
a
2
E2 k 是四重简并的。见黄昆书图4-15
以此类推，可以给出前页图。详见黄昆书 p178~184 在计入周期势场的微扰作用后，上述高对称点或轴的
简并性将部分地消除，通常用群论方法来确定某些高
2
a
,
0
E1X
2 2
2m a
2
1 2
2m a
2
面心立方晶体的第一布里渊区: 如果 fcc 的晶格常数为 a，则其
z
倒格子的晶格常数为
4
所以：
a
X
:
0,
2
a
, 0
(0,0,0)
L
:
2
a
,
2
a
,
2
a
K
:
2
a
,
2
a
,
0
y
: 111
x
: 110
: 100
X是 01方0向，记作
简并态如何分裂，一维情况，布里渊区区心和边界都
是二重简并的，6.2节的计算中已经使用了这个结果。
三维情况复杂的多，简并微扰需要按不同的 k，不同的能带分布进行。 下面是Si 的第一布里渊区和能带图
Energy (eV)
L
X U,K
Si 的能带图
Ge 的能带图
GaAs能带图
导带 价带
L
X U,K
k
kx 2n1 2
ky 2n2
2
在X轴上，ky=0
100
/a ky
M
Z
X kx
-/a
E(0) n1n2
kx 2n1 2 4n22
相应的波函数为
n1,
n2
(0)
n1
,
n2expi kx来自2n1 x 2n2 y
显然，当n1和n2的绝对值最小 时，相应的能量最低。
n1n2 00
证毕。
这表明，在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同的对称性。这样就 可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若干个等价的小区域，
只取其中一个就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体点群 对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48。
原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群对称性全部反映在 原胞中是能够理解的。
(r)
所以 n(r) 的波矢标记应该是：
1k
n(r)是本征函数之一，所以可以写成：
n 1k (r )
从而有：
n 1k (r ) nk (r )
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等，即有：
En ( 1k ) En (k )
由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有：
En (k ) En (k )
8 5 （双）
相应的波函数：
1,1 exp i kx 2 x 2 y
{ 1,1 exp i kx 2 x 2 y
E(0) 11
E(0) 11
kx 2 2 4
8 13 （双）
相应的波函数：
1,1 exp i kx 2 x 2y
{ 1,1
(r ) (r )
同时按照Bloch定理有：
nk
(r
Rn )
nk (r Rn
eik Rn
nk
(r )
)
eik Rn
nk
(r
)
因此，nk(r) 和n-k(r) 能量是相同的。
En (k ) En (k )
这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否
有对称中心，在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。
点：k 0,0,0
M点：k
a
,
a
,
0
100 点线：k k,0,0
110 点线：k k,k,0
X点：k a ,0,0
R点：k
a
,
a
,
a
Z点线：k a ,k,0
S点线：k a ,k,k
T点线：k
a
,
a
,k
111 点线：k k, k, k
R
S T X
Z M
三、自由电子的能带
自由电子的能量为
（第一布里渊区）
E(0) 00
k
2 x
0 kx 1
0 1 （单）
相应的波函数：
(0,0)
0,0 eikxx
第一近邻倒格点：
n1n2 10,01,01,10
10
E(0) 10
kx
22
4 1 （单）
波函数：
1,0 exp i kx 2 x
E(0) 01
E(0) 01
kx2 4
原因是明显的：在 6.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量 下降，而等能面的凸出正意味着达到同样的能量 E ，需要更大的 k 值，当能量 E 超过边界上A点的能量EA，一直到 E 接近于在顶角C点的能量EC （即达到第 一能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附 近的曲面。
3rd BZ 4th BZ
2. En (k ) En (k ) 点群对称性
该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属点群的任一点对称 操作。证明如后：
设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En(k)。
Hˆ
nk
(r )
En
(k )
nk
(r )
由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作作用于本征函数的结果，
45
波函数：
0,1 exp i kx x 2 y
{ 0,1
exp
i kx x
2 y
E(0) 10
kx
22
4 9 （单）