晶体的对称性

x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23

a31
a32
a33

（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
如果晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合，则称 该轴为n度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转 动讨论如下。
由于晶格的对称操作并不涉及到
单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)
三斜晶系：没有特征对称元素
设经过某个操作，把晶体中任一点x变为x´ ，该操作可以表 示为线性变换：
x3
x´j=∑ ajixi，（i，j=1，2，3）
式中
x=ix1+jx2+kx3
x´= ix1´+jx2´+kx3
若采用矩阵表示：
x´=Ax
其中
x’=
xx12''源自 x3'

x=
xx12

x3
x2 (sin
cos cos cos
sin )
x2 sin x2tg cos x2 sin x3 cos
则正交变换
xx12''


1 0

x3'

0
0
c os s in

0 sin



x1 x2

n = 1，|cosθ|=1/2， θ= π /3，2π/3，4 π /3，5 π /3；
n = 0， |cosθ|=0， θ= π /2，3π/2
因为顺时（或逆时）针转动4 π /3， 3π/2 ，5 π /3分别等价于 逆时（或顺时）针转动2 π /3， π/2 ， π /3，所以晶格转动的 独立转角为： 2π ，π ， 2π/3， π /2 ， π /3 ；
度次上加“-”来表示旋转-反演轴。即1, 2, 3, 4, 6 。
1i 1
2
2m
1
1
2
3 3i
3
5
1 4
6 2
6=3+m
3 3
5 5
1
1
6
2' 2
6 4
4
4
3 1 3
1
2
4
2 4
A B
D C
H G
E
F
D
C
A
B
G
F
H
E
正四面体既无四度轴也无对称心，4 是基本的对称操作。
总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即
1，2，3，4，6，i，m， 4 。
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一 个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。 对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋 转--反演点对称操作构成的群，全部对称要素相交于一点(晶体 中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，称之为点群。
x3
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
x1’= x1
x1
x2’=
c
x2
os
cos(
)

x2 (cos
cos sin cos
sin )
x2 cos x2tg sin x2 cos x3 sin
x3’=
x2
cos
sin(
)

cos x3
正交矩阵A为
1 0
0
A 0 cos sin
0 sin cos
A 1
（c）中心反演
取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3) 变 为另一点（ -x1,-x2,-x3)，则变换关系如下
x1’= -x1， x2’=- x2， x3’ =- x3
（x1,x2,x3) 变为另一点（ x1,x2,x3)，即以x3=0面作为镜面。 则变换关系如下：
x1’= x1， x2’=x2， x3’ =- x3
x1
则正交变换

x1'
x
' 2


x3'

正交矩阵A为
1 0 0 1
0 0

x1

x2

0 0 1 x3
晶体的对称性
重点： 1）基本的对称操作； 2）宏观对称类型； 3）微观对称类型；
1.对称的概念 对称就是物体相同部分有规律的重复。此外，对称的图形还
必须符合另一个条件，那就是这些相同的部分，通过一定的对称 操作(如旋转、反映、镜面)可以发生重复；换句话说也就是相同的 部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形象。
则正交变换
xx12''

1 0

x3'

0
0 1 0
0 0 1
xx12

x3

正交矩阵A为
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
A 1
（d）镜像
x3
镜像对称操作是将图形的任一点
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对 称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理 性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。
如果考虑平移，多出以下两类微观对称操作类型： n度 螺旋轴和滑移反映面。
根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分 成7个晶系：
综合上述证明得： θ 2π ,n 1,2,3,4,6 n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
晶体中不存在5度或6度以上的转轴。 上述结果也可以直观的理解为：长方 形、正三边形、正方形、正六边形可 以在平面内周期性的重复排列，而不 留空隙，但正五边形却不能相互紧密 排列做重复排列而不留空隙，因此晶 体中不存在5度的转轴。
对称操作是指凭借对称要素能够使对称物体中的各个相同部分， 作有规律重复的变换动作。而对称要素则是指在进行对称操作时 所凭借的几何要素——点、线、面等。 2.晶体对称性的判定
由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映 在晶体的宏观形态上，晶体表现出对称性。
对于外表具有很多晶面的晶体，往往不能直接判别它的对 称特征，必须经过测角和投影以后，才可对它的对称规律进行 分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型 的宏观对称类型。由于在宏观对称类型，全部对称要素相交于 一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此 称之为点群。
所以 x AAx xx
AA I
其中I是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵。 如令 A 代表矩阵A的行列式，则得到
A A 1
又
A A
所以 A 2 1
A 1
（b）转动
将某一图形绕x1转过θ角，该图形 中任一点（x1,x2,x3)变为另一点 （x1’,x2’,x3’)，则变换关系如下：
该点群中的对称操作中不包括平移。而若对称操作中包括平移， 共构成了230中微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以 下基本对称操作的组合。
3.基本的对称操作 1）简单对称操作的变换关系 （a）线性变换：
和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保 持不变，在数学上表示，这些操作就是熟知的线性交换。注意： 在讨论晶体问题时，一般应采用斜坐标系，但为方便起见，这里 采用直角坐标系，并不会影响结论的正确性。
晶体恢复到未转动时的状态，但此时B处格点转到B1点，则B1
处必为一格点。可以知道AB//A1B1，平行晶列具有相同的周期，
则 A1B1 na 2a | cos | A1
B1
| cos | n / 2 1
其中n为正整数或零 n = 2，|cosθ|=1， θ= π ，2π； A
θ
θ
O
B
B
晶格的平移，在操作时应至少保
A
持一点不同，所以采用双转轴来 推导晶体的旋转对称轴，存在一 定的局限性，应采用单转轴推导

B1
A

B
A1
方法。
如图A、O、B 是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果
绕过O 点垂直于晶列的转轴顺时针转θ角，A转到A1，晶体自身
重合，则A1点必为一格点。再绕过O 点的转轴逆时针转θ角，