晶体结构的对称性解读
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体结构的对称性
滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 5 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 4 a 3 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 a 2 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 1' 1 b 反映后又平移a/2+b/2
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
1.2 晶体结构的对称性
1.2.1 晶体的对称元素和对称操作
晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作。
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴。
1-3 晶体对称性
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
4、晶体的对称性
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
晶体的对称性
点群的Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反映轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换： ⎛ x ' ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x ⎞
数学上可以写作：
⎜ ⎜⎜⎝
y z
' '
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
a21 a31
a22 a32
a23 a33
⎟⎟⎟⎠i⎜⎜⎜⎝
y z
⎟ ⎟⎟⎠
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis)
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对 称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实 空间的投影
黄昆书 47-48 陈长乐书 20-22
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数
边长有两种取值：1， 1+ 5 = 1.618
2
二十面体AlPdMn表面的STM图像
D2、C2V、D2h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C6、C3h、C6h、 D6、C6V、D3h、
D6h T、Th、Td
O、Oh
P、C P、C、I、
F R P、I
H
晶体的结构及其对称性
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
晶体学中的晶体对称性与晶体结构研究
晶体学中的晶体对称性与晶体结构研究简介晶体学是自然科学中一门研究晶体结构和性质的学科。
晶体的对称性和结构是晶体学的重要内容。
晶体学的研究不仅有基础研究价值，还有着广泛的应用价值。
本文将从晶体对称性角度出发，探讨晶体结构研究的方法和应用。
晶体对称性晶体对称性是指晶体内部各部分具有相同的排列规律和几何形状。
在晶体学中，对称性是衡量晶体完美度的重要指标之一。
晶体对称性有两种：点对称性和空间对称性。
点对称性是指在晶体中存在一个点，经过该点进行旋转、镜像后，晶体的内部结构与原来完全相同。
空间对称性是指晶体在三维空间中存在对称操作，包括：旋转、镜像和反演。
常见的点对称性包括：• 二重轴对称性：具有一个旋转轴，使得晶体绕该轴旋转180°之后，晶体内部结构不变。
• 旋转对称性：具有一个旋转轴，使得晶体绕该轴旋转360/n，n为正整数，晶体内部结构不变。
• 镜像对称性：具有一个镜面，可以将晶体分为两个相等的部分，其中一部分镜像另一部分。
• 反演对称性：把晶体的每个点关于一个特定点反转，即点P 关于点O反演以后的点P'在O点所连的向量上，并且OP'=OP。
常见的空间对称性包括：• 立方晶系：八面体对称性，有三个互相垂直的二重对称轴和四个三重对称轴。
• 正六角柱晶系：具有六重对称轴和三个对面对称面。
• 单斜晶系：具有垂直于晶面的二重对称轴和平行于晶面的镜面对称性。
• 菱面体晶系：具有正四面体对称性和八面体对称性。
晶体结构研究晶体结构研究是晶体学的重要组成部分，其目的是通过测定晶体结构，揭示其性质和物理、化学等科学规律，从而为新材料开发和新制备方法提供依据。
测定晶体结构需要使用X射线衍射和电子衍射等技术。
现代技术使得晶体结构的测定更加快速、精确。
应用晶体学的应用范围很广，包括：• 材料科学：晶体学为材料科学领域提供了重要手段，例如材料的研究、优化和制备。
• 生物科技：晶体学技术为生物分子结构研究提供了关键信息，如解决蛋白质三维结构、探寻酶催化机理等。
晶体的对称性
一个具有２１的图形
21所对应的对称操作群为：
L(π )T (t ),[ L(π )T (t )]2 = T (2t ),[ L(π )T (t )]3 = L(π )T (3t ) ⋅ ⋅ ⋅
τ = a = 2t 是基本向量。对称操作有无穷多个。 螺旋轴中的一些对称操作包括在平移群Ｔ内。
续表：
特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
对称 晶 性的 高低 系 四 方
4
a=b≠c α = β = γ = 90 o
D2d
c4 v
4 mm
42m 422 mmm
4 ,4 m
4 ,2 2 ,2 m
4 , 4 2 ,5 m , i
3 + i = 3, 3 + mh = 6
4
２．晶体的宏观对称元素的组合与３２个晶 体学点群
由上述的 8种独立的宏观对称元素按一定的规则 （即对称元素至少要通过一个公共点；组合时不能 出现 5次轴及大于6的对称轴）进行组合，总共有32 种组合形式，称为32个晶体学点群。晶体的宏观外 形不论形状如何，必属于这32个晶体学点群中的某 一个。
描述分子对称性与晶体宏观对称性所常用的对称 元素及相应的对称操作对照表
分子对称性 对称元素 符号 对称轴 Cn 对称面 对称操作 符号 晶体宏观对称性 对称元素 符号 旋转轴 n 反映面 或镜面 对称操作 符号 旋转 反映 倒反
ˆ 旋转 C
n
L(α )
M I
σ
反映 反演
ˆ σ
ˆ i
n
m
对称中心 i 象转轴
７．２ 晶体的对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称系之 分。前者是指晶体的外形对称性，后者指晶体微 观结构对称性。
晶体结构的两个基本特征
晶体结构的两个基本特征晶体结构是晶体学研究的核心内容之一，它描述了晶体内部原子或离子的排列方式。
晶体结构具有两个基本特征，即周期性和对称性。
周期性是指晶体结构中的原子或离子按照一定的规律周期性地排列。
这种周期性可以沿着晶体的任意方向进行延伸，形成无限大的晶体网络。
晶体的周期性排列使得晶体具有许多独特的物理和化学性质。
例如，晶体的周期性结构导致其在X射线或电子束的照射下会产生衍射现象，从而可以通过衍射图案来确定晶体的结构。
对称性是指晶体结构中存在一些对称元素，如旋转轴、镜面和平移等。
这些对称元素使得晶体在空间中具有特定的对称性。
晶体的对称性不仅是晶体结构中的重要特征，也是晶体学研究的重要内容。
通过研究晶体的对称性，可以揭示晶体内部的结构信息，并且可以预测晶体的物理和化学性质。
晶体结构的周期性和对称性是由晶体中的原子或离子的排列方式决定的。
晶体中的原子或离子按照规则的方式排列成各种不同的结构类型，如立方晶系、四方晶系、正交晶系、三斜晶系等。
不同的晶体结构类型具有不同的周期性和对称性特征。
以立方晶系为例，它是最简单的晶体结构类型之一。
在立方晶系中，原子或离子沿着三个互相垂直的方向周期性地排列。
由于立方晶系具有最高的对称性，因此在立方晶系中的晶体结构是最简洁、最规则的。
在立方晶系中，晶体可以分为面心立方晶体、体心立方晶体和简单立方晶体三种类型。
这些不同类型的晶体结构具有不同的周期性和对称性特征，从而导致了它们在物理和化学性质上的差异。
另一个基本特征是晶体结构的对称性。
晶体的对称性是由晶体结构中存在的对称元素决定的。
对称元素包括旋转轴、镜面和平移等。
旋转轴是晶体结构中存在的一种对称元素，它表示围绕一个轴旋转一定角度后，晶体的结构不发生变化。
镜面是晶体结构中存在的另一种对称元素，它表示晶体结构在镜面两侧是对称的。
平移是晶体结构中存在的第三种对称元素，它表示晶体结构在一定的方向上平移一定的距离后，晶体的结构不发生变化。
晶体结构和对称性
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
2 晶体的共性
(1) 晶体的均匀性与各向异性
均匀性：晶体的一些与方向无关的量（如密度、化学 组成等）在各个方向上是相同的；
各向异性：晶体的一些与方向有关的量（如电导、热 导等）在各个方向上并不相同.例如, 云母的传热速率, 石 墨的导电性能等
非晶体的各种性质均具有均匀性, 但与晶体的均匀性的 起源并不相同, 前者是等同晶胞在空间按同一方式重复排列 的结果, 而后者则是质点的杂乱无章排列所致.
平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原 的操作。
(3) 常见点阵形式
A 直线点阵 以直线连接各个阵点形成的点阵。
一维周期排列的结构及其点阵
直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量（基本向量）。 相邻两阵点的矢量a, a是这直线点阵的单位矢量, 长度称 为点阵参数, 因是平移时阵点复原的最小距离, 故a 为平移 素向量.
晶体结构和对称性
第三章：晶体结构和对称性
基本要求：
1、理解晶体结构的周期性和点阵; 2、掌握晶体结构的宏观对称性和微观对称 性，理解它们的区别和联系; 3、了解空间群的推导及表达。
§2.1 晶体结构的周期性和点阵
岩石(CaCO3)
水晶（SiO2）
黄铁矿 (FeS2)
钻石（C）
绿宝石 (Be3Al2(SiO3)6)
按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个晶体学点群（晶体的对称性只有32种， 尽管自然界中晶体的外形多样）。
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
晶体的对称性讲解
7个晶系和32种晶体学点群的划分
对称 晶 特征对
点
群
性的 高低 系
称元素
晶胞类型
序 熊夫里 号 斯记号 国际记号
对称元素
三
斜
无
单 2 或m
斜
abc
1 c1
1
90 2 ci
abc
3 c2
c 4
s
1
i
2
2
mm
c 90 5
2h
2/m
2, m,i
低 正 两个互相垂 直的m或三
交 个互相垂的
晶体点群的记号
晶系
立方 Cubic 六方 hexagonal 四方 tetragonal 三方 rhombohetron 正交 orthorhombic 单斜 monoclinic 三斜 anorthic
1
a c c a＋b＋c a b
2
a＋b＋c a a a－b b ――
3
a＋b 2a＋b a＋b ―― c ――
晶体的32种对称类型32种点群符号符号的意义对称类型数目cnn度旋转对称轴c1c2c3c4c65ci对称心icis21cs对称面mcs1cnhn度轴与轴垂直的水平对称面c2hc3hc4hc6h4cnvn度轴通过该轴的铅垂对称面c2vc3vc4vc6v4dnn度轴n个与之垂直的2度轴d2d3d4d64符号符号的意义对称类型数目dnhdn与轴垂直的水平对称面d2hd3hd4hd6h4dnddn平分两个2度轴间夹角的对称面d2dd4d2sn经n度旋转后经垂直该轴的平面的镜像c3is6c4is42t4个3度轴3个2度轴t1thh与前面相同th1tdd与前面相同td1符号符号的意义对称类型数目o3个相互垂直的4度轴6个2度轴4个3度轴o1ohh与前面相同oh1总共32如果考虑平移还有两种情况即螺旋轴和滑移反映面