函数对称性求最值重点
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
函数极值求解题技巧
函数极值求解题技巧在数学中，求解函数的极值是一个经常遇到的问题。
极值是指在一定区间内，函数取得最大值或最小值的点。
解决函数极值问题的方法有很多，下面介绍一些常用的技巧。
1.求导法求导法是求解函数极值的基本方法之一。
主要步骤如下：（1）对给定的函数，将其关于变量求导，得到导数函数。
（2）将导数函数置为0，求解方程。
（3）解得方程的解即为函数的极值点。
（4）通过二阶导数来判断极值的类型：若二阶导数大于0，则该点是极小值点；若二阶导数小于0，则该点是极大值点；若二阶导数等于0，则需要进一步分析。
2.边界值法边界值法适用于区间上包含有限个点的情况。
主要步骤如下：（1）在区间的边界处计算函数值。
（2）比较边界处的函数值，找出最大值或最小值。
（3）这些最大值或最小值都可能是函数的极值。
3.对称性法对称性法适用于具有一定的对称性质的函数。
主要步骤如下：（1）根据函数的对称性特点，找出函数取极值的位置。
（2）通过计算函数在取极值位置的导数，判断极值的类型。
4.二分法二分法适用于函数在一个区间上单调递增或单调递减的情况。
主要步骤如下：（1）找出一个区间，使得函数在该区间上单调递增或单调递减。
（2）取区间的中点，计算中点的函数值。
（3）根据函数值的大小关系，确定下一次迭代的区间。
（4）重复以上步骤，直到找到函数的极值。
5.最大值和最小值的性质对于连续函数，最大值和最小值都会在闭区间内取得。
所以可以先计算出闭区间的边界值，再计算函数在闭区间内的驻点，最终比较这些值找出极值。
6.二次函数的极值对于二次函数，其形式为y=ax^2+bx+c。
当a>0时，函数开口向上，最小值在顶点处取得；当a<0时，函数开口向下，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为-b/2a，代入函数求得最大值或最小值。
除了以上提到的方法，求解函数极值还可以利用拉格朗日乘数法、柯西不等式等高级方法。
不同的函数具有不同的特点，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
函数的对称性重点
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
函数的对称问题讲解
函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。
函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。
函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。
二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。
三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。
例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。
因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。
五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。
例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。
因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。
六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。
例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。
因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。
函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1
−
偶函数：①函数() = ±( + )．
②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
函数的对称问题重点
函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。
高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用
重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
浅析对称性在求函数最值中的运用
浅析对称性在求函数最值中的运用孝感市第一高级中学 陈雄飞在数学的学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题．最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法——对称性来解决．本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉．一、距离之和的最小值问题问题一、求函数()2216-48f x x x x =+++的最小值．解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策．但是我们注意到，函数的形式，与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得()2222(0)(04)(2)(02)f x x x =-+-+-+-．∴()f x 即为点P (),0x 与点A ()0,4的距离与点P (),0x 与点B ()2,2的距离之和．即：()f x =PA PB +作A ()0,4关于x 轴的对称点A '()0,4-．连结A B '与x 轴交于点P ，知当(),0x 为点P 时， ()min f x PA PB PA PB A B ''=+=+=220-2(-4-2)=40=210=+（）． 推广1（平面）： 例1．已知平面上两点A ()4,1和B ()3,3在直线:310l x y --=上找一点M ，使MA MB +最小，求点M 的坐标．解：如图，因为点A,B 在直线l 的同侧，作点B 关于直线l 的对称点C, AC 与l 的交点为M,则MA MB +取得最小值．设()00,C x y ，因为BC 被l 垂直平分，所以00003(3)310223133x y y x ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩ 从而可得直线AC 的方程为34160x y +-=与A A'B x y OP310x y --=联立解得4,33x y ==， ∴ M (43, 3)． 推广2（空间）：例2．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a, E 是AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM+ME 最小，最小值为________．解：如图，因为A, E 在平面BB 1D 1D 的同侧，在正方体中易知点A 关于平面BB 1D 1D 的对称点为C ，则连接EC 与平面BB 1D 1D 的交点为M 时，AM+ME 最小为EC ．222213()(2)22EC EA AC a a a =+=+=． 说明：对于在直线(或平面)上求一点，使该点到两定点距离之和为最小的问题，当两点在直线(或平面)的同侧，可作出其中一点关于直线(或平面)的对称点，再求对称点与另一点的距离．这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点即为所求的点．当两点在已知直线(或平面)的异侧，可直接连结这两点，则这两点间的距离即为所求最小值，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求的点．推广3：涉及到多个点的距离之和的最小值，根据两点间直线段最短公理，知点共线时距离之和最小．例3．二面角l αβ--的大小为60°，点P 到α的距离为2，到β的距离为3，,A B αβ∈∈，则PAB ∆的周长的最小值为_________．解：作P 关于α，β对称点P 1,P 2,连结P 1,P 2交平面α于A,交平面β于B ．C △PAB =PA+AB+BP=P 1A+AB+BP 2=P 1P 2最小．由二面角知识知∠P 1PP 2=180°-60°=120°,PP 2=2×3=6，PP 1=2×2=4．在12PPP ∆中由余弦定理有221221122cos120PP PP PP PP PP =+-⋅⋅°=76 ， ∴P 1P 2=219 , 则(C △PAB )min = P 1P 2=219．二、距离之差的最大值问题例１．求函数22()251f x x x x =-+-+的最大值． 解：变形整理得2222()(1)(02)(0)(01)f x x x =-+---+-∴()f x 即为点(,0)x 到点A (1,2)的距离与点(,0)x 到B(0,1)的距离之差．点(,0)x 为x 轴上的动点，连结AB 与x 轴交于点P,当点(,0)x 为点P 时，max ()f x =AB =2．说明：对于在直线(或平面)上求一点使该点到两定点距离之差最大的问题，如果两点在已知直线(或平面)的同侧，可直接连接这两点，两点间的距离为最大值，这两点所在直线与已知直线(或平面)的交点即为所求的点．如果两点在已知直线(或平面)的异侧，可作出其中一点关于直线(或平面)的对称点，再求对称点与另一点间的距离，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求点．思考题：1、正三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两成40°角，侧棱长为6，D,E 为PB,PC 上的点，则ABC ∆周长的最小值是________．2、直线2360x y +-=交,x y 轴于A,B 两点，试在直线y x =上求一点P ，使得PA PB -最大，并求最大值．参考答案：1、分析：此题涉及求立体几何图形上几点间的距离之和的最小值问题。
正、余弦函数的对称性、最值PPT课件
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研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2（二）
跟踪训练 1 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最 大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，
其值从1减小到－1。
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(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x
2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
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y
1
3 5
2
P'
2 3
2
2
O
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
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正弦、余弦函数的性质 对称性和最值
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河南省2024年数学中考热点备考重难专题：二次函数图象与性质综合题对称性、增减性、最值问题(课件)
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②t<－ 1 或t>3 .
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2
方法总结
求抛物线上点的纵坐标最值或取值范围的一般步骤：
第一步 画草图，求出对称轴（直线x=t）； 第二步 结合草图，判断两端点x1，x2（取值范围为x1≤x≤x2）与对称轴（直线x=t）
的位置：位于对称轴的同侧，还是异侧.若位于同侧，则只根据增减性确定 确定最值的位置（即两端点处）；若为异侧，则顶点处为其中的一个最值 点，另一个最值，根据离对称轴的距离确定（或根据对称性转移到同侧， 根据增减性确定）； 第三步 取最值处的x值代入函数解析式，确定最值或取值范围.
当x1=t时， y1取最小值
(2)①∵y＝(x－t)2－t， ∴抛物线的对称轴为直线x＝t. ∵1>0，∴抛物线开口向上． ∵t－1≤x1≤t＋2，∴当x＝t时，y1的最小值为－t. ∵y1的最小值是－2，∴t＝2. ∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2， ∴当x＝t＋2时，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2， 即y1的最大值为2；
两端点在对称轴同侧 x1≤x≤x2
两端点在对称轴异侧 x1≤x≤x2
a＜0
y1＞y2
yt最大，y2最小
最大值：离对称轴越近端 最大值：顶点纵坐标
点纵坐标
最小值：离对称轴越远
最小值：离对称轴越远端 端点纵坐标
点纵坐标
利用对称性将 将两点转化到 同侧，根据增 减性比较大小
课堂练兵
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c(a＜0)与x轴交于A(1，0)，
x2 x2
x1＞0 x1 2t＞0
或
x2 x2
x1＜0 x1 2t＜0
(t>Ⅰt＋)当2，xx22∴t＜xx11＞－102①t＞.由0②②知时，，x2＋由x①1>知2t，，x∵2>t－x1，1≤∵x1≤t－t＋12≤，x1≤xt2＋＝21，－xt，2＝∴1－0≤tx，2＋∴x11≤－3，
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
二元函数极限求解中的对称性技巧
二元函数极限求解中的对称性技巧在解决二元函数的极限问题时，对称性技巧是一种常用的方法。
通过利用对称性，我们可以简化计算过程，使得求解过程更加高效。
本文将介绍二元函数极限求解中常用的对称性技巧，并以具体例子进行说明。
一、对称性技巧的基本原理对称性技巧是指通过利用函数的对称性来简化求解过程。
在二元函数中，常见的对称性包括轴对称性和中心对称性。
1. 轴对称性：如果对于函数中的任意点(x,y)，点(-x,-y)也在函数图像上，则函数具有轴对称性。
具体来说，如果函数f(x,y)=f(-x,-y)，则函数具有轴对称性。
2. 中心对称性：如果对于函数中的任意点(x,y)，点(-x,-y)也在函数图像上，则函数具有中心对称性。
具体来说，如果函数f(x,y)=f(-x,-y)，则函数具有中心对称性。
利用对称性技巧求解二元函数的极限问题，可以将复杂的计算简化为更简单的计算。
二、利用对称性技巧计算二元函数极限下面通过两个具体例子，分别展示如何利用对称性技巧计算二元函数的极限。
例子1：计算函数f(x,y)=(x^3-y^3)/(x^2-y^2)的极限，当(x,y)趋向于(0,0)时。
解析：观察函数表达式，我们可以发现函数具有轴对称性。
即当(x,y)趋向于(0,0)时，函数值在(x,y)趋向于(0,0)和(x,-y)趋向于(0,0)时是相等的。
因此，我们可以通过先求解(x,y)趋向于(0,0)的极限，再求解(x,-y)趋向于(0,0)的极限，最后将两个结果取平均值，即可得到函数在(x,y)趋向于(0,0)时的极限。
首先，考虑(x,y)趋向于(0,0)时，函数值的极限。
将函数表达式进行因式分解，得到f(x,y)=(x-y)(x^2+xy+y^2)/(x-y)(x+y)。
由于函数在(x,y)趋向于(0,0)时，分母(x-y)和(x+y)都趋向于0，因此我们可以简化函数表达式为f(x,y)=x^2+xy+y^2。
接下来，我们分别考虑(x,y)趋向于(0,0)和(x,-y)趋向于(0,0)时，函数值的极限。
函数的极值与函数的对称性
函数的极值与函数的对称性的关系一、极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式：1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .三、问题初现，形神合聚★函数xae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <.证明：421>+x x .所以)2()2(x h x h -<+，所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21<x ，242<-x ，)(x h 在)2,(-∞上单调递减 所以214x x ->，即421>+x x .★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(21)(2≠+=a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.四、招式演练★过点作曲线的切线．（1）求切线的方程；（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．因为，不妨设，．设，则，当时，，在单调递增，所以，所以当时，．因为，所以，从而，因为，在单调递减，所以，即．极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔）左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论； 接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f .【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x∈=-. (1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点.证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x =+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。
高三函数对称性知识点归纳
高三函数对称性知识点归纳函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图像的观察，可以揭示函数的性质和规律。
在高三数学学习中，函数对称性是一个基础而又重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、函数关于y轴对称当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。
2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。
例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = -sin(x) = f(x)。
函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。
2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。
三、函数关于原点对称当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。
例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。
函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。
中考复习：中考压轴 类型一 二次函数对称性、增减性问题
中考压轴类型一二次函数对称性、增减性问题考向一对称轴确定求最值或取值范围阶段一：方法突破1.已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,m)和(4,m)两点,求y 的最大值。
2.已知二次函数y=x2-4x+c, 当-1<x≤3时，求该二次函数的函数值y 的取值范围(用含c的代数式表示)。
3、若点P(m,n)和Q(5,b)为二次函数y=ax2- 4ax+c(a<0)图象上的两点,且n>b,求m的取值范围。
4、已知二次函数y=-x2-4x+5.,当m≤x≤m+3时,求y的最小值(用含m的代数式表示)5≤y≤1，求m的值5、已知二次函数y=x2+x-1，当m≤x≤m+2,-46.已知二次函数y=ax2-2ax+a-2(a>0)，当1≤x≤t+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2,求a的取值范围。
阶段二：设问提升1.（1）在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y1=ax2-4ax+c(a≠0)，点P(3，-1)求抛物线的对称轴及C的值(用含有a的式子表示)；(2)若点Q的坐标为(0,-4)，抛物线的顶点在直线PQ上，设直线PQ的解析式为y2=kx+b(k≠0),当y1>y2时.求x的取值范围;(3)若a<0,当m≤x≤m+2时,求y1的最大值(用含a,m的代数式表示);(4)若点G(-3,-4)为抛物线上一点,求抛物线y1顶点H的坐标并求出在线段PC上方抛物线上的点到对称轴的距离d随x的增大而减小的x的取值范围。
阶段三：综合强化1.已知抛物线y=x2-(k+1)x+k2-2与直线y'=x+3k-2的一个交点A在y轴正半轴上(1)求抛物线的解析式；(2)当m≤x≤m+1时，求y的最小值(用含m的式子表示);(3)若B(3n-4,y1) ,C(5n+6,y2)为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1>y2,求n的取值范围2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式为y=ax2+2ax+a -2(a≠0).(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)当- 2≤x≤2时,y 的最小值是-4a ,求a的值;(3)在(2)的条件下，当p≤x≤q时,p≤y≤q,且p+q≥-2,求p,q的值考向二对称轴不确定求最值或取值范围阶段一：方法突破1.已知二次函数y=-x 2-mx+m-3,求该二次函数的最大值(用含m的式子表示)。
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法二次函数是一种具有形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数图像呈现出抛物线的形状，我们可以利用二次函数的性质来求解其最值。
首先，我们可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式。
标准形式表示为f(x)=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
顶点形式表示为f(x)=a(x-p)(x-q)，其中p和q为抛物线的两个x坐标。
通过观察函数的系数a的正负可以大致判断函数的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
以标准形式为例，下面介绍二次函数求最值的方法：方法一：利用抛物线的对称性由于抛物线具有轴对称性，即抛物线关于顶点对称。
如果我们求出了抛物线的顶点坐标，那么最值对应的x值就是顶点的横坐标，最值的y值就是顶点的纵坐标。
求顶点坐标的方法如下：1. 将二次函数转化成顶点形式，并确定顶点的x坐标；2. 将顶点的x值代入二次函数中求出对应的y值。
例如，对于函数f(x)=2x²-4x+3，可以将其转化为顶点形式：f(x)=2(x-1)²+1。
因此，顶点的x坐标为1。
将x=1代入二次函数中，可以求得对应的y值：f(1)=2(1-1)²+3=3。
所以，对于函数f(x)=2x²-4x+3，其顶点坐标为(1,3)。
其中，最值的x值为1，对应的最值y值为3。
方法二：利用二次函数的对称轴二次函数的对称轴是过顶点的一条线，可以利用对称轴求最值。
对于标准形式的函数f(x)=a(x-h)²+k，它的对称轴的方程为x=h。
例如，对于函数f(x)=2x²-4x+3，可以直接观察到二次函数的对称轴方程为x=1。
我们可以代入对称轴的x值，计算得到对应的y值：f(1)=2(1)²-4(1)+3=1。
所以，对于函数f(x)=2x²-4x+3，其对称轴方程为x=1。
二次函数对称性、最值、取值范围
专题--------二次函数对称性、最值、取值范围1. （2013年海淀期末）已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和满足下表：(1) 可求得m 的值为 ； (2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为 .已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象经过点(2,0)A -、(0,0)O 、1(3,)B y -、2(3,)C y ）四点，则1y 与2y 的大小关系正确的是（ ） A ．12y y < B ．12y y >C ．12y y =D ．不能确定已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴是x ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当14x ≤≤时， y 的最小值；243y ax ax a =-+=14x ≤≤y【重要】当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．对于二次函数223y x mx =--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当1x ≤时y 随x 的增大而减小，则1m =； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1m =-；④如果当4x =时的函数值与2008x =时的函数值相等，则当2012x =时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）（2016海淀二模）27. 已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点． （1）1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动经过的两个位置，判断1n ，2n 大小，说明理由（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.8、（17年西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 (2m + 1)x + m 5的图象与x 轴有两个公共点. （1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是 6 ≤ y ≤ 4n ，求n 的值；（西城期末）阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =， ∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若p ≤x ≤2，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．----（海淀期末）抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n . ①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy 中，二次函数()2121y a x x =-++与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数()2121y a x x =-++的图象向右平移m 个单位， 向下平移21m +个单位，当21x -≤≤时，二次函数有最小值3-， 求实数m 的值.（2017•海淀区一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x＝4于B点．（1）抛物线的对称轴为x＝（用含m的代数式表示）；（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x p，y p），y p≤2，求m的取值范围．（2018•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y＝x2﹣4x+4和直线l：y＝kx﹣2k（k＞0）．（1）抛物线C的顶点D的坐标为；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数y＝的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2＝4成立，结合图象，求k的取值范围．。
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(2010崇一25.已知抛物线21
y ax bx
=++经过点A(1,3和点B(2,1.
(1求此抛物线解析式;
(2点C、D分别是x轴和y轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3过点B作x轴的垂线,垂足为E点.点P从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴
到达F点,再沿FE到达E点,若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE
倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求:简述确定F点位置的方法,但不要求证明
(2010顺二25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线2
y x bx c
=++经过A(2,0、B(4,
0两点,直线
1
2
2
y x
=+交y轴于点C,且过点(8,
D m.
(1求抛物线的解析式;
(2在x轴上找一点P,使C P D P
+的值最小,求出点P的坐标;
(3将抛物线2
y x bx c
=++左右平移,记平移后点A的对应点为'A,点B的对应点为' B,当四边形''
A B D C的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形
''
A B D C周长的最小值.
(2012东一25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =
++的图象与x 轴交于A (-1,0、B (3,0两点, 顶点为C .
(1 求此二次函数解析式;
(2 点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :y =+BD 于点E ,过
点B 作直线BK ∥A D 交直线l 于K 点.问:在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3 在(2的条件下,若M 、N 分别为直线A D 和直线l 上的两个动点,连结D
N 、N M 、
M K ,求D N N M M K ++和的最小值.
(2011平一25.已知:抛物线k k x k kx y ++++=222(32经过坐标原点.
(1求抛物线的解析式和顶点B 的坐标;
(2设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点,试在y 轴上确定一点P ,使PA +PB 最短,
并求出点P 的坐标;
(3过点A 作AC ∥BP 交y 轴于点C ,求到直线AP 、AC 、CP 距离相等的点的坐标.
(200925. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,A B C 三个机战的坐标分别为(6,0A -,
(6,0B ,(0,C ,延长AC 到点D,使CD=1
2A C ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长
线于点E.
(1求D 点的坐标;
(2作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ,若过B
点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出
发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。
(要求:简述确定G 点位置的方法,但不要求证明。