中考数学 图形的折叠问题复习

(1)用x表示△AMN的面积SΔAMN。
(2)ΔAMN沿MN折叠，设点A关于ΔAMN对称的点为A¹， ΔA¹MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
解（2）①∵△A¹MN≌△AMN，
∴当点A¹在四边形BCNM内或在BC边
② 当0 <x≤5 时, 取x=5 ，y最大= ¼ • 52=25∕4；
当 5 <x<10 时。y= - ¾（x - 20∕3)2+25∕3，
取
x=20∕3，y最大=25∕3；
∵ 25∕3 > 25∕4 ,∴ x=20∕3 时,y最大=25∕3 .
练习7 如图，把一张边长为a的正 A E
方问形B点的落纸在进A行D折的叠什，么使位B置点时落，在折A起D上的，M
D
↑y
解由题意知，OA=3，∠OAB=60º， A
∴OB=3tan60º=3√3 . ∵Rt△ACB≌Rt△ADB,
∴AD=AC=OB=3√3 .
O
过点D作Y轴垂线，垂足为E，
E
D
C
B →x
C
B →x
在直角三角形AED中，ED= ，AE= ，故OE= 。
故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。
练习8 如图，在直角三角形ABC中，
。
=½(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴当x=a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2.
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置 发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。
1、线段与线段的位置关系
例6 将长方形ABCD的纸片， A
FH D
沿EF折成如图所示，延长C`E 交AD于H，连结GH。求证：
F
D
沿EF折成如图所示；已知
EFG=55º，则FGE= 70º。
B
G
E
C
D' C'
练习4 如图，矩形ABCD沿
B
BE折叠，使点C落在AD边上
的F点处，如果ABF=60º，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则CBE等于（ A ）。
(A)15º (B)30º
A
(C )45º (D)60º
C E
FD
3、求图形的全等、相似和图形的周长
例4 如图，折叠矩形ABCD一边AD，A
面积最小，并求出这最小值。
B
解： 如图，设MN为折痕，折起部
分为梯形EGNM，B、E关于MN对
AE
称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设
AE=x，则BE= 。
MO
由Rt△MOB∽
，得：
，F
∴BM=
=
=
.B
D G N
C D G N C
作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x,从
而CN=BM-FM= = 。∴S梯形BCNM=
∵△ABC中BC边上的高h=5,∴h1:x=5:10,∴h1=½ x .
又h2=2h1-5=x-5,
S△A¹EF S△ABC
=
(
h2 5
)2,∴S△A¹EF=(
X-5 5
)2•25=(x-5)2
∴y=S△A¹MN-S△A¹EF=¼ x2-(x-5)2= - ¾ x2+10x – 25.
综上所述，当 0 <x≤5 时，y= ¼ x2； 当5 < x < 10 时，y = - ¾ x2+10 x - 25。
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
证明：（1）∵∠B=C=D=90º，
又根据题意RtADE≌RtAFE,
∴AFE=90º, ∴AFB=FEC ,
D E
FC
∴AFB∽FEC.
解（2）由tanEFC=3/4，设EC=3k，则FC=4k， 在RtEFC中，得EF=DE=5k。
∴DC=AB=8k, 又ABF∽FCE,
∴ AB = BF FC CE
即 8k = BF 4k 3k
∴ BF = 6k , ∴ AF = 10k
在RtAEF中, AF2+EF2 = AE2 ∴(10k)2 + (5k)2 = (55)2 , k2 = 1 , ∴ k = ± 1 , ∴ k = 1 (取正值),
∠C=90º，沿着B点的一条直线BE折 C E
叠这个三角形，使C点与AB边上的
一点D重合。当∠A满足什么条件时，
点D恰好是AB的中点？写出一个你 B
认为适当的条件，并利用此条件证明
DA
D为AB中点。
条件：∠A=30º
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，
在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º，∴ BC= ½ AB ，
∴矩形的周长为36k，即36cm。
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
D
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
C
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
C
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
A
B
答案：矩形的长为10，宽为8。
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x.
图形的折叠问题
（复习课）
几何研究的对象是：图形的形状、大小、 位置关系；
主要培养三方面的能力：思维分析能力、 空间想象能力和逻辑推理能力；
折叠型问题的特点是：折叠后的图形具有 轴对称图形的性质；
两方面的应用：一、在“大小”方面的应 用；二、在“位置”方面的应用。
一、在“大小”方面的应用
折叠型问题在“大小”方面的应用，通常有求 线段的长，角的度数，图形的周长与面积的变化关
B
G
E
C
EF与GH互相垂直平分。
D'
证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴
C'
。
又
，
∴四边形 是
，∴FE与GH互相垂直平分。
2、点的位置的确定
↑y
例7 已知：如图，矩形AOBC， A
以O为坐标原点，OB、OA分别
在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)， O
∠OAB=60º，以AB为轴对折后， 使C点落在D点处，求D点坐标。
A 解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可 知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，又因 AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在 RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解之得x=3 B
D
E FC
练习2 如图，在梯形ABCD中，
DCAB，将梯形对折，使点D、
D
C分别落在AB上的D¹、C¹处， E
上（如图1），即0<x≤5时，y=¼ x2。
A
图1 M N
B
A' C
当点A在四边形BCNM外，即5<x<10
图2 A
时，y=S△A¹MN-S△A¹EF（如图2）
M
N
B
设△A¹MN中MN边上的高为h1，△A¹EF中EF边
E
上的高为h2.∵EF∥MN,∴△A¹EF∽△A¹MN.
F A'
C
∵△A¹MN∽△ABC, ∴△A¹EF∽△ABC
∴ BD = ½ AB ，即点D为AB的中点。
2017年中考 取得成功
2
练习1 如图，有一块直角三角形
纸片，两直角边AC=6，BC=8， A
现将直角边AC沿直线AD折叠，
E
使它落在斜边AB上，且与AE重 合，则CD等于（ B ）
C
D
B
(A)2 (B)3 (C )4 (D)5
例2 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是 。
系等问题。
1、求线段与线段的大小关系
例1 如图，AD是ABC的中线，
ADC=45º，把ADC沿AD对
折，点C落在点C'的位置，求
BC'与BC之间的数量关系。
B
C' A
D
C
解 由轴对称可知 ADC ≌ ADC' , ADC'=ADC=45º, C'D=CD=BD BC´D为Rt BC’=2 BD= 2 BC
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在痕折AE痕的线长M为N（上，C 若）A。B=3，则折M G
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
A
D
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A