菱形、矩形、正方形

∠1=∠2=∠3=∠4
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定 （2） 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例2、谁正确？ 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一 天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人 都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线， 发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
A
D
B
C
∴ ∠A+∠B=1800 , ∠B+∠C=1800
两条对角线相等的平行四边形是矩形。
已知： 求证：
证明：∵在
ABCD中，AC=BD ABCD是矩形。
ABCD中，
A
D C
AB=DC,AC=BD,BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB 又∵AB∥DC ∴∠ABC+∠DCB=1800
3.对角线相等
4.对角线相等且互相平分 6.对角线互相垂直且平分
5.对角线互相垂直
例题解析：
例2、如图， ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O，AB= 5 ，AO=2，OB=1. D 2 O 1 C
（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A
解：（1）∵ AB= 5 ，AO=2，OB=1. 2 2 2 ∴ AB OA OB
证明：∵矩形ABCD ∴AC=BD, AO=CO=1/2AC BO=DO=1/2BD
Ｏ
Ｂ
ＦＧＣ来自∴ AO=CO= BO=DO 又∵ EO=GO=1/2EG FO=HO=1/2FH ∴EO=GO=FO=HO
∴四边形EFGH是矩形
变式：已知：矩形的对角线ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上， 且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH是矩形
A
C
B C
D
D
O A
B
4.已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积 为 96 ，边长为 10 ，周长为 40 。
5.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对 A 角线AC的长.
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60°
解：甲是正确的，因为有三个角是直角的四边形是矩形。
已不正确，因为对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等 腰梯形的对角线也相等。若要判断还要看四边形是否是平行 四边形。
例3：平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
证明：∵ △ABE是等边三角形 ∴AE=BE ∵平行四边形ABCD
C
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
变式：已知：AD∥BC，ME、NE、MF、NF分别 为角平分线。 P M 求证:(1)四边形ABCD为矩形 A
（2）猜想EF和MN间的关系.
分析：与上一题证明方 法相同． B E N F O
矩形
两组对边
分别平行
平行 四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
AB=BC ◇ABCD
四边形ABCD是菱形
实践出真知
通过折、剪、拼等方法 探索菱形的性质。
菱形的性质：
A
（1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的四条边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对称图形；也是中心对称图形；
你还有其它的判定方法吗？
矩形的判定
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形。
定理１：有三个角是直角的四边形是矩形。
已知：∠A=∠B=∠C=900 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=900 ∴AD∥BC, AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。
B
AB=AD
∴ ABCD是菱形。
A
D
C
菱形的判定
2.四条边相等的四边形是菱形吗？ 已知：四边形ABCD中， A AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形。
D
B
C
菱形判定方法2：四条边相等的四边形是菱形 符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
已知：在
ABCD 中,对角线AC⊥BD
B
∴∠ABC=∠DCB=900
∴ ABCD是矩形。
练习：下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
B
求证：
ABCD是菱形。
A
O
D
C
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD 又∵AC⊥BD ∴AB=AD ∴ ABCD是菱形。
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形。
菱形判定方法3: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
练习巩固
例1、选择： （一） （二） 1.一组邻边相等 的平行四边形是菱形。（ 1 的四边形是菱形。 2.四条边相等 （2 5 ） 6 ）
D E C
∴ AD=BC
又∵ E是CD的中点 ∴DE=EC ∴△ADE≌△BC ∴ ∠ D =∠C
A
B
∴ ∠ D =∠C =900 ∴平行四边形ABCD是矩形
∴ ∠ D =∠C
=1800
例4 、已知：矩形的对角线ABCD的对角线AC、BD相交 于点O，如E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. A Ｄ Ｅ Ｈ
解：结论仍成立
A
Ｅ
Ｏ
Ｈ
Ｄ
Ｂ
Ｆ
Ｇ
Ｃ
例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
A
D
G
F E H
证明：∵AB∥CD B ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
复习与回顾：
1.菱形的定义： 有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：
边 角 对角线 菱 形 邻角互补 对角线互相平分、 性 对边平行 对角相等 互相垂直且平分一 质 四边相等 组对角
菱形的判定
1.菱形判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 平行四边形 符号语言： ∵四边形ABCD是 平行四边形
【菱形的面积公式】
A B
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
O E
C
D
S菱形=BC. AE
为 什 么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对 角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD
=
1 2
AC×BD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， 又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
O
C
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段： AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
D
7 8
O
6 3 4
OA=OC
OB=OD
B
相等的角： ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
D C