菱形、矩形、正方形

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
∠1=∠2=∠3=∠4
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有: △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有:Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有: Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解:∵ ∴∠BAC=600 又∵ AB =B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC = 4cm ∴B O = 2 √ 3 ∴B D = 4√ 3 1 S AC BD= 8√ 3 2
∠BAD=1200
D O C
变式:已知菱形ABCD中,E是BC的中点,且 AE⊥BC,AB=4.
求:⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠, ∴AC⊥BD.
B
(2)∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析:
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证:四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: (1)利用定义判定 (2) 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; X
(8)一组对角互补的平行四边形是矩形;
(9)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; (10)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是 矩形;
例2、谁正确? 一位很有名望的木工师傅,招收了两名徒弟。一 天,师傅有事外出,两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门,完事之后,两人 都说对方的门不是矩形,而自已的是矩形。 甲的理由是:“我用角尺量我的门任意三个角, 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是:“我用直尺量这个门的两条对角线, 发现它们的长度相等,所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话,你能肯定谁的门一定是矩形。
A
D
B
C
∴ ∠A+∠B=1800 , ∠B+∠C=1800
两条对角线相等的平行四边形是矩形。
已知: 求证:
证明:∵在
ABCD中,AC=BD ABCD是矩形。
ABCD中,
A
D C
AB=DC,AC=BD,BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴∠ABC=∠DCB 又∵AB∥DC ∴∠ABC+∠DCB=1800
3.对角线相等
4.对角线相等且互相平分 6.对角线互相垂直且平分
5.对角线互相垂直
例题解析:
例2、如图, ABCD的两条对角线AC、BD 相交于点O,AB= 5 ,AO=2,OB=1. D 2 O 1 C
(1)AC,BD互相垂直吗?为什么?
(2)四边形ABCD是菱形吗?为什么?
A
解:(1)∵ AB= 5 ,AO=2,OB=1. 2 2 2 ∴ AB OA OB
证明:∵矩形ABCD ∴AC=BD, AO=CO=1/2AC BO=DO=1/2BD


FGC来自∴ AO=CO= BO=DO 又∵ EO=GO=1/2EG FO=HO=1/2FH ∴EO=GO=FO=HO
∴四边形EFGH是矩形
变式:已知:矩形的对角线ABCD的对角线AC、BD相 交于点O,点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上, 且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A
C
B C
D
D
O A
B
4.已知:菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, 且 AC=12,BD=16,则菱形ABCD的面积 为 96 ,边长为 10 ,周长为 40 。
5.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和对 A 角线AC的长.
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60°
解:甲是正确的,因为有三个角是直角的四边形是矩形。
已不正确,因为对角线相等的四边形不一定是矩形,比如等 腰梯形的对角线也相等。若要判断还要看四边形是否是平行 四边形。
例3:平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形,
求证:四边形ABCD是矩形。
证明:∵ △ABE是等边三角形 ∴AE=BE ∵平行四边形ABCD
C
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形.(有三个角是直角的四边形是矩形)
变式:已知:AD∥BC,ME、NE、MF、NF分别 为角平分线。 P M 求证:(1)四边形ABCD为矩形 A
(2)猜想EF和MN间的关系.
分析:与上一题证明方 法相同. B E N F O
矩形
两组对边
分别平行
平行 四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;
AB=BC ◇ABCD
四边形ABCD是菱形
实践出真知
通过折、剪、拼等方法 探索菱形的性质。
菱形的性质:
A
(1)菱形具有平行四边形的一切性质; (2)菱形的四条边都相等; (3)菱形的两条对角线互相垂直, 并且每一条对角线平分一组对角; (4)菱形是轴对称图形;也是中心对称图形;
你还有其它的判定方法吗?
矩形的判定
矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形。
定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。
已知:∠A=∠B=∠C=900 求证:四边形ABCD是矩形。 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=900 ∴AD∥BC, AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。
B
AB=AD
∴ ABCD是菱形。
A
D
C
菱形的判定
2.四条边相等的四边形是菱形吗? 已知:四边形ABCD中, A AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形。
D
B
C
菱形判定方法2:四条边相等的四边形是菱形 符号语言: ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
已知:在
ABCD 中,对角线AC⊥BD
B
∴∠ABC=∠DCB=900
∴ ABCD是矩形。
练习:下列各句判定矩形的说法是否正确?
(1)对角线相等的四边形是矩形; (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (3)有一个角是直角的四边形是矩形; (4)有三个角都相等的四边形是矩形; (5)有三个角是直角的四边形是矩形; (6)四个角都相等的四边形是矩形;
B
求证:
ABCD是菱形。
A
O
D
C
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD 又∵AC⊥BD ∴AB=AD ∴ ABCD是菱形。
符号语言: ∵四边形ABCD是平行四边形, AC⊥BD, ∴ ABCD是菱形。
菱形判定方法3: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
练习巩固
例1、选择: (一) (二) 1.一组邻边相等 的平行四边形是菱形。( 1 的四边形是菱形。 2.四条边相等 (2 5 ) 6 )
D E C
∴ AD=BC
又∵ E是CD的中点 ∴DE=EC ∴△ADE≌△BC ∴ ∠ D =∠C
A
B
∴ ∠ D =∠C =900 ∴平行四边形ABCD是矩形
∴ ∠ D =∠C
=1800
例4 、已知:矩形的对角线ABCD的对角线AC、BD相交 于点O,如E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点. 求证:四边形EFGH是矩形. A D E H
解:结论仍成立
A








例4: 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形,那 么这个四边形是矩形.
已知:如图, ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H,
求证:四边形 EFGH为矩形.
A
D
G
F E H
证明:∵AB∥CD B ∴∠ABC+∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC,CG平分∠BCD
复习与回顾:
1.菱形的定义: 有一组邻边相等的平行 四边形叫做菱形。 2.菱形的性质:
边 角 对角线 菱 形 邻角互补 对角线互相平分、 性 对边平行 对角相等 互相垂直且平分一 质 四边相等 组对角
菱形的判定
1.菱形判定方法1:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 平行四边形 符号语言: ∵四边形ABCD是 平行四边形
【菱形的面积公式】
A B
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
O E
C
D
S菱形=BC. AE
为 什 么
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对 角线能 计算菱形的面积公式吗?
S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD
=
1 2
AC×BD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
∴AB=AD(菱形的四条边都相等) 在△ABD中, 又∵BO=DO ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD B 同理: AC平分∠BCD; BD平分∠ABC和∠ADC
O
C
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段: AB=CD=AD=BC
5
A
1 2
D
7 8
O
6 3 4
OA=OC
OB=OD
B
相等的角: ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
D C
思考:平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相 交于点O,点P是四边形外一点,且 PA⊥PC,PB⊥PD,垂足为P。 P 求证:四边形ABCD为矩形. A
证明:∵ PA⊥PC,PB⊥PD ∴ ∠APC= ∠BPD= 90° 又∵平行四边形ABCD

O B

∴O是AC,BD的中点
∴PO=1/2BD, PO=1/2AC ∴ BD=AC ∴平行四边形ABCD是矩形
O C
D
B
又∵OB=OD=3(平行四边形的对角 线互相平分)
∴ABD是等边三角形. AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得AO= AB2 BO2 62 32 3 3 AB=BD=6 AC=2AO= 6 3
注意解题过程的完整性,格式的规范性。
6、如图,菱形ABCD的边长为4cm,∠BAD =1200。对角线AC、BD相交于点O,求这个 菱形的对角线长和面积。。
A
D O
⑶菱形ABCD的面积
解: ∵菱形ABCD
∴ AB=BC
∵ E是中点, AE⊥BC ∴AF是线段BC的垂直平分线
B
E
C
∴AB=AC
∴ △ BAC是等边三角形 ∴∠ABC=600
余下部分与上题相同
1.矩形是平行四边形吗? 2.怎样的平行四边形是矩形?
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗? 矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形
?
1.已知菱形的周长是12cm,那么它 3cm 的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC=60度,则 60度 ∠BAC=_______.
A
D O C
B
分析:这两题是菱形性质的简单应用
3.在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,则∠B= 60 °, 30 ° 。 △ABC是 等边 三角形,∠ABD的度数为_____
矩形、菱形、正方形
我们生活中充满了几何图形,教 室里的黑板,门窗,课桌的桌面,信 封明信片等都是矩形、菱形或正方形 的形状,而你是否了解这两种几何图 形的性质呢?
这一节我们继续研究特殊的四边形, 我们先研究它们的性质,再研究它们的 判定.
探 索 新 知
我们已经知道平行四边形是特殊的四边 形,因此平行四边形除具有四边形的性 质外,还有它的特殊性质,同样对于平 行四边形来说有特殊情况即特殊的平行 四边形,我们已经研究了一种特殊的平 行四边形——矩形 ;这堂课还要研究 另一种特殊的平行四边形——菱形
D C
O
B
命题:菱形的对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角; 分析:证明文字命题首先根据图形画出图形,再根 据图形写出已知,求证,再进行证明
已知:菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,如下图, 求证:AC⊥BD ;
AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分∠ABC和∠ADC 证明:∵四边形ABCD是菱形 A D
(3)利用四边相等,你会吗?
F
C
A
E O
1
D
分析: 四边形AFCE是菱形
AE=EC=CF=FA
AE=EC AF=CF
B F
2 3
C
AE=AF ∠1= ∠2
EF 垂直平分AC
∠1= ∠3
AE∥FC
四边形ABCD 是平行四边形
∠2= ∠3
AF=CF EF ⊥AC
例4、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点 D作DP∥OC,且 DP=OC,连结CP, (1)试猜想:四边形CODP的形状,并证明你的猜想。 (2) PO与CD有怎样的关系? B A 解:四边形CODP是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC O
相关文档
最新文档