苏州市20162017学年第二学期期末考试数学试卷.doc

2016-2017学年第二学期期末调研测试
高一数学 2017.6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．已知全集{}|0U x x =>，{}|3A x x =≥，则=A C U ▲ ． 2．若数据128,,...,x x x 的方差为3，则数据1282,2,...,2x x x 的方差为 ▲ ．
3．某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人，则该校高二年级学生人数为 ▲ ．
4．集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3B =，点P 的坐标为(),m n ，m A ∈，n B ∈，则点P 在直线5x y +=上的概率为 ▲ ．
5．已知35cos θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则3cos πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ▲ ． 6．算法流程图如右图所示，则输出的结果是 ▲ ．
7．已知{}n a 为等差数列，3321-=++a a a ，4566a a a ++=，则8S = ▲ ．
8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x >时，2
()f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 ▲ ．
9．如图，为了探求曲线2y x =，2x =与x 轴围成的曲边三角形OAP 的面积，用随机模拟的方法向OAPB 内随机投点1080次，现统计落在三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP 面积为 ▲ ．
10．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，若△ABC 的面积为33，则BC 的长是 ▲ ．
11．若点(,)x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内（含边界），则2x y -的最小值为 ▲ ．
12．已知x ，y 是正实数，则223y x x y x y
--+的最小值为 ▲ ． 13．如图，等腰梯形AMNB 内接于半圆O ，直径AB ＝4，MN ＝2，MN 的中点为C ，AM BC ⋅u u u u r u u u r 的值为 ▲ ．
14．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足117a b +=，224a b +=，335a b +=，442a b +=，则n n a b += ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（本小题满分14分）
已知函数2x
y =（03x <<）的值域为A ，函数[]()(2)y lg x a x a =-+--（其中0a >）的定义域为B ． (Ⅰ）当4=a 时，求A B ⋂；
(Ⅱ）若A B ⊆，求正实数a 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知向量()
2a cosx =r ，()3,2b cosx cosx =-r ，设函数()f x a b =⋅r r ． (Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值域．
17．（本小题满分14分）
平面直角坐标系xoy 中，(2,4)A ，(1,2)B -，C ，D 为动点．
(Ⅰ）若(3,1)C ，求平行四边形ABCD 的两条对角线的长度；
(Ⅱ）若(,)C a b ，且()3,1CD =u u u r ，求AC BD ⋅u u u r u u u r 取得最小值时a ，b 的值．
18．（本小题满分18分）
某生态公园的平面呈长方形（如图），已知生态公园的长AB ＝8（km ），宽AD ＝4（km ），M ，N 分别为长方形ABCD 边AD ，DC 的中点，P ，Q 为长方形ABCD 边AB ，BC （不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P-Q-N-M-P ，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（2km ），设BP ＝x （km ），BQ ＝y （km ）．
(Ⅰ）试写出y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；
(Ⅱ）若B 为公园入口，P ，Q 为观光车站，观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧，经测算，每天由B 入口至观光车站P ，Q 乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P ，Q 的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．
19．（本小题满分16分）
已知正项数列{}n a 满足11=a ，0)1(2121=-++++n n n n na a a a n ，数列{}n b 的前n 项和为n S 且1n n S b =-．
(Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项；
(Ⅱ）令n n n
b c a =， ①求{}n c 的前n 项和n T ；
②是否存在正整数m 满足3>m ，2c ，3c ，m c 成等差数列？若存在，请求出m ；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分） 已知函数()2f x x x a x =-+（a R ∈）．
(Ⅰ）当4=a 时，解不等式()8f x ≥；
(Ⅱ）当[]4,0∈a 时，求()f x 在区间[]4,3上的最小值；
(Ⅲ）若存在[]4,0∈a ，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
参考答案
1．()0,3； 2．12； 3．300； 4．1
4； 5； 6．5； 7．12； 8．()()2,02,-⋃+∞；
9．
83
； 10 11．－3； 12； 13．1； 14．()171n n --++-． 15．(Ⅰ）()1,6A B ⋂=；(Ⅱ）[)6,+∞．
16．(Ⅰ）()233f x x π⎛⎫=--
+ ⎪⎝⎭
，最小正周期T π=；(Ⅱ）3,6⎡⎤-⎣⎦．
17． (
Ⅰ）AC u u u r
BD =u u u r (Ⅱ）22545(1)24AC BD a b ⎛⎫⋅=++-- ⎪⎝
⎭u u u r u u u r ，当AC BD ⋅u u u r u u u r 取得最小值时，1a =-，52
b =
． 18．
(Ⅰ）264
x y x -=-，()()0,35,8x ∈⋃； (Ⅱ）()0,3x ∈，
()
24226224646664444x x x y x x x x x x x x -+-⎛⎫+=+=+=-++=--++≤-=- ⎪----⎝⎭，当且仅当244x x -
=
-即4
x =()6-万千米．
19．
(Ⅰ）1n a n
=
，2n n b -=； (Ⅱ） ①2(2)2n n T n -=-+⋅（错位相减法）；
②存在，4m =．
2n n c n -=⋅，2c ，3c ，m c 成等差数列，则14
m c =， 3n >时，()()111122120n n n n n c c n n n -----+-=+⋅-⋅=-⋅<⇒数列{}n c 在()3,n ∈+∞（*n N ∈）上是单调减数列，414
c =
⇒存在唯一的4m =．
20．
(Ⅰ）[)2,+∞；
(Ⅱ）22(2),()2(2),x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩； ①[]0,2a ∈时，2222
a a a +-≥>，()f x 在R 上递增()f x ⇒在区间[]4,3上的最小值为(3)315f a =-+； ②(]2,3a ∈时，2222a a a +->>，()f x 在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[),a +∞上递增，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减()f x ⇒在区
间[]4,3上的最小值为(3)315f a =-+； ③(]3,4a ∈时，2222a a a +->>，()f x 在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[),a +∞上递增，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减()f x ⇒在区间[]4,3上的最小值为()2f a a =；
315,03()2,34min a a f x a a -+≤≤⎧=⎨≤≤⎩
； (Ⅲ）
①[]0,2a ∈时，
2222a a a +-≥>，()f x 在R 上递增，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；
②(]2,4a ∈时，2222a a a +->>，()f x 在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
和[),a +∞上递增，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 ()22224a a at +⇒<<91,8a ⎛⎫⇒∈ ⎪⎝⎭．。