人教B版高中数学必修四第一章章末检测(B)

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2016高中数学人教B版必修四第一章基本初等函数版精选习题.docx

文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150 分，时间120 分钟。

第Ⅰ卷 (选择题共 60分 )一、选择题 (本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列角与－ 750 °角终边不同的是 ()A．330°B．－ 30°C．680 °D．－ 1110 °[答案 ]C[解析 ]－ 750 °＝－ 2× 360 °＋ (－ 30°)，330 °＝ 360 °＋( － 30°)，680 °＝ 2× 360 °＋ (－ 40°)，－1 110 °＝－ 3× 360°＋ (－ 30) °，故 680°角与－ 750°角终边不同 .2． (2015 四·川德阳第五中学月考)cos300 ＝°()31A．－2B．－213C．2D．2[答案 ]C1[解析 ]cos300 °＝ cos(360 －°60°)＝cos60 °＝2.2sinα＋ cosα3． (2015 潮·州市高一期末测试)已知 tanα＝2，则＝()sinα－ cosαA ． 2B． 5C．1D．－ 1[答案 ]B[解析 ]∵ tanα＝ 2，∴2sinα＋ csoα 2tanα＋1＝5＝ 5.＝tanα－1sinα－ cosα14．若α是钝角，则θ＝ kπ＋α， k∈ Z 是()A ．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角[答案 ]D1文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π[解析 ] ∵ α是钝角，∴2<α<π，∵ θ＝k π＋ α(k ∈Z)，∴令 k ＝0，则 θ＝ α是第二象限角，令 k ＝ 1，则 θ＝ π＋ α是第四象限角，故选 D ．5． (2015 河·南新乡市高一期末测试 )已知角 α的终边与以坐标原点为圆心，以1 为半径2π 2π的圆交于点 P(sin 3， cos 3 )，则角 α的最小正值为 ()11π5π A ． 6B ． 35π 2π C ． 6D ． 3[答案 ]A2π32π 1 ，[解析 ] ∵ sin ＝2， cos ＝－233∴点 P(3，－ 1)，点 P 到坐标原点的距离r ＝ |OP|＝ 1，2 2∴ sin α＝y ＝－ 1，cos α＝x ＝ 3，r2r 211π∴角 α的最小正值为6 .6．下列命题中不正确的个数是()①终边不同的角的同名三角函数值不等；②若 sin α>0，则 α是第一、二象限角；③若 α是第二象限的角，且－ xP( x ， y)是其终边上一点，则 cos α＝x2＋ y2.A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案 ] D[解析 ]π 3π和终边不同，但正弦值相等，所以①错．44π π cos α＝x ，sin ＝ 1，但不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义x 2＋ y222所以③错，故选D ．π7． (2015 广·东中山纪念中学高一期末测试 )下面四个函数中，既是区间(0， 2)上的增函数，又是以 π为周期的偶函数的是 ()A ． y ＝ cos2xB ． y ＝ sin2xC ．y ＝ |cosx|D ． y ＝ |sinx|2文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持.[答案]D[解析 ]令 f(x)＝ |sinx|，∴ f(－ x)＝ |sin(－ x)|＝ |sinx|＝ f(x) ，∴函数 y ＝ |sinx|是偶函数π又函数 y ＝ |sinx|在(0 ， 2) 上是增函数，且最小正周期为π.π8．为得到函数 y ＝ cos(x ＋ 3)的图象，只需将函数 y ＝ sinx 的图象 ()5π B ．向右平移 πA ．向左平移 6 个长度单位6个长度单位πD ．向右平移5πC ．向左平移个长度单位个长度单位6 6[答案 ] A[解析 ]5π π πy ＝ sin(x ＋ )＝ sin[ ＋ (x ＋ )]623π＝ cos(x ＋)，故选 A ．31 π9．(2015 山·东潍坊高一期末测试 )已知函数 f(x) ＝2sin(2 x ＋6)，若 f(x － φ)为偶函数，则 φ可以为 ( )π πA ． 2B ．－ 3π π C ．－ 6D ． 6[答案 ]C1π[解析 ]f( x －φ)＝ 2sin(2x － 2φ＋6)，若 f(x －φ)为偶函数， π π π k π∴－ 2φ＋＝＋ k π， k ∈ Z ，∴ φ＝－＋， k ∈ Z ，6262π∴当 k ＝0 时， φ＝－，故选 C ．610．如图，一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离为d m(如果 P 在水面上，那么d 为负数 )．如果 d(m) 与时间 t(s)之间的关系满足： dπ π＝ A sin( ωt＋ φ)＋ k(A>0， ω>0，－ 2<φ<2)，且从点 P 在水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中，错误的是 ()3文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .2πA ．A ＝10B ． ω＝ 15πC ．φ＝ 6D ． k ＝ 5[答案 ]C2π[解析 ]由图读出 A ＝ 10，k ＝ 5，周期 T ＝ 15 s ，∴ ω＝ 15.由题意，知当 t ＝ 0 时，d ＝ 10sin φ＋5＝ 0，∴ sin φ＝－ 1π 5π 2 ，即 φ＝2k π－或 φ＝ 2k π－6.6π π π∵－ <φ<，∴ φ＝－.226π11．已知函数 f(x)＝ sin(πx － 2)－ 1，下列命题正确的是 ()A ． f(x)是周期为 1 的奇函数B ．f(x)是周期为 2 的偶函数C ．f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数D ． f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数[答案]Bπ[解析 ]∵ f(x)＝ sin(πx －2) －1＝－ cos πx － 1，2π∴周期 T ＝ π＝2，又 f(－ x)＝－ cos(－ πx)－ 1＝－ cos πx － 1＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．π 3 ＋ a π 5π)12．如果函数 f(x)＝sin(x ＋ )＋ 2在区间 [－， 6 ]的最小值为 3，则 a 的值为 (33 3＋ 13A ． 2B ． 22＋ 3 D ．3－ 1 C ． 22[答案 ] A[解析 ]∵－ π 5ππ 7π≤ x ≤ ，∴ 0≤ x ＋ ≤ ，3 63 61 π1 ＋ 3 1 ＋ 3 3＋ 1∴－ ≤ sin(x ＋ )≤ 1，∴ f(x)的最小值为－22＋ a ，∴－ 2＋ a ＝ 3，∴ a ＝2 .232第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题 (本大题共 4 个小题，每空4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．已知点 P(2,3) 在角 α的终边上，则tan 2α＝ ________.cos α4文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .[答案 ]1363[解析 ]由三角函数的定义知，cosα＝3＝3， tanα＝3，∴tan2α＝2＝13.22＋ 32132cos α 9 61314． (2015 河·南南阳高一期末测试)函数 y＝ sinx＋1－ cosx的定义域是 ________．2[答案 ]π[ ＋ 2kπ，π＋ 2kπ]k∈ Z 3sinx≥ 0[解析 ]由题意，得，1－ cosx≥ 022kπ≤x≤ 2kπ＋π，k∈ Z∴π5π，2kπ＋≤ x≤ 2kπ＋， k∈ Z33π∴ 2kπ＋≤ x≤ 2kπ＋π， k∈ Z .31π故函数 y＝sinx＋2－cosx的定义域为[3＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z .1π15．函数 y＝ |sin(3x－4)|的最小正周期为________．[答案 ]3π[解析 ]∵ y＝ sin(1πx－ ) 的周期 T＝6π，341π∴y＝ |sin(3x－4)|的周期为 T＝ 3π.π16． (2015 ·洛市高一期末测试商)关于函数f(x)＝4sin(2 x＋3)( x∈ R)，有下列命题：①由 f(x1)＝ f(x2)＝0 可得 x1－ x2必是π的整数倍；π② y＝ f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－6)；π③ y＝ f(x)的图象交于点 (－， 0)对称；6π④ y＝ f(x)的图象关于直线x＝－6对称．其中正确的命题是________．[答案 ]②③[解析 ]由f(x1)＝f(x2)＝0，得π2x1＋3＝ mπ， m∈ Z ，5文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π2x 2＋ 3＝ n π， n ∈ Z ，m －n π∴ x 1－ x 2＝，2当 m － n 为奇数时， x 1－ x 2 不是 π的整数倍，故①错误；π π πf(x)＝ 4sin(2x ＋ )＝ 4sin[2 － ( － 2x)]36 ππ＝ 4cos( － 2x)＝ 4cos(2x －)，故②正确；66ππ π π当 x ＝－时， f(－ )＝ 4sin[2× (－)＋3]＝ 0，故③正确，∴④不正确．6 66三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 12 分 )(2015 广·东揭阳市世铿中学高一月考)已知角 α终边上一点 P(－π－ π＋αcos ＋ αsin4,3)，求2的值．11π9πcos － αsin ＋ α2 2[解析 ]点 P 到坐标原点的距离r ＝ |OP|＝－ 4 2＋ 32＝ 5，∴ sin α＝y ＝ 3， cos α＝ x ＝－ 4.r 5r 5cos π＋ αsin －π＋ α－ sin α·－ sin α ∴2＝11π9π－ sin α·cos αcos2 － αsin 2 ＋ α3＝－ sin α5 3.＝－ 4 ＝cos α － 4518． (本小题满分12 分 )是否存在实数 1 ， cosx ＝m成立，且 x 是第m ，使 sinx ＝ 1－ m m －1二象限角？若存在，请求出实数 m ；若不存在，试说明理由．[解析 ]假设存在1，m ∈ R ，使 sinx ＝ 1－mmcosx ＝，∵ x 是第二象限角，∴ sinx>0， cosx<0，∴ 0<m<1.1 2＋m 2 2＝ 1，由 sin 2x ＋ cos 2x ＝m － 11－ m解得 m ＝ 0，这时 sinx ＝ 1， cosx ＝0，πx ＝ 2k π＋2(k ∈Z)，不是第二象限角，故m 不存在．619． (本小题满分12 分 )已知 sinα、 cosα是关于 x 的方程8x2＋ 6mx＋ 2m＋ 1＝ 0 的两根，求1＋1的值．sinα cosα[解析 ]∵ sinα、 cosα是方程 8x2＋6mx＋ 2m＋ 1＝ 0 的两根，∴ sinα＋cosα＝－3m， sinαcosα＝2m＋ 18.4∴(－3m)2－2×2m＋1＝1，整理得489m2－8m－20＝ 0，即 (9m＋ 10)(m－ 2)＝ 0.∴m＝－10或 m＝2. 9又 sinα、 cosα为实根，∴＝ 36m2－ 32(2m＋ 1)≥ 0.即 9m2－ 16m－ 8≥ 0，∴ m＝ 2 不合题意，舍去．故 m＝－109.3m∴1＋1＝sinα＋ cosα－4－ 6msinαcosα＝＝sinα cosα2m＋ 12m＋ 18－6× －1060＝910＝－11.2× －9＋ 1π20．(本小题满分12 分 )用“五点法”画出函数f(x)＝ cos(2x－3)在同一周期上的图象． (要求列表描点作图 )．(1)先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数f(x)在 [0，π]上的图象；πππ3π2x－3－302π2x0π2π11ππ6312f(x)1－ 1 27π(2)求函数 f(x)＝ cos(2x－3)， x∈ R 的单调增区间．[解析 ](1)πππ3π5π2x－3－302π23x0π5π2π11ππ612312f(x)110－101 22描点、作图．π(2)由 2kπ－π≤2x－≤ 2kπ，k∈ Z ，3ππ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈ Z36∴函数 f(x)的单调递增区间为ππ[kπ－， kπ＋ ] ， k∈ Z . 36π21． (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ 2cos(2x－4)， x∈ R.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；π πx 的值．(2)求函数 f(x)在区间 [－，] 上的最小值和最大值，并求出取得最值时82π2π[解析 ] (1)∵ f(x)＝2cos(2x－4)，∴函数f(x)的最小正周期T＝2＝π由.－π＋2kπ≤2xπ3ππ3ππ－≤ 2kπ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋，故函数 f(x) 的单调递增区间为[－＋ kπ，＋ kπ](k∈ Z)．488888文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π π ππ π (2)∵ f(x)＝ 2cos(2x －)在区间 [－，]上为单调递增函数，在区间[ ， ] 上为单调递减48882函数，且 πππ π π 2，此f(－ )＝0， f( )＝2， f( )＝－ 1，故函数f(x)在区间 [－， ]上的最大值为8 8 2 82ππ时， x ＝；最小值为－ 1，此时 x ＝ .82π22． (本小题满分 14 分 )已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0 ， ω>0，|φ|<2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程 f(x)＝ m 在(0， π)内有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．[解析 ](1)观察图象，得A ＝2，T ＝ (11π π 4＝ π，12－ )×63∴ ω＝2π＝2，∴ f(x)＝ 2sin(2x ＋ φ)．T∵函数图象经过点π ，∴ 2sin(2×π( ，2)＋ φ)＝ 2，66π即 sin(3＋ φ)＝ 1.π ππ又∵ |φ|< ，∴ φ＝，∴函数的解析式为f(x)＝ 2sin(2x ＋ )．2 66π(2)∵ 0<x<π，∴ f(x) ＝m 的根的情况，相当于 f(x)＝ 2sin(2x ＋ 6)与 g(x)＝ m 在 (0，π)内的交π点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝ 2sin(2x ＋ 6)和 y ＝ m(m ∈ R) 的图象如图所示．由图可知，当－ 2<m<1 或 1<m<2 时，直线y ＝ m 与曲线 y ＝ π2sin(2x ＋ )有两个不同的交6 点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－ 2<m<1 或 1<m<2.9。

高一数学人教B版必修四第一章章末检测题

三角函数章末检测题一、选择题（每题5分）1、sin(225)-︒的值是（）A ．22B ．22-C ．32-D ．322、既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin 2y x =D 、cos 2y x =3、点P (o 300cos ,o 300sin )在直角坐标平面上位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知α∈(π2,π),3tan 4α=-,则sin()απ+等于（） A ．35 B ．35- C ．45D ．45- 5、集合M ＝{x |x ＝k π2 ±π4 ，k ∈Z}与N ＝{x |x ＝k π4，k ∈Z}之间的关系是（） A.M N B.N M C.M ＝N D.M ∩N ＝∅6、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于（） A.23 B ．－23 C.53 D ．±537、将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是（） A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 8.已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为（）A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9 D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π 9.若函数()()2cos 2f x x ϕ=+是奇函数，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则实数ϕ可能是（） A 、2π- B 、0 C 、2π D 、π 10.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（） A ．15[,]24 B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2] 二、选择题（每题5分） 11．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.12．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________.13.函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 _____________14．已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-=__________.15.函数3()sin(2)62f x x π=++的对称中心是 . 16、已知2()3sin 2cos f x x x =-+，则()f x 的最大值是 .17、已知()2sin(2)16f x x a π=+++，若f(x)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为4，则a = . 三、解答题 18．（15分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ， 5 )，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值.19．（20分）函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式；(2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.20.（20分）设函数()sin(2)f x x ϕ=+，0πϕ-<<图像的一条对称轴为8x π=．（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调增区间；（3）求函数)(x f y =在区间3[,]44ππ上的最大值和最小值，并指出此时的x ．21.（30分）函数()()2sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值；（3）求()f x 的单调区间．。

【优化方案】2021-2021学年高中数学第一章计数原理章末综合检测新人教A版选修2-3(1)

【优化方案】2021-2021学年高中数学第一章计数原理章末综合检测新人教A 版选修2-3(时刻：100分钟；总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设A 3m ＝6C 4m ，那么m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选C.由m (m －1)(m －2)＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，解得m ＝7.2．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120解析：选D.由T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，r ＝3，因此系数为(－1)3C 310＝－120.3．编号为一、二、3、4、五、六、7的七盏路灯，晚上历时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，那么不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空位中放入3盏亮灯，即C 35＝10.4．某汽车生产厂家预备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每一个展位摆放一辆车，而且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案的种类为( )A ．C 210A 48B ．C 19A 59 C ．C 18A 59D ．C 18A 58解析：选C.考查分步乘法计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C 18，其余位置的排列数为A 59，故种数为C 18A 59，应选C.5．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B.(2－x)8展开式的通项为T r＋1＝C r8·28－r·(－x)r＝C r8·28－r·(－1)r·x r2.由r 2＝4得r＝8.∴展开式中x4项的系数为C88＝1.又(2－x)8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0.6．把五个标号为1到5的小球全数放入标号为1到4的四个盒子中，不准有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，那么不同的放法有( )A．36种B．45种C．54种D．96种解析：选A.先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，依照4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．7．咱们把列位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，那么“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B.依题意，那个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数别离为400、040、004；由3、一、0组成6个数别离为310、30一、130、103、013、031；由二、二、0组成3个数别离为220、20二、022；由二、一、1组成3个数别离为21一、12一、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．8．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项解析：选D.∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45·11＋C46·12＋C47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．记者要为5名志愿者和他们帮忙的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两头，不同的排法共有( )A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：选B.将5名志愿者全排列为A55，因2位老人相邻且不排在两头，故将2位老人看成一个整体插在5名志愿者之间形成的4个空内，为A14，再让2位老人全排列为A22，故不同的排法总数为A55A14A22＝960.10．假设(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，那么实数m的值为( )A．1或－3 B．－1或3C．1 D．－3解析：选A.令x＝0，取得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，取得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，因此有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．男、女学生共有8人，从男生当选取2人，从女生当选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x人，那么C28－x·C1x＝30，即8－x7－x2·x＝30，解得x＝2或3.答案：2或312．假设(3x＋1)n(n∈N*) 的展开式中各项系数的和是256，那么展开式中x2项的系数是________．解析：令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系数为C24×32＝54. 答案：5413．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，那么不同的排法有________种．解析：甲、乙两人之间至少有一人，确实是甲、乙两人不相邻，那么有A 33·A 24＝72种不同的排法．答案：7214．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘解决型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰排列左、右，同侧不能都是同种舰艇，那么舰艇分派方案的方式数是________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排有C 12C 12A 22A 22种方式，然后排两艘解决型核潜艇有A 22种方式，故舰艇分派方案的方式数为C 12C 12A 22A 22A 22＝32.答案：3215．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为________．解析：由题意知n ＝8，通项为T r ＋1＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r ·x 8－43r, 令8－43r ＝0，得r ＝6，故常数项为第7项，且T 7＝(－1)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 68＝7. 答案：7三、解答题(此题共5小题，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)16．从编号为1,2，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有多少种不同的排法？解：知足条件的4个球的编号有两类取法：①一奇三偶排法数为C 15C 34A 44； ②三奇一偶排法数为C 35C 14A 44.故共有C 15C 34A 44＋C 35C 14A 44＝1 440种不同的排法．17．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项的系数的56，求该展开式中二项式系数最大的项．解：第r ＋1项系数为C r n 2r ，第r 项系数为C r －1n 2r －1，第r ＋2项系数为C r ＋1n 2r ＋1，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n2r －1C r n 2r ＝56C r＋1n 2r ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1nC r n ＝53C r ＋1n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝n ＋15n －r ＝3r ＋1，求得：n ＝7.故二项式系数最大的项是第4项和第5项．T 4＝C 37(2x )3＝280x32，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.18．已知(2x i ＋1x2)n ，i 是虚数单位，x ＞0，n ∈N *.(1)若是展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n＝180，因此n 2－n －90＝0，又n ∈N *，解得n ＝10. (2)(2x i ＋1x2)10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x 5－52k . 因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，因此k ＝2,6,10. 因此所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T11＝x－20.19．已知集合A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中掏出3个不同的元素组成三位数，那么能够组成多少个？(2)从集合A中掏出1个元素，从集合B中掏出3个元素，能够组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？解：由1＜log 2x ＜3，得2＜x ＜8，又x ∈N *，因此x 为3,4,5,6,7，即A ＝{3,4,5,6,7}，因此A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A ∪B 中掏出3个不同的元素，能够组成A 36＝120个三位数． (2)假设从集合A 中取元素3，那么3不能作千位上的数字，有C 35·C 13·A 33＝180个知足题意的自然数；假设不从集合A 中取元素3，那么有C 14C 34A 44＝384个知足题意的自然数．因此，知足题意的自然数共有180＋384＝564个．20．7名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生4人，女生2人，在以下情形下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必需相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)假设4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)教师不站中间，女生不站两头．解：(1)两名女生站在一路有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法．故有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先站教师和女生，有站法A 33种，再在教师和女生站位的距离(含两头)处插入男生，每空一人，有插入方式A 44种．故共有不同站法A 33·A 44＝144种． (3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两头是特殊位置，可如下分类求解：①教师站两头之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法，②两头全由男生站，教师站除两头和正中间的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法．故共有不同站法2 112种．。

人教版B数学选修1-2：第一章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和顶点角度之和D ．人的年龄和身高解析：选D.函数关系是确定性关系，故选D. 2．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选 B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118C.13D.23解析：选D.由已知P (A ·B )＝P (A )P (B )＝19，①又P (A ·B )＝P (A ·B )，即[1－P (A )]·P (B )＝P (A )[1－P (B )]，② 由①②解得P (A )＝P (B )＝13，所以P (A )＝23.4．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B ．r ∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越大，反之相关程度越小C ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对解析：选C.由r 的意义可知C 项正确．5．若回归直线方程中的回归系数b ＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定解析：选C.b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2，若b ＝0，则r ＝0.6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A.3 C ．3.5D ．4.5解析：选A.根据线性回归方程一定过定点(x ，y )，计算可知选A.7．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第4组D ．第5组解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.8．设有一个回归方程为y ^＝3－2x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位D ．y 平均增加3个单位解析：选C.∵[3－2(x ＋1)]－(3－2x )＝－2，∴y 的值平均减少2个单位．9．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：选A.由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．故选A.10．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的误差∑i ＝1n[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点误差中最小的解析：选B.回归直线可能不经过任何一个样本点，但必经过样本点的中心．11．对四对变量Y 与x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝7，r ＝0.9533；②n ＝15，r ＝0.3012；③n ＝17，r ＝0.4991；④n ＝3，r ＝0.9950.则变量Y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B.由于小概率0.05与n －2在附表中分别查得：①r 0.05＝0.754；②r 0.05＝0.514；③r 0.05＝0.482；④r 0.05＝0.997.因此知①、③中相关系数比r 0.05大，变量Y 和x 具有线性相关关系．而②、④中的相关系数小于r 0.05，故变量Y 与x 不具有线性相关关系．12．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所根据以上数据，则( )A ．含杂质的高低与设备改造有关B ．含杂质的高低与设备改造无关C ．设备是否改造决定含杂质的高低D ．以上答案都不对解析：选A.由公式χ2＝382×(37×202－121×22)158×224×59×323≈13.11.由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．若回归直线方程为y ^＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________．解析：y 的估计值为0.5×25－0.81＝11.69. 答案：11.6914．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案：0.25415．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×30×20≈4.844.则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．解析：本题考查对假设检验含义的理解，由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%. 答案：5%16．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}，则y ＝________. 解析：因为x ＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ^＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n ＝1700次观测，列联表如下：解：根据列联表中的数据得到χ2＝1700×(98×618－82×902)2180×1520×1000×700≈1.59≤3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关． (2)求出回归直线方程．解：(1)散点图如图．(2)x ＝44.5，∑i ＝110x 2i ＝20183，y ＝7.67，∑i ＝110x i y i ＝3481.32，则b ^＝3481.32－10×44.5×7.6720183－10×44.52≈0.179，a ^＝7.67－0.179×44.5＝－0.2955. ∴回归直线方程为y ^＝0.179x －0.2955.19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116，解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得P (B )P (B )＝116于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B )＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P (A A )＝34.20．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)对变量Y 与x (2)如果Y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)x ＝12.5, y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438, 4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660, ∑i ＝14y 2i ＝291.所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y(∑i ＝14x 2i －4x 2)(∑i ＝14y 2i －4y 2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995. 查临界值表：4－2＝2的r 0.05＝0.950.因为r >r 0.05，所以Y 与x 有线性相关关系． (2)由(1)可知Y 与x 有线性相关关系，所以，b ^＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，a ^＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.所以Y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.7286x －0.8571. (3)要使y ^≤10，即0.7286x －0.8571≤10，所以x ≤14.9013.所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下． 21．下表是一次试验的数据：根据上面数据分析：y 与1x 之间是否具有线性相关关系？如果有，求出回归方程．解：令u ＝1xu ＝1.324，y ＝16.414； ∑i ＝14u 2i ＝12＋…＋0.022＝1.0504，∑i ＝14y 2i ＝10.152＋…＋1.302＝117.2871，∑i ＝14u i y i ＝10.957，相关系数r ≈0.9999.由于r 与1非常接近，所以u 与y 有很强的线性相关关系．由题知b ^≈9.01，a ^≈1.13，∴y ^＝1.13＋9.01u ，∴y ^＝1.13＋9.01x.22．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得2×2列联表如下：(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841，解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．(2)没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2≤3.841，由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x ≤3.841，解得x ≤10.24， ∵x 2，x6为整数 ∴若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．。

高中数学必修4(B版)第一章水平测试及参考答案(B)

高中数学必修4（Ｂ版）第一章水平测试（Ｂ）一、选择题1．已知角α是第三象限角，则角α-的终边在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ2．tan300sin 450+的值为（）Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｃ3．已知函数()y f x =，其图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的确2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与1sin 2y x =的图象相同，则()y f x =的表达式为（）Ａ．11πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ｂ．1πsin 222y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Ｃ．11πsin 222y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Ｄ．1πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭答案：Ｄ4．函数5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象的一条对称轴方程为（）Ａ．π2x =-Ｂ．π4x =-Ｃ．π8x =Ｄ．5π4x =答案：Ａ5．若函数()sin(2)f x x x ϕ=+∈R ，是偶函数，则ϕ的一个值为（）Ａ．πϕ=Ｂ．π2ϕ=-Ｃ．π2ϕ=-Ｄ．π8ϕ=-答案：Ｂ6．在下列函数中，同时满足①在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是（）Ａ．tan y x =Ｂ．cos y x =Ｃ．tan2x y =Ｄ．sin y x =答案：Ａ7．下列函数中，既为偶函数又在(0π)，上单调递增的是（）Ａ．tan y x = Ｂ．cos()y x =-Ｃ．πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭Ｄ．1tan 2y x =答案：Ｃ 8．函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[0π]x ∈，为增函数的区间是（）Ａ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ．π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．π5π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｄ．5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，答案：Ｃ9．函数cos y x x =-的部分图象是下图中的（）答案：Ｄ10．已知1sin 3x =-，且ππ2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，，则θ可以表示为（）Ａ．1arcsin3Ｂ．π1arcsin 23⎛⎫--- ⎪⎝⎭Ｃ．1πarcsin 3⎛⎫-+- ⎪⎝⎭Ｄ．1πarcsin 3⎛⎫--- ⎪⎝⎭答案：Ｄ 11．在区间3π3π22⎛⎫-⎪⎝⎭，内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｃ12．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的函数关系式为：π6sin 2π6S t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）Ａ．2πsＢ．πsＣ．0.5sＤ．1s答案：Ｄ二、填空题13．已知()sin(π)cos(π)f x a x b x αβ=+++，其中a b αβ，，，都是非零整数，又知(2003)1f =-，则(2006)f =．答案：114．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是．答案：960-15．函数()y f x =的图象与直线x a =，x b =及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n +∈N ，则函数sin 3y x=在20π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为．答案：4316．已知cot csc 5θθ+=，则sin θ=．答案：513三、解答题17．设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =的图象的一条对称轴是π8x =．（1）求ϕ值；（2）求函数()y f x =的单调增区间．解：（1）π8x = 是函数()y f x =图象的对称轴，πsin 218ϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，πππ+42k ϕ∴+=，k ∈Z ．π0ϕ-<< ，3π4ϕ∴=-．（2）由（1）知3π4ϕ=-，因此3sin 2π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意得π3π2πππ242k x k -2-2+≤≤，k ∈Z ． ∴函数3sin 2π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．18．是否存在ππ22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，(0π)β∈，，使等式πs i n (5π)c o s 2αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π)αβ=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由．解：由条件得sin αβαβ⎧=⎪=①②，，①2+②2得22sin 3cos 2αα+=． 21sin 2α∴=．又ππ22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，π4α∴=或π4α=-．将π4α=代入②，得cos β=．又(0π)β∈，，π6β∴=．代入①可知符合．将π4α=-代入②，得cos β=．又(0π)β∈，，π6β∴=．代入①不符合．综上所述，存在π4α=，π6β=满足条件．19．设322π2cos sin (2π)sin 32()22cos (π)cos()f θθθθθθ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=+++-，求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：3222cos sin cos 3()22cos cos f θθθθθθ++-=++3222cos 1cos cos 322cos cos θθθθθ+-+-=++ 3222cos 2(cos cos )22cos cos θθθθθ---=++322(cos 1)cos (cos 1)22cos cos θθθθθ---=++ 222(cos 1)(cos cos 1)cos (cos 1)22cos cos θθθθθθθ-++--=++22(cos 1)(2cos cos 2)22cos cos θθθθθ-++=++cos 1θ=-．ππ11cos 113322f ⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎝⎭．20．试判断函数1sin cos ()1cos sin x xf x x x+-=++在下列区间上的奇偶性．（1）π22x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，；（2）ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．解：（1）(1sin cos )(1cos sin )()(1cos sin )(1cos sin )x x x x f x x x x +-+-=+++-2221(cos sin )(1cos )sin x x x x--=+- 222sin cos 12cos cos sin x xx x x =++-sin 1cos x x=+． sin()sin ()1cos()1cos x xf x x x-∴-==-+-+．因此，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，()()f x f x -=-．∴此函数在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是奇函数．（2）由于π2x =时，()1f x =，而π2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭无意义，因此在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上，函数不具有奇偶性．21．求函数π3tan 64x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期和单调区间．解：ππ3tan 3tan 6446x x y ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ4π14T ω∴===．由πππππ()2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π()33k x k k -<<+∈Z ． π3tan 46x y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在4π8π4π4π()33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，内单调递减．故原函数的周期为4π，递减区间为4π8π4π4π()33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，． 22．某港口的水深y （米）是时间(024t t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =，下面是该港口的水深表．经长时间的观察，()y f t =可以近似地看成函数sin y A t B ω=+的图象．（1）试根据数据表，求出函数sin y A t B ω=+的表达式；（2）一般情况下，船航行的船底同海底的距离不少于4.5米是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间能够安全进出港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？解：（1）由数据表知10B =，21376A =-=，3A ∴=，2ππ126T ωω==∴=，． π3sin 106y t ∴=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船航行时水深11.5y ≥米，令π3sin 10.56y t =+11≥，得π1sin 62t ≥．解得1215()k t k k +12+∈Ζ≤≤．取0k =，则15t ≤≤；取1k =，则1317t ≤≤．故该船在1点到5点，或13点到17点能安全进出港口，而船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，下午17点离港，在港内停留的时间最长为16小时．。

高中数学第1章章末综合检测新人教B版选修1-1

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．2C．3 D．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为( )A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．命题“若a>b，则a－5>b－5”的逆否命题是( )A．若a<b，则a－5<b－ 5B．若a－5>b－5，则a>bC．若a≤b，则a－5≤b－ 5D．若a－5≤b－5，则a≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x＋y是有理数，则x、y也都是有理数；④求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．A．3,1 B．2,2C．2,0 D．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x＋1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，0<3，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件解析：选A.因为当x>0时，一定有3x2>0，但当3x2>0时，x<0也成立，因此，x>0是3x2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是( )A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是( )A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义，由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．∵¬q 为假，∴q 为真，即p 假q 真，∴x 2－x <6且x ∈Z ，∴－2<x <3且x ∈Z ，即x ＝－1,0,1,2.22．π是圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假；(2)判断“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？解：(1)逆命题：若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ，真命题．逆否命题：若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ，真命题．否命题：若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ，真命题．(2)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．充分性： ⎭⎪⎬⎪⎫a ＝c ⇒a π＝c π b ＝d ⇒a π＋b ＝c π＋d ；必要性：a π＋b ＝c π＋d ⇒(a －c )π＝d －b ，∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，即a ＝c 且b ＝d .。

人教B版高中数学(必修4)单元测试-第一章1

阶段性测试题一(第一章基本知能检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．sin480°的值是( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32[答案] D[解析] sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝32. 2．tan300°＋cot405°的值为( )A ．1＋ 3B ．1－3C ．－1－ 3D ．－1＋ 3 [答案] B[解析] tan300°＋cot405°＝tan[360°＋(－60°)]＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－ 3.3．下列命题中不正确的个数是( )①小于90°的角是锐角； ②终边不同的角的同名三角函数值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] 对于①，负角小于90°，但不是锐角． π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以②错． sin π2＝1，但π2不是一、二象限角．是轴线角所以③错，对于④由定义cos α＝xx 2＋y 2，所以④也不对．4．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2 [答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限．当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.5．函数y ＝|sin(13x －π4)|的周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sinsin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.6．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则该三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 [答案] A[解析] ∵sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角，故选A.7．若0≤x ≤π2，sin x ·cos x ＝12，则11＋sin x ＋11＋cos x 的值是( )A ．39＋10 5B ．9－25C ．9＋215D ．4－2 2 [答案] D[解析] (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x ·cos x ＝1＋1＝2， ∴sin x ＋cos x ＝±2，∵0≤x ≤π2，∴sin x >0，cos x >0，∴sin x ＋cos x ＝2，原式＝1＋cos x ＋1＋sin x (1＋sin x )(1＋cos x )＝2＋sin x ＋cos x1＋sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x＝2＋21＋2＋12＝4－2 2.8．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [答案] C[解析] 令x ＋π4＝t ，则t 单调递增．由复合函数单调性知，只有tan t 单调递增才能使原函数单调递增，∴x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 9．若把函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移π2个单位，向下平移1个单位，最后得到的图象正好与函数y ＝12sin x 的图象相同，则f (x )的解析式为( )A ．y ＝－12cos2x ＋1B ．y ＝12cos2x ＋1C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＋1D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 [答案] A[解析]10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数、又是周期函数，若f (x )最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32[答案] C[解析] f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 ＝sin π3＝32.11．若角α是三角形的一个内角，且sin α＝13，则α等于( )A ．π－arccos 223B ．arcsin 13C ．arcsin 13或π－arcsin 13D ．arccos 223或π－arccos 223[答案] C[解析] sin α＝13>0，α为三角形内角α∈(0，π)，当α为锐角时α＝arcsin 13，当α为钝角时α＝π－arcsin 13.12．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22 [答案] C[解析] 当sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，当sin x <cos x ，f (x )＝sin x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )sin x (sin x <cos x ).其图象如图实线表示．所以值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 14．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间．故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．15．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象的一部分，则函数的解析式为________．[答案] y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3 [解析] |A |＝5－12＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎫π8＋π8＝π，B ＝3， ∴ω＝2，而2⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝0， ∴φ＝π4，∴A ＝－2，∴y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3. 16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． [解析] cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，即 sin α＝2sin β.①3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，即 3cos α＝2cos β.②式①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝12.所以cos α＝±22.又因为α∈(0，π)，所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32.又β∈(0，π)，所以β＝π6.当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32.又β∈(0，π)，所以β＝5π6.综上所述，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.18．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤56π. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本小题满分12分)图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)写出函数y 1的解析式；(2)若函数y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，求函数y 2的解析式．[解析] (1)由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4； (2)设y 2图象上任一点P (x ，y )，点P 关于直线x ＝2的对称点为Q (x 0，y 0)，即Q (4－x ，y )在y 1图象上，有y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4，∴y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. 20．(本小题满分12分)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象怎样变换而来的．21．(本小题满分12分)某港口水的深度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据：经长期观察，y ＝f (t )的曲线可以近似地看成函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象.(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时被认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?[解析] (1)由已知数据，易知y ＝f (t )的周期T ＝12.由已知，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sin πt6＋10；(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，∴3sin π6t ＋10≥11.5，即sinπt6≥12. 解得2k π＋π6≤πt 6≤2k π＋56π(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )，在同一天内，取k ＝0或1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.故该船可在当日凌晨1时进港，下午17时离港，它在港内至多停留16小时． 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称，令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3(2021年整理)

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第一章计数原理章末检测时间：120分钟满分： 150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ）A．24种B．18种C．12种D．6种解析：因为黄瓜必须种植,在余下的3种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有C2，3A错误!＝18种．故选B。

答案：B2．若A3，n＝12C错误!，则n等于（）A．8 B．5或6C．3或4 D．4解析：A3n＝n(n－1）(n－2),C错误!＝错误!n(n－1),∴n（n－1)（n－2)＝6n(n－1)，又n∈N＊,且n≥3，解得n＝8.答案：A3．关于（a－b）10的说法,错误的是( ）A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析:由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的．答案:C4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（）A．8 B．122017-2018学年高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3C．16 D．24解析：∵A错误!＝n（n－1)＝132，∴n＝12（n＝－11舍去)．故选B。

【步步高】高中数学第一章章末检测(B)新人教A版选修1-1

第一章章末检测 (B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．1．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a ＝bD ．a 2＋b 2＝02．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的( )A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则( )A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假6．条件p ：x >1，y >1，条件q ：x ＋y >2，xy >1，则条件p 是条件q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )A ．－12<x <3B ．－12<x <0 C ．－3<x <12D ．－1<x <6 8．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >010．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．下列命题中为全称命题的是( )A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行12．以下判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是__________________________________，这是__________命题．15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.20．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x .对于∀x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立，试求实数a 的取值范围．21.(12分)下列三个不等式：①2－x 2＋ax －254>1； ②(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0；③a >x 2＋1x 2. 若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解；若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围．第一章常用逻辑用语(B)答案1．D [若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0时，f (－x )＝(－x )|－x ＋0|＋0＝－x |x |＝－f (x )，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的充分条件．又若f (x )为奇函数即f (－x )＝－x |(－x )＋a |＋b＝－(x |x ＋a |＋b )，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的必要条件．]2．B [由a ≥b ⇒c >d 可得c ≤d ⇒a <b ，又a <b ⇒e ≤f ，所以c ≤d ⇒e ≤f ；而e ≤f ⇒c ≤d 显然不成立，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分非必要条件．]3．B4．B [∵a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，∴a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2.]5．B [由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．]6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p ⇒q ，但x ＝100，y ＝0.1满足q ：x ＋y >2，xy >1，但不满足q ，故选项为A.]7．D [由2x 2－5x －3<0，解得－12<x <3，记为P ，则①P ⇔A ，②B P ，B 是P 的充分非必要条件，③，C 既不是P 的充分条件，也不是P 的必要条件，④P D ，D 是P 的必要不充分条件．]8．A [tan ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.] 9．C10．A [举例：a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2，∴逆命题为假．]11．C12．D [∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒a ＝1. 故“a ＝1”是“函数f (x )sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]13．②④解析 ①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出A B ，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假15．(－∞，－1)解析由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1.16．①③17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．18．解 (1)p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形． p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真．19．证明充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.20．解 |f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]． ①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x在x ∈(0,1]上恒成立．设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ a －t 2－t max ＝－a t 2－t min ＝0⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)．21．解对于①，2－x 2＋ax －254>1，即－x 2＋ax －254>0，故x 2－ax ＋254<0，Δ＝a 2－25，所以不等式的解集为空集，实数a 的取值范围是－5≤a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x >1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0的解集为空集．则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a －2＋a －，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2，当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a >x 2＋1x2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a|a<－22或a>2}．22．解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝m2＋8，当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，当a>0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.。

高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版选修41

第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B 版选修4-1(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边长度为21cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24cmB.21cmC.19cmD.9cm【解析】设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217k ＝x 5k ＝y 3k ，解得x ＝15cm ，y ＝9cm.故x ＋y ＝24cm. 【答案】 A2.如图1所示，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AE AC ＝23，则△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为( )图1A.13B.23C.45D.49【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AE ∶AC )2＝4∶9.则△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为4∶(9－4)＝4∶5. 【答案】 C3.如图2所示，梯形ABCD 的对角线交于点O ，则下列四个结论：图2①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△ACB ； ③S △DOC ∶S △AOD ＝CD ∶AB ； ④S △AOD ＝S △BOC .其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确.由①知，DC AB ＝OCOA.S △DOC ∶S △AOD ＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确.∵S △ADC ＝S △BCD ，∴S △ADC －S △COD ＝S △BCD －S △COD ， ∴S △AOD ＝S △BOC ，④正确. 故①③④正确. 【答案】 C4.如图3所示，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高( ) 【导学号：61650022】图3A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC ∽等腰△BOD ，OA ＝1m ，OB ＝16m ，高CE ＝0.5m ，求高DF .由相似三角形的性质可得OA ∶OB ＝CE ∶DF ，即1∶16＝0.5∶DF ，解得DF ＝8m.【答案】 C5.如图4，⊙O 经过⊙O 1的圆心，∠ADB ＝α，∠ACB ＝β，则α与β之间的关系是( )图4A.β＝αB.β＝180°－2αC.β＝12(90°－α)D.β＝12(180°－α)【解析】如右图所示，分别连接AO 1，BO 1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D6.已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，则AD 的长为( )A.8B.9C.10D.11 【解析】如图，连接AC ，CB .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB . 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9. 【答案】 B7.如图5所示，AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，PA 交⊙O 于D ，PB 交⊙O 于C ，连结BD 、AC 交于E ，下列关系式中不成立的是( )图5A.∠ADB ＝∠ACB ＝90°B.∠AED ＝∠PC.∠P ＝12∠AEBD.∠PAC ＝∠DBP【解析】由直径AB 所对的圆周角是直角和A 正确.由P ，D ，E ，C 四点共圆知B 正确.又易知∠PAC ＝∠DBP ＝90°－∠P ，∴D 正确.【答案】 C8.如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图6A.103B.23C.1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线， ∴∠BCM ＝∠A .∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ， ∴△ABC ∽△BEC .∴AB BE ＝BCEC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC .∴64＝4EC .∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103.【答案】 A9.如图7，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )图7A.70°B.64°C.62°D.51°【解析】 ∵AB 、AC 为⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝∠BAO ，又∵OB ＝BD ， ∴∠OAB ＝∠DAB ，∵∠DAC ＝78°， ∴∠OAD ＝23×78°＝52°，∴∠ADO ＝64°.【答案】 B10.如图8，已知AT 切⊙O 于T .若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC ＝( )图8A.3B.4C.6D.8【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC ，∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9. ∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△EAD ∽△CAB ，即DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝2×93＝6. 【答案】 C11.在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为( )A.abB.a ＋bab C.ab a ＋bD.a ＋b2【解析】如图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径为r ，则由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ，∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ， ∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ， ∵△BEO 与△OFC 相似，∴BE OF ＝OECF，∴a －r r ＝rb －r ，解得r ＝aba ＋b. 【答案】 C12.如图9所示，PT 与⊙O 切于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A 、B ，与直线CT 的交点D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( )图9A.10B.20C.5D.8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD ·DB ＝CD ·DT ，∴3×4＝2DT ，解得DT ＝6，∴圆的半径r ＝4，AB ＝7，不妨设PB ＝x ，则PA ＝x ＋7，根据切割线定理，可得PT 2＝PB ·PA ，∴PT 2＝x ·(x ＋7)，在Rt △PTD 中，DT 2＋PT 2＝PD 2，∴36＋PT 2＝(x ＋4)2，∴36＋x (x ＋7)＝(x ＋4)2，解得x ＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13.如图10，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________.图10【解析】 ∵MN 是△ABC 的中位线，∴△MON ∽△COA ，且MN AC ＝12，∴S △MON ∶S △COA ＝(12)2＝14.【答案】 1∶414.D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 边上的点，且AD ∶DB ＝1∶2，AE ＝1.5，AC ＝4.5，若AM 交DE 于N ，交BC 于M ，则AN ∶NM ＝________.【解析】如图，∵AD DB ＝12，∴AD AB ＝13.又AE AC ＝1.54.5＝13， ∴AD AB ＝AE AC. 又∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC .∴AN AM ＝AD AB ＝13，AN AN ＋MN ＝13，化简得AN NM ＝12.【答案】 1215.(湖南高考)如图11，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________.图11【解析】如图，连AE ，易知AE ∥BD ， ∴BD AE ＝DF AF，易知△ABO 是等边三角形，可得BD ＝1，AD ＝AF ＋FD ＝ 3. ∴AF ＝233.【答案】23316.如图12，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，PF ＝6，PD ＝23，则∠DFP ＝________.图12【解析】如图，连接OD .∵PD 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥PD ，PD 2＝PE ·PF ， ∴PE ＝2.∴OP ＝4， ∴sin ∠POD ＝234＝32.∴∠POD ＝60°，∴∠DFP ＝30°. 【答案】 30°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知如图13，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，试求PQ 的长.图13【解】 ∵PQ ⊥PC ， ∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP . ∴Rt △APQ ∽Rt △BCP ，∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1，∴AP BC ＝AQBP，即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34. ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图14(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE ＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.19.(本小题满分12分)如图15所示，在△ABC中，D为BC边上的中点，延长AD到点E，使AD＝2DE，延长AB交CE的延长线于点P.求证：AP＝3AB.图15【证明】如图所示，过点E作EF∥BC交AP于点F，则△ABD∽△AFE.∵AD＝2DE，∴AD∶AE＝2∶3.∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3.∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.∵EF∥BC，∴△PEF∽△PCB.∴PF∶PB＝EF∶BC＝3∶4.∴PF∶FB＝3∶1，∵AB∶AF＝2∶3，∴AB∶BF＝2∶1.∴PF∶FB∶AB＝3∶1∶2.∴AP∶AB＝6∶2＝3∶1.即AP ＝3AB .20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.图16(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .【导学号：61650023】解：(1)连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD . 因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB .又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD . 又∠PFB ＋∠BFD ＝180°， ∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明：因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .21.(本小题满分12分)如图17所示，PA 为⊙O 的切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AD ·AE 的值.图17【解】如图所示，连接CE .∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC . 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15. ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP . 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ，11 ∴AB AC ＝PA PC ＝1020＝12. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝35，又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB .∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝90.22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.图18【证明】 (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA .故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE .因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA .所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆.。

人教版高中数学选择性必修第一册-第1章空间向量与立体几何章末测试卷(含解析)

第一章空间向量与立体几何章末测试卷(原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是()A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，则P ，A ，B ，C 四点()A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为()，12，，23，，13，，29，4.2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1E 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为()A.23 B.223C.233 D.435．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为()A.105B ．－105C ．－1010 D.10106．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为()A.2B ．211C ．32D ．427.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于()A ．1 B.12C ．2－2D ．2－38．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于()A.13B.23C.33D.23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有()A.A 1B 1→·AC →＝a 2 B.AB →·A 1C →＝2a 2C.CD →·AB 1→＝a 2D.AB →·A 1O →＝12a 210．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是()A ．若AD →＝13AC →＋23AB →，则BC →＝3BD →B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →C ．若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则AC →·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝111.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27712．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是()A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________．16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4.(1)若PM∶MD＝1∶2，求证：PB∥平面ACM；(2)求二面角A－CD－P的正弦值；(3)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63，求MD的长．1．设向量u＝(a，b，0)，v＝(c，d，1)，其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，则下列判断错误的是() A．向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c，d的值无关)B．u·v的最大值为2C．u与v夹角的最大值为3π4D．ad－bc的最大值为12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在体对角线CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点P的位置是()A．线段CA1的三等分点，且靠近点A1B．线段CA1的中点C．线段CA1的三等分点，且靠近点CD．线段CA1的四等分点，且靠近点C3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1－A1B1－D的平面角为θ3，则()A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ34.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则()A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF →，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE →，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为125．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为()A.6B.3C.66D.626.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为()A.23B.66C.33D.637．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是()A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是()A ．(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2B.A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0C ．向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|10．【多选题】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的值可能是()A.π6B.π4C.π3D.π211．【多选题】在正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，所有棱长均为1，BC ′与B ′C 交于点O ，则()A.AO →＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→B ．AO ⊥B ′CC ．三棱锥A －BB ′O 的体积为324D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π612．已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝x ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是________(填所有正确结论的序号)．①对任意x ∈(0，2)，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；②对任意x ∈(0，2)，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD ；③对任意x >1，都存在某个位置，使得AB ⊥CD ；④对任意x >1，都不存在某个位置，使得AB ⊥CD .13.如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.若AC 1→＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________，AC 1的长为________．14.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．15．如图1在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (如图2)．(1)求证：AP ∥平面EFG ；(2)求二面角G－EF－D的大小．16.如图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)求证：EF∥B1C；(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．17.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长是1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．18．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD ＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．(1)求证：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．19.如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，点C为圆O上一点，且BD＝PD＝3，AC＝2AD＝2.(1)求证：PA⊥CD；(2)求二面角B－CP－D的余弦值．20.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a(0<a<2)．(1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小并求出最小值；(3)当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．第一章空间向量与立体几何章末测试卷(解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以下四个命题中，正确的是()A ．向量a ＝(1，－1，3)与向量b ＝(3，－3，6)平行B ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0C ．|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |D ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一基底答案D解析因为{a ，b ，c }为空间的一个基底，设a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )＝1，＝1，＋λ＝0，无解，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故D 正确；因为31＝－3－1≠63，所以a ＝(1，－1，3)和b ＝(3，－3，6)不平行，故A 错误；△ABC 为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A ，所以无法推出AB →·AC →＝0，故B 错误；若a ·b ＝0即可得出C 项错误．综上所述，本题的正确答案为D.2．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，则P ，A ，B ，C 四点()A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断答案B解析因为OP →＝12OA →＋14OB →＋14OC →，且12＋14＋14＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.3．如图，在四面体O －ABC 中，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝2GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为()，12，，23，，13，，29，答案D解析取BC 中点E ，连接AE ，OE ，则OE →＝12(OB →＋OC →)，G 1是△ABC 的重心，则AG 1＝23AE ，所以AG 1→＝23AE →＝23(OE →－OA →)，因为OG ＝2GG 1，所以OG →＝23OG 1→＝23(OA →＋AG 1→)＝23OA →＋49(OE →－OA →)＝29OA →＋49OE →＝29OA →＋29(OB →＋OC →)＝29OA →＋29OB →＋29OC →，所以x ＝y ＝z ＝29.4.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离为()A.23B.223C.233D.43答案D解析以D 1为坐标原点，分别以射线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B 1(2，2，0)，C 1(0，2，0)，E (2，1，2)，F (1，2，2)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，B 1E →＝(0，－1，2)，B 1F →＝(－1，0，2)，则n ·B 1E →＝0，n ·B 1F →＝0，即－y ＋2z ＝0，－x ＋2z ＝0，令z ＝1，得n ＝(2，2，1)．又因为B 1C 1→＝(－2，0，0)，所以点C 1到平面B 1EF 的距离h ＝|n ·B 1C 1→||n |＝|－2×2＋0＋0|22＋22＋1＝43.5．如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为()A.105B ．－105C ．－1010 D.1010答案A解析不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，S (0，0，0)，M 12，12，0，N 0，0，12.因为SM →＝12，12，0，BN →＝0，－1，12所以|SM →|＝22，|BN →|＝52，SM →·BN →＝－12，所以cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →||BN →|＝－105.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.故选A.6．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为()A.2B ．211C ．32D ．42答案B解析作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N .则AM ＝3，BN ＝2，MN ＝5.又AB →＝AM →＋MN →＋NB →，∴AB →2＝AM →2＋MN →2＋NB →2＋2(AM →·MN →＋AM →·NB →＋MN →·NB →)．又AM ⊥MN ，MN ⊥NB ，〈AM →，NB →〉＝60°，故AB →2＝9＋25＋4＋6＝44.∴AB ＝|AB →|＝211.故选B.7.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π4时，则AE 等于()A ．1B.12C ．2－2D ．2－3答案D解析以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AE ＝m (0≤m ≤2)．D (0，0，0)，P (0，0，1)，E (1，m ，0)，C (0，2，0)．可取平面ABCD 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面PEC 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，PC →＝(0，2，－1)，CE →＝(1，m －2，0)，2·PC →＝0，2·CE →＝0.b －c ＝0，＋b （m －2）＝0，＝2b ，＝b （2－m ），令b ＝1，得n 2＝(2－m ，1，2)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2（2－m ）2＋1＋4＝22.∴m ＝2－ 3.即AE ＝2－ 3.8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于()A.13 B.23C.33 D.23答案B解析如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设边长为1，则0－3，12，所以AB 1→，12，易知平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈AB 1→，n 〉|＝637536＋14＋69＝23.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，A 1C 与B 1D 相交于点O ，则有()A.A 1B 1→·AC →＝a 2 B.AB →·A 1C →＝2a 2C.CD →·AB 1→＝a 2D.AB →·A 1O →＝12a 2答案AD解析以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，B 1(a ，a ，a )，O (a 2，a 2，a 2)．对于A ，A 1B 1→·AC→＝(0，a ，0)·(－a ，a ，0)＝a 2，所以A 正确；对于B ，AB →·A 1C →＝(0，a ，0)·(－a ，a ，－a )＝a 2，所以B 不正确；对于C ，CD →·AB 1→＝(0，－a ，0)·(0，a ，a )＝－a 2，所以C 不正确；对于D ，AB →·A 1O →＝(0，a ，0)·(－12a ，12a ，－12a )＝12a 2，所以D 正确．故选AD.10．在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是()A ．若AD →＝13AC →＋23AB →，则BC →＝3BD→B ．若Q 为△ABC 的重心，则PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC→C ．若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则AC →·PB →＝0D ．若四面体P －ABC 的棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|＝1答案ABC解析对于A ，∵AD →＝13AC →＋23AB →，∴3AD →＝AC →＋2AB →，∴2AD →－2AB →＝AC →－AD →，∴2BD →＝DC →，∴3BD →＝BD →＋DC →，即3BD →＝BC →，∴A 正确；对于B ，若Q 为△ABC 的重心，则QA →＋QB →＋QC →＝0，∴3PQ →－QA →－QB →－QC →＝3PQ →，∴3PQ →＝PA →＋PB →＋PC →，即PQ →＝13PA →＋13PB →＋13PC →，∴B 正确；对于C ，若PA →·BC →＝0，PC →·AB →＝0，则PA →·BC →＋PC →·AB →＝PA →·BC →＋PC →·(AC →＋CB →)＝PA →·BC →＋PC →·AC →＋PC →·CB →＝PA →·BC →＋PC →·AC →－PC →·BC →＝(PA →－PC →)·BC →＋PC →·AC →＝CA →·BC →＋PC →·AC →＝AC →·CB →＋PC →·AC →＝AC →·(CB →＋PC →)＝AC →·PB →，∴AC →·PB →＝0，∴C 正确；对于D ，∵MN →＝PN →－PM →＝12(PB →＋PC →)－12PA →＝12(PB →＋PC →－PA →)，∴|MN →|＝12|PB →＋PC →－PA →|.∵|PB →＋PC →－PA →|(PA →2＋PB →2＋PC →2－2PA →·PB →－2PA →·PC →＋2PB →·PC →)12＝(22＋22＋22－2×2×2×12－2×2×2×12＋2×2×2×12)12＝22，∴|MN →|＝2，∴D 错误．故选ABC.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277答案ABCD解析对于A ，由∠DAB ＝π3，AB ＝2AD 及余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD .由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得BD ⊥PD .又AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，故PA ⊥BD .故A 正确．对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，又tan ∠PBD＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝π6.故B 正确．对于C ，显然∠PCD 是异面直线PC 与AB 所成的角，易得cos ∠PCD ＝CD PC ＝255.故C 正确．对于D ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设AD ＝1，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)，所以AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，－x 1＋3y 1＝0，31－z 1＝0，取y 1＝1，可得n ＝(3，1，3)是平面PAB 的一个法向量．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，32－z 2＝0，－x 2＝0，取y 2＝1，可得m ＝(0，1，3)是平面PBC 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277所以平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277.故D 正确．12．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角，已知直角边AB ＝3，AC ＝6，则下列说法正确的是()A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D －ABC 的体积是6C ．二面角A －BC －D 的正切值是423D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114答案CD解析依题意作图，如图所示，由于AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故∠BDC 是二面角C －AD －B 的平面角，则∠BDC ＝120°，因为BD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .过B 作BE ⊥CD 交CD 的延长线于E ，因为AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BE .因为BE ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BE ⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B －ACD 的高．在原图中，BC ＝3＋6＝3，AD ＝AB ·AC BC＝3×63＝2，BD ＝3－2＝1，CD ＝AC 2－AD 2＝6－2＝2，BE ＝BD ×sin 60°＝1×32＝32，所以V D －ABC ＝V B －ACD ＝13×12×AD ×CD ×BE ＝16×2×2×32＝66，故B 错误．以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，0，－12，32C (0，2，0)，AB →－2，－12，32AC →＝(－2，2，0)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )n ·AB →＝－2x －12y ＋32z ＝0，n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，取x ＝6，则y ＝3，z ＝5，所以n ＝(6，3，5)，平面ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，则m ·n ＝5≠0，所以平面ACD 与平面ABC 不垂直，故A 错误．平面BCD 的一个法向量为a ＝(1，0，0)，cos 〈n ，a 〉＝n ·a|n ||a |＝634＝317，sin 〈n ，a 〉＝1－cos 2〈n ，a 〉＝＝1417.设二面角A －BC －D 的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则tan θ＝|tan 〈n ，a 〉|＝|sin 〈n ，a 〉cos 〈n ，a 〉|＝423，故C 正确．BC →，52，－ACD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，cos 〈m ，BC →〉＝m ·BC →|m |·|BC →|＝－2114，所以BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114，故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝____________________．(用a ，b ，c 表示)答案12a ＋14b ＋14c解析OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .14．在平面直角坐标系中，点A (－1，2)关于x 轴的对称点为A ′(－1，－2)，则在空间直角坐标系中，B (－1，2，3，)关于x 轴的对称点B ′的坐标为________，若点C (1，－1，2)关于平面Oxy 的对称点为点C ′，则|B ′C ′|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案(－1，－2，－3)6解析由题意得B (－1，2，3)关于x 轴的对称点B ′的坐标为(－1，－2，－3)；点C (1，－1，2)关于Oxy 平面的对称点为C ′(1，－1，－2)，所以|B ′C ′|＝（－1－1）2＋（－2＋1）2＋（－3＋2）2＝ 6.15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1的夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________．答案3解析如图，可设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1＝c ，于是可得AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c ，同理可得BD 1→＝－a ＋b ＋c ，于是有AC 1→·BD 1→＝(a ＋b ＋c )·(－a ＋b ＋c )＝－a 2＋b 2＋c 2＋2b ·c＝－4＋1＋4＋2×1×2×cos 60°＝3.16.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，BC ＝3，点M 在棱CC 1上，且MD 1⊥MA ，则当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝________．答案322解析设AA 1＝m (m >0)，CM ＝n (0≤n ≤m )，如图建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，m )，M (0，1，n )，A (3，0，0)，所以D 1M →＝(0，1，n －m )，AM →＝(－3，1，n )．又MD 1⊥MA ，所以D 1M →·AM →＝1＋n (n －m )＝0，所以m －n ＝1n(n ≠0)．所以S △MAD 1＝1D 1M ·AM ＝121＋（m －n ）2·3＋1＋n 2＝121＋1n2·4＋n 22＝125＋n 2＋4n 2≥125＋2n 2·4n 2＝32，当且仅当n ＝2，m ＝322时，等号成立，所以当△MAD 1的面积取得最小值时，其棱AA 1＝322.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设a ＝(1，5，－1)，b ＝(－2，3，5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解析k a ＋b ＝(k －2，5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.18．(12分)如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .证明如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .(1)P (0a )0)b ，a ，0)，B (b ，0，0)，因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M b 2，0，0N b 2，a 2，a 2易知AB →为平面PAD 的一个法向量.AB →＝(b ，0，0)，又MN →＝0，a 2，a 2，所以AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →.又MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .(2)由(1)可知P (0，0，a )，C (，0)，M b2，0，0，且D (0，a ，0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝b2，0，－a PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1(x 1，y 1z 1)，n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，bx 1＋ay 1－az 1＝0，b2x 1－az 1＝0，x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，n 2·PC →＝0，n PD →＝0，bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0，x 2＝0，y 2＝z 2，令z 21，则n 2＝(0，1，1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .19．(12分)(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解析(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M 0，12，12，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝0，12，12，AD →＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0.取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量为n ＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63.即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.20．(12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．解析(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1，OC ⊂平面A 1OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又BC 綉DE ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 1所在直线y 轴、z A 1B ＝A 1E ＝BC ＝＝1，BC ∥，所以0，－22，0，A ，0C (0，22，0)，则BC →－22，22，A 1C →＝，22，－CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ.1·BC →＝0，1·A 1C →＝0，x 1＋y 1＝0，1－z 1＝0，可取n 1＝(1，1，1)．2·CD →＝0，2·A 1C →＝0，2＝0，2－z 2＝0，可取n 2＝(0，1，1)．从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.21．(12分)(2017·课标全国Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D －AE －C 的余弦值．解析(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC .又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又由于△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D －AC －B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又DO ＝AO ，AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以BO ⊥OD .又AC ⊂平面ADC ，OD ⊂平面ADC ，AC ∩OD ＝O ，所以BO ⊥平面ADC .又BO ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而点E 到平面ABC 的距离为点D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得0，32，12故AD →＝(－1，0，1)，AC →＝(－2，0，0)，AE →－1，32，12设n ＝(x ，y ，z )是平面DAE 的法向量，n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋1z ＝0，令x ＝1，可得n ＝1，33，1.设m 是平面AEC m ·AC →＝0，m ·AE →＝0.同理可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝77.由图知二面角D －AE －C 为锐角，所以二面角D －AE －C 的余弦值为77.22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是棱PD 上一点，且AB ＝BC ＝2，AD ＝PA ＝4.(1)若PM ∶MD ＝1∶2，求证：PB ∥平面ACM ；(2)求二面角A －CD －P 的正弦值；(3)若直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，求MD 的长．解析(1)证明：如图，连接BD 交AC 于点N ，连接MN .因为BC ∥AD ，所以BN ND ＝BC AD ＝12.又因为PM ∶MD ＝1∶2，所以MN ∥PB .又因为MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)，CD →＝(－2，2，0)，PD →＝(0，4，－4)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·CD →＝0，·PD →＝0，2x ＋2y ＝0，y －4z ＝0，令x ＝1＝1，＝1，即n ＝(1，1，1)．又平面ACD 的一个法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝13＝33故二面角A －CD －P ＝63.(3)设MD →＝λPD →(0≤λ≤1)，则MD →＝(0，4λ，－4λ)，所以AM →＝(0，4－4λ，4λ)，由(2)得平面PCD 的一个法向量n ＝(1，1，1)，且直线AM 与平面PCD 所成角的正弦值为63，所以cos 〈AM →，n 〉＝|4－4λ＋4λ|（4－4λ）2＋（4λ）2·3＝63，解得λ＝12，即MD →＝12PD →.又|PD →|＝42＋42＝42，故|MD →|＝12|PD →|＝22.1．设向量u ＝(a ，b ，0)，v ＝(c ，d ，1)，其中a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，则下列判断错误的是()A ．向量v 与z 轴正方向的夹角为定值(与c ，d 的值无关)B ．u ·v 的最大值为2C ．u 与v 夹角的最大值为3π4D ．ad －bc 的最大值为1答案B 解析在A 中，设z 轴正方向的方向向量z ＝(0，0，t )，t >0，向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值cos α＝z ·v|z ||v |＝t t ·c 2＋d 2＋1＝22，所以α＝45°.所以向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°(与c ，d 的值无关)，故A 正确；在B 中，u ·v ＝ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u ·v 的最大值为1，故B 错误；在C 中，由B 可得|u ·v |≤1，所以－1≤u ·v ≤1.所以cos 〈u ，v 〉＝u ·v|u ||v |＝ac ＋bda 2＋b 2·c 2＋d 2＋1≥－11×2＝－22，所以u 与v 的夹角的最大值为3π4，故C 正确；在D 中，ad －bc ≤|ad －bc |≤|ad |＋|bc |≤a 2＋d 22＋b 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1，所以ad －bc 的最大值为1.故D 正确．2.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，BB 1的中点，点P 在体对角线CA 1上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是()A ．线段CA 1的三等分点，且靠近点A 1B ．线段CA 1的中点C ．线段CA 1的三等分点，且靠近点CD ．线段CA 1的四等分点，且靠近点C 答案B解析设正方体的棱长为1，以A 为原点，AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．取MN 的中点为Q ，连接PQ .则0，，00A 1(0，0，1)，C (1，1，0)，则A 1C →＝(1，1，－1)．设P (t ，t ，z )，PC →＝(1－t ，1－t ，－z )，由A 1C →与PC →共线，可得1－t ＝1－t ＝－z ，所以P (1－z ，1－z ，z )，其中0≤z ≤1.因为|PM →|＝3z 2－3z ＋54，|PN →|＝3z 2－3z ＋54，所以|PM →|＝|PN →|，所以PQ ⊥MN ，即|PQ →|是动点P 到直线MN 的距离．|PQ →|＝3z 2－3z ＋98＝所以当z ＝12时，PQ 取得最小值64，此时P 为线段CA 1的中点，由于MN ＝22为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段CA 1的中点．3．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是棱BC 的中点，记直线B 1D 与直线AC 所成角为θ1，直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成角为θ2，二面角C 1－A 1B 1－D 的平面角为θ3，则()A ．θ2<θ1，θ2<θ3B ．θ2>θ1，θ2<θ3C ．θ2<θ1，θ2>θ3D ．θ2>θ1，θ2>θ3答案A解析由题可知，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点，设三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 轴，AA为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1，0，2)，B 1(31，2)，C (0，2，0)，，32，A (0，0，0)，AC →＝(0，2，0)，B 1D →－32，12，－A 1B 1→＝(3，1，0)．因为直线B 1D 与直线AC 所成的角为θ1，θ1，π2，所以cos θ1＝|B 1D →·AC →||B 1D →||AC →|＝125.因为直线B 1D 与平面A 1B 1C 1所成的角为θ2，θ2∈0，π2，平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(0，0，1)，所以sin θ2＝|B 1D →·n ||B 1D →||n |＝25，所以cos θ2＝15.设平面A 1B 1D 的法向量m＝(a ，b ，c )，·A 1B 1→＝3a ＋b ＝0，·B 1D →＝－32a ＋1b －2c ＝0，取a ＝3，取m 3由图可知，θ3所以cos θ3＝|m ·n ||m ||n |＝32574＝1579，所以cos θ2>cos θ3>cos θ1.由于y ＝cos θ在区间(0，π)上单调递减，故θ2<θ3<θ1，则θ2<θ1，θ2<θ3.4.已知正方体ABCD －EFGH (如图)，则()A ．直线CF 与GD 所成的角与向量所成的角〈CF →，GD →〉相等B ．向量FD →是平面ACH 的法向量C ．直线CE 与平面ACH 所成角的正弦值与cos 〈CE →，FD →〉的平方和等于1D ．二面角A －FH －C 的余弦值为12答案B解析以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，E (1，0，1)，F (1，1，1)，G (0，1，1)，H (0，0，1)．易知GD ∥AF ，且△AFC 为等边三角形，所以异面直线CF 与GD 所成的角为∠AFC ＝60°，而CF →＝(1，0，1)，GD →＝(0，－1，－1)，所以cos 〈CF →，GD →〉＝－12×2＝－12，所以〈CF →，GD →〉＝120°，故A 错误；FD →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(－1，1，0)，AH →＝(－1，0，1)，则FD →·AC →＝(－1)×(－1)－1×1＝0，FD →·AH →＝(－1)×(－1)－1×1＝0，所以FD →⊥AC →，FD →⊥AH →，即FD ⊥AC ，FD ⊥AH ，又AC ∩AH ＝A ，所以FD ⊥平面ACH ，所以向量FD →是平面ACH 的法向量，故B 正确；设直线CE 与平面ACH 所成角为θ，CE →＝(1，－1，1)，FD →＝(－1，－1，－1)，所以sin θ＝|cos 〈CE →，FD →〉|＝13，所以sin 2θ＋cos 2〈CE →，FD →〉＝19＋19＝29，故C 错误；连接EG ，设EG ∩FH ＝M ，则M 为FH 的中点，连接AM ，CM ，因为AH ＝AF ，CH ＝CF ，M 为中点，所以AM ⊥FH ，CM ⊥FH ，所以∠AMC 为二面角A －FH －C 的平面角，易得M 12，12，1，MA →＝12，－12，－1，MC →＝(－12，12，－1)，所以cos 〈MA →，MC →〉＝1232×32＝13，故D 错误．5．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为()A.6 B.3C.66D.62答案A解析设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，2，0)，C (3，1，0)，P (0，0，2)．所以BP →＝(0，－2，2)，BC →＝(3，－1，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量，·n ＝0，·n ＝0，y ＋2z ＝0，－y ＝0.令y ＝1.则x ＝33，z ＝1.即n 1，易知m ＝(1，0，0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝331×213＝77.所以正切值tan 〈m ，n 〉＝ 6.故选A.6.如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为()A.23B.66C.33D.63答案B解析以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，3，0)，P (0，0，3)，D (3，3，0)，E (0，2，1)，∴BE →＝(0，2，1)，BD →＝(3，3，0)设平面BED 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，·BE →＝2y ＋z ＝0，·BD →＝3x ＋3y ＝0，取z ＝1，得n ，－12，平面ABE 的法向量为m ＝(1，0，0)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66，∴平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.7．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案C解析设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝（a ＋b ）·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.8．【多选题】如图甲，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点P (如图乙)，则下列结论正确的是()A ．PD ⊥EFB ．平面PDE ⊥平面PDFC ．平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心答案ABC解析对于A ，如图，取EF 的中点H ，连接PH ，DH ，由△PEF 和△DEF 为等腰三角形，得PH ⊥EF ，DH ⊥EF ，又PH ∩DH ＝H ，PH ，DH ⊂平面PDH ，所以EF ⊥平面PDH ，又PD ⊂平面PDH ，所以PD ⊥EF ，故A 正确．对于B ，根据折起前后，可知PE ，PF ，PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE ⊥平面PDF ，故B 正确．对于C ，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的AB ＝2，则P (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，0，0)，D (0，2，0)，故EF →＝(1，0，－1)，FD →＝(－1，2，0)．易知PD →＝(0，2，0)为平面PEF 的一个法向量，设平面EFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·EF →＝0，·FD →＝0，－z ＝0，x ＋2y ＝0，令x＝2，则y ＝1，z ＝2，则n ＝(2，1，2)为平面EFD 的一个法向量，|cos 〈PD →，n 〉|＝|PD →·n ||PD →||n |＝22×3＝13，所以平面PEF 与平面EFD 夹角的余弦值为13.故C 正确．对于D ，由于PE ＝PF ≠PD ，故点P 在平面DEF 上的投影不是△DEF 的外心，故D 错误．9．【多选题】已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是()A ．(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2B.A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0C ．向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°D ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|答案AB解析由向量的加法得到A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→＝A 1C →，因为A 1C 2＝3A 1B 12，所以(A 1C →)2＝3(A 1B 1→)2，A 正确；因为A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，AB 1⊥A 1C ，所以A 1C →·AB 1→＝0，B 正确；因为△ACD 1是等边三角形，所以∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，所以异面直线AD 1与A 1B所成的夹角为60°，但是向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是120°，C 错误；因为AB ⊥AA 1，所以AB →·AA 1→＝0，故|AB →·AA 1→·AD →|＝0，D 错误．10．【多选题】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点M 在线段A 1C 上，E ，F 分别为DD 1，AD 的中点．若异面直线EF 与BM 所成角为θ，则θ的值可能是()A.π6 B.π4C.π3 D.π2答案ABC解析以D 点为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝2，易得BC →＝(－2，0，0)，CA 1→＝(2，－2，2)，EF →＝(1，0，－1)，设CM→＝λCA 1→＝(2λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，则BM →＝BC →＋CM →＝(2λ－2，－2λ，2λ)，则cos θ＝|cos〈BM →，EF →〉|＝|BM →·EF →||BM →||EF →|＝22×（2λ－2）2＋8λ2＝12×3λ2－2λ＋1＝≤λ≤1)．当λ＝13时，cos θ取到最大值32，此时θ＝π6；当λ＝1时，cos θ取到最小值12，此时θ＝π3，所以θ的取值范围为π6，π3.故选ABC.11．【多选题】在正三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，所有棱长均为1，BC ′与B ′C 交于点O ，则()A.AO →＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→B ．AO ⊥B ′CC ．三棱锥A －BB ′O 的体积为324D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6答案AC解析由题意，画出正三棱柱ABC －A ′B ′C ′如图所示，向量AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋12(BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(AC →－AB →)＋12AA ′→＝12AB →＋12AC →＋12AA ′→，A正确；在△AOC 中，AC ＝1，OC ＝22，OA1，OA 2＋OC 2≠AC 2，所以AO 和B ′C 不垂直，B 错误；在三棱锥A －BB ′O 中，S △BB ′O ＝14，点A 到平面BB ′O 的距离即△ABC 中BC 边上的高，所以h ＝32，所以V A －BB ′O ＝13S △BB ′O h ＝13×14×32＝324，C 正确；。

人教B版高中数学必修四第一章章末检测(A).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章基本初等函数（Ⅱ）（A ）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( )A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 32．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π43．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是( ) A ．±45 B ．45 C ．－45 D ．354．已知sin(2π－α)＝45，α∈(3π2，2π)，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( )A ．17B ．－17C ．－7D ．75．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，则φ可能取值是( )A ．π2B ．－π4C ．π4D ．3π46．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度9．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5AC ．5 3 AD ．10 A10．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π411．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．23B ．43C ．32D ．312．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________．14．方程sin πx ＝14x 的解的个数是________．15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________．16．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．18．(12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π．(1)求θ和ω的值；(2)已知点A (π2，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈[π2，π]时，求x 0的值．20．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α)．(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．21．(12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0,0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．第一章基本初等函数(Ⅱ)(A) 答案1．B 2．D 3．C4．A [sin(2π－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45．又α∈(3π2，2π)，∴cos α＝35．∴sin α＋cos αsin α－cos α＝17，故选A ．] 5．C [检验f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ是否取到最值即可．] 6．B [sin α－cos α>0且tan α>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π，54π．] 7．D [当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，B 符合．排除A 、B 、C ，故选D ．]8．B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －23π＝cos2⎝⎛⎭⎫x －π3．] 9．A [由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，∴ω＝2πT＝100π．∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． (1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2．∴φ＝π6．∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A ．]10．A [∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2．∵图象与直线y ＝2的两个交点横坐标为x 1，x 2， |x 2－x 1|min ＝π，即T min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2，故选A ．] 11．C [由函数向右平移43π个单位后与原图象重合，得43π是此函数周期的整数倍．又ω>0，∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32．] 12．A [∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，即3cos(2×4π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ． ∴φ＝－13π6＋k π．∴当k ＝2时，|φ|有最小值π6．]13．(6π＋40) cm解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π．∴周长为(6π＋40) cm ． 14．7解析在同一坐标系中作出y ＝sin πx 与y ＝14x 的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．15．0解析方法一由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3．∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式sin(3π4＋φ)＝0． ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4． ∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0．方法二由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3．又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝f (x 0＋T2)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4)＝0．16．8 解析T ＝6，则5T4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8．17．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7．18．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2．当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1．19．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6．由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2．(2)因为点A (π2，0)，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为(2x 0－π2，3)．又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos(4x 0－5π6)＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π4．20．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α．(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15．又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265．(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12．21．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2．由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2．由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．22．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，所以ω＝1，A ＝1．由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3． (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。

高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理章末小结学案新人教B版选修4_1

第一章相似三角形定理与圆幂定理[对应学生用书P32][对应学生用书P32]证明四点共圆问题证明点共圆的方法有以下几种：(1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上；(2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四点共圆：①∠BAC＝∠BDC；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③∠FAD＝∠BCD；④AE·CE＝BE·DE；⑤AF·BF＝CF·DF.[例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．[证明] 连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B＋∠C＝180°.因为四边形ABFE内接于圆，所以∠B＋∠AEF＝180°.所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．[例2] 已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．[证明] 由A、B、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图)．与圆相交于点E，∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾，故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB ，与∠2>∠AEB 矛盾， ∴点C 不可能在圆内， ∴点C 只能在圆上.证明命题的一般步骤：(1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性． 1．利用相似三角形[例3] 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .[证明] (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，得AC ＝AE .2．利用三角形内(外)角平分线的性质[例4] 已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求AC ∶BC . [解] (1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD ＝∠DCB .∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ，即∠ADF ＝∠AFD ，又因为BE 为圆O 的直径， ∴∠DAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠DAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴AC BC ＝AE AB.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝30°. ∴在Rt △ABE 中，AC BC ＝AE AB ＝tan ∠B ＝tan 30°＝ 33.3．利用面积关系[例5] Rt △ABC 中，O 是斜边BC 上一点，以O 为圆心的半圆与两直角边相切于M 、N ，如果两直角边分别为a 、b ，半圆的半径为r .求证：1r ＝1a ＋1b.[证明] 连接AO 、OM 、ON . ∵AB 、AC 与半圆相切于M 、N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC .又设AB ＝a ，AC ＝b ，半圆的半径为r ，∴S △ABC ＝12ab .又S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ar ＋12br ＝12r (a ＋b )． ∴ab ＝r (a ＋b )．则1r ＝1a ＋1b.4．利用射影定理[例6] 如图，AB 是⊙O 直径，过A 作切线，过B 作割线交⊙O 于E ，交切线于F ，过B 再作割线交⊙O 于C ，交切线于D .求证：BE ·BF ＝BC ·BD . [证明] 连接AE 、AC . ∵AD 是切线，∴BA ⊥AD . ∵AB 是直径， ∴AE ⊥BF ，AC ⊥BD . ∴AB 2＝BE ·BF ，AB 2＝BC ·BD .∴BE ·BF ＝BC ·BD .5．利用相交弦定理及切割线定理[例7] 如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，TA 、TB 与小圆分别相交于点E 、F ，FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证： (2)AC ·PF ＝BC ·PT .[证明] (1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB 切小圆于点C ， ∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ，(2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TETF.∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT .∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF. ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°，∵TF 是⊙O 的直径，∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PTPF，∴AC ·PF ＝BC ·PT .构造出平行关系或作恰当的辅助线是解此类问题的关键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行关系的方法．[例8] 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 、AC 交于O 点，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，EF ∥BC ，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ，ODOB ＝ADBC.求EF 的长． [解] ∵AD ∥BC ，EF ∥BC ， ∴EF ∥AD .∵OD OB ＝AD BC，AD ＝12 cm ，BC ＝20 cm ，∴OD OB ＝1220＝35，∴OB BD ＝58. ∴OE AD ＝OB BD ＝58. ∴OE ＝58×AD ＝58×12＝152 (cm)．同理：OF ＝38×BC ＝38×20＝152(cm)．∴EF ＝OE ＋OF ＝15(cm)．[例9] 已知：在△ABC 中，点D 在BC 边上，过点C 任作一直线与边AB 及AD 分别交于点F ，E .(1)如图(1)，当BD DC ＝12时，求证：AE ED ＝3AF2FB；(2)如图(2)，当BD DC ＝m n 时，猜想：AE ED 与AFFB之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点， ∴AE ED ＝AF FG.又BD DC ＝12，∴DC ＝2BD ＝23BC . ∵DG ∥FC ，∴FG BF ＝DC BC ＝23.∴FG ＝23BF ，∴AE ED ＝AF 23BF ＝3AF 2BF.(2)当BD DC ＝m n 时，有关等式：AE ED ＝m ＋n n ·AFFB.证明：过D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∴AE ED ＝AFFG. 又∵BD DC ＝m n ，∴BC DC ＝m ＋nn.∵DG ∥FC ，∴BF FG ＝BC DC ＝m ＋nn.∴FG ＝nm ＋nBF . ∴AE ED＝AF n m ＋nBF ＝m ＋n n ·AFBF .[对应学生用书P35]一、选择题1.如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴CD 2＝AD ·DB .又CD 是圆的切线，故CD 2＝CE ·CB . ∴CE ·CB ＝AD ·DB . 答案：A2.如图，直线PB 、PD 分别交⊙O 于A ，B 和C ，D ，PA ＝4，AB ＝2，CD ＝5，那么线段PC 的长是( )A ．3 B.65 C ．10D ．1解析：∵PA ＝4，AB ＝2，∴PB ＝6，设PC ＝x ，∴x ·(x ＋5)＝4×6. ∴x 2＋5x －24＝0.∴x 1＝3，x 2＝－8(舍去)，即PC ＝3. 答案：A3．如图所示，△ABC 内接于圆O ，过点A 的切线交BC 的延长线于点P ，D 为AB 的中点，DP 交AC 于点M ，若BP ＝8，AM ＝4，AC ＝6，则PA ＝( )A ．4 2B ．3 2 C. 2D ．5 2解析：由题意MC ＝AC －AM ＝6－4＝2.又D 为AB 的中点，∴AD ＝BD .过点C 作CN ∥AB 交PD 于N ， ∴AM MC ＝AD CN ＝BD CN ＝BPCP，∴8PC ＝42，∴PC ＝4. ∵PA 2＝PC ·PB ＝32， ∴PA ＝4 2. 答案：A4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA ，OB ，A ，B 是切点，则∠AOB 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：连接OO ′，O ′A .∵OA 为⊙O ′的切线，∴∠OAO ′＝90°. 又∵⊙O 与⊙O ′为等圆且外切， ∴OO ′＝2O ′A . ∴sin ∠AOO ′＝AO ′OO ′＝12，∴∠AOO ′＝30°. 又由切线长定理知∠AOB ＝2∠AOO ′＝60°. 答案：B 二、填空题5．如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠A 的大小为________．解析：因为EC ＝EB ，所以∠EBC ＝∠ECB ＝67°，又∠DCF ＝32°，所以∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°. 所以∠A ＝180°－∠BCD ＝99°.答案：99°6．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝____________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5. 答案：57.如图，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA ＝________.解析：连接OA . ∵OP 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，PA ＝OA ·tan 60°＝ 3. 答案： 38.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B C ，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E 两点．(1)若PA ＝5，则△PDE 的周长为________； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝________. 解析：(1)由切线长定理知，DC ＝DA ，EC ＝EB ，PA ＝PB ，∴△PDE 周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝PA ＋PB ＝2PA ＝10. (2)连接OC ，因为DA ，DC 与圆O 相切，所以∠AOD ＝∠COD . 同理，∠COE ＝∠BOE . ∴∠DOE ＝12∠AOB＝12(180°－∠APB ) ＝65°.答案：10 65° 三、解答题9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2＝BE ·BD －AE ·AC . 证明：(1)连接AD .因为AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝90°. 又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°，则A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠DEA ＝∠DFA .(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连接BC ，显然△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝AC AF，即AB ·AF ＝AE ·AC ， ∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2.10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，过点P 作半径OA 的垂线分别交⊙O 于C ，D 两点，垂足是点E .求证：PC ·PD ＝AE ·AO .证明：连接OP ，∵P 为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，AP ＝PB .∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.11.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.对应学生用书P45](时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，AB与圆O相切于点B，过点A作圆O的割线交圆O于C，D两点，BC⊥AD，AB ＝2AC＝2，则圆O的直径等于( )A. 3 B．2 3C．3 3 D．4解析：由切割线定理知AB2＝AC·AD，即22＝1·AD，解得AD＝4，所以CD＝AD－AC＝3，连接BD，因为BC⊥AD，所以BD为圆O的直径，又因为BC2＝AB2－AC2＝3，所以BD＝CD2＋BC2＝32＋3＝2 3.答案：B2．在⊙O的直径CB的延长线上取一点A，AP与⊙O相切于点P上∠APB＝30°，AP＝3，则CP等于( )A. 3 B．23C.23－1 D．23＋1解析：连接CP，BP，则∠PCB＝30°，∠CPB＝90°.于是∠PBC＝60°，∠PBA＝120°，∠A＝30°＝∠PCB，∴CP＝PA＝ 3.答案：A3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于( )A．4 B．6C．8 D．9解析：延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，且CP·PD＝AP·PB＝36∴PC2＝36，PC＝6.答案：B4．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°. ∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°. 答案：D5.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD ＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110° 解析：易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°. 答案：B6．如图所示，PC 切⊙O 于A ，PO 的延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AC ∶CP ＝1∶2，则PO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶4 解析：连接OA ，则OA ⊥PC ， ∴△PAO ∽△PBC ，∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PCBC，又∵OA ＝OB ，AC ∶CP ＝1∶2，设AC ＝x ，则CP ＝2x ， ∴CA ＝x ＝BC ，∴PO OA ＝2xx＝2，∴PO ∶OB ＝2∶1.答案：A7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ， ∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中， ∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CDsin ∠CAD＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝ACcos ∠CAD ＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm. 答案：C8.如图所示，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM＝1.5，BM ＝4，则OC 等于( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝ 2，OC ＝2 2.答案：D9．(天津高考)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2＝FD ·FA ； ③AE ·CE ＝BE ·DE ； ④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ，所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BDBF，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127cm B ．125 cmC.53cm D ．2 cm解析：∵PC ＝2×2＝4 cm ， ∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ，∵D 为切点，∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23. 设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ， ∴OP ＝k2＋k2＝13k ，∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ，BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11.如图，在▱ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，则BM ＝________，DN ________.解析：BM AD ＝BE ED ＝12，∴BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，∴DN ＝12BM ＝6.答案：12 612．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r －1，解得r ＝32.答案：3213．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PB PD＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径，∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：8三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC ，DE ∥BC ，S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，求EC 的长．解：如图，过D 作DF ⊥BC ，过A 作AG ⊥BC ，S △BCD ＝12BC ·DF ，S △BAC ＝12BC ·AG .因为S △BCD ∶S △BAC ＝4∶9，所以DF ∶AG ＝4∶9. 因为△BDF ∽△BAG ，所以BD ∶BA ＝DF ∶AG ＝4∶9. 因为AB ＝12，所以CE ＝BD ＝163. 16．(本小题满分12分)如图，AD 是∠BAC 的平分线，⊙O 过点A 且与BC 边相切于点D ，与AB ，AC 分别交于E ，F ，求证：EF ∥BC .证明：如图，连接DF .因为BC 与圆相切，所以∠CDF ＝∠DAF .因为∠EFD 与∠EAD 所以∠EFD ＝∠EAD .又因为AD 是∠BAC 的平分线，故∠EAD ＝∠DAF . 所以∠CDF ＝∠EFD ，所以EF ∥BC .17．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝2∠A . 求证：AB 2＝BC 2＋AB ·BC . 证明：如图所示．延长BC 到点D ，使CD ＝AB ，连接AD . ∵∠B ＝∠ACB ，∴AB ＝AC . 又∵AB ＝CD ，∴AC ＝CD .∴∠D ＝12∠ACB ＝∠BAC .∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA . ∴AB BD ＝BC AB.∴AB 2＝BC ·BD ＝BC (BC ＋CD ) ＝BC 2＋BC ·CD ＝BC 2＋AB ·BC .18．(本小题满分14分)(辽宁高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.。

(新人教版)最新版高中数学第一章计数原理章末检测试卷新人教A版选修2-3【经典练习】

第一章计数原理章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( ) A ．5 B ．3 C ．6D ．7考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 A解析依题意得m ！(m －5)！＝2×m ！(m －3)！，化简得(m －3)·(m －4)＝2，解得m ＝2或m ＝5，又m ≥5，∴m ＝5，故选A.2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( ) A ．40 B ．74 C ．84D ．200考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.3．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210等于( ) A ．32 B ．－32 C ．1 024 D ．512考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案 A解析由二项式定理，得a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝C 010(－2)0a 10＋C 110(－2)1a 9＋C 210(－2)2a8＋…＋C 1010(－2)10＝(a －2)10＝(－2)10＝25＝32.4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( ) A ．A 34种 B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 C解析先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种．5．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案 A解析常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7系数为C 02·C 55·(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5.6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为( ) A ．A 44A 55 B ．A 23A 44A 35 C ．C 13A 44A 55 D ．A 22A 44A 55考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案 D解析先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A 22种放法，再考虑4幅油画本身排放有A 44种方法，5幅国画本身排放有A 55种方法，故不同的陈列法有A 22A 44A 55种．7．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 B解析令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121.又由条件可知a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160.8．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( ) A ．16 B ．24 C ．32D ．48考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 C解析圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6个直角三角形，共有C 14C 16＝24(个)直角三角形，斜三角形的个数为C 38－C 14C 16＝32(个)． 9．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( ) A ．96 B ．114 C ．128D ．136考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C 217＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．10．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．－20D ．20考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式T k ＋1＝C k n (x )n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k n 526n k x -，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中x2项的系数为C22＋C23＋C24＋C25＝1＋3＋6＋10＝20.故选D.11．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A．C28C23B．C28A66C．C28A26D．C28A25考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案 C解析先从后排中抽出2人有C28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即为A26，共有C28A26种调整方法．12．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项考点二项式定理的应用题点二项式定理与其他知识点的综合应用答案 D解析∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C45＋C46＋C47＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．考点组合数公式题点组合数公式的应用答案2或3解析设女生有x人，则C28－x C1x＝30，即(8－x)(7－x)2·x＝30，解得x＝2或3.14．学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案240解析分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法．由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A 22·A 55＝240(种)．15．(1＋sin x )6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为____．考点二项式定理的应用题点二项式定理与其他知识点的综合应用答案π6或5π6解析由题意，得T 4＝C 36sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sin x ＝12.∵x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或x ＝5π6.16．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种．考点两个计数原理的应用题点两个原理的综合应用答案 30解析先把A ，B 放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C ，D ，若C ，D 在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C ，D 在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A 或B 的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}．试问：(1)从集合A 和B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A ∪B 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？考点两个计数原理的应用题点两个原理的综合应用解 A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．(1)从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34(个)不同的点． (2)A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C 36＝20(个)．18．(12分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56倍，试求展开式中二项式系数最大的项．考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解二项式的通项为T k ＋1＝C k n(2k)2k x ，由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56倍，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是T 4＝C 37(2x )3＝28032x 与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.19．(12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(12分)设⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a m x m，若a 0，a 1，a 2成等差数列．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和．考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解 (1)依题意a 0＝1，a 1＝m 2，a 2＝C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122.由2a 1＝a 0＋a 2，求得m ＝8或m ＝1(应舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8. 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫328，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝38－129＝20516，所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21．(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数； (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．考点排列的应用题点数字的排列问题解 (1)1,2,3,4的再生数的个数为A 44＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234. (2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A 55＝120(个)；若有2个数相同，则有A 55A 22＝60(个)；若有3个数相同，则有A 55A 33＝20(个)；若有4个数相同，则有A 55A 44＝5(个)；若5个数全相同，则有1个．22．(12分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a. 考点二项式定理的应用题点二项式定理的简单应用解 (1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f (x )中的x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m (m －1)2＋n (n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将①变形为n ＝7－m 代入上式得x 2的系数为m 2－7m ＋21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －722＋354，故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数的最小值为9. 当m ＝3，n ＝4时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5；当m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 34＋C 33＝5. (2)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C 04＋C 14×0.003＋C 03＋C 13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a ＝C 48＝70，再根据⎩⎪⎨⎪⎧C k8·2k≥C k ＋18·2k ＋1，C k8·2k ≥C k －18·2k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≥5，k ≤6，求得k ＝5或6，此时，b ＝7×28， ∴b a ＝1285.。

人教版B数学选修2-1：第一章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个命题是假命题的为()A．∀x∈R，x2＋2>0B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3<1 D．∀x∈Q，x2≠3解析：选B.∀x∈N，x4≥0，∴B错误．2.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题解析：选B.¬(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．3.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是()A．若x>y，则x3≤y3－1 B．若x≤y，则x3>y3－1C．若x≤y，则x3≤y3－1 D．若x<y，则x3<y3－1解析：选 C.将原命题的条件和结论分别否定作为条件和结论得到的新命题就是原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．4.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.A选项中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a>b＋1”为“a>b”成立的充分而不必要条件．5.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选 D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.6.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a＝1时，N＝{1}，∴N⊆M，∴a＝1是N⊆M的充分条件．若N⊆M，∴a2＝1或a2＝2，∴a＝±1或a＝±2，∴a＝1不是N⊆M的必要条件．7.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8.已知命题p：(x＋1)2>4，命题q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：选A.由题意知：q是p的充分不必要条件，∴{x|q}{x|p}，p：x＋1>2或x＋1<－2，即x>1或x<－3；q：x>a.∴a≥1.9.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选 D.全称命题的否定：“所有”变为“存在”，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．10.已知p(x)＝x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥3 B．m<8C．R D．3≤m<8解析：选D.∵p(1)为假命题，∴1＋2－m≤0，即m≥3.又p(2)为真命题，∴4＋4－m>0，即m<8.∴3≤m<8.11.“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当两直线垂直时，a＝－1或a＝0.∴a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．12.已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定¬p是________．答案：∃x∈R，f(x)<m14.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________．答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815.a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“¬p”中是真命题的为________．解析：p为假命题，q为真命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为真命题．答案：p∨q，¬p三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c.¬p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．18.指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．(1)两个全等梯形的周长相等；(2)若m <0或n <0，则m ＋n <0.解：(1)原命题为真.逆命题：若两个梯形周长相等，则它们全等，逆命题为假；否命题：若两个梯形不全等，则它们的周长不相等，否命题为假；逆否命题：若两个梯形的周长不相等，则它们不全等，逆否命题为真．(2)原命题为假．逆命题：若m ＋n <0，则m <0或n <0，逆命题为真．否命题：若m ≥0且n ≥0，则m ＋n ≥0，否命题为真．逆否命题：若m ＋n ≥0，则m ≥0且n ≥0，逆否命题为假．20.命题p ：“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 为常数．(1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：(1)¬p ：∃x ∈R ，x －a ≤0且x －b >0.(2)¬p 为真，即集合{x |b <x ≤a }不是∅，即a >b 时，¬p 为真命题．21.证明：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 证明：充分性：当0<m <13时，Δ＝4－12m >0，方程有两个不相等的实根，不妨设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m>0，故方程有两个同号且不相等的实根．充分性得证．必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2>0，∴0<m <13.必要性得证．∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 22.已知命题p ：“函数f (x )＝ax 2－4x (a >0)在(－∞，2]上单调递减”；命题q ：“∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”，若命题“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真．当a >0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.q 为真．命题等价于：方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实根．Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p 且q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤112<a <32，∴12<a ≤1.。

人教版高中数学选择性必修第一册-第1章-空间向量与立体几何-章末检测卷(含答案)

第一章空间向量与立体几何章末检测卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．84．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>05．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <16．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或28．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．15．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M 1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．18．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．622．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a，b同时满足B A，A∩C＝C？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．第一章空间向量与立体几何章末检测卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝()A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}答案C解析由题意得A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1，2}．故选C.2．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{x |3≤x ≤7，x ∈N }，则∁U A ＝()A ．{1，2}B ．{3，4，5，6，7}C ．{1，3，4，7}D ．{1，4，7}答案A解析由题意知A ＝{3，4，5，6，7}，所以∁U A ＝{1，2}．故选A.3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案D解析由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D.4．若存在量词命题“∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≤0”，则其否定是()A ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0B ．∃x ∈R ，x 2－3x ＋5>0C ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5≥0D ．∀x ∈R ，x 2－3x ＋5>0答案D5．若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是()A ．b ≥2B ．1<b ≤2C ．b ≤1D ．b <1答案D解析由A ⊆B 得b ≤1，结合选项知A ⊆B 的一个充分不必要条件为b <1.6．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为()A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{1，－1，0}答案D解析由已知得M ＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a ≠0时，由1a ＝－1得a ＝－1，满足条件；由1a＝1得a ＝1，满足条件．所以实数a 的取值集合为{－1，0，1}．故选D.7．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．1或2答案B解析当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.故选B.8．已知条件p ：4x －m <0，q ：1≤3－x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．{m |m ≥8}B ．{m |m >8}C ．{m |m >－4}D ．{m |m ≥－4}答案B解析由4x －m <0，得x <m 4，由1≤3－x ≤4，得－1≤x ≤2.∵p 是q 的一个必要不充分条件，∴m 4>2，即m >8.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列选项中的两个集合相等的是()A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2(n ＋1)，n ∈Z }B ．P ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}C ．P ＝{x |x 2－x ＝0}，Q ＝{xx ＝1＋（－1）n 2，n ∈Z }D ．P ＝{y |y ＝x ＋1}，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}答案AC解析对于A ，P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ；对于B ，P 是由所有正奇数组成的集合，Q 是由所有大于1的正奇数组成的集合，所以P ≠Q ；对于C ，P ＝{0，1}，当n 为奇数时，x ＝1＋（－1）n 2＝0，当n 为偶数时，x ＝1＋（－1）n 2＝1，所以Q ＝{0，1}，P ＝Q ；对于D ，集合P 表示数集，而集合Q 表示点集，所以P ≠Q .故选AC.10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的有()A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件C ．“a <5”是“a <3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件答案CD解析对于A ，因为a ＝b 时ac ＝bc 成立，ac ＝bc ，c ＝0时a ＝b 不一定成立，所以“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 错；对于B ，a ＝－1，b ＝－2时，a >b ，a 2<b 2，a ＝－2，b ＝1时，a 2>b 2，a <b ，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件，故B 错；对于C ，因为“a <3”时一定有“a <5”成立，所以“a <5”是“a <3”的必要条件，故C 正确；对于D ，“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故D 正确．故选CD.11．已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B 中有两个元素，且满足A ∪B ＝{0，1，2}，则集合B 可以是()A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，3}D ．{1，2}答案BD12．我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A )表示有限集合A 中元素的个数．例如，A ＝{x ，y ，z }，则card(A )＝3.若非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，则下列说法正确的是()A ．M ∪N ＝MB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅答案ABC解析非空集合M ，N 满足card(M )＝card(N )，且M ⊆N ，即M ，N 元素个数相同，且M ⊆N ，∴M ＝N ，∴A 、B 、C 正确．又∵M ，N 是非空集合，∴M ∩N ≠∅，D 不对．故选ABC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案6解析由已知得，B ＝{3，7，9，15}，所以A ∪B ＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A ∪B 中元素的个数为6.14．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是___________________________．答案∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠015．已知集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________；若A ∩B ＝{3，4}，则实数a ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)答案－22或4解析∵集合A ＝{－2，3，4，6}，集合B ＝{3，a ，a 2}，B ⊆A ，∴a ＝－2.∵A ∩B ＝{3，4}，∴a ＝4或a 2＝4，∴a ＝2或4(a ＝－2时不符合题意)．16．若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M1，0，12，2，空子集中“伙伴关系集合”的个数是________．答案3解析“伙伴关系集合”有3个：{－1}1，12，四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合U ＝{x |1<x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}．求(1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)(∁U A )∩(∁U B )．解析(1)A ∩B ＝{x |3≤x <5}．(2)A ∪B ＝{x |2≤x <7}．(3)∁U A ＝{x |1<x <2或5≤x ≤7}，∁U B ＝{x |1<x <3或x ＝7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{x |1<x <2或x ＝7}．18．(12分)P ＝{2，y }，Q ＝{2x ，2，y 2}，且P ＝Q ，求x，y 的值．解析∵P ＝Q＝2x ，＝y 2＝y 2，＝2x ，＝0，＝0或1＝0，＝0＝14，＝12.由元素的互异性可知x ≠y ，故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.19．(12分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0.解析(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因为綈p 是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是綈p ：“对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0”．利用配方法可以证得綈p 是一个真命题，所以原命题是一个假命题．20．(12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B＝{x |2m <x <1－m }．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝{x |1<x <2}，求实数m 的值；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析(1)由A ⊆B －m >2m，m ≤1，－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．(2)m ≤1，－m ＝2≤12，＝－1，∴m ＝－1.(3)由A ∩B ＝∅，得当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；当2m <1－m ，即m <13时，需<13，－m ≤1<13，m ≥3，得0≤m <13或m 无解，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为{m |m ≥0}．21．(12分)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2m <x <1}．(1)若B ≠∅，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若B ∩(∁R A )中只有一个整数，求实数m 的取值范围．解析(1)由题意知B ≠∅且B A ，∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴－1≤2m <1⇒－12≤m <12.(2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <－1或x >2}．①当m <12时，B ＝{x |2m <x <1}，若B ∩(∁R A )中只有一个整数，则－3≤2m <－2，得－32≤m <－1；②当m ≥12时，不符合题意．综上，m 的取值范围是－32≤m <－1.22．(12分)在①A ∩B ＝∅，②A ∩(∁R B )＝A ，③A ∩B ＝A 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋3}，B ＝{x |－7≤x ≤4}，若________，求实数a 的取值范围．解析若选择①A ∩B ＝∅，则当A ＝∅，即a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择②A ∩(∁R B )＝A ，则A 是∁R B 的子集，∁R B ＝{x |x ＜－7或x ＞4}，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4>－4，a ＋3≤－7>－4，－1≥4，解得a ≥5.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ≤－4或a ≥5}．若选择③A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，当a －1≥2a ＋3，即a ≤－4时，A ＝∅，满足题意；当a >－4－1≥－7，a ＋3≤4，解得－4<a ≤12.综上可知，实数a 1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，则满足B ∪A ＝A 的非空集合B 的个数为()A ．31B ．63C ．64D ．62答案B解析∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1，2，3，4，5，6}，∴满足A ∪B ＝A 的非空集合B 的个数为26－1＝63.2．设集合A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，若A ∪B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}答案D解析由A ∪B ＝B 得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝{x |x <a }，故a >2.3．已知M ＝{x |y ＝x 2－2}，N ＝{y |y ＝x 2－2}，则M ∩N 等于()A ．NB ．MC ．RD ．∅答案A解析M ＝{x |y ＝x 2－2}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－2}＝{y |y ≥－2}，故M ∩N ＝N .4．已知表示集合A ＝{x |x >－2}和B ＝{x |x <3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2}C ．{x |x ≥3}D ．{x |x <3}答案B解析∵A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x <3}，∴A ∪B ＝R .设U ＝R ，则∁U A ＝{x |x ≤－2}，∴题图中阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |x ≤－2}．5．已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0.(1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ，＋1≥－2，a ＋1≤5，≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问是否存在实数a ，b 同时满足B A ，A ∩C ＝C ？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．解析∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又B A ，∴a －1＝1，即a ＝2.∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A ，则C 中的元素有以下三种情况：(1)若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，∴Δ＝b 2－8<0，－22<b <22，符合题意．(2)若C ＝{1}或C ＝{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b 2－8＝0，b ＝±22，此时C ＝{2}或C ＝{－2}，不符合题意，舍去．(3)若C ＝{1，2}，则b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好等于2，符合题意．故同时满足B A ，A ∩C ＝C 的实数a ，b 存在，a ＝2，－22<b <22或b ＝3.。

新教材2024年秋高中数学章末综合测评4指数函数与对数函数新人教A版必修第一册

章末综合测评(四) 指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a<，则化简的结果是( )A．B．－C．D．－2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为( )A．(1，2) B．[1，2)C．(1，2] D．[1，2]3．函数f(x)＝的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．34．(2024·河南信阳高一期末)若4m＝3，则log312＝( )A． B． C． D．5．函数y＝log2(2x＋1)的值域是( )A．[1，＋∞)B．(0，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)6．(2024·四川泸州高一期末)在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的改变规律．指数增长率r与R0、T近似满意R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10.据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少须要(参考数据：ln 2≈0.69)()A．6天B．7天C．8天D．9天7．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝b＝log2c，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c8．若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a|x ＋k|的大致图象是( )A BC D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝a x+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则( )A．a＝3B．f(1)＝6C．f(x)为R上的增函数D．f(x)>10的解集为(2，＋∞)10．(2024·江苏淮安高一期中)已知正实数a，b满意b a＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为( )A．2 B．3 C．4 D．511．若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是( )A．f(x＋2)是偶函数B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数C．f(x)没有最大值D．f(x)没有最小值12．已知正实数x，y满意log2x＋y－，则下列结论肯定正确的是( ) A．B．x3<y3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．14．已知函数f(x)＝a x-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个满意下列条件的对数型函数g(x)的解析式________．①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞) 上单调递减．15．(2024·江苏南京高一期末)闻名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满意：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃.16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9，3)．(1)实数m的值为________；(2)若函数g(x)＝a f(x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a 的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·湖北襄阳五中期中)(1)求(×)6＋×＋lg 500－lg 0.5的值；(2)设2x＝3y＝72，求的值．18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)过点(m，n)；在＋2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝log b x＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．(1)求f(x)的解析式，推断并证明g(x)＝f(x)＋的奇偶性；(2)解不等式：log a(1＋x)＜log a(2－x)．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)设g(x)＝a x－b x，求g(x)在[0，4]上的值域．21．(本小题满分12分)(2024·山东德州市第一中学期末)某医药公司研发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y(单位：微克)与时间t(单位：时)之间的关系满意如图所示的曲线，当t∈[0，1.5)时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y＝log a(t＋2.5)＋5(a＞0，a≠1)图象的一部分，依据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；(2)问服药多久后起先有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？(精确到0.1)(参考数据≈1.414)22．(本小题满分12分)若在定义域内存在实数x0，使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.(1)请推断函数f(x)＝是否有漂移点？并说明理由；(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点；(3)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有漂移点，求实数a的取值范围．章末综合测评(四)1．C2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．B9．BCD[由题意可得a a-2＋2＝3恒成立，故a＝2，A错误；依据题意，得a＝2，∴f (x)＝2x+1＋2，∴f (1)＝22＋2＝6，故B正确；∵f (x)＝2x+1＋2，∴f (x)为R上的增函数，C正确；f (x)＝2x+1＋2>10，解得x>2，D正确．故选BCD．]10．CD[因为b a＝4，所以log b4＝a，故a＋log2b＝log b4＋log2b＝2log b2＋log2b＝3，设log2b＝x，则log b2＝故x＝3，解得x＝1或2，当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5．故选CD．]11．ABC[f (x)＝lg (|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示，所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．]12．BC[∵正实数x，y满意log2x＋log<∴log2x－<log2y－．易知f (x)＝log2x－(0，＋∞)上为增函数，故x<y，∴>x3<y3，故A错误、B正确；∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不肯定正确．故选BC．] 13．[因为f (x)＝R上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，所以a ＝．经检验，a＝．]14．g(x)＝＋2(答案不唯一) [函数f (x)＝a x-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f (1)＝a0＋1＝2，所以f (x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝2，则g(1)＝2，满意条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满意条件②；易知g(x)在(0，＋∞)内单调递减，满意条件③．]15.37.5 [由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝60，所以，60＝30＋(90－30)e-14k，可得e-14k＝再经过28分钟后，该物体的温度为θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋(90－30)(e-14k)3＝37.5．]16．(1)2(2)或[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3，∴α＝，f (x)＝，∴m＝f (8)＝＝2．(2)g(x)＝a，∵x∈[16，36]，∴∈[4，6]，当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，由题意得a4＝2a6，解得a＝；当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，由题意得a6＝2a4，解得a＝．综上，所求实数a的值为或．]17．解：(1) (×)6＋×＋lg 500－lg 0.5＝23×32＋3×4＋lg ＝72＋12＋3＝87．(2)依题意有x＝log272，y＝log372，＝log722，＝log723，所以＋＝3log722＋2log723＝log72(8×9)＝1．18．解：(1)将点(－2，9)代入f (x)＝a x(a>0，a≠1)中得a-2＝9，解得a＝∴f (x)＝．(2)∵f (2m－1)－f (m＋3)<0，∴f (2m－1)<f (m＋3)．∵f (x)＝∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．解：(1)由①可知，＋＝0，即解得由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝log b x ＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝a x过(1，3)，即a＝3，f (x)＝3x．g(x)为偶函数．证明如下：g(x)＝f (x)＋＝3x＋3－x，x∈R，g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3－x＝g(x)，∴g(x)为偶函数．(2)log a(1＋x)＜log a(2－x)，即log3(1＋x)＜log3(2－x)，可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜．即不等式log a(1＋x)＜log a(2－x)的解集为．20．解：(1)由已知得得解得a＝4，b＝2．(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，令f (x)＝0得4x－2x＝1，即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，又2x>0，∴2x＝，解得x＝log2．(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，则g(t)＝t2－t＝－，t∈[1，16]，所以g(x)∈[0，240]．21．解：(1)当0≤t<1.5时，由图象可设y＝k(t－1)2＋4，将点(0，0)的坐标代入函数表达式，解得k＝－4，即当0≤t<1.5时，y＝－4(t－1)2＋4，当1.5≤t≤6时，将点(1.5，3)的坐标代入函数y＝log a(t＋2.5)＋5中，解得a＝．故y＝(2)令－4(t－1)2＋4≥2，解得1－≤t≤1＋0.3≤t≤1.7，又0≤t<1.5，∴0.3≤t<1.5，故服药0.3小时之后起先有治疗效果，＋5≥2，解得－2.5<t≤5.5，又1.5≤t≤6，故1.5≤t≤5.5，综上，0.3≤t≤5.5，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时．22．解：(1)假设函数f (x)＝“漂移点”x0，则2，x0＋1＝0，因为此方程无实根，与题设冲突，所以函数f (x)＝．(2)证明：令h(x)＝f (x＋1)－f (x)－f (1)＝(x＋1)2＋3x+1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，所以h(0)＝－1，h(1)＝5．所以h(0)h(1)<0．又h(x)的图象在(0，1)上连续，所以h(x)＝0在(0，1)上至少有一个实根x0，即函数f (x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点．(3)若f (x)＝lg (0，＋∞)上有漂移点x0，所以lg ＝lg lg a成立，即a，a>0，整理得a＝由x0>0，0<<1，则0<a<1．则实数a的取值范围是{a|0<a<1}．。

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第一章基本初等函数（Ⅱ）（B ）
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·cos x <0，则角x 的终边位于( )
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
3．函数y ＝tan x 2
是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2
的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数
4．已知tan(－α－43π)＝－5，则tan(π3
＋α)的值为( ) A ．－5 B ．5 C ．±5 D ．不确定
5．已知函数y ＝2sin (ωx ＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )
A ．1
B ．2
C ．12
D ．13
6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( )
A ．－π2
B ．2k π－π2
(k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π2
(k ∈Z ) 7．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．－310 B ．310 C ．±310 D ．34
8．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π20 9．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3
个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π4
，则θ的一个可能取值是( ) A ．5π12 B ．－5π12
C ．11π12
D ．－11π12
10．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能．．．是( )。