应力圆法

-40
80°
60°
30
30
0
0.2 0.4 0.6
-40
例7-4-2 ：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁 件受扭转时的破坏现象。
解：1．取单元体ABCD，其中
xy
T ， ，这是纯剪切应力状态。 WP
x y 0,
2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
σx σ y σx σ y cos 2 xy sin 2 σ α 2 2 σ x σ y sin 2 cos 2 xy 2

2 2 2
二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s
1.圆心的坐标 C( （Coordinate of circle center） 2.圆的半径（Radius of circle）
x y
2
,0)
2 )2 xy
R (
x y
2
此圆习惯上称为 应力圆（ plane stress circle）,或称为莫 尔圆（Mohr’s circle）

x y
cos 2 xy sin 2
把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2 )2 xy
因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的 圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直 角坐标系内的轨迹是一个圆.


C B A
3
2
1
2
c
abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面
1
a b
1
该截面上应力 和 对应 的D点必位于上述三个应力圆 所围成的阴影内
3
2
结论 三个应力圆圆周上的 点及由它们围成的阴影部 分上的点的坐标代表了空 间应力状态下所有截面上 的应力


B A
该点处的最大正应力 O C （指代数值）应等于最大 3 应力圆上A点的横坐标1

A

B 2
A
B
O C

2.求主应力数值和主平面位置 （Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress circle） （1）主应力数值 A1 和 B1 两点为与主平面
2
B1 B CF
1
x
1
2 xy 2 0 tan ( ) x y
0 确定后,1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力（Determine maximum shearing stress by using stress circle） G1和G两点的纵坐标分别代 表最大和最小切应力

G1
y n

E 2 20 D
e
yx x xy
f
x
o
x
B
CF
A

y
D′
a
x
证明：
OF OC CF OC CE cos(20 2 ) OC CD cos 20 cos 2 CD sin 20 sin 2 x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
2.证明(Prove)

D
（1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为
x y
2
（2）该圆半径为
o
y
B C D′ A

R (
x y
2
)
2
2 xy
x
x y 1 1 OC OB (OA OB) (OA OB) 2 2 2
)
2
2 xy
max 1
（2）主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1对应 o 的主平面的外法线
2
B1 B 20 D
C
A
y
D′
A1

2 xy DA tan( 2 0 ) CA x y 2 xy tan 2 0 x y
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等 ，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度 较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
§7-4 三向应力状态分析 （analysis of three-dimensional stress-state）
一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in threedimensional stress-state)
2
1
max 1
最大切应力则等于最
大的应力圆的半径

max
1 ( 1 3 ) 2

O
C B A
最大切应力所在的 截面与 2 所在的主平面 垂直,并与1和3所在的 主平面成45°角.
3
2
1
例题9 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最 大切应力值及其作用面方位. 解: 该单元体有一个已知主应力
二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle）
y

y x
yx
x xy y
x o

1.步骤（Steps）
（1）建 - 坐标系,选定比例尺
y
yx
D
x
x xy
x
o
y
B
C
D′
A

（2）量取 OA= x AD = xy 得D点 （3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
已知受力物体内某一点处三个主 应力1, 2, 3 利用应力圆确定该点的最大正应 力和最大切应力.
2
3
1
1 3 2
首先研究与其中一个主平 面 （例如主应力3 所在的平 面）垂直的斜截面上的应力 用截面法,沿求应力的
2
截面将单元体截为两部分,
取左下部分为研究对象
1 1
1


§ 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state)
平面应力状态下，已知一点的应变分量x ,y , xy ，欲求方 向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别 找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ,y , xy在此方向上 引起的线应变及切应变,再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction）
§7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means)
一、莫尔圆（Mohr’s circle）
将斜截面应力计算公式改写为
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2

x y
y 20MPa
z 20MPa
因此与该主平面正交的各截 面上的应力与主应力z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力 圆. 求另外两个主应力
z
20MPa 40MPa
x 20MPa
x 40MPa
xy 20MPa 由 x , xy 定出 D 点
y 20MPa yx 20MPa 由 y , yx 定出 D′ 点
3 2 2
主应力 3 所在的两平面上是一 对自相平衡的力,因而该斜面上的应 力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定 与3 垂直的斜截面上的应力可 由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表 示
1
3
1
3

2
2
该应力圆上的点对应 于与3 垂直的所有斜截面 上的应力 与主应力 2 所在主平 面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力 圆上的点来表示 O 与主应力１所在主平 面垂直的斜截面上的应力 , 可用由2 ,3作出的应 力圆上的点来表示
FE CE sin(2 o 2 ) CD sin 2 0 cos 2 CD cos 2 0 sin 2 x y sin 2 xy cos 2 2
说明
（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于 应力圆上某一点的坐标. （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
以 DD′为直径作应力圆 A1,A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力 1 和 3

D′ A2 O D A1
1 =46MPa
3 =-26MPa
该单元体的三个主应力

1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa
根据上述主应力，作出三个应 力圆
3 1
max 36MPa
CD CA AD (
2 2
x y
2
2 )2 xy
三、应力圆的应用（Application of stress-circle）
1.求单元体上任一 截面上的应力（Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle） 从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE. 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.