【高中数学】绝对值函数的图像
绝对值不等式
－2
1 2
3Hale Waihona Puke 巩固练习：解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2 ( 3) | 5 x 4 | 6
(5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 (2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5
{ x | x 5或x 5}
5 5 {x | x } 2 2 5 5 { x | x 或x } 2 2
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x－x1|
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0 y
1
－1
o 1
x
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
（3）|2x|>5
（4）|x-1|<5
{ x | 4 x 6}
（5）|2x-1|<5
（6）|2x2-x|<1 （7）|2x-1|<1
带有绝对值的函数图像怎么画
带有绝对值的函数图像怎么画要正确地画出带有绝对值的函数的图像，我们需要了解绝对值函数的定义和特点。
绝对值函数的定义：对于任意实数x，绝对值函数，x，的值等于x的绝对值，即：如果x≥0，x，=x如果x<0，x，=-x绝对值函数的图像通常是沿着x轴对称的关于y轴的V形，也可能是一条直线。
以下是绘制绝对值函数图像的步骤：步骤一：确定定义域和值域首先，确定绝对值函数的定义域和值域。
对于绝对值函数，定义域为所有实数集R，值域为非负实数集R+。
步骤二：找到x轴的截距当x等于0时，绝对值函数的值为，0，=0。
所以绝对值函数图像经过原点，即在点(0,0)处与x轴相交。
步骤三：找到y轴截距当x等于0时，绝对值函数的值为，0，=0。
所以绝对值函数图像经过原点，即在点(0,0)处与y轴相交。
步骤四：寻找其他点在原点(0,0)处找到了绝对值函数的图像，我们可以从该点开始，通过选择其他一些x值来计算相应的y值，以找到更多的点。
当x大于0时，绝对值函数的值等于x本身。
所以我们可以选择一些正的x值，计算得到相应的y值。
例如，当x等于1时，1，=1、因此，我们可以得到点(1,1)。
当x小于0时，绝对值函数的值等于-x。
所以我们可以选择一些负的x值，计算得到相应的y值。
例如，当x等于-1时，-1，=-(-1)=1、因此，我们可以得到点(-1,1)。
通过选择更多的x值，我们可以计算得到更多的点，并继续寻找一些关键点。
步骤五：连接点并绘制图像通过已知的点，我们可以开始绘制绝对值函数的图像。
根据绝对值函数的特性，我们知道图像将是一条沿着x轴对称的关于y轴的V形。
连接已知的点，并通过一条平滑的曲线或线段将它们连接起来。
确保图像在过原点、(1,1)和(-1,1)的地方出现拐点，因为这些点是关键点。
步骤六：确定图像的范围和形状根据函数的定义域和值域来确定图像的形状和范围。
绝对值函数的定义域是所有实数集R，值域是非负实数集R+。
要注意，图像是关于y轴对称的，所以如果我们只画出对称的一半，就可以得到完整的图像。
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
一篇文章掌握高中函数图像,不看别后悔!
函数图像是必考点，对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值（值域）、零点有举足轻重的作用，但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式，就已经晕头转向了。
今天给大家整理了高中函数相关资料，希望能帮助高中生数学得高分！下面是基本初等函数的图像以及函数变换的规律，希望大家能学明白！一、基本初等函数的图像1.一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减。
2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图：不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的：6.幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
7.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
二、函数图像的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx 通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x 轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
三个绝对值相加的函数图像
三个绝对值相加的函数图像
函数图像是数学中最重要的概念之一，函数图像描述了函数的变化趋势。
今天，让我们一起来看看三个绝对值相加的函数图像。
首先，关于三个绝对值相加的函数图像，我们需要了解绝对值函数。
绝对值函数是一种函数，它的定义域和值域都是实数集，作用是取出一个数的绝对值。
当自变量的取值在正数区间时，绝对值函数的图像只有一条直线段，而当自变量的取值在负数区间时，绝对值函数的图像也是一条直线段，只不过两者是相反的。
其次，我们再来看看三个绝对值相加的函数图像。
它由三个绝对值函数叠加而成，其图像是两个凸起的波形拼接而成。
从原点(0, 0)出发，先往右上方，然后往右下方，最后再往右上方，这样形成了一个完整的函数图像。
最后，我们来看看三个绝对值相加的函数图像的一般表达形式。
假设有三个正数u，v，w，那么三个绝对值相加的函数图像可表示为： y=|u|+|v|+|w|
由此可见，三个绝对值相加的函数图像只是对三个绝对值函数做一个叠加而已，其他没有任何变化。
总之，三个绝对值相加的函数图像是三个绝对值函数叠加而成的一个图像，是一种定义域和值域都是实数集的函数，可以使用一般表达式来进行描述。
通过本文的介绍，我们了解了三个绝对值相加的函数图像的结构和特点，希望大家也能掌握这一知识点，提高数学能力。
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高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中数学中，函数是一个非常重要的概念，是数学的基础。
函数不仅在数学上有很多应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
函数的图像和性质是我们学习函数的重要内容之一。
下面我将详细介绍高中数学中的14种函数图像和性质。
一、常数函数图像和性质：常数函数是指对于任何定义域内的自变量，其函数值都是一个固定的常数。
常数函数的图像是一个平行于x轴的直线，也可以看作是y轴上的一个点。
常数函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是{常数}，奇偶性是偶函数。
二、一次函数图像和性质：一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k和b是常数。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率k，截距b。
一次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域是全体实数，当且仅当k=0时，为常数函数，奇偶性是奇函数。
三、二次函数图像和性质：二次函数是指函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。
二次函数的性质包括：定义域是全体实数，值域受a的正负号和抛物线的开口方向影响，奇偶性当且仅当a=0时，为一次函数。
四、基本初等函数图像和性质：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
它们都有各自的图像和性质。
1. 幂函数图像和性质：幂函数是指函数的表达式为y=xⁿ，其中n是一个实数，且n≠0。
幂函数的图像随着n的不同而变化，当n>0时，函数的图像是递增的曲线，当n<0时，函数的图像是递减的曲线。
幂函数的性质包括：定义域是正实数或负实数，值域受n的正负号影响，奇偶性当且仅当n为偶数时，函数关于y轴对称。
2. 指数函数图像和性质：指数函数是指函数的表达式为y=aⁿ，其中a是一个正实数，且a≠1，n是一个实数。
指数函数的图像随着a和n的取值不同而变化，当0<a<1时，函数的图像是递减的曲线，当a>1时，函数的图像是递增的曲线。
高中数学人教A版必修一1.1函数的表示：含绝对值的一次函数
含绝对值的一次函数含绝对值的函数问题是近年来高考及县市级统考中的热点问题.由于绝对值本身的意义,解决此类问题一般是需要讨论的.当然,如果我们比较熟悉它,有时可以有比较简单的方法的.解决含绝对值的函数的问题,方法大致有:⑴分类讨论:通过讨论,去掉绝对值符号;⑵数形结合:通过画图,寻求问题的几何意义,从而是比较简单地求解.例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________.变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________.变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _______.变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像.⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.总结：此类绝对值函数的性质与图像特征（U 型或倒U ）；变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________.变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 .变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．参考答案:例1.画出()3|2|1f x x =+-的图像总结：归纳此类绝对值函数的性质与图像特征（V 型或倒V ）；变式1.若函数()||2f x a x b =-+在区间(2,)+∞上为增函数，则实数a,b 的取值范围是________. 0,2a b >≤变式 2.对,a b R ∈，记,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=≤⎨<⎩，则函数()max{|1|,|2|}()f x x x x R =+-∈的最小值是_________. 32变式3.已知函数|}||,1min(|)(a x x x f -+=的图像关于直线2=x 对称,则实数a = _________. 5变式4.y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且13k ≠）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是( )A ．7B ．8C ．10D ．13C变式5.已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++，若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求m 的取值范围.m<5变式6(2017浙江高考). 17.已知∈a R ，函数()4=+-+f x x a a x在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 例2⑴.画出函数|2||1|)(++-=x x x f 的图像. ⑵.画出函数|2||1|)(+--=x x x f 的图像. ⑶.画出函数|2||12|)(++-=x x x f 的图像. ⑷.画出函数|2||12|)(+--=x x x f 的图像.变式1.若函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称，则a 的值为______.3变式2设函数()3|4|||f x x x a =-+-，则()f x 的最小值为3，则a =________. 17或变式3若关于x 的不等式|1||2|x x a ---<的解集为R ，求a 的取值范围；1a >变式4.函数()()(2)f x x a x a x =+-+-的图象为中心对称图形，则实数a 的值为 . 32- 变式 5.将函数1112122y x x =-+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ．[0,)4π。
高中数学必学的七类函数
七类函数一．对号函数：形如()bf x ax x=+的函数称为对号函数。
（1）0,0a b >>时，示意图如下：可看成以直线y ax =与y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时()f x 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
（2）0a >且0b <时，示意图如下：此时()f x 为奇函数，分段递增，当0(0)x x ><或时，y R ∈1.已知函数f(x)=2x+x8（1）当x ∈(0,+∞) 时.求()x f 的值域。
（2）当x ∈[1，3 ] 时.求()x f 的值域。
（3）当x ∈[-2，0）时.求()x f 的值域。
2. 已知函数f(x)=2x —x8，研究该函数的性质。
3. 已知函数(x)=4522++x x ,求f(x)的最小值及此时x 的值.y ax=b aO x yB2ab1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的函数称为一次分函数。
2． 一次分函数的图象和性质(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+2.1 图象：其图象如图所示.2.2定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ；2.4 对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c a b ,；2.5 渐近线方程：b x a =-和cy a=；2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增；1．函数21()3x f x x +=+的单调增区间是 ．2．函数21()3x f x x -=+的对称中心是 ．3. 函数21()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________．4. 函数21()3x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________1.已知函数f(x)=112+++x x x ,求(1) f(x)的值域。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
含绝对值函数的图象
含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y kx b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12kx b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．【解析】（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集．解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b 所求函数表达式为3242y x =-++．（2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示，由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12kx b x +＞的解集是：60x -<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m ＝ ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x 2+2|x |+1＝0有 个实数根；②关于x 的方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为2；。
绝对值函数的像和性质
绝对值函数的像和性质绝对值函数是一种常见的数学函数，以符号“|x|”表示。
它的定义如下：对于任意实数x，当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。
绝对值函数的像是指函数所映射的值的集合。
在讨论绝对值函数的像之前，我们先来讨论一下绝对值函数的性质。
性质一：非负性绝对值函数的值永远是非负数，即对于任意实数x，有| x | ≥ 0。
性质二：对称性绝对值函数具有对称性，即对于任意实数x，有| x | = | -x |。
性质三：三角不等式绝对值函数满足三角不等式，即对于任意实数x和y，有| x + y | ≤ |x | + | y |。
性质四：单调性绝对值函数在自变量同号的情况下是单调递增的，即若x₁≥ x₂，则有| x₁ | ≥ | x₂ |。
绝对值函数的像是由函数的定义决定的，即对于给定的自变量集合，函数的像就是所有可能的函数值集合。
下面以一些具体的例子来说明绝对值函数的像和性质。
例子一：考虑绝对值函数| x |，当给定自变量集合为[-3,3]时，即x的取值范围为-3到3之间。
根据绝对值函数的定义，可以得到函数的值集合为[0,3]。
因为对于[-3,3]内的任意x值，都有|x|≥0，且最大值为3。
例子二：考虑绝对值函数| x - 2 |，当给定自变量集合为[-4,4]时，即x的取值范围为-4到4之间。
根据绝对值函数的定义，可以得到函数的值集合为[0,4]。
因为对于[-4,4]内的任意x值，都有|x - 2 |≥0，且最大值为4。
绝对值函数的像与自变量的范围密切相关。
在例子一和例子二中，当自变量范围加大时，函数的值集合也会相应地扩大。
绝对值函数还有一些重要的应用，比如在计算机科学、物理学等领域。
在计算机科学中，绝对值函数常常用于计算两个数之间的距离或差值。
在物理学中，绝对值函数常常用于表示与原点距离的物理量，例如速度的绝对值表示速度的大小。
综上所述，绝对值函数具有非负性、对称性、三角不等式和单调性等性质。
探究绝对值函数的图像与性质
探究绝对值函数的图像与性质绝对值函数是我们在数学中经常遇到的一种函数形式。
它的图像和性质在数学的学习中具有重要的意义。
本文将探究绝对值函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用这一函数。
首先，我们来了解一下绝对值函数的定义。
绝对值函数通常用符号“|x|”表示，其中x可以是任意实数。
绝对值函数的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值函数的定义可以简单地理解为，它的值就是x的绝对值，即无论x是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
接下来，我们来探究绝对值函数的图像。
为了更好地理解，我们可以通过绘制函数图像来观察其特点。
我们以y=|x|为例，绘制其图像。
首先，我们将x轴分为两个区间：x≥0和x<0。
在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，因此图像为一条通过原点的斜率为1的直线。
在x<0的区间内，绝对值函数的值与x的值相反，即取相反数，因此图像为一条通过原点的斜率为-1的直线。
当x=0时，绝对值函数的值为0，因此图像在原点处有一个拐点。
综上所述，绝对值函数的图像是一条以原点为拐点的V字形曲线。
除了通过绘制图像来观察绝对值函数的特点，我们还可以通过分析函数的性质来深入理解。
首先，我们来讨论绝对值函数的奇偶性。
绝对值函数是一个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
这是因为当x>0时，绝对值函数的值等于x，而当x<0时，绝对值函数的值等于-x。
因此，绝对值函数关于原点对称，即图像在原点处对称。
接下来，我们来讨论绝对值函数的单调性。
在x≥0的区间内，绝对值函数是递增的，即随着x的增大，函数的值也增大。
在x<0的区间内，绝对值函数是递减的，即随着x的减小，函数的值也减小。
这是因为在x≥0的区间内，绝对值函数的值与x的值相等，而在x<0的区间内，绝对值函数的值与-x的值相等。
此外，绝对值函数还具有一个重要的性质，即绝对值函数的最小值为0。
这是因为绝对值函数的定义中，当x=0时，函数的值为0。
高中数学绝对值不等式的解法
－2
1 2
3
巩固练习：
解下列不等式：
1 1 (1) | x | 4 2
(3) | 5 x 4 | 6 (5)1 | 3 x 4 | 6
2 1 ( 2) | x | 3 3 (4) | 3 2 x | 7
(6) | x 3 x | 4
2
(7) | 3 2 | 1
2017/4/20
②
①
-m -n 0 n m 题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
推广： | f(x) | ＜g(x), | f(x) | >g(x)
2017/4/20 南粤名校——南海中学
3 x 4， 或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
2017/4/20 南粤名校——南海中学
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法3：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
3 2 x 3 5， 或 5 2 x 3 3
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
1.探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0Байду номын сангаас1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
高中数学线性绝对值和与差的问题(竞赛辅导)微课PPT课件
问题 函数 f (x) x 1 2x a 的最小值为 3，则 a
问题1: f (x) = k1x +b1 + k2x +b2 (k1 > k2 > 0)的图象
畚萁形:两边是向上的射线,中间是一条斜线段.
最小值必在斜线段的端点取到!
f (- b1 )与 f (- b2 )的大小需要讨论吗?
2.k1b2k1
k2b1 k2
0时，图象呈平底形畚箕！
对称轴x - b1 - b2 2k1 2k2
问题7: f (x) = k1x +b1 - k2x +b2 (k1 >0, k2 >0)的对称性
1. k1b2 - k2b1=0时,退化为单绝对值问题,图象呈V(或倒V)字形.
此时无对称中心,但有对称轴x = - b1 k1
畚萁形:两边是向上的射线,中间是一条斜线段.
0 > f (- b1 ) k1
<
f (- b2 ) > 0 k2
大系数零点处!
问题3: f (x) = k1x +b1 - k2x +b2 (0 < k1 < k2)的图象是:
反放畚萁形:两边是向下的射线,中间是一条斜线段.
0 > f (- b1 ) k1
A1 A2
P
An
An+1
An+2
A2n
A2n+1
PA1 PA2n1 A1 A2n1
PA2 PA2n A2 A2n
PAn PAn2 An An2
上述各式均取到等号,则P与An+1重合
\ f (x)min = A1A2n+1 + A2 A2n +L + An An+2
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1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。