线性规划_应用题

然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数， 最后用图解法求解．
解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为s百万元
则约束条件为
目标函数为
S 3x 2 y
2 x 3 y 14 2 x y 9 x 0 y 0
作出可行域（如图）， 3 3 S 将目标函数变形为 y x ，它表示斜率为 2 ，在 y 2 2 S 轴上截距为 的直线，平移直线 y 3 x S 2 2 2 13 5 当它经过直线 2 x y 9 和 2 x 3 y 14 的交点( , )时，
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成 本为z，那么
0.105 x＋0.105 y 0.075 0.07 x＋0.14 y 0.06 0.14 x 0.07 y 0.06 x 0 y 0
y
4 3
M（4, 2）
o
4
8
x
设需截第一种钢板
x 张，第二种钢板 y 张，由题
2 x y 15, x 2 y 18, 中表格得 x 3 y 27, x 0, y 0. 试求满足上述约束条件的 x, y，且使目标函数
Z x y 取得最小值（其中 x 、 y 均为正整数）．
解：
演示课件
作出一组与直线
l 平行的直线 x y t 中
（ t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的
直线，此直线经过直线 x 3 y 27和直线 2 x y 15 57 18 39 的交点 A( , ) ，直线方程为 x y ． 5 5 5
18 39 由于 和 都不是整数，而最优解 ( x, y ) 中， 5 5
的截距，当截距最 小时，z的值最小。
z 21 是直线在y轴上
5/7
M
3/7
如图可见，当直线 z＝28x＋21y 经过可 行域上的点M时，截距 最小，即z最小。
o
3/7
5/7
6/7 x
M点是两条直线的交点，解方程组 7 x 7 y 5 14 x 7 y 6
1 x 7 得M点的坐标为： y 4 7
第二类问题 即给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任 务
例3、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的 脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105kg碳水化 合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足 营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要 同时食用食物A和食物B多少kg？
简单的线性规划应用题 （ 1）
1．叙述线性规划的图解法步骤： ①画－画出线性约束条件所表示的可行域； ②移－在目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵（横）截距最 大、最小的直线； ③求－通过解方程组求出最优解； ④答－作出答案．
导入新课
应用数学模型法解决实际问题的基本步骤：
例1：投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元， 需场地200m2,可获利300万元；投资生产B产品时，每 生产100m需要资金300万元，需场地100m2,可获利200 万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900m2,问： 应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据 整理成表格，以方便理解题意：
布置作业
1．课本作业 P65 ，习题7.4，第3、4题．
2．思考题： 某工厂生产 A 和 B 两种产品，按计划每天生产 A,B 产 品各不得小于10t，已知生产 A产品1t 需用煤 9t，电4度， 劳动力3个（按工作日计算）；生产 B 产品 1t 需用煤 4t ， 电5度，劳动力10个．如果 A产品每吨价值7万元，B产品 每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300 t，用电不超过 200度，劳动力最多只有300个．每天应安排生产两种 A,B 产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造 最多的产值？
M
o 2x+3y=0
4
8
x
由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的 z 交点 M （4 ，2 ）时，截距 的值最大，最大值为 ， 3 14 ( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润14万元。
数学模型 实际问题
抽象概括
推 理 演 算
数学模型的解 实际问题的解
还原说明
在科学研究、工程设计、经济管理等方面， 我们经常会碰到最优化决策的实际问题，而解 决这类问题的理论基础是线性规划．利用线性 规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第 一种类型是给定一定数量的人力、物力资源， 问怎样安排动用这些资源，能使完成的任务量 最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一 项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务 的人力、物力资源量最小．本节课主要研究这 两类问题．
目标函数为：z＝28x＋21y
7 x 7 y 5 7 x 14 y 6 14 x 7 y 6 x 0 y 0
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
随z变化的一组平行直 y 6/7 线系
4 z 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y x 3 21 4 它表示斜率为 3
10 x 4 y 300 , 5 x 4 y 200 , 4 x 9 y 360 , x 0, y 0.
求 , y 取何值时，目标函数 Z 600 t 1000 y 取得最大值．
x
④求解：
采用上节课所讲的图解法求出最大值．
360 1000 34.4 x 12.4， y 29 29
将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的 整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
x 2 y 8 x 4 y 3 x 0 y 0
x+2y=8
4 3
y
x=4 y=3
o
4
8
x
提出新问题： 若生产一件甲产品获利2万元，生产 一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？
3．研究性题： 有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm 和 600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比按大于 问怎样截最合理？
1 配套， 3
解：
x 2 y 8, 3 x y 9, 获利润为 Z 千元，则 x 0, y 0.
目标函数为 Z 2 x 3 y .
设每天生产 A 型桌子 x 张， B型桌子 y 张，每天所
如图，作出可行域，把直线 上方平移至的位置
'
2 x 3 y 0 向右 l：
l 时，直线经过可行域上的点 M ，
且与原点距离最大，此时 Z 2 x 3 y取得最大值．
x 2 y 8, 解方程组 得 M 2,3. 3 x y 9,
答：每天应生产 A型桌子2张， B型桌子3张才能 获最大利润．
小结
1．解线性规划实际问题的一般步骤； 2．线性规划问题的二类题型．
依据题中已知条件，列表如下：
消耗品 资源 A种矿石（t） B种矿石（t） 10 5 4 4 300 200 产品
甲产品（1t）
乙产品（1t） 资源限额（t）
煤（t）
利润（元）
4
600
9
1000
360
③建立数学模型：
已知变量 x ,
y 满足约束条件
A种矿石资源约束 B种矿石资源约束 煤资源约束 变量x非负约束 变量y非负约束
18 39 x、y必须都是整数，所以，可行域内的点 ( , )不是最 5 5
优解．经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的
点）且与原点距离最近的直线是 x y 12 ，经过的整点
是 B(3,9) 和C (4,8) ，它们是最优解．
课堂练习
某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工 和漆工两道工序完成．已知木工做一张型桌子分别需 要1小时和2小时，漆工油漆一张型桌子分别需要3小时 和1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小 时和9小时，而工厂一张型桌子分别获利润2千元和3千 元，试问工厂每天应生产型桌子各多少张，才能获利 润最大？
S 13 5 最大，即s最大．此时 S 3 2 14.75 2 4 2
4 2
因此，生产A产品325吨，生产B产品250米时，利润最 大为1475万元
例 2 某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产 品 1t 需耗 A 种矿石 10t 、 B 种矿石 5t 、煤 4t ；生产乙种 产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种 产品的利润是 600 元，每 1t 乙种产品的利润是 1000 元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿 石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t．甲、乙两种产品各生产多少（精确到1 t），能使 利润总额达到最大？
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算， 该厂所有可能的日生产安排是什么？
所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线；
2．第二类问题实例
例3 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C 三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的决数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
2
1
3
今需要A，B，C 三种规格的成品分别为15，18，27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且 使所用钢板张数最少．
A配件 （个）
B配件 （个）
耗时（h) 利润（万元）
甲产品 乙产品 限 制
4 4 16 12
1 2 8
2万元 3万元
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
2 它表示斜率为 3 在y z
y
2 z x 3 3
轴上的截距为 线。
3
的直
y
4 3
当z变化时，可以得 到一族互相平行的 直线。 令z=0,作直线2x+3y=0
A配件 （个） B配件 （个） 耗时（h)
பைடு நூலகம்
甲产品 乙产品 限 制
4 4 16 12
1
2 8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可 得二元一次不等式组
x＋2y 8 4x 16 4y 12 x 0 y 0
x 2 y 8 x 4 y 3 x 0 y 0