等边三角形(1)
第11讲：等边三角形的性质与判定1
A B C E F
4、一个六边形的每个内角都是120 °,连 续四边的长依次是2.7、3、5、2，则该六 边形的周长是 20.7 。
5、在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上 的点,且AD=CE,则∠BCD+∠CBE= 60 度.
6、P是正△ABC内的一点，且PA=6， PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转 后，得到△QAB，则点P与Q之间的距 离为 6 ，∠APB= 150 度。
等边三角形（1）
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边
三角形（也叫正三角形）. A
B
C
等腰三角形
轴对称图形
等边三角形
轴对称图形
两腰相等 两个底角相等
三线合一 对称轴1条
三边都相等 三个角都相等，都是60º
三线合一 对称轴3条
等边三角形是
一类特殊的 等腰三角形
知识探究二
如图,△ADE中，已知AD=AE,∠A=60°,
A
A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个
D B
O
E C
3.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上
的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
B
E C
D
A
4.如图是由15根火柴组成的两个等边 三角形,你能只移动三根火柴将此图 变成含有四个等边三角形的图形吗？
链接中考
5.如图，△ABC和△CDE是 两个全等的等边三角形， D、O、A共线，求∠AEB的 大小.
7、△ABC和△CDE都是等边三角形，且 ∠EBD=62度，则∠AEB的度数是122度。
设∠EAC=x，∠BAE=60-x,
△ACE≌△BCD,
等边三角形(1)
12.3.2 等边三角形【教学目标】1.知识与能力：理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．2.过程与方法：在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3.情感、态度与价值观：培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．【教学重点】理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．【教学难点】等边三角形性质和判定的应用．【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．【教学过程】一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．活动1 请你探索等边三角形的性质和判定方法．学生活动设计：学生独立思考，然后进行交流，在交流中完成：（1）所有性质的探索；（2）性质的证明．教师活动设计：让学生归纳所有性质，并证明所有的性质（可以口述）．归纳：等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．三个角都相等的三角形是等边三角形．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．二、问题探究、巩固练习活动2问题如图（1）,兴趣小组在一次测量活动中测得/ APB= 60°, AP=BP=200 m, 他们便得出了结论：池塘最长处不小于200 m.他们的结论对吗？图（1）学生活动设计：学生在独立思考的基础上进行讨论，经过讨论可以发现，只需要证明△ ABP 是等边三角形即可.根据条件 AP=BP 知，此三角形是等腰三角形，又/ APB = 60°，可以得到三角形是等边三角形， 进而可以得到AB = 200 m ，所以兴趣小组 的结论是正确的.教师活动设计：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推的方式进行证明，证明过 程中注意学生表述的准确性和严谨性.另外本问题的解决方法不止一种，注意学 生的不同解法（比如可以利用三个角相等的三角形是等边三角形）〔解答〕略.活动3如图（2），在等边△ ABC 的边AB 、AC 上分别截取 AD=AE ，那么△ ADE 是 等边三角形吗？为什么？学生活动设计：学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，要证明^ ADE 是等边三角形可以有两种方法：方法1证明有两边相等，且有一个角是 60°;方法2证明三个角都相等（是60°）.对于方法1,根据条件容易得到，AD=AE 且/A = 60°于是结论成立；对于 方法2由于不容易实现，学生可以课下思考.教师活动设计：鼓励学生大胆猜测结论，然后进行证明.〔解答〕因为△ ABC 是等边三角形，所以 AB=AC ，/ A = 60°.又因为AD=AE ，所以△ ADE 是等边三角形.活动4如图（3），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形， 你能借助这个图形，找到RtAABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗? 你能证明你的结论吗？C学生活动设计：学生观察图形，分析数量关系，发现/ BAD= 60°,而/ B=/D = 60°,所以^ ABD是等边三角形，所以AB=BD = 2BC，进而得到：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.然后进行证明.教师活动设计：鼓励学生寻找不同的解决问题的方法，上述可以是方法1,可能有如下方法，如图（4）.图（4）作/DCB = 60°，由于/ B = 60°，所以/ BDC = 60°，于是△ BDC是等边三角形，即BC=BD=DC ;另一方面，由于/ A = 30°，/ BDC= 60°,根据三角形的外角得到/ ACD = 30°，再根据等角对等边得到AD=DC，因此得到AB=AD+DB=2BC，结论成立.〔解答〕略.三、应用提高、拓展创新，培养学生解决问题的能力和创新意识活动5如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC, AB=7.4 m,Z A=30°,立柱BC、DE需要多长?师生活动设计：学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.〔解答〕略.活动6如图（6）,以^ ABC的边AB、AC向外作等边△ ABE和^ ACD，连接BD、CE, （1）线段CE和BD有什么数量关系？证明你的结论.（2）能否求出/ DFC 的度数？学生活动设计：学生先独立思考再小组讨论，然后交流.（1）经过分析可以发现，只需要证明线段CE和BD所在的△ AEC和^ ABD 全等即可，根据等边三角形的性质可以得到=60°,进而得到/立；（2）根据（1）得到/ DFC = 60°, 教师活动设计：教师在学生交流的基础上，引导学生寻找解决这类问题时需要注意的地方，让学生写出规范的解题过程.〔解答〕因为△ ABE和^ ACD是等边三角形，所以/ DAC= / EAB = 60°, AE=AB , AD=AC , 所以/ EAC=/ DAB.在^ AEC和^ ABD中，AE ABEAC BADAC ADAC=AD , AE=AB , / DAC= / EAB EAC=/ BAD,根据SAS得到△ AEC^AABD，于是结论成可以得到/ BDA=/ACE，又/ CGF=/DGA（对顶角），可以问题解决.D所以△ AEC^A ABD .所以BD=EC , / BDA= / ACE, 又/ CGF=/DGA , 所以/ DFC = / DAC = 60°.四、归纳小结、布置作业小结：等边三角形的性质和判定以及应用.作业：习题12.3第8〜14题.。
等边三角形(1)
【学习目标】1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形。
2、会阐述、推证等边三角形的性质和判定方法。
3、经历应用等边三角形性质和判定的过程培养学生分析问题解决问题的能力
【学习重点】等边三角形的性质和判定方法
练习1：△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到△ADE都是等边三角形吗？为什么？
（1）在边AB、AC上分别截取AD=AE
（2）作∠ADE=60°，D、E分别在边AB，AC上
（3）过边AB上D点作DE平行于BC，交边AC于E点
练习2：如图已知D、E是△ABC的边BC上的两点，并且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的大小。
B
练习3 ：已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD
B
练习4：△ABC为等边三角形，且ED⊥BC,垂足为D，FE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB垂足为F则△DEF是等边三角形吗？为什么？
练习5：在等边△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，BF，CF的垂直平分线交BC与D，E
求证：△FDE是等边三角形。
B
练习6：所示在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同一侧，点F为线段AD的中点，点G为线段BE的中点，
求证：△CFG是等边三角形
B
【巩固训练】
备注：一般以检查学生“双基”为主。
题目个数4~6小题。
等边三角形(一)
如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，
A
测得∠P= 60ο，AP=BP=200m,他们便得 B 出一个结论：池塘最长处不小于200m.
60ο
他们的结论对吗？
P
A
D
E
B
C
如图，在等边三角形ABC的边 AB、AC上分别截取AD=AE， △ ADE是等边三角形吗？
可用判定2证明
等边三角形（一）
定义
性质 判定
应用
A
A
B
C
若AB=AC，则 △ ABC为等腰 三角形。
B
C
若AB=AC=BC，则△ ABC 为等边三角形。
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等， 并且每个内角都等于60ο 。
A
B
C
已知：在△ ABC中，AB=BC=CA， 求证：∠ A=∠ B=∠ C=60ο
证：∵ AB=AC ，∴ ∠ B=∠ C 同理 ∠ A=∠ B ，
∴ ∠ A=∠ B=∠ C=60ο
等边三角形的判定
1.三个角都相等三角形是等边三角形
A
B
C
已知：在△ ABC中， ∠ A=∠ B=∠ C ， 求证： AB=BC=CA
证：∵ ∠ B=∠ C ， ∴ AB=AC ， 同理 AC=BC ∴ AB=BC=CA
等边三角形的判定
2.有一个角是60ο的等腰三角形 是等边三角形
A
已知：在△ ABC中， AB=AC ，∠ A= 60ο ，
求证： AB=BC=CA
B
C
证：∵ AB=AC ， ∴ ∠ B=∠ C ，
又∵ ∠ A= 60ο ∴ ∠ B=∠ C = 60ο ， ∴ ∠ A=∠ C ，
等边三角形(一)(PPT)2-2
等边三角形的判定
2.有一个角是60ο的等腰三角形 是等边三角形
A
B
C
已知：在△ ABC中， AB=AC ，∠ A= 60ο ， 求证： AB=BC=CA
证：∵ AB=AC ， ∴ ∠ B=∠ C ，
又∵ ∠ A= 60ο ∴ ∠ B=∠ C = 60ο ， ∴ ∠ A=∠ C ，
∴ AB=BC，
∴ AB=BC=CA .
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来自美国、英国、南非等国15个研究机构的天文学家参与研究，团队利用南非MeerKAT射电望远镜阵列捕捉到这对巨型“孪生”气泡状结构发出的射电波。这一巨大的沙漏形结构从银河系中心向上下两个方向各延伸数百光年。 通过分析这对巨型气泡的尺度和形态，天文学家认为，这很可能是数百万年前发生在银河系超大质量黑洞附近一次短时间猛烈能量爆发的结果。 [1] 10月8日消息，一张由哈勃望远镜的近红外照相机和多目标光谱仪（NICMOS）拍摄的银河系中心的假彩色合成图片。这张美国宇航局哈勃太 空望远镜红外镶嵌图像是迄今为止对银河系中心最清晰的图片。它显示了新的大质量恒星群，以及天体中央在300×115光年左右的炎热的电离气体下的复杂结构细节，银河系核心在红外线可穿过的可见光中被尘埃云遮盖。新的NICMOS数据显示出电离氢气以及大量散布在该区域的大质量恒 星。来自这个复杂结构中心的恒星风和辐射一定情况下，它们可能引发新一代恒星。在左上角，大圆弧的电离气体分解成有趣的线性队列表明该处是强大磁场影响的临界位置。左下角区域表明在五合星团中炙热的大质量恒星风雕刻成的气注。图像中间电离气体环绕在银河中心的黑洞周围 ，形成了一个嵌在管状环内的明亮螺旋。 共生星是一种在光谱中既出现低温吸收线又出现高温发射线的恒星。1941年梅里尔首先把这种光谱性质很不相同但又互为依存的星取名为共生星。它们的光变具有准周期的类新星爆发特征，并有小振幅的快速非周期光变。1969年博亚尔丘克提出共生星的三个判据：①晚型星光谱的吸收线 （如TiO带，CaI，CaⅡ等）。②HeⅡ、OⅢ或更高电离电位原子的发射线（发射线的宽度不超过每秒 100公里）。③亮度的变化在几周内达到3个星等。2014年，已发现的共生星约有50颗（包括不肯定的），典型星是仙女座Z。 共生星的光度与谱变有一定的相关性：往往当光度增强时，晚型吸收谱和高激发发射线减弱或消失，B型气壳谱增强；当光度变弱时，晚型吸收谱和高激发发射线又重新出现或加强。共生星的空间分布与行星状星云相似，集中在银道面附近，属年龄较老的盘星族。 共生星是单星还是双星一直是有争论的。单星说认为共生星是小而热的蓝星，周围有一个变化的星周壳层。双星说认为共生星是由一颗晚型冷星和一颗低光度的热星组成的，它们有一个共同的气体包层；假定冷星是正常巨星，则热星在赫罗图上位于主星序的下方，与行星状星云的中心星 、某些新星的热子星位置相近。 你听说过这样一个奇怪的星体吗?早在20世纪30年代，天文学家在观测星空时发现了一种奇怪的天体。对它的光谱所做的分析表明，它既是“冷”的，只有几千摄氏度；同时又是十分“热”的，达到几十万摄氏度。也就是说，冷热共生在同一个天体上。1941年，天文学界把它定名为共生 星。它是一种同时兼有冷星光谱特征(低温吸收线)和高温发射星云光谱(高温发射线)的复合光谱的特殊天体。几十年来人们已经发现了约100个这种怪星。许多天文学家为了解开怪星之谜耗费了毕生精力。 最初，一些天文学家提出了“单星”说。他们认为，这种共生星中心是一个属于红巨星之类的冷星，周围有一层高温星云包层。红巨星是一种晚期恒星，它的密度很小，体积比太阳大得多，表面温度只有二三千摄氏度。可是星云包层的高温从何而来，人们还是无法解释。太阳表面温度只 有6000℃，而它周围的包层——日冕的温度却达到百万摄氏度以上。能不能用它来解释共生星现象呢?日冕的物质非常稀薄，完全不同于共生星的星云包层。因此，太阳不算共生星，也不能用来解释共生星之谜。 也有人提出了“双星”说，认为共星是由一个冷的红巨星和一个热的矮星(密度大而体积相对较小的恒星)组成的双星。但是，当时光学观测所能达到的分辨率不算太高，其他观测手段尚未发展起来，人们通过光学观测和红移测量测不出双星绕共同质心旋转的现象。而这是确定是否为双星 的最基本物质特征之一。随后，天文学家用x射线、紫外线、可见光、红外线到射电波段对共生星进行了大量观测，积累了许多资料，共生星之谜逐步揭开。
等边三角形(第一课时)
等边三角形是特殊的等腰三角形.
等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）.
C
符号语言： ∵AB=AC=BC， ∴△ABC是等边形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质同样适用于等边三角形. 但等边三角形还有哪些特殊的性质呢？
细心观察，探索性质
等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于60°.
A
符号语言： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
B
C
探究：等边三角形的性质
等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？
C
等边三角形的性质（3）：
等边三角形每条边上的中线、
高和所对角的平分线都相互
AD= 5
.
A
？
D
？
B
10
C
等边三角形的性质（3）：“三线合一”.
探究：等边三角形的判定方法
思考1：一个三角形满足什么条件是等边三角形？ 思考2：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
三边都相等 三个角相等
有一个角是60°
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
类比探究：等边三角形的判定方法
满足什么条件的三角形是 等腰三角形？
B
A C
二 等边三角形的判定
图形
等腰三角形
判 从边看：两条边相等的 三角形是等腰三角形
定
从角看：两个角相等的三 角形是等腰三角形
等边三角形
三条边都相等的三角形 是等边三角形
1、三个角都相等的三角 形是等边三角形
2、有一个角是60° 的等腰三角形是等边 三角形.
13.3.2(1)等边三角形 教案
等边三角形的性质和判定.
难点
等边三角形的性质和判定的应用.
【教学流程】
环节
导学问题
师生活动
二次备课
情
境
引
入
知识回顾：
1、什么是等腰三角形？
2、等腰三角形有什么性质？
3.当等腰三角形的底和腰相等时，三角形变成什么形状？
三条边相等的三角形叫做等边三角形。
教师提出问题，引导学生自主探究，复习回顾，问题3引出课题；并强调等边三角形是特殊的等腰三角形
第十三章轴对称
13.3.2.等边三角形（第1课时）
【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.掌握等边三角形的性质和判定方法．
2.利用等边三角形的性质和判定解决问题.
过程
方法
通过利用等边三角形的性质和判定进行证明或计算，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
情感
态度
通过对图形的观察、发现，激发起学生好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验、建立学习的自信心.
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什么?
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。
3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
结论：等边三角形是轴对称图形；有3条对称轴。
探究等边三角形的判定方法：
从以下几个角度来探究：
边：三边相等的三角形是等边三角形；（定义法）
猜想：
1、角：三个内角相等的三角形是等边三角形吗？
∴△ADE是等边三角形
教师提出问题
学生独立思考
合作交流
展示
师生共同补充、评价
引导学生归纳得出等边三角形的性质.
12.3.3等边三角形(1)课件
观察下列图片，你有 什么印象？
你发现了什么？
这就是今天我们要学的
一、你知道什么是等边三角形？ 你知道什么是等边三角形？
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形 等边三角形与等腰三角形有什么关系？ 等边三角形与等腰三角形有什么关系？
等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。 特殊的等腰三角形 正三角形
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴, 这是两个等边三角形 那么请移动三根火柴 那么请移动三根火柴 将此图变成四个等边三角形. 将此图变成四个等边三角形
提示:此题并不难 如果外部不能解决 提示 此题并不难,如果外部不能解决 那么 此题并不难 如果外部不能解决,那么 想想里面吧. 想想里面吧
我们这节课学习了哪些知识? 我们这节课学习了哪些知识 谈谈你的体会. 谈谈你的体会
分线都三线合一. 分线都三线合一 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 等边三角形是轴对称图形
2.等边三角形的三个内角都相等并且每一个内 等边三角形的三个内角都相等并且每一个内 。 角都等于60 角都等于
A
已知： 已知：AB=AC=BC 求证： 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60 ∠
符号语言： 符号语言：
。
B
C
∵ AB=AC=BC ∴ ∠A= ∠ B=∠C= 60
。
3.等边三角形每条边上的中线，高和它所对角的平分 等边三角形每条边上的中线， 等边三角形每条边上的中线 线互相重合。 线互相重合。
A
5 6
D O
7 8 3 1
E
4 9 10 2
1等边三角形课件(1)
•
• 已知：AB=AC
• （1）若∠A=60 °求证： △ABC是等边三角形
• （2）若∠ B=60 °求证： △ABC是等边三角形
• 证明：
（1） ∵ AB=AC. ∴ ∠ B= ∠ C (等边对等角)
•
∵ ∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和为180° ）
•
且∠A=60 °
•
∴ ∠ B= ∠ C= 60 ° （等式性质）
B
C
•
（三角形的内角和为180° ）
•
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °（等式性质）
• 结论: 等边三角形的三个内角都相等,并且
•
每个内角都等于60 °.
• 等边三角形中也有三线合一吗?
•
• 结论: 等边三角形各边上中线,高和所对角
•
的平分线都三线合一,它们交于一点,
•
这点叫三角形的中心.
A
B
C
• 等边三角形是轴对称图形吗？若是， • 有几条对称轴？
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
二、 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边
三角形.
布置作业14.7
谢谢
结论: 等边三角形是轴对称图形， 有三条对称轴，是三边的中垂线.
等边三角形的性质
1.等边三角形的三边相等。 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的
平分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
类比等腰三角形的判定研究等边三
•
∴ △ABC是等边三角形.
12.3.2等边三角形(1)课件
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等 2.等边三角形每个内角都相等,且等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平
分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
思考
一个三角形满足什 么条件就是等边三 角形?
细心观察，探索性质
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以 外，能否利用角来判定呢？ 思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等 边三角形？
3．有一个角是60°的等 ∵ ∠B=600 ， AB=BC， 腰三角形是等边三角形． ∴△ABC是等边三角形．
三条边都相等
一般三角形
三个角都相等
等边三角形
有一个角是60°
等腰三角形 等边三角形
讨 论
等边三角形是一种特殊的等腰三角 形，你能述说等边三角形与等腰三角 形在定义，性质和判定的异同吗?
定义 性质 判定
思考2
形？
一个等腰三角形满足什么条件是等边三角
判定1： 三个角都相等的三角形
是等边三角形。
A
已知： ∠A= ∠ B=∠C 求证： AB=AC=BC
B
几何语言：
∵ ∠A= ∠ B=∠C
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ AB=AC=BC
判定2：有一个角是60 的等腰三角形是 等边三角形
A
。
已知： AB=AC ∠B= 求证： AB=AC=BC
你还有其它方法 使△ADE是等边三 D 角形吗？
B A E C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵ DE∥BC， ∴ ∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. B ∴ ∠A =∠ADE =∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形. D A
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(1)》教案
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(1)》教案一. 教材分析等边三角形是八年级数学上册13.3节的一个重要内容，它是一种特殊的三角形，具有三条边相等和三个角相等的性质。
本节课主要让学生掌握等边三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的性质和判定，具备了一定的几何知识基础。
但等边三角形作为一种特殊的三角形，其性质和判定与普通三角形有所不同，需要学生进行一定的思考和理解。
三. 教学目标1.让学生了解等边三角形的性质，能够运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生的几何学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.等边三角形的性质及其应用。
2.等边三角形的判定方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察和思考，发现等边三角形的性质。
2.运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固等边三角形的性质和判定。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件：包含等边三角形的性质和判定内容，以及相关的例题和练习题。
2.练习题：包括基础题和提高题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：直尺、三角板、彩色粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示等边三角形的图片，引导学生观察和思考：等边三角形有什么特点？你能否找出一些实际问题，用等边三角形的性质来解决？2.呈现（10分钟）通过PPT呈现等边三角形的性质和判定方法，引导学生理解和掌握。
同时，给出相关的例题，让学生通过观察和思考，发现等边三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用等边三角形的性质和判定方法，解决实际问题。
教师巡回指导，给予学生必要的帮助和指导。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固等边三角形的性质和判定。
教师选取部分学生的作业进行讲评，指出其中的错误和不足。
12.3.2等边三角形(1)
你发现了什么？
这就是今天我们要学的
• 等边三角形 我们把三条边都相等的三角形叫 做等边三角形（正三角形）。
特殊的等腰三角形
等腰三角形与等边三角形有什么关系？
A
想想看，等边三角形 有什么性质？
B
⑴三边之间 ⑵三角之间
C
AB＝AC＝BC ∠A＝∠B＝∠C
特殊的等腰三角形
变式：等边三角形ABC，D、E 分别是 AB、AC上的中点，
A
求证：2DE=BC
D E
C
• • • •
如图，等边三角形ＡＢＣ中， ＡＤ是ＢＣ上的高， ∠ ＢＤＥ＝∠ＣＤＦ＝６０ ° 图中有哪些与BD相等的线段？
A
F D
E
B
C
如图，△ABD、△AEC都是等边三 角形， 求证：BE=DC
D
A E C
(2) 等边三角形的判定: 1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
讨 论
等边三角形是一种特殊的等腰三角形， 你能述说等边三角形与等腰三角形在定义， 性质和判定的异同吗?
定义
等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形
B
讨 论
等边三角形是一种特殊的等腰三角形， 你能述说等边三角形与等腰三角形在定义， 性质和判定的异同吗?
定义
等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形
性质
判定
1、定义 2、等角对等边
1、两个底角相等 有二条边 2、三线合一 相等 3、对称轴一条
1、三个角都相等 1、定义 有三条边 2、三个角都相等 2、三线合一 相等 3、等腰三角形有 3、对称轴三条 一个角是600
等边三角形的性质与计算公式解析
等边三角形的性质与计算公式解析等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在几何学中，等边三角形具有一些独特的性质和特点。
本文将对等边三角形的性质以及与其相关的计算公式进行解析，帮助读者更好地理解和应用等边三角形。
一、等边三角形的性质：1. 三边相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a。
2. 三个角度相等：等边三角形的三个角度均相等，且每个角度为60度。
3. 三个角的余弦值等于0.5：等边三角形的每个角的余弦值均为0.5，即cos(60°) = 0.5。
4. 三个角的正弦值等于根号3/2：等边三角形的每个角的正弦值为根号3/2，即sin(60°) = √3/2。
二、等边三角形的计算公式解析：1. 等边三角形的周长：等边三角形的周长可以通过三条边的长度相加来计算，即周长L = 3a。
2. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过以下公式来计算，即S = (a^2√3)/4。
3. 等边三角形的高度：等边三角形的高度可以通过以下公式来计算，即h = (a√3)/2。
4. 等边三角形内切圆的半径：等边三角形的内切圆半径可以通过以下公式来计算，即r = (a√3)/6。
三、等边三角形的应用举例：1. 基于等边三角形的面积公式，我们可以计算任意等边三角形的面积。
例如，已知等边三角形的边长为5cm，则可以利用公式S =(a^2√3)/4计算得出面积为(25√3)/4。
这样，我们可以根据等边三角形的边长快速计算其面积。
2. 基于等边三角形的周长公式，我们可以计算任意等边三角形的周长。
例如，已知等边三角形的边长为8cm，则可以利用公式L = 3a计算得出周长为24cm。
这样，我们可以通过等边三角形的边长轻松求得其周长。
3. 等边三角形的性质也可以应用于建筑和工程领域。
例如，在设计正六边形的地砖或者蜂窝状结构时，我们可以利用等边三角形的特性来确定每个等边三角形的边长和角度，从而实现结构的合理设计和布局。
等边三角形的性质
等边三角形的性质一个等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
等边三角形有着独特的性质和特点。
本文将详细探讨等边三角形的性质，并介绍一些相关的应用和实例。
一、等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
在一个等边三角形中，三个角度也相等，都是60度。
等边三角形可以看作是正六边形的一部分，具有六边形的对称性。
二、等边三角形的性质1. 三边相等：等边三角形的三条边长都相等，可以用符号表示为a= b = c，其中a、b、c分别代表三条边的长度。
2. 三角度相等：等边三角形的三个角度都是60度，可以用符号表示为∠A = ∠B = ∠C = 60°。
3. 中线相等：等边三角形的三条中线长度相等，中线是连接三个顶点与对边中点的线段。
中线相等可用符号表示为AM = BM = CM，其中M分别为对边中点。
4. 高度相等：等边三角形的三条高度长度相等，高度是从顶点到对边的垂直线段。
高度相等可用符号表示为AH = BH = CH，其中H分别为对边上的垂足点。
5. 对称性：等边三角形具有三个对称轴，分别是三边的中垂线，通过这些对称轴可以得到一系列对称图形。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用和实例。
1. 建筑设计：等边三角形的对称性使其成为一些建筑物的设计基础，例如古代的寺庙、宫殿等。
其对称美和稳定性能够给人以良好的视觉效果和安全感。
2. 轮胎设计：许多汽车和自行车的轮胎采用等边三角形的花纹设计，这是因为等边三角形能够提供较好的抓地力和稳定性，从而提高车辆的控制性能。
3. 画框设计：等边三角形的对称性和美观性可以用于绘画、照片等的装裱设计，使作品更加醒目和完美。
4. 三维几何体的拼接：在3D拼图游戏中，等边三角形常被用于构建复杂的几何体，通过拼接不同的等边三角形可以创造出各种有趣的形状。
5. 地形图解析：在地理学和测绘学中，等边三角形常被用来表示山脉、河流等地貌特征，通过等边三角形的排列和比例关系可以解读出地形图的细节和特点。
人教版八年级上13.3.2 等边三角形(1)(含答案)
13.3.2等边三角形（1）一．选择题（共8小题）1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A． 180°B． 220°C． 240°D． 300°2．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形B．等腰三角形一定是锐角三角形D．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC 为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A． 25° B． 30°C．45°D． 60°5．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF6．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）A． 30°B． 45°C． 120°D． 15°7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 1cm第1 题第4题第5题第7题8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二．填空题（共10小题）9．已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_________度．10．△ABC中，∠A=∠B=60°，且AB=10cm，则BC=_________cm．11．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是_________三角形．12．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是_________．13．如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠BAN=_________．第13题第14题第15题14．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于_________．15．如图，将边长为6cm的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC 相交于点G，若线段CF=4cm，则△GEC的周长是_________cm．16．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE= _________度．第16 题第17题第18题17．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=_______°．18．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是_________．①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．三．解答题（共5小题）19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．20．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．21．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．22．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．23．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC 于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．13.3.2等边三角形三、CDDBDCCD四、9、60；10、10；11、等边；12、等边三角形；13、90度；14、60度；15、6；16、60；17、130；18、①②三、19、（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．20、解答：解：△BDC≌△AEC．理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60°．从而∠BCD=∠ACE．在△BDC和△AEC中，，∴△BDC≌△AEC（SAS）．21、解答：证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．（1分）∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．（2分）又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（4分）（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．（6分）∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）22、解答：解：△CEB是等边三角形．（1分）证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，∴∠CBE=∠ABE=60°．（3分）又DE=DB，BE⊥AC，∴CB=CE．（5分）∴△CEB是等边三角形．（7分）23、（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即：∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．（2）证明：∵△AC N≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB．又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠MCF=∠ACE．在△CAE和△CMF中∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA）．∴CE=CF．∴△CEF为等腰三角形．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．（3）解：如右图，∵△CMA和△NCB都为等边三角形，∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，∴△CMB≌△CAN，∴AN=MB，结论1成立，结论2不成立．。
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１、下列四个说法中，不正确的有（ ） ①、三个角都相等的三角形是等边三角形。 ②、有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 ③、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ④、有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
２、等边三角形的对称轴有（ ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
A
C
∵ ∠A+∠B+∠C＝180° (三角形内角和为180°) ∴ ∠A＝∠B＝∠C ＝ 180° ＝ 60°. 3
类比：
图形
等腰三角形 （腰≠底）
两边相等的三角形 轴对称图形（1条） 两个底角相等
等边三角形
三边都相等的三角形 轴对称图形（3条） 三个角都相等，各内角都是60º 三线合一
定义 性 质 关系
结合边和角来看,会 有什么新的结论吗?
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
回顾小结，整体感知 名 称 等 边 三 角 形 图 形 判 定
三条边都相等的三角形
A
三个角都相等的三角形 有一个角等于60°的
② ①
B
C
等腰三角形
一般三角形
Hale Waihona Puke 等边三角形1、 三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、 三个角都相等的三角形是等边三角形.
A 想想看，等边三角形 是等腰三角形吗? 它都有哪些性质？ B C ⑴三边之间 AB＿AC＿BC； ＝ ＝ ⑵三角之间 ∠A＿∠B＿∠C； ＝ ＝
⑶是轴对称图形，有三条对称轴； ⑷三线合一
你能证 明这个 结论吗?
已知：⊿ABC中，AB＝AC=BC。
求证：∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°
证明：∵ AB＝AC (已知) ∴∠B＝∠C (等边对等角) B 同理 ∠A＝∠B ∴ ∠A＝∠B＝∠C
观察下列图片，你有 什么印象？
1、定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形；
有三边相等的三角形是等边三角形（也称正三角 形）。(如图)
2、等腰三角形性质： ①等腰三角形是轴对称图形. ②等腰三角形的两个底角相等.简写成 “等边对等角”. ③等腰三角形的顶角平分线，底边上的 中线和底边上的高互相重合.
三线合一
等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角 形不一定是等边三角形.
思维链接:
满足什么条件的三角 形是等腰三角形?
方法1:有两边相等的三角 形是等腰三角形.(定义)
方法2:有两个角相等的三角形 是等腰三角形.(定理)
满足什么条件的三角 形是等边三角形
？
三条边都相等的三角形 是等边三角形(定义)
三个角都相等的三 角形是等边三角形
等腰三角形
等边三角形
3、 有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形.
例４：
如图，⊿ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ＢＣ， 交ＡＢ，ＡＣ于Ｄ，Ｅ． 求证： ⊿ＡＤＥ是等边三角形．
证明：∵ ⊿ＡＢＣ是等边三角形
D A
∴∠A＝∠B＝∠C ＝ 60° ∵ＤＥ∥ＢＣ
B
E
C
∴ ∠AＤＥ＝∠B， ∠AＥＤ＝∠C ∴ ∠A ＝∠AＤＥ＝∠AＥＤ ∴ ⊿ＡＤＥ是等边三角形（ 三个角都相等的三角形是等边三角形 ）
3、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm 则△ABC的周长________ 4、 △ABC是等腰三角形，周长为15cm且 ∠A=60°，则BC=_______
5、如图， △ABC中，D、E是BC边上的三 等分点， △AED是等边三角形，则∠BAC 为（ ）度？
A
B
D
C E
6、在△ABC中，AB=AC，以AB、AC为边 在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE 和△ACD，且∠EDC=40°，则∠EAD＝ （ ）度？∠ABC＝（ ）度？
A E D
B
C
我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会．
５７页１１题， ５８页１３题