弹性力学 知识要点
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
弹性力学基础知识
06
弹性力学的有限元法
有限元法的基本概念
有限元法是一种数值分析方法，通过将复杂的 物理系统离散化为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来近似求解复杂的物理问题。
这些简单元在节点处相互连接，形成一个离散 的系统，其行为可以通过物理定律和数学模型 进行描述。
有限元法的核心思想是将连续的求解域离散化， 将复杂的边界条件和应力状态转化为有限个单 元的组合。
弹性力学基础知识
• 弹性力学概述 • 弹性力学的基本假设 • 弹性力学的基本方程 • 弹性力学的基本问题 • 弹性力学的能量原理与变分原理 • 弹性力学的有限元法
01
弹性力学概述
定义与特点
定义
弹性力学是一门研究弹性物体在外力 作用下变形和内力的科学。
特点
弹性力学主要关注物体在受力后发生 的变形，以及这种变形如何影响物体 的内力和应力分布。
在声学领域，有限元法可以用于分析声音的传播、噪音的来源 等。
THANKS
感谢观看
有限元法的求解步骤
单元分析
对每个单元进行受力分析，建 立单元的刚度方程。
求解方程
使用数值方法（如直接法、迭 代法等）求解整体刚度方程， 得到节点的位移和应力。
分析模型建立
首先需要建立待分析系统的数 学模型，包括对系统进行离散 化、定义节点、建立方程等。
系统组装
将所有单元的刚度方程组装成 整体的刚度方程，同时引入边 界条件和载荷。
弹性力学的能量原理与变分原理
弹性力学的能量原理
总结词
弹性力学的能量原理是描述物体在外力 作用下能量变化的重要理论，它为解决 弹性力学问题提供了基础框架。
VS
详细描述
弹性力学的能量原理指出，一个弹性系统 在外力作用下，其能量变化等于外力所做 的功与物体形变所吸收的功之和。这个原 理在解决弹性力学问题时非常有用，因为 它可以将复杂的物理现象转化为数学上的 能量平衡问题。
弹性力学知识点总结
一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。
弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。
1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。
林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。
而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。
2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。
应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。
在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。
弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。
弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。
3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。
弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。
3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。
剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。
3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。
弹性力学基础汇总
一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。
应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。
3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ∆，变形后的长度为'l ∆，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ∆∆-∆=→∆'lim 0ε。
即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。
弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ∆和s l ∆为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。
应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。
关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。
4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。
设V ∆为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ∆，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=∆∆=→∆F f 0lim。
表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。
设S ∆为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ∆，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=∆∆=→∆F s 0lim 。
弹性力学复习知识点
– 问题的提法；求解方法的分类； – 位移法、力法求解弹性力学问题的提法（变量，哪些方程，哪些边界条件等）
• 弹性力学问题的解
– 柱形杆问题的解 – 扭转问题的基本方程、基本解法；薄壁杆的扭转等；
• 平面问题 （重点）
– 直角坐标的解答； – 极坐标的解答； – 轴对称问题，孔边应力集中； – 解力张量的定义，主应力的求解，斜方向的应力； – 应力边界条件（驻点条件，整体条件，平面问题的条件）；平衡方程（牢记）； – 基本概念
• 应变理论
– 应变张量的定义；主应变，斜方向的应变； – 几何方程（牢记）； – 协调方程，可能应变等；
• 本构关系
– 胡克定律；基本形式；各向同性弹性体的形式；
2、对于第七章没有留的作业题答案我们也没有，把后来强调大 家重新做的题好好做做应该就差不多了
• 能量原理
– 了解基本概念；虚（余）功原理，最小势能(余能）原理的基本形式，等价方程；基于变分原理的求解方法的基本 思想等；
• 空间问题
– 了解基本的空间问题的解！
• 专题：
– 热应力 – 接触问题 – 弹性波
说明
1、题型刘老师没有说，把课后习题好好做做，一些基本 的知识点多看看，可能会有填空题
大学弹力力学知识点总结
大学弹力力学知识点总结弹性力学是力学的一个分支，主要研究物体在外力作用下的形变和应力，以及这些形变和应力之间的关系。
在这一领域中，我们主要研究弹性体的性质，包括拉伸、压缩、扭转和弯曲等。
弹性力学不仅在工程领域有着广泛的应用，也是现代物理学、材料学和地质学等领域的基础。
1.基本概念在弹性力学中，我们首先需要了解一些基本概念，包括应力、应变、杨氏模量和泊松比等。
应力是单位面积上的外力，通常用符号σ表示。
应力可以分为正应力、剪切应力等。
应变是单位长度上的形变量，通常用符号ε表示。
应变也可以分为正应变、剪切应变等。
杨氏模量是描述材料刚度的参数，通常用符号E表示。
杨氏模量越大，说明材料越难以变形。
泊松比描述了材料在垂直拉伸时横向收缩的程度，通常用符号ν表示。
2.拉伸在弹性力学中，拉伸是一个非常重要的概念，它描述了物体在外力作用下的长度变化。
拉伸实验通常利用应变计来测量物体的应变，从而得到应力-应变曲线。
根据应力-应变曲线，我们可以得到杨氏模量和屈服强度等重要参数。
3.压缩压缩是拉伸的逆过程，它描述了物体在外力作用下的长度减小。
同样，通过压缩实验可以得到物体的杨氏模量和屈服强度等参数。
4.扭转扭转是指物体在外力作用下的扭转形变。
扭转实验可以得到物体的剪切模量。
5.弯曲弯曲是物体在外力作用下产生的弯曲形变。
在弯曲实验中，我们通常关注的是杨氏模量和截面惯性矩等参数。
弯曲实验还可以用来研究材料的疲劳性能。
6.弹性体的稳定性在弹性力学中，我们还需要研究弹性体的稳定性问题。
通常情况下，我们关注的是杆的稳定性和壳的稳定性。
通过分析弹性体的形变和应力分布，我们可以得到弹性体的稳定性条件。
7.应力分析应力分析是弹性力学的重要内容，它主要研究物体内部的应力分布。
应力分析可以帮助我们理解物体在外力作用下的形变特性，以及预测物体的破坏情况。
总之，弹性力学是一门重要的力学分支，它不仅在工程领域有着广泛的应用，也在物理、材料和地质等领域发挥着重要作用。
弹性力学基础
现在，假设弹性体发生了某种虚
位移，与各个外力分量相应的虚 位移分量为ui*、vi*，wi*，uj*， vj*，wj*，等等，总起采用列阵 {δ* }表示，而引起的虚应变用列 阵{ε* }表示
这个虚位移和虚应变一般并不是 上述实际外力引起的，而是另外 的外力或其他原因引起的。
更多的是我们为了分析问题而假 想在弹性体中发生的。
因此，这6个量可以完全确定该点的形变 状态，它们就称为在该点的应变分量。
当然，一般说来，应变分量也是坐标x， y、z的函数。
6个应变分量的总体，可用应变矢 量表示：
几何方程
应变分量与位移分量之间有一定的 几何关系。这就是所谓几何方程。
6个几何方程的总体可以用一个矩阵方 程来表示
刚体位移
由几何方程可见，当弹性体的位移分量 完全确定时，应变分量是完全确定的。 反过来，当应变分量是完全确定，位移 分量却不完全确定。 这是因为，具有确定形状的物体，可能 发生不同的刚体位移。
于是由上述推理得到
这就是弹性体的虚功方程，它通过 虚位移和虚应变表明外力与应力之 间的关系。
6 两种平面问题
任何实际问题都是空间问题，都必须考虑 所有的位移分量、应变分量和应力分量。
但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形 状，并且承受的是特殊外力，就有可能把 空间问题简化为近似的平面问题，不考虑 某些位移分量、应变分量或应力分量。
假设物体是均匀的。
假设物体是各向同性的。即物体内每一 点各个不同方向的物理性质和机械性质 都是相同的。
假设物体的变形是微小的。
2. 应力的概念
弹性体受外力以后，其内部将发生 应力。 为了描述弹性体内某一点P的应力， 在这一点从弹性体内割取一个微小 的平行六面体PABC，它的六面分别 垂直于相应的坐标轴，如图1。
弹性力学知识点
弹性力学─研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移 弹性力学─研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等量纲—基本物理单位是基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质量、时间等等之单位。
这些单位反映物理现象。
物理现象或物理量的度量，叫做“量纲”。
体力─（定义）作用于物体体积内的力。
表示）以单位体积内所受的力来量度fx,fy,fz量纲 （符号）坐标正向为正。
面力─（定义）作用于物体表面上的力。
（表示）以单位面积所受的力来量度应力─截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
（符号）应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。
形变 ─ 形状的改变。
以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变ε和切应变γ来表示。
位移—一点位置的移动，记号为u,v,w 量纲为L ，以坐标正向为正。
弹性力学5个基本假定（1）连续性 ─ 假定物体是连续的。
（2）完全弹性 ─ 假定物体是, a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
（3）均匀性 ─ 假定物体由同种材料组成（4）各向同性 ─ 假定物体各向同性（5）小变形假定 ─ 假定位移和形变为很小弹力的主要解法：解析法，变分法，差分法，有限单元法，实验方法例1 考虑两端固定的一维杆件。
图(a)，只受重力作用，fx=0,fy=ρg 。
试用位移法求解。
解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b ),(c ),(d )。
代入式(b ),第一式自然满足，第二式成为 1 解出y=0,l,属于边界条件，代入ν,(ν)y=0=0,故B=0。
（ν）y=l =0,故A=ρgl/2E.代入ν，并求出形变和应力，得到1的三式，在y=l/2处，σy=0. .22--T ML。
公共基础知识弹性力学基础知识概述
《弹性力学基础知识概述》一、引言弹性力学作为固体力学的一个重要分支，主要研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移。
弹性力学的理论和方法在工程结构设计、材料科学、地球物理学等众多领域都有着广泛的应用。
本文将对弹性力学的基础知识进行全面的阐述，包括基本概念、核心理论、发展历程、重要实践以及未来趋势。
二、基本概念1. 弹性体弹性体是指在外力作用下，能够产生弹性变形，当外力去除后，能够完全恢复到原来形状和尺寸的物体。
弹性体的变形通常是微小的，其应力与应变之间存在着一定的关系。
2. 应力应力是指单位面积上所承受的力。
在弹性力学中，应力通常分为正应力和切应力。
正应力是垂直于作用面的应力，切应力是平行于作用面的应力。
应力的单位是帕斯卡（Pa）。
3. 应变应变是指物体在受力作用下，形状和尺寸的改变量与原来形状和尺寸的比值。
应变通常分为正应变和切应变。
正应变是长度的改变量与原来长度的比值，切应变是角度的改变量。
应变是无量纲的量。
4. 弹性模量弹性模量是衡量材料弹性性质的指标，它表示材料在受力作用下产生弹性变形的难易程度。
弹性模量通常分为杨氏模量、剪切模量和体积模量。
杨氏模量是正应力与正应变的比值，剪切模量是切应力与切应变的比值，体积模量是体积应力与体积应变的比值。
三、核心理论1. 平衡方程平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在受力作用下的平衡状态。
平衡方程可以表示为：$\sigma_{ij,j}+f_i=0$其中，$\sigma_{ij}$是应力张量，$f_i$是体积力，$j$表示对坐标的偏导数。
2. 几何方程几何方程描述了弹性体在受力作用下的变形情况。
几何方程可以表示为：$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$其中，$\epsilon_{ij}$是应变张量，$u_i$是位移矢量，$j$表示对坐标的偏导数。
3. 物理方程物理方程描述了应力与应变之间的关系。
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是力学的一个重要分支，研究固体物体的变形和回复过程。
在本文中，将对弹性力学的几个重要概念和原理进行总结和介绍。
1. 弹性模量弹性模量是衡量固体物体抵抗形变的能力的物理量。
根据胡克定律，弹性模量E可以通过应力σ和应变ε的比值得到：E = σ/ε。
其中，应力表示受力物体单位面积上的力的大小，应变表示物体在应力作用下产生的形变程度。
2. 胡克定律胡克定律是弹性力学的基本原理，描述了理想弹性体在弹性应变范围内的力学行为。
根据胡克定律，应变与应力成正比。
即ε = σ/E，其中E为杨氏模量。
3. 杨氏模量杨氏模量是衡量固体材料抗拉性能的物理量，表示固体在单位面积上受到的拉力与单位长度的伸长量之比。
杨氏模量的定义为：E =F/AΔL/L0，其中F为受力物体的拉力，A为受力物体的横截面积，ΔL为拉伸后的长度增量，L0为原始长度。
4. 泊松比泊松比是衡量固体材料体积收缩性的物理量。
泊松比定义为物体在一轴方向上受力引起的形变量与垂直方向上的形变量之比。
公式表示为：μ = -εlateral/εaxial。
5. 应力-应变关系弹性力学中的应力-应变关系描述了材料在受力作用下的力学行为。
对于弹性材料，应力与应变成线性关系，即应力和应变成比例。
6. 弹性极限弹性极限是指固体材料可以弹性变形的最大程度。
超过弹性极限后，材料将会发生塑性变形。
7. 弹性势能弹性势能是指物体在形变后能够恢复到初始状态的能力。
弹性势能可以通过应变能来表示，其大小等于物体在受力作用下形变所储存的能量。
8. 弹性波传播弹性波是在固体中传播的一种机械波。
根据介质的不同，弹性波可以分为纵波和横波。
9. 斯内尔定律斯内尔定律描述了弹性力学体系中应力与应变之间的关系。
根据斯内尔定律，弹性变形是由应力和应变之间的线性关系所描述的。
10. 压力容器设计弹性力学在压力容器设计中起着重要作用。
根据弹性力学的原理，可以计算压力容器在不同压力下的变形情况，从而设计出满足安全要求的容器结构。
弹性力学知识要点(1~3章)
ε 3 − J1ε 2 + J 2ε − J 3 = 0
J1 =θ =ε ii =ε1 + ε 2 + ε 3 1 2 2 2 J2 = − ε 23 − ε 31 (ε iiε jj − ε ij ε ij = ) ε11ε 22 + ε 22ε 33 + ε 33ε11 − ε12 2 = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1 = = ε ε1ε 2ε 3 J 3 det
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ xz + 2 =， ∂x 2 ∂z ∂x∂z ∂ 2ε y ∂z 2 +
2 ∂ 2ε z ∂ γ yz ， = ∂y 2 ∂y∂z
∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ( )= 2 + − ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x∂y
几何意义：变形前后均连续。对单元体来说，当单元变形不满足协调方程，则单元间会产生 裂缝。
弹性力学总任务
一、15 个基本变量[定义、含义、张量表示] 6 个应力分量 ji ；6 个应变分量 ji ；3 个位移分量 ui 二、15 个求解方程+2 种边界条件[应力边条、位移边条] 平衡方程（3 个） ： ji , j f i 几何方程（6 个） ： ij
i u
9、Laplace 算子 ∆ ： ∆ = ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ = ei 熟悉张量的一些基本运算
1、如 n 为单位矢量， A 为二阶张量，试证明 n.A .n = n.A.n
T
2、设 a 为矢量， A 为二阶张量，试证明：
(1) a× A = −( A T ×a) T ，(2) A ×a = − (a × A T ) T
第3章 弹性力学基本知识
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
弹性力学基本概念和考点
基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。
因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
一、 平衡微分方程：(1) 平面问题的平衡微分方程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ-+++=+++=1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。
弹性力学专题知识课件
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
10
2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
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图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料弹性力学复习资料弹性力学是力学的一个分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布。
它在工程学、物理学和材料科学等领域有着广泛的应用。
本文将为大家提供一份弹性力学的复习资料，帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 应力和应变：应力是单位面积上的力，应变是物体形变相对于初始状态的变化量。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力，而应变主要分为线性弹性应变和非线性应变。
2. 弹性模量：弹性模量是衡量物体弹性性质的一个重要参数，常见的有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量描述了物体在拉伸或压缩时的应力和应变关系，剪切模量描述了物体在受剪切力作用下的应力和应变关系，泊松比描述了物体在拉伸或压缩时横向收缩或膨胀的程度。
3. 弹性极限和屈服点：弹性极限是指物体在受力作用下能够恢复到原来形状的最大应力，屈服点是指物体开始发生塑性变形的应力点。
二、弹性力学的基本方程1. 长度与应变的关系：根据胡克定律，线弹性材料的应力与应变成正比。
即应力等于弹性模量乘以应变。
2. 应力与变形的关系：根据杨氏模量的定义，应力等于弹性模量乘以应变。
对于拉伸和压缩变形，应力与变形成正比；对于剪切变形，应力与剪切变形成正比。
3. 应力的平衡方程：在弹性力学中，物体受力平衡的条件是应力张量的散度等于零。
4. 应力的边界条件：在边界上，物体的应力与外界施加的力相等。
三、常见的弹性体模型1. 线弹性体模型：最简单的线弹性体模型是胡克弹性体模型，它假设物体的应力与应变成正比。
然而，实际材料的应力-应变关系通常是非线性的，因此还有其他的线弹性体模型，如非线性弹性体模型和弹塑性体模型。
2. 弹性体的应力分析：对于各向同性的弹性体，可以通过应力分析求解物体的应力分布情况。
常见的应力分析方法有解析法和数值法，如有限元法和边界元法。
四、应用领域1. 结构工程：弹性力学在结构工程中有着广泛的应用，用于分析和设计各种建筑物和桥梁的强度和稳定性。
弹力的知识点总结
弹力的知识点总结1. 弹性体弹性体是指在外力的作用下会发生形变，但在撤去外力后，又能恢复原状的物质。
具有弹性的物体有金属、橡胶、弹簧等。
而没有弹性的物体如塑料、玻璃等就不是弹性体。
2. 弹性力物体受到外力作用时，会产生形变，而这种形变所产生的恢复力称之为弹性力。
弹性力的大小与形变的大小成正比，方向与形变的方向相反。
根据胡克定律，如果形变不大，弹性力与形变成线性关系。
3. 胡克定律胡克定律是弹性力学的基本定律，它描述了弹簧弹性力与形变的关系。
胡克定律表述为F=kx，其中F表示弹簧的弹性力，k表示弹簧的弹性系数，x表示形变的大小。
弹簧的弹性系数越大，说明弹簧越硬，形变相同时产生的弹性力也就越大。
4. 弹性形变弹性形变是指当外力作用在弹性体上时，会导致物体发生形变，但当外力消失时，物体会恢复到原状。
弹性形变是弹力学研究的重要对象，弹性体的弹性形变可以分为线弹性形变和非线性弹性形变。
5. 线性弹性形变如果形变不大，弹力和形变成线性关系，满足胡克定律F=kx，这种形变称之为线性弹性形变。
线性弹性形变通常发生在材料的弹性极限以内。
6. 非线性弹性形变当形变超出了材料的弹性极限范围时，弹性力与形变的关系不再是线性的，这种形变称之为非线性弹性形变。
非线性弹性形变通常发生在材料的弹性极限以外，而这时材料的弹性力不再满足胡克定律。
7. 弹性势能当外力作用在弹性体上时，会使得弹性体发生形变，并且在撤去外力后会恢复到原状。
在这个过程中，外力所做的功转变为弹性体的弹性势能。
弹性势能可以用来描述弹性体的弹性形变。
8. 弹性波当物体受到外力作用时，会产生形变，并且在去掉外力后会产生回复力，这种形变和恢复过程会导致力的传播，形成一种波动。
这种波动称之为弹性波。
弹性波的传播速度与物体的密度和弹性模量有关。
9. 弹性模量弹性模量是描述物体对外力的响应程度的物理量，是衡量材料弹性性质的重要参数。
常见的弹性模量包括杨氏模量、剪切模量和泊松比。
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弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。
外力分为体积力和面积力。
体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。
体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。
连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。
均匀性，整个物体时统一材料组成。
各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。
解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。
应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。
切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。
负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。
材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。
试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别。
平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。
外力约束，平行于版面且不沿厚度变化。
平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。
外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。
平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。
在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。
几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。
试根据几何方程分析，应变分量与位移分量之间的关系，并解释原因。
当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
在推导几何方程主要用了小变形假定。
在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。
为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W 的任意性就反应位移的不确定性，而为了安全确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。
物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。
两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物理方程，降E 换为21μ-E，将μ换为μμ-1，就可以得到平面应变问题的物理方程。
推导物理方程时，主要用了完全弹性、各向同性以及均匀性（此处写小变形假定也可以）等假设。
边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
它可以分为应力边界条件、位移边界条件以及混合边界条件。
试简述圣维南原理的内容，并利用该原理解释“当没有体力作用时，离边界较远处的小孔口边界上有平衡力系作用，只能在小孔口附近产生局部应力。
”“在结构中开设孔口或不开孔口，两者的应力也只在孔口附近区域有显著的差别”。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著地变化，但是远处所受的影响可以不计。
如在小边界上进行面力的静力等效变换，只改变局部区域的应力分布，对此外的不部分区域的应力没有什么影响。
应用时不能离开静力等效的条件。
按位移求解弹性力学平面问题，它是以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件。
应力法是以应力分量为基本未知函数。
按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。
也可以出简答题，为什么应力法通常只求解全部为应力边界条件的问题？按应力求解平面问题时，应力分量取为基本未知函数。
其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表示，即物理方程。
为了用应力分量表示位移分量，须将物理方程带入几何方程，通过积分等运算求出位移与分量。
因此，用应力分量表示位移分量的表达式较为复杂，且其中包含了待定的积分项。
从而使位移边界条件用应力分量表示的式子很复杂，且难求接。
按应力求解平面问题时，应力分量σ、yσ、xyτx必须满足区域内的平衡微分方程、在区域内的相容方程（用应力分量表示的）、在边界上的应力边界条件，对于多连体，还必须满足位移单值条件。
在用实验方法量测结构或构件上的应力分量σ、yσ、xyτ时，x为什么可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便量测的结构或构件材料。
（可以用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件）试采用弹性力学原理解释。
当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状、并受到同样分布的外力，那么就不管这两个弹性体的材料是否相同、也不管它们是在平面应力情况下还是平面应变情况下，应力分量的分布是相同的。
在常体力情况下，按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数。
它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。
在推导物理方程时应用了哪些假定？试具体说明。
为什么应力法通常只用来求解全部为应力边界条件的问题？检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？一般而言，产生轴对称应力状态的条件是，弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的。
如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。
绕z轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量为ρ的函数，不随ϕ变化；切应力为0。
“小孔口问题”，即孔口的尺寸远小于弹性体尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远，约大于1.5 倍孔口尺寸。
半逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程的应力函数，并求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选的应力函数可以解决的问题。
线性应力函数对应于无体力，无面力，无应力的状态。
把平面问题的应力函数加上一个线性函数，不影响应力。
如果有任意形状的薄板，受有任意面力，而在距边界较远处有一小圆孔，那么，只要有了无孔时的应力解答，也就可以计算孔边应力。
为此，只须先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量，从而求出相应的两个应力主向以及主应力1和2。
如果圆孔确定很小，圆孔的附近部分就可以当做是沿两个主向分别受均布拉力及，也就是可以应用前面所说的叠加法。
接触问题：即两个弹性体在边界上相互接触的问题，必须考虑交界面上的接触条件。
弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。
外力分为体积力和面积力。
体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。
体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。
连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。
均匀性，整个物体时统一材料组成。
各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。
解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。
应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。
切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。
负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。
材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。
试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别。
平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。
外力约束，平行于版面且不沿厚度变化。
平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。
外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。
平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。
在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。
几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。
试根据几何方程分析，应变分量与位移分量之间的关系，并解释原因。
当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
在推导几何方程主要用了小变形假定。
在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。
为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W 的任意性就反应位移的不确定性，而为了安全确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。
物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。
两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物理方程，降E 换为21μ-E，将μ换为μμ-1，就可以得到平面应变问题的物理方程。
推导物理方程时，主要用了完全弹性、各向同性以及均匀性（此处写小变形假定也可以）等假设。
边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
它可以分为应力边界条件、位移边界条件以及混合边界条件。
试简述圣维南原理的内容，并利用该原理解释“当没有体力作用时，离边界较远处的小孔口边界上有平衡力系作用，只能在小孔口附近产生局部应力。
”“在结构中开设孔口或不开孔口，两者的应力也只在孔口附近区域有显著的差别”。
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著地变化，但是远处所受的影响可以不计。
如在小边界上进行面力的静力等效变换，只改变局部区域的应力分布，对此外的不部分区域的应力没有什么影响。
应用时不能离开静力等效的条件。
按位移求解弹性力学平面问题，它是以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件。
应力法是以应力分量为基本未知函数。
按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。
也可以出简答题，为什么应力法通常只求解全部为应力边界条件的问题？按应力求解平面问题时，应力分量取为基本未知函数。
其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表示，即物理方程。
为了用应力分量表示位移分量，须将物理方程带入几何方程，通过积分等运算求出位移与分量。