弹性力学 知识要点

弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。外力分为体积力和面积力。体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。均匀性，整个物体时统一材料组成。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别。平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。外力约束，平行于版面且不沿厚度变化。 平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。 平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。试根据几何方程分析，应变分量与位移分量之间的关系，并解释原因。 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。在推导几何方程主要用了小变形假定。在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W 的任意性就反应位移的不确定性，而为了安全确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物理方程，降E 换为21μ-E

，将μ换为μμ-1，就可以得到平面应变问题的

物理方程。推导物理方程时，主要用了完全弹性、各向同性以及均匀性（此处写小变形假定也可以）等假设。

边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为应力边界条件、位移边界条件以及混合边界条件。试简述圣维南原理的内容，并利用该原理解释“当没有体力作用时，离边界较远处的小孔口边界上有平衡力系作用，只能在小孔口附近产生局部应力。”“在结构中开设孔口或不开孔口，两者的应力也只在孔口附近区域有显著的差别”。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著地变化，但是远处所受的影响可以不计。如在小边界上进行面力的静力等效变换，只改变局部区域的应力分布，对此外的不部分区域的应力没有什么影响。应用时不能离开静力等效的条件。按位移求解弹性力学平面问题，它是以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件。应力法是以应力分量为基本未知函数。按应力求解函数解答时，通常只求解全部为应力边界条件的问题。也可以出简答题，为什么应力法通常只求解全部为应力边界条件的问题？按应力求解平面问题时，应力分量取为基本未知函数。其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表示，即物理方程。为了用应力分量表示位移分量，须将物理方程带入几何方程，通过积分等运算求出位移与分量。因此，用应力分量表示位移分量的表达式较为复杂，且其中包含了待定的积分项。从而使位移边界条件用应力分量表示的式子很复杂，且难求接。按应力求解平面问题时，应力分量

σ、yσ、xyτ

x

必须满足区域内的平衡微分方程、在区域内的相容方程（用应力分量表示的）、在边界上的应力边界条件，对于多连体，还必须满足位移单值条件。在用实验方法量测结构或构件上的应力分量

σ、yσ、xyτ时，

x

为什么可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便量测的结构或构件材料。（可以用平面应力情况下的薄板模型，来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件）试采用弹性力学原理解释。

当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状、并受到同样分布的外力，那么就不管这两个弹性体的材料是否相同、也不管它们是在平面应力情况下还是平面应变情况下，应力分量的分布是相同的。

在常体力情况下，按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数。它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。

在推导物理方程时应用了哪些假定？试具体说明。

为什么应力法通常只用来求解全部为应力边界条件的问题？

检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？

检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？

检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？

一般而言，产生轴对称应力状态的条件是，弹性体的形状和应力边界条件必须是轴对称的。如果位移边界条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。绕z轴对称的应力，在极坐标平面内应力分量为ρ的函数，不随ϕ变化；切应力为0。

“小孔口问题”，即孔口的尺寸远小于弹性体尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远，约大于1.5 倍孔口尺寸。半逆解法：就是先设定各种形式的，满足相容方程的应力函数，并求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选的应力函数可以解决的问题。线性应力函数对应于无体力，无面力，无应力的状态。把平面问题的应力函数加上一个线性函数，不影响应力。如果有任意形状的薄板，受有任意面力，而在距边界较远处有一小圆孔，那么，只要有了无孔时的应力解答，也就可以计算孔边应力。为此，只须先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量，从而求出相应的两个应力主向以及主应力1和2。如果圆孔确定很小，圆孔的附近部分就可以当做是沿两个主向分别受均布拉力及，也就是可以应用前面所说的叠加法。接触问题：即两个弹性体在边界上相互接触的问题，必须考虑交界面上的接触条件。

弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。外力分为体积力和面积力。体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、