大学物理第十章重点小结
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2 1
2
1
AC
]
u y A (3 10 m) cos(410s )t πm 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
11
第十章 波动
物理学
第五版
点 D 的相位落后于点 A
AD y D (3 10 m)cos[4 s ]t 2 λ 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
点P 合振幅
A A1 A2 0
第十章 波动
20
物理学
第五版
例 A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相同， 相同， 初相差为 ,u = 400 m/s, f =100 Hz 。 求 A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。 解
r2 r1
P
30m
A
B
(即在两侧干涉相长，不会出现静止点) P 在A、B 中间
A 2 A 为波腹
( 的偶数倍) 4
(k 0,1,2， )
第十章 波动
25
物理学
第五版
讨论
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大 相邻波腹（节）间距 2 相邻波腹和波节间距 4 波腹 波节
4
y
4
3 4
5 4
2
x
振幅包络图
第十章 波动
26
物理学
第五版
3
2π
y (2 A cos
2π
x) cos t (2 A cos
2π
x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
第十章 波动
28
物理学
第五版
相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分 界处产生 π 的相位跃变，相当于出现了半个 波长的波程差，称半波损失.
2
yB (310 m) cos[(4π s )t π ]
2
1
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
10
第十章 波动
物理学
第五版
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
13 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
vs 波源向观察者运动 远离 +
第十章 波动
31
)
x
) A cos 2π (t
)
2 A cos 2π
x
cos 2π t
23
第十章 波动
物理学
第五版
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π (1)振幅 2 A cos 2π
1
x
cos 2π t
x
x cos 2 π 0 2 π x (k 1 ) π k 0,1,2, 2
第十章 波动
29
物理学
第五版
波密介质
波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏 介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相 同，即反射波在分界处不产生相位跃 变.
第十章 波动
30
物理学
第五版
五 多普勒效应
v0 观察者向波源运动 +
u v0 ' u vs
远离 -
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
y
A
x
A
O
x
第十章 波动
4
物理学
第五版
yO A cost
yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上P点(坐标 x), P 点比 O点的振 x 动落后t , P 点在 t 时刻的位移是O点在
第十章 波动
2
物理学
第五版
10-0
教学基本要求
三 了解惠更斯原理和波的叠加原 理.理解波的相干条件，能应用相位差 和波程差分析、确定相干波叠加后振幅 加强和减弱的条件.
四 理解驻波及其形成，了解驻波 和行波的区别. 五 了解机械波的多普勒效应及其 产生的原因.
第十章 波动
3
物理学
第五版
一
平面简谐波的波函数
第十章 波动
21
物理学
第五版
干涉相消
(在 A，B 之间距离A 点为 r1 =1,3,5,…,29 m 处出现静止点)
第十章 波动
22
物理学
第五版
四
正向 负向
驻波方程
y1 A cos 2π (t x
)
y2 A cos 2π (t
x
x
y y1 y2
A cos 2π (t
Amax A1 A2
当 r r (2k 1) 时（半波长奇数倍） 1 2 2 合振幅最小 Amin A1 A2
第十章 波动
18
物理学
第五版
例 如图所示，A、B 两点 P 为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 A 20 m 为100 Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 恰为波谷.设波 速为10 m s 1 ，试写出由A、 B发出的两列波传到点P 时 干涉的结果.
第十章 波动
2π
x
随 x 而异,与时间无关
k π
k 0,1,2,
24
物理学
第五版
2π a 当 cos x 0 时 A 0 为波节 x (2k 1) ( 的奇数倍) 4 4
(k 0,1,2， )
b 当 cos
2π
x 2k 4
x 1 时
2 -1
λ源自文库 10 m
u y A (3 10 m) cos(410s )t πm 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
12
第十章 波动
物理学
第五版
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t xB xC 8 B C 2π 2π 1.6π 10
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
9
第十章 波动
物理学
第五版
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t xB x A 5 B A 2π 2π π 10
2
1
B π
t x y (3 10 m) cos[ 2π ( ) π ] 0.5s 10 m
相位分布
y (2 A cos
x (
2π
x) cos t A cos t
2π
, ), cos x0 4 4
y (2 A cos
2π
x) cos t
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
第十章 波动
27
物理学
第五版
y
4
4
3 4
5 4
x
x ( , ), cos x0 4 4
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
8
第十章 波动
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 m) cos2π( ) 0.5 s 10 m
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
第十章 波动
5
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
) (1
2πr1
)
则
2π
r1 r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
加强 2kπ 2π 2π r1 r2 (2k 1) π 减弱
第十章 波动
17
物理学
第五版
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有 干涉的波程差条件 当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍） 合振幅最大
2 2
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件 当
2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大 当
Amax A1 A2
2k 1π
合振幅最小
第十章 波动
Amin A1 A2
16
物理学
第五版
位相差
( 2
2πr2
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
第十章 波动
B
19
物理学
第五版
解
BP 15 20 25
2 2
P 15 m A
10 0.10 100
u
设 A 的相位较 B 超前
20 m
B
A B π
BP AP 25 15 B A 2 π π 2 π 201 π 0.1
第十章 波动
14
物理学
第五版
三 波的干涉
1 波的叠加原理 波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 为二波单独在该点引起的振动的合成.
第十章 波动
15
物理学
第五版
讨 论
A A1 A2 2 A1 A2 cos
第十章 波动
7
物理学
第五版
-1 例 一平面简谐波以速度 u 20 m s沿 直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
第十章 波动
6
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T A cost kx
2 1
C D 2π
xC xD
22 2π 4.4π 10
9m
u
λ 10 m
C 8m B 5m
10m
D
oA
x
13
第十章 波动
物理学
第五版
二
平面简谐波的能量
在波动传播的介质中，任一体 积元的动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变化，且变化是同相位的. 体积元在平衡位置时，动能、势能 和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
物理学
第五版
第 第十 章 章 十
波 波
第十章 波动
动 动
1
物理学
第五版
10-0
教学基本要求
一 理解描述简谐波的各物理量的 意义及各量间的关系.
二 理解机械波产生的条件．掌握 由已知质点的简谐振动方程得出平面 简谐波的波函数的方法．理解波函数 的物理意义．理解波的能量传播特征 及能流、能流密度概念．
2
1
AC
]
u y A (3 10 m) cos(410s )t πm 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
11
第十章 波动
物理学
第五版
点 D 的相位落后于点 A
AD y D (3 10 m)cos[4 s ]t 2 λ 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
点P 合振幅
A A1 A2 0
第十章 波动
20
物理学
第五版
例 A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相同， 相同， 初相差为 ,u = 400 m/s, f =100 Hz 。 求 A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。 解
r2 r1
P
30m
A
B
(即在两侧干涉相长，不会出现静止点) P 在A、B 中间
A 2 A 为波腹
( 的偶数倍) 4
(k 0,1,2， )
第十章 波动
25
物理学
第五版
讨论
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大 相邻波腹（节）间距 2 相邻波腹和波节间距 4 波腹 波节
4
y
4
3 4
5 4
2
x
振幅包络图
第十章 波动
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物理学
第五版
3
2π
y (2 A cos
2π
x) cos t (2 A cos
2π
x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
第十章 波动
28
物理学
第五版
相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分 界处产生 π 的相位跃变，相当于出现了半个 波长的波程差，称半波损失.
2
yB (310 m) cos[(4π s )t π ]
2
1
u
8m C 5m A 9m D
oB
x
10
第十章 波动
物理学
第五版
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π
13 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
vs 波源向观察者运动 远离 +
第十章 波动
31
)
x
) A cos 2π (t
)
2 A cos 2π
x
cos 2π t
23
第十章 波动
物理学
第五版
讨论
驻波方程 y 2 A cos 2π (1)振幅 2 A cos 2π
1
x
cos 2π t
x
x cos 2 π 0 2 π x (k 1 ) π k 0,1,2, 2
第十章 波动
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物理学
第五版
波密介质
波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏 介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相 同，即反射波在分界处不产生相位跃 变.
第十章 波动
30
物理学
第五版
五 多普勒效应
v0 观察者向波源运动 +
u v0 ' u vs
远离 -
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
y
A
x
A
O
x
第十章 波动
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物理学
第五版
yO A cost
yO 表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上P点(坐标 x), P 点比 O点的振 x 动落后t , P 点在 t 时刻的位移是O点在
第十章 波动
2
物理学
第五版
10-0
教学基本要求
三 了解惠更斯原理和波的叠加原 理.理解波的相干条件，能应用相位差 和波程差分析、确定相干波叠加后振幅 加强和减弱的条件.
四 理解驻波及其形成，了解驻波 和行波的区别. 五 了解机械波的多普勒效应及其 产生的原因.
第十章 波动
3
物理学
第五版
一
平面简谐波的波函数
第十章 波动
21
物理学
第五版
干涉相消
(在 A，B 之间距离A 点为 r1 =1,3,5,…,29 m 处出现静止点)
第十章 波动
22
物理学
第五版
四
正向 负向
驻波方程
y1 A cos 2π (t x
)
y2 A cos 2π (t
x
x
y y1 y2
A cos 2π (t
Amax A1 A2
当 r r (2k 1) 时（半波长奇数倍） 1 2 2 合振幅最小 Amin A1 A2
第十章 波动
18
物理学
第五版
例 如图所示，A、B 两点 P 为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 A 20 m 为100 Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 恰为波谷.设波 速为10 m s 1 ，试写出由A、 B发出的两列波传到点P 时 干涉的结果.
第十章 波动
2π
x
随 x 而异,与时间无关
k π
k 0,1,2,
24
物理学
第五版
2π a 当 cos x 0 时 A 0 为波节 x (2k 1) ( 的奇数倍) 4 4
(k 0,1,2， )
b 当 cos
2π
x 2k 4
x 1 时
2 -1
λ源自文库 10 m
u y A (3 10 m) cos(410s )t πm 8m 5m 9m
C B
2
1
oA
D
x
12
第十章 波动
物理学
第五版
(4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t xB xC 8 B C 2π 2π 1.6π 10
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
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第十章 波动
物理学
第五版
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t xB x A 5 B A 2π 2π π 10
2
1
B π
t x y (3 10 m) cos[ 2π ( ) π ] 0.5s 10 m
相位分布
y (2 A cos
x (
2π
x) cos t A cos t
2π
, ), cos x0 4 4
y (2 A cos
2π
x) cos t
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
第十章 波动
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物理学
第五版
y
4
4
3 4
5 4
x
x ( , ), cos x0 4 4
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
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第十章 波动
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 m) cos2π( ) 0.5 s 10 m
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
第十章 波动
5
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
) (1
2πr1
)
则
2π
r1 r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
加强 2kπ 2π 2π r1 r2 (2k 1) π 减弱
第十章 波动
17
物理学
第五版
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有 干涉的波程差条件 当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍） 合振幅最大
2 2
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件 当
2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大 当
Amax A1 A2
2k 1π
合振幅最小
第十章 波动
Amin A1 A2
16
物理学
第五版
位相差
( 2
2πr2
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
第十章 波动
B
19
物理学
第五版
解
BP 15 20 25
2 2
P 15 m A
10 0.10 100
u
设 A 的相位较 B 超前
20 m
B
A B π
BP AP 25 15 B A 2 π π 2 π 201 π 0.1
第十章 波动
14
物理学
第五版
三 波的干涉
1 波的叠加原理 波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 为二波单独在该点引起的振动的合成.
第十章 波动
15
物理学
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讨 论
A A1 A2 2 A1 A2 cos
第十章 波动
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物理学
第五版
-1 例 一平面简谐波以速度 u 20 m s沿 直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
第十章 波动
6
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T A cost kx
2 1
C D 2π
xC xD
22 2π 4.4π 10
9m
u
λ 10 m
C 8m B 5m
10m
D
oA
x
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第十章 波动
物理学
第五版
二
平面简谐波的能量
在波动传播的介质中，任一体 积元的动能、势能、总机械能均随 x, t 作周期性变化，且变化是同相位的. 体积元在平衡位置时，动能、势能 和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
物理学
第五版
第 第十 章 章 十
波 波
第十章 波动
动 动
1
物理学
第五版
10-0
教学基本要求
一 理解描述简谐波的各物理量的 意义及各量间的关系.
二 理解机械波产生的条件．掌握 由已知质点的简谐振动方程得出平面 简谐波的波函数的方法．理解波函数 的物理意义．理解波的能量传播特征 及能流、能流密度概念．