高中数学 错误解题分析 3-2第1课时 空间向量与平行关系
高中数学3-2第1课时空间向量与平行关系
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
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解
(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a· b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)，
∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)， ∴a与u即不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交． (4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
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规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求 解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方 程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保 证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴．
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【变式2】 已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求 平面ABC的一个法向量．
x ＝0， 1 得 令 z1＝2，则 y1＝－1， z1＝－2y1，
2分
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4分
所以 n1＝(0，－1，2)．
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因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE. (2)∵C1B1＝(2，0，0)， 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，得 → n2· 1＝2y2＋z2＝0， x2＝0 FC 得 z2＝－2y2 n ·→ ＝2x ＝0， C1B1 2 2 令 z2＝2 得 y2＝－1， 所以 n2＝(0，－1，2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
3.2.1空间向量与平行关系.ppt
若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则
y2等于 ( )
A.2
B.0
C.1
D.无意义
【解析】选C.因为AB =(1,2,1)-(0,1,1)=(1,1,0), AC =(-1,0,-1)-(0,1,1)=(-1,-1,-2). 又a=(-1,y,z)为平面ABC的法向量,
所以a⊥AB ,a⊥AC .
【思考3】判断点A在平面内的方法是什么? 提示:在平面内找另一点B,转化为 AB 与平面是否平行.
【自我总结】 1.对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取:在直线上任取两点P,Q,可得到直 线的一个方向向量 PQ .
(2)方向向量的不惟一性:直线的方向向量不是惟一的, 可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解 题时,可以选取坐标最简的方向向量.
3.用向量表示平面的位置 (1)通过平面α 上的一个定点O和两个向量a和b来确定:
平面α 内两条相交直线的方向向量a,b和 条件
交点O 对于平面α O上P 任意一点P,存在有序实数对
(2)通过平面α 上的一个定点A和法向量来确定: 平面的 直线l⊥α ,直线l的_方__向__向__量__a_,叫做平 法向量 面α 的法向量
确定平 过点A,以向量a为法向量的平面是完全 面位置 确定的
微提醒 (1)空间一个点,一个法向量(一个方向)可确 定一个平面 (2)空间内一点和平面内两个不共线的向量可确定一个 平面.
4.用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l,m的方向向量分别为a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),两个平面α ,β 的法向量分别为 u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3),则有如下结论:
22
AC =(1, 3 ,0).设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
第1课时 空间向量与平行关系
以及一个方向确定．在直线l上取点A和 a ， a 可以 作为l的方向向量，借助点A和 a 即可确定直线l的
位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．
2．如何理解平面的法向量？ (1)平面α 的一个法向量垂直于与平面α 共面的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们 互相平行．
3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作
α
b
a
u
l
ｍ
v
β
即平面β的法线与平面α内任一直线垂直. 所以平面β的法向量也是平面α的法向量， 即u∥v.因此，α ∥ β.
【变式练习】
若互不重合的平面α ，β 的法向量分别 为u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，
证明：α ∥β . 证明：因为u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)， 所以v＝－3u，即v∥u. 又因为u，v分别为平面α，β的法向量
a
l
u
l / / a u a u 0
平面 , 的法向量分别为 u , v ，则
/ / u / /v u v
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u , v ，则 线线平行 l∥m a∥ b a b, R; 线面平行 l∥ a u a u 0; 面面平行 ∥ u∥v u v, R.
例1.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
已知：直线l ,m和平面α ，β ，其中l ,m ⊂ α , l与m相交,l ∥β ,m ∥β , 求证：α ∥β .
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
空间向量与平行关系(第1课时)课件北师大版选修
由条件知 B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4)，E (0,0,3)，F(0,1,4)， 设 BA＝a，则 A(a,0,0)，G(a2，1,4)． 所以 BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，EG ＝ a2，1，1， EF ＝(0,1,1)． 法一：∵ B1D·BA＝0， B1D·BD＝0＋4－4＝0， 所以 B1D⊥BA，B1D⊥BD. 因 BA∩BD＝B，因此 B1D⊥平面 ABD.
2．三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平 面上的 投影 ，则这两条直线垂直． 3．面面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ，则这两个
平面垂直．
一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由 一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平 面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关 系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．
[思路点拨] 本题可通过建立空间直角坐标系，利用 向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先 求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[精解详析] 法一：如图所示，建立空间直
角 坐 标 系 ，则 A(4,0,0)， M(2,0,4)， N(4,2,4) ，
D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．
§
第
4
二
章
理解教材新知
考点一
第
把握 热点考向
考点二
一 课
考点三
时
应用创新演练
已知直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2 的法向量分别为n1，n2.
问题1：若直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，则它们的 方向向量和法向量有什么关系？
空间向量与平行、垂直关系
立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量和平面的法向量的意义．2.掌握空间向量的运算与立体几何问题的对应关系，掌握使用空间向量研究立体几何中的平行与垂直关系的方法．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．()(2)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．()(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( )A ．(2，2，6)B ．(－1，1，3)C ．(3，1，1)D ．(－3，0，1)答案：A3．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，14 B ．(2，－1，0) C ．(1，2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2 答案：C4．若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32探究点一 直线的方向向量与平面的法向量已知A (1，0，1)、B (0，1，1)、C (1，1，0)，求平面ABC的一个法向量．[解] 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由题意知AB→＝(－1，1，0)，BC →＝(1，0，－1)． 因为n ⊥AB →且n ⊥BC →，所以⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0， 令x ＝1，得y ＝z ＝1.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1)．利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB→，AC →. (3)列方程组：由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组． (4)解方程组：⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．1. 如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．解：如图，以A 为原点，以AD→，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)， 则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x . 取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，所以平面SDC 的一个法向量为(2，－1，1)．探究点二 利用空间向量证明平行关系已知正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1→＝(0，2，1)， DA→＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE→＝2y 1＋z 1＝0， 得⎩⎨⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1，2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎨⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .向量法证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．2.在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则 P (3，0，1)，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，1)． PQ→＝(－3，2，1)，RS →＝(－3，2，1)， 即PQ→＝RS →，故PQ →∥RS →. 又P ∉RS ，因此PQ ∥RS .法二：因为RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→， PQ →＝P A 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，所以RS→＝PQ →.所以RS→∥PQ →.又P ∉RS ，所以RS ∥PQ . 探究点三 利用空间向量证明垂直关系(规范解答)(本题满分12分)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，E 为BB 1的中点．求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .[证明] 由题意得AB 、BC 、B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA →、BC →、BB 1→的方向分别为x 轴、y 轴、 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，(1分)则A (2，0，0)，A 1(2，0，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (0，0，1)，(2分)则AA 1→＝(0，0，2)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，2)，AE →＝(－2，0，1)．(3分)设平面AA 1C 1C 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎨⎧2z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0，(5分) 令x 1＝1，得y 1＝1，所以n 1＝（1，1，0）.(6分)设平面AEC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，(8分)令z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝－1，所以n 2＝（1，－1，2）. (9分)因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×2＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .(12分)向量法证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．B1C1D1中，若E为A1C1的中3.(1)在正方体ABCD-A点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.解：(1)选B.建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系学案 新人教A版选修
第1课时空间向量与平行、垂直关系1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．2.会求平面的法向量．3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a ＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u ＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )(2)平面α的法向量是惟一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( )(4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√若A (1，0，－1)，B (2，1，2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2，2，6) B ．(－1，1，3) C ．(3，1，1) D.(－3，0，1)答案：A若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，14B ．(2，－1，0)C ．(1，2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2答案：C若直线的方向向量为u 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43，1，平面的法向量为u 2＝(3，2，z )，则当直线与平面垂直时z ＝________．答案：32设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝__________．答案：4探究点1 求直线的方向向量与平面的法向量[学生用书P64]如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．【解】因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，B (1，0，0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12， AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．[变问法]本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，则P (0，0，1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)，即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为(0，1，3)．待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．1.已知A (0，y ，3)，B (－1，－2，z )，若直线l 的方向向量v ＝(2，1，3)与直线AB 的方向向量平行，则y ＋z 等于( )A ．－3B ．0C ．1D.3解析：选B.由题意，得AB →＝(－1，－2－y ，z －3)，则－12＝－2－y 1＝z －33，解得y ＝－32，z ＝32，所以y ＋z ＝0，故选B. 2．在△ABC 中，A (1，－1，2)，B (3，3，1)，C (3，1，3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点．(1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )． 因为AB →＝(2，4，－1)，AC →＝(2，2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b a ＝－32b ，令b ＝2，则a ＝－3，c ＝2.所以平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3，2，2)． (2)因为点M (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，所以AM →⊥n ，所以－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0， 所以3x －2y －2z －1＝0.故x ，y ，z 满足的关系式为3x －2y －2z －1＝0. 探究点2 利用空间向量证明平行关系[学生用书P64]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)．FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1. 所以n 1＝(0，－1，2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0. 所以FC 1→⊥n 1.因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .[变问法]在本例条件下，求证：平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：由本例证明知C 1B 1→＝(2，0，0)， 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥RS .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M (3，0，43)，N (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．所以MN →＝(－3，2，23)，RS →＝(－3，2，23)，所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →，因为M ∉RS ，所以MN ∥RS . 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c .所以MN →＝RS →，所以MN →∥RS →. 又R ∉MN ，所以MN ∥RS .探究点3 利用空间向量证明垂直关系[学生用书P65]在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .证明线、面垂直问题的方法(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 边中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 在CD上，求证：AB ⊥PC .证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，OP →＝v .由条件知，v 是平面ABC 的法向量， 所以v ·a ＝0，v ·b ＝0， 因为D 为AB 中点，所以CD →＝12(a ＋b )，因为O 在CD 上，所以存在实数λ，使CO →＝λCD →＝λ2(a ＋b )．因为CA ＝CB ， 所以|a |＝|b |， 所以AB →·CP →＝(b －a )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ2（a ＋b ）＋v ＝λ2(a ＋b )·(b －a )＋(b －a )·v＝λ2(|b |2－|a |2)＋b ·v －a ·v ＝0， 所以AB →⊥CP →， 所以AB ⊥PC .1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心，证明：OA 1⊥AM . 证明：设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系，如图，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以OA 1→＝(1，0，1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12－(1，0，0)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×0＋1×12＝0，即OA 1⊥AM .2．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .证明：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则C (0，1，0)，E (1，0，1)，C 1(0，1，2)，F (1，1，1)，E 1⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2.设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为C 1E 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ， 取n ＝(1，2，1)．因为CE →＝(1，－1，1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n ，且CE ⊄平面C 1E 1F . 所以CE ∥平面C 1E 1F .[学生用书P66]知识结构深化拓展用空间向量解决立体几何的问题有三步(1)首先建立适当的空间坐标系，一般是用互相垂直的直线为x ，y ，z 轴，设出点的坐标．(2)通过向量的坐标运算，来研究点、直线、平面之间的关系，把几何问题转化为代数问题．(3)把向量的运算结果“翻译”为相应的几何意义，据几何意义求出结果.[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2，52，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝3，y ＝152B ．x ＝32，y ＝154C ．x ＝3，y ＝15D.x ＝3，y ＝154解析：选D.因为l 1∥l 2，所以321＝x 2＝y 52，所以x ＝3，y ＝154，故选D.2．直线l 的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m ＝(－1，1，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，19，则直线l 与平面β的位置关系是( )A ．l ∥βB ．l ⊥βC ．l ∥β或l ⊂βD.无法判断解析：选C.因为m ·n ＝－13＋0＋13＝0，所以m ⊥n .所以l ∥β或l ⊂β.3．设直线l 的方向向量u ＝(－2，2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6，12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D.－2解析：选B.因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ； 对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ， 所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以F 为AD 的中点， 所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 所以3＋5－2z ＝0， 所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157， 故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明：设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，14， B 1⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0. 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，所以MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.所以MN →⊥AB 1→，所以AB 1⊥MN .10．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：设正方体的棱长为2a ，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2a ，0，0)，C (0，2a ，0)，B 1(2a ，2a ，2a )，E (2a ，2a ，a )，F (a ，a ，2a )． 所以EF →＝(a ，a ，2a )－(2a ，2a ，a )＝(－a ，－a ，a )，AB 1→＝(2a ，2a ，2a )－(2a ，0，0)＝(0，2a ，2a )，AC →＝(0，2a ，0)－(2a ，0，0)＝(－2a ，2a ，0)．因为EF →·AB 1→＝(－a ，－a ，a )·(0，2a ，2a )＝(－a )×0＋(－a )×2a ＋a ×2a ＝0，EF →·AC →＝(－a ，－a ，a )·(－2a ，2a ，0)＝2a 2－2a 2＋0＝0，所以EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ，所以EF ⊥平面B 1AC .[B 能力提升]11．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AD 1，BD 和B 1C 的中点，利用向量法证明：(1)MN ∥平面CC 1D 1D ； (2)平面MNP ∥平面CC 1D 1D .证明：(1)以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1)．由正方体的性质知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA →＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量．由于MN →＝(0，1，－1)，则MN →·DA →＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN →⊥DA →. 又MN ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MN ∥平面CC 1D 1D .(2)由于MP →＝(0，2，0)，DC →＝(0，2，0)， 所以MP →∥DC →，即MP ∥DC . 由于MP ⊄平面CC 1D 1D ， 所以MP ∥平面CC 1D 1D .又由(1)，知MN ∥平面CC 1D 1D ，MN ∩MP ＝M ，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP ∥平面CC 1D 1D .12．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为BC 的中点．(1)在B 1B 上是否存在一点P ，使D 1P ⊥平面B 1AE? (2)在平面AA 1B 1B 上是否存在一点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE? 解：(1)如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，B 1A →＝(0，－1，－1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1.假设存在点P (1，1，z )满足题意，于是D 1P →＝(1，1，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧D 1P →·B 1A →＝0，D 1P →·B 1E →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－1－z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，z ＝12，矛盾．故在B 1B 上不存在点P 使D 1P ⊥平面B 1AE .(2)假设在平面AA 1B 1B 上存在点N ，使D 1N ⊥平面B 1AE . 设N (1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧D 1N →·B 1A →＝0，D 1N →·B 1E →＝0.因为D 1N →＝(1，y ，z －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－y －z ＋1＝0，－12＋0－z ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，故平面AA 1B 1B 上存在点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12，使D 1N ⊥平面B 1AE .13．(选做题)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .证明：以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ， 所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ， 又因为PA ∩DA ＝A ， 所以BE ⊥平面PAD ， 又因为BE ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .。
空间向量与平行关系 课件
[知识提炼·梳理] 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向 量．
温馨提示 一条直线的方向向量不唯一．直线的方向向量有无数 条，它们都是平行向量．
2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量． 温馨提示 平面的法向量不唯一，平面的法向量有无数条，它们 都是平行向量．
解：(1)①因为 a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)， 所以 a＝－2b，所以 a∥b，所以 l1∥l2. ②因为 a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)， 所以 a·b＝0，所以 a⊥b，所以 l1⊥l2.
(2)①因为 u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12， 所以 u·v＝－3＋2＋1＝0，所以 u⊥v，所以 α⊥β. ②因为 u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)， 所以 u＝－32 v，所以 u∥v，所以 α∥β.
①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12； ②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；
(Байду номын сангаас)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量， 根据下列条件判断平面 a 与 l 的位置关系：
①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
归纳升华 平面法向量的求法
(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量．
(2)当已知平面 α 内两不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)时，常用特定系数法求法向量：
设法向量 n＝(x，y，z)，
a·n＝0， a1x＋a2y＋a3z＝0，
由
得
b·n＝0 b1x＋b2y＋b3z＝0，
第三章 3.2 第一课时 空间向量与平行、垂直关系
证明：法一：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在 直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 Dxyz. 则 P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，
返回
PQ ＝(－3,2,1)， RS ＝(－3,2,1)， ∴ PQ ＝ RS ，∴ PQ ∥ RS ，∴PQ∥RS. 1 1 法二： RS ＝ RC ＋ CS ＝2 DC － DA＋2 DD1 ， 1 1 PQ ＝ PA1 ＋ A1Q ＝2 DD1 ＋2 DC － DA， ∴ RS ＝ PQ ，∴ RS ∥ PQ ，∴RS∥PQ.
因为 FC1 · n1＝－2＋2＝0，所以 FC1 ⊥n1.
又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
返回
(2)因为 C1 B1 ＝(2,0,0)，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． 由 n2⊥ FC1 ，n2⊥ C1 B1 ，得 n2 · FC1 ＝2y2＋z2＝0， x2＝0， 得 C1 B1 ＝2x2＝0， z2＝－2y2. n2 · 令 z2＝2，得 y2＝－1，所以 n2＝(0，－1,2)， 因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
第1课时 空间向量与平行关系
用向量的方法证明空间中的平行关系导学案一、复习1.直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线___________的向量． 2.平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的___________，则a叫做平面α的法向量． 二、探究与总结空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ∥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________(2)线面平行设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α∥⇔→a →u ⇔________⇔ ___________________ ．(3)面面平行设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ∥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________ ()R λ∈空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ⊥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α⊥⇔→a→u ⇔________⇔ ___________________ ．al mbabuaamll(3)面面垂直设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ⊥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________三、应用(1)设,a b分别是不重合的直线12,l l 的方向向量，根据下列条件判断12,l l 的位置关系：①a ＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)； ②a ＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)；(2)设,u v分别是不同的平面,αβ的法向量，根据下列条件判断,αβ的位置关系；①()11,1,2,3,2,2u v ⎛⎫--- ⎪⎝⎭②u ＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；(3)设u 是平面α的法向量，a是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系； ①u ＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u ＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．知识点一 求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证： AE是平面A 1D 1F的法向量.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.四、典题训练例.已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是11BB DD 、的中点，求证： (1)1FC ∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面11B C F .拓展练习：已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是1111BC CC C D AA 、、、的中点， 求证：(1) BF//H D 1 (2) EG//面B D 1 (3)面BDF// 面11B D H在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.求平面法向量的坐标步骤：一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解：得到x 、y 、z 的关系式，取其中一个为非零值（常取1±），得到平面的一个法向量。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修2-1
[再练一题] 1．正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，在 如图 3-2-2 所示的空间直角坐标系中，求： 【导学号：18490103】 (1)平面 BDD1B1 的一个法向量； (2)平面 BDEF 的一个法向量．
图322
利用空间向量证明线线平行 如图 3-2-3 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别为
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相 交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的 方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与 平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相 交但不垂直．
直线的方向向量是指和这条直线_____平__行__或__共__线__的__非__零_____向量， 一条直线的方向向量有__无__数____个．
直线 l⊥α，取直线 l 的__方__向__向__量_____a，则向量 a 叫做平面α的法向量．
教材整理 2 空间中平行关系的向量表示
阅读教材 P102～P103 内容，完成下列问题．
阶
阶
段
段
一
三
3．2 立体几何中的向量方法
第 1 课时 空间向量与平行关系
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 2．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重 线的方向向量与平面的法向量 阅读教材 P102～P103“第 2 自然段”内容，完成下列问题．
[探究共研型] 利用空间向量证明线面、面面平行
空间向量与平行关系
[题后感悟] 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直 线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与 平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点： (1)能熟练的判断两向量的共线与垂直； (2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系 之间的内在联系； (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α 的位置关系． ①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．
已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－ 2,0)，试求平面α的一个法向量．
2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点， 分别求平面AED与平面A1FD的法向量．
.
线面 平 行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，vac·1u)，＝平0 面α的
法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔
.
面面 平 行
设α，β的法向量分别为vuu＝∥v(a⇔1，u－b1λ，v c1)，v＝(a2
，b2，c2)，则α∥β⇔α的法向量为b，若a·b＝0，则(
答案： －14 6
4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、 AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD1A1. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下 列条件判断l1，l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1) ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0) ③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)
空间向量与平行关系 课件
【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，1 ，0)，F(1，0，1 )，C 0，1，0 ，
2
3
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF则，CG EF，由于点G在z
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则2, m,1 (1, 1 , 2) 0,
2 2 1 m 2 0标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以 FC1 0，2，1，AD 2，0，0，AE 0，2，1，C1B1 2，0，0,
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1) AB1 1，0，4,AC1 0，2，4,
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则 n AB1且n AC1,
即
x 4z 0, 2y 4z 0,
令z=1，则x=-4,y=-2，
类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
A. 10
B.-6
C.6
D.10
3
3
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 (1, 1 , 2)，则m=_________.
2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向 量,证明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面 平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
第一课时 空间向量与平行关系
全国名校高一数学优质学案汇编（附详解） 3.2 立体几何中的向量方法
空间向量与平行关系
第一课时
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1．掌握空间点、线、面的向量表示．
2 ．理解直线方向向量与平面法向量的意义；会用待定系 数法求平面的法向量． 3 ．能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平 面的平行问题.
数学 选修2-1(配人教版)
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→ → (2)DB＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2)． 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． → y＝－x， n· DB＝0， 2 x ＋ 2 y ＝ 0 ， ∴ ∴ ∴ 1 → z＝－ x. x＋2z＝0， 2 DE＝0， n· 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
x－2y－4z＝0， 即 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2. ∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
数学 选修2-1(配人教版)
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【题后反思】 一般情况下，使用待定系数法求平面的法 向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a＝(a1，b1，c1)， b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于 x， y， z
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解：设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，则，C(0,2,0)，E(1,0,2)． → (1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以AC＝(－2,2,0) 为平面 BDD1B1 的一个法向量．
高中数学同步教学课件 空间向量与平行关系
则D→N＝λD→P＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)， 又P→B＝(1,1，－1)，A→N＝A→D＋D→N＝(－1，0，λ)， 若 PB∥平面 AGN，则向量P→B与A→N，A→G共面， 依据共面向量定理知，存在实数 m，n，使得P→B＝mA→N＋nA→G，
即(1,1，－1)＝m(－1，0，λ)＋n－23，23，13，
跟 踪 训 练 2 在 如 图 所 示 的 多 面 体 中 ， EF⊥ 平 面 AEB ， AE⊥EB ， AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点， 求证：AB∥平面DEG.
∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又∵AE⊥EB， ∴EB，EF，EA两两垂直. 以{E→B，E→F，E→A}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 E－xyz.
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q， R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点. 求证：PQ∥RS.
方法一 以{D→A，D→C，—DD→1}为正交基底，建立如 图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， P→Q＝(－3,2,1)，R→S＝(－3,2,1)， 所以P→Q＝R→S，所以P→Q∥R→S，
即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0， 得xz11＝＝－0，2y1.
令z1＝2，得y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量. 由 n2⊥—FC→1 ，n2⊥C—1→B1，
得nn22··— C—F1C→→B11＝＝22yx22＋＝z02，＝0，
高中数学 错误解题分析 32第1课时 空间向量与平行关系
3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系双基达标 限时20分钟1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )．A ．(1，2，3)B ．(1，3，2)C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)答案 A2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)答案 D3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是( )．A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β.答案 A4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________．解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y ＝12. 答案 125．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______．解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k，解得k ＝4.答案 46．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)∵AP ＝2PA 1，∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝23(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，43)． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →， 又∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .综合提高（限时25分钟）7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( )．A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交解析 因为AB →＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz .答案 C8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在平面α内的是 ( )．A ．(1，－1，1)B ．(1，3，32) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－32) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →·n ＝(1，－4，12)·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B. 答案 B9．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，32)，若a ∥b ，则k ＝______．解析 ①当k ＝0时，a 与b 不平行．②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －132解得k ＝－2. 答案 －210．若A (0，2，198)，B (1，－1，58)，C (－2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．解析 AB →＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ， 则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－43y )＝2∶3∶(－4)． 答案 2∶3∶(－4)11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0，1，12)，N (12，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→， ∴MN →∥DA 1→，而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .12．(创新拓展)如图，O 是正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的底面中心，P是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?解 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)，设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)，那么OP →＝(－1，－1，1)， BD 1→＝(－2，－2，2)，∴OP →∥BD 1→，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1.又AP →＝(－2，0，1)，BQ →＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP →∥BQ →，由于B ∉AP ，∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ .∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .。
3.2.1空间向量与平行关系
3.2.1 空间向量与平行关系（高二理普导学案）命题人：李玉芹时间：2012年12月13日一、教学目标理解直线的方向向量和平面的法向量，能用向量语言表述和证明空间平行问题。
二、教学重点：用向量的方法证明空间中的平行关系。
三、教学难点：求平面的法向量四、知识导学1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个.2．平面的法向量直线，取直线的方向向量，则叫做平面的 .3．空间中平行关系的向量表示1）线线平行设直线、的方向向量分别为则∥＝ .2）线面平行设直线的方向向量为，平面的法向量为，则∥＝0 .3）面面平行设平面、的法向量分别为，，则∥.4）平面法向量的求法①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量.②当已知平面内两不共线向量时，常用待定系数法求法向量：设法向量，由，得，在上述方程中，对、、中的任一个赋值，求出另两个，所得n即为平面的法向量.★特别提醒平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证五、例题解析题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系例1、（1）设，分别是，的方向向量，判断，的位置关系①，②，（2）设分别是平面的法向量，判断的位置关系。
①，②，（3）设是平面的法向量，是直线的方向向量，判断直线与的位置关系。
①，②，解析：（1）①∵，∴，∴∥，∴∥②，∴·＝0，∴⊥，∴⊥（2）①∵，∴·＝3－2－1＝0，∴⊥∴②∵，∴∴∥∴∥（3）∵①，∴·＝－6+8－2＝0 ∴⊥∴或∥②∵，∴∴∥∴⊥（变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。
（1）直线，的方向向量分别是，（2）平面的法向量分别是，（3）直线的方向向量，平面的法向量分别是，※类型之二：求平面的法向量例2、如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD与平面SBA的法向量.【分析】由题目可获取以下主要信息：①所给图形易于建系；②ABCD是直角梯形，且∠ABC=90°③SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量.※类型之三：利用空间向量证明线面平行问题例3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【分析】由题目可先获取以下主要信息；①ABCD—A1B1C1D1为正方体且棱长为2；②E、F分别是BB1、DD1的中点.解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行.※ 当堂测验：（1）若，是两个非零向量，则与平行的充要条件为（）A. B.C.存在实数K，使D.存在非零实数K，使（2）若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A.（0，－3，1）B.（2，0，1）C.（－2，－3，1）D. （－2，3，－1）（3）已知A（1，0，0）B（0，1，0）C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（）A.（1，1，1）B.（）C. （）D. （）（4）在平面ABCD中，，若，且为平同ABC的法向量，则等于（）A.2 B.0 C.1 D.无意义（5）已知∥，且的方向向量为（2，m，1），平面的法向量为（1，，2），则m=（6）已知，若，且∥，则=（7）已知平面经过三点A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），试求的一个法向量.8、如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= 90°，PA=BC=AD=1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；不存在，说明理由.。
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3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系
双基达标 限时20分钟
1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )．
A ．(1，2，3)
B ．(1，3，2)
C ．(2，1，3)
D ．(3，2，1) 答案 A
2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1) 答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置
关
系
是
( )．
A ．平行
B ．垂直
C ．相交不垂直
D ．无法判断
解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A
4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y ＝12.
答案 12
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则
k ＝______．
解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2
k
，解得k ＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，
0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，
2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1，
∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2
3(0，0，2)＝(0，0，43)，
∴P 点坐标为(3，0，4
3
)．
同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2
3)．
∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →
，
又∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .
综合提高（限时25分钟）
7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )．
A ．xOy 平行
B ．xOz 平行
C ．yOz 平行
D ．yOz 相交
解析 因为AB →
＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C
8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在
平
面
α
内
的
是
( )．
A ．(1，－1，1)
B ．(1，3，3
2)
C ．(1，－3，32)
D ．(－1，3，－3
2
)
解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →
与平面α的法向量n 是否垂直，即
PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →
·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →
·n
＝(1，
－4，1
2)·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.
答案 B
9．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，3
2)，若a ∥b ，则k
＝______．
解析 ①当k ＝0时，a 与b 不平行． ②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －1
3
2解得k ＝－2.
答案 －2
10．若A (0，2，198)，B (1，－1，58)，C (－2，1，5
8)是平面α内的三点，设平面α的法向
量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________． 解析 AB →
＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，
由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，
a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74
z ＝0，－2x －y －74
z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，
则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－4
3y )＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1
的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的 棱长为1，则可求得
M (0，1，12)，N (12
，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，
1，0)，
于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →
＝(1，1，0)，
设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →
＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.
取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 又MN →
·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
∴MN →
⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .
法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →
)＝12DA 1→，
∴MN →∥DA 1→
，而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .
12．(创新拓展)如图，O 是正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1的底面中心，P 是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?
解 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)，
设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)， 那么OP →
＝(－1，－1，1)，
BD 1→
＝(－2，－2，2)，
∴OP →∥BD 1→
，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP →
＝(－2，0，1)，BQ →
＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP →∥BQ →
，由于B ∉AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ . ∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .。