工程力学第六章杆件与结构的内力计算
专升本工程力学第6章 杆件的内力分析.
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6.3.2 剪力和弯矩
【例6.3】求简支梁横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
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6.3.2 剪力和弯矩
解 （1）求支座反力。由梁的平衡方程，求得支座反力为
FA=FB=10kN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩。假想地沿横截面1-1把梁
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6.3 杆件弯曲时的内力分析
6.3.1 平面弯曲的概念 6.3.2 剪力和弯矩
6.3.3 剪力图和弯矩图
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6.3.2 剪力和弯矩
以悬臂梁为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端
B处的支座反力为FB=F，MB=Fl。
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（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2-2把梁截
成两段，取左段为研究对象，列出平衡方程
F
y
0, FA F1 FS2 0
FS2 FA F1 0
D
M
0, M2 FA (4m) F1 (2m) 0
M 2 FA (4m) F1 (2m) 20kN m
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6.2.2 扭矩与扭矩图
解 （1）计算外力偶矩。作用于各轮上的外力偶矩分别为
PA M eA 9549 4.46kN m n PB M eB 9549 1.91kN m n PC M eC M eD 9549 1.27kN m n
T2 M eA M eB 2.55kN m T3 M eD 1.27kN m
建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。
（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
《工程力学》课程中杆件内力的教学实践
《工程力学》课程中杆件内力的教学实践搞要：以培养学生对知识总结和系统化的良好习惯为目的，在教学实践过程中，针对杆件内力需要掌握的知识点，总结出快速计算内力和绘制内力图的方法，同时精炼出助记口诀,并取得了很好的教学效果。
关键词：工程力学杆件内力教学实践工程力学课时少，相对的课程内容多，涉及到学习新概念和新知识，这对初学者而言确实有一定难度。
而其中杆件内力是工程力学最基础的知识之一，能否准确迅速计算杆件内力或绘制内力图，对进一步分析杆件强度、刚度、稳定性有很大的影响。
但目前学生在学习中，往往感觉有难度、不容易做到准确无误地完成轴力图、剪力图和弯矩图。
针对在学习中同学们遇到一些的问题，这里介绍杆件内力需要掌握的知识点，以及总结出快速计算内力和绘制内力图的方法。
同时精炼出口诀，便于学习和记忆。
1 内力正负号轴力的正负号规定：使杆拉伸时的轴力为正，反之为负（如图1）。
即：轴力方向在截面外法线方向一致时为正。
扭矩T的正负号规定：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致时为正；反之为负（如图2）。
简称：以外法线方向为正。
剪力Q：使截开部分杆件产生顺时针方向转动的为正，反之为负。
即：在被截开部分左面向上为正、向下为负；在被截开部分右面向下为正、向上为负。
弯矩M：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯成下凹上凸形状时，弯矩为负。
即：在被截开部分左面顺时针转动为正、逆时针方向转动为负；在被截开部分右面逆时针方向转动为正、顺时针转动为负（如图3）。
上述规律可归纳为：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。
这里的方位“左”和“右”含义是指截面相对所取研究对象的方位。
进一步精简为：外法线方向，左上右下，左顺右逆，为正。
2 基本方法截面法是力学中研究受力构件内力的一个基本方法。
它可以概括为以下四个步骤：(1)截：在欲求内力的截面处，沿该截面假想地将杆件截分为两部分。
(2)取：取其中任何一部分为研究对象。
(3)代：用内力代替弃去部分对研究对象的作用。
工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
工程力学 第6章 习题
习题6-1图习题6-2图习题6-3图习题6-4图第6章 杆件的内力分析6－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。
试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A d Q F d M （B （C （D 6－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中。
6－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。
为确定b M 、M ，现有下列四种答案，试分析哪一种 （A （B （C （D 之间剪力图的面积，以此类推。
6－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 m axQ ||F 。
解：（ （b ）0=∑AM，22+⋅+⋅--F l ql l ql ql qlF B 41R =（↑）0=∑y F ，qlF A41R =（↓），2R 4141qll ql l F MB C=⋅=⋅=（＋）2qlMA=51 —qlF 45||max Q =2max ||qlM =（c ）0=∑y F ，qlF A =R （↑）0=∑AM ，2qlM A=0=∑DM，022=-⋅-⋅+DMl ql l ql ql223qlMD= ql F =max Q ||2max 23||qlM =（d ）0=∑BM2132R =⋅-⋅⋅-⋅l ql l q l F AqlF A 45R =（↑）=∑y F ，qlF B 43R =（↑）0=∑BM，22lq M B==∑DM，23225qlMD=qlF 45||max Q =2max 3225||qlM =（e ）0=∑y F ，F R C = 0 0=∑CM ，0223=+⋅+⋅-CMl ql l ql 2qlMC= 0=∑BM，221qlMB==∑y F ，qlF B=Qql F =max Q ||2max ||qlM =（f ）0=∑AM，qlF B 21R =（↑） 0=∑y F ，qlF A 21R =（↓）0=∑y F ，021Q =-+-B F ql qlqlF B 21Q =0=∑DM，42221+⋅-⋅DMl l ql ql 281qlMD-=281qlME=∴qlF 21||max Q =522max 81||qlM =6－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max||M 。
工程力学终于知识点
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
工程力学第六章杆件的应力
42
N1=14kW, N2=N3= N1/2=7 kW
n1=n2= 120r/min
n3=
n1
z1 z3
36 =120
12
=360r/min
T1=1114 N.m T2=557 N.m T3=185.7 N.m
max(E)=
T1 Wp1
= 16.54 MPa
max(H)=
于是再由物理关系得
G d
dx
G T
GIp
T
Ip
二、 最大扭转切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max
T max
Ip
抗扭截面系数
38
max
max
39
6-6 极惯性矩和抗扭截面系数
一、 实心圆截面
d /2
d /2
I p 2dA 2 2 d 2 3d
A
0
0
d4
2 2
Z
O
x
y
53
在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。
因此，只可能组成三个内力分量
N x dA 0
A
M y z dA 0
A
Mz y dA M
A
通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中
的 N 和 My均等于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。
54
将正应力 σ Eε E y 代入以上三个条件，并根据有关的 ρ
D
´
上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横 向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生 剪切变形；而且，沿圆周方向所有的剪切变形相同。由于管壁 很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂
工程力学06-内力
计算模型如图 作用在丝锥顶部的力偶矩
m 2 150 10 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩
m B t
A
C
t 3000 20 150 N mm mm
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥
齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。 分析 锥齿段外力偶矩可简化为均布力偶 矩。人加荷载简化为集中力偶矩。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
h
分析 塔体的自重可简化为沿 轴向的均布荷载。了望台重量 简化为集中力。
H
P
H
建立如图的坐标系。 在用截面法分析轴力时， 可考虑取上部为分析对象，这
x
样可以避免求下端的支反力。
由于截面取在了望台上方时无须考虑力 P ，而取在下方 则应考虑力 P ，故应分段分析。
剪切
剪力 FS
弯曲
弯矩 M
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
轴力的正号
轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D， 内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g
x h
x FN1
1 A π( D 2 d 2 ) 4 0 xh
H
P
H
FN2
1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 0 4 1 2 FN1 ( D d 2 )πgx 4
2016工程力学（高教版）教案：6.6杆件的强度计算
第六节 杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。
为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。
一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。
塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26） 由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27） 应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。
例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。
杆端均用铰链连接。
在结点B 作用一载荷P=60kN 。
已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。
木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。
（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。
解 （1）校核托架强度 如图6-29(b)。
图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。
工程力学工程力学杆件内力
详细描述
在机械工程中，各种机械设备都需要进行杆 件内力分析。通过分析杆件的内力分布，可 以优化机械设备的结构设计，提高设备的稳 定性和使用寿命，确保机械设备在运行过程
中的安全可靠。
06 结论
总结
01
杆件内力是工程力学中的重要概念， 它描述了杆件在受力作用下的内部应 力分布情况。通过分析杆件的内力， 可以评估杆件的承载能力和安全性能 ，为工程设计和施工提供重要的依据 。
02
在本篇论文中，我们介绍了工程力学 中杆件内力的基本概念、计算方法和 应用实例。首先介绍了杆件内力的定 义和分类，然后详细阐述了如何通过 截面法和平衡法计算杆件的内力。此 外，还结合实际工程案例，介绍了如 何运用杆件内力分析解决实际问题。
03
通过对杆件内力的研究和分析，我们 可以更好地理解杆件在受力作用下的 行为和性能，为工程实践提供更加科 学和可靠的依据。同时，随着科学技 术的发展和工程实践的深入，我们需 要不断探索新的方法和手段，以更加 精确和高效地分析杆件内力，推动工 程力学的发展和应用。
弯曲力是杆件内力的一种，当杆件受到外力作用导致发生弯曲变形时，杆件内部会产生弯曲力。弯曲 力的方向与外力的方向相反，大小与外力和杆件截面积有关。弯曲力会导致杆件的弯曲变形，对结构 的承载能力和稳定性有一定影响。
04 内力分析的方法
解析法
总结词
通过数学解析公式计算杆件内力。
详细描述
解析法基于弹性力学理论，通过数学公式推导杆件的内力分布，适用于简单结构 和理想化的模型。
05 工程实例
桥梁工程中的杆件内力分析
总结词
桥梁工程中，杆件内力分析是确保结构安全和稳定的关键环节。
详细描述
在桥梁工程中，杆件内力分析是必不可少的环节。通过分析桥梁各部分杆件的内力分布， 可以确定杆件的承载能力和安全储备，从而优化结构设计，提高桥梁的稳定性和安全性。
工程力学(天津大学)第6章答案
考虑微段的静力平衡，有 [A(x) + dA(x)]⋅[σ] = A(x)[σ] +ρA(x)dx dA(x)[σ] =ρA(x)dx 设桥墩顶端截面( x = 0)的面积为A0 ，对上式积分，得x 截面的面积为
F
F
F
5m
15m
5m
5m
(a)
(b)
(c)
习题 6 − 14 图
解：（1）采用等截面石柱
结构如图a 所示，设柱的横截面面积和长度分别为A 、l ，底部截面轴力最
大，为
强度条件为
于是有
所用石料体积为 2、采用三段等长度的阶梯石柱
结构如图b 所示，按从上到下顺序，设各段横截面面积和长度分别为A1 , l 1 ， A2 , l 2 和 A3 , l 3 。显然，各阶梯段下端截面轴力最大，分别为
（2）由强度条件确定许用荷载
F A
B 60º
所以许用荷载为[F]=21.6kN。
C
60º
F
6 − 16 图示结构由刚性杆 AB 及两弹性 杆 EC 及 FD 组成，在 B 端受力 F 作用。两弹性
习题 6 − 15 图
杆由相同材料所组成，且长度相等、横截面面 积相同，试求杆 EC 和 FD 的内力。
FN1=FN2。
（2）根据题意，其位移条件为
其中，
分别为螺栓的伸长及套管的缩短，考虑 FN1=FN2，可计算出
将
代入得
(3) 螺栓横截面的应力为拉应力
工程力学杆件的内力
M 15kN m max 40
例 作梁的内力图
q P qa q
18
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
19
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
20
• 传动轴主动轮A的输入功率NA＝50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为NB＝NC＝15马力，ND＝20马 力，转速n＝300r/min。画扭矩图。
21
mA=1170 N·m
用截面法求出内力 mB= mC= 351 N·m mD= 468 N·m
且轴力或为拉力，或为压力。
正负号规定： 轴力 拉为正，压为负。
二 轴力计算 （利用截面法进行计算） 计算轴力的方法：
（1）在需求轴力的横截面处，假象用截面将杆切开，并任 选切开后的任一杆段为研究对象；
（2）画所选杆段的受力图，为计算简便，可将轴力假设为 拉力，即采用所谓设正法；
（3）建立所选杆段的平衡方程，由已知外力计算切开截6面 上的未知轴力。
剪力图和弯矩图的作法：
（1）根据剪力方程和弯矩方程；
（2）叠加法(superposition method)；
（3）根据集度(intensity)、剪力和弯矩的微分关系；
30
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
由平衡方程
Y 0,Q P 0 得Q P 由M 0, Px M 0
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
工程力学-第六章-轴向拉伸与压缩
σ b ，且较小
算例：
解：（1）求试样横截面上的正应力 （2）根据胡克定律求弹性模量 （3）根据
F σ= A
σ = Eε
Δd ε′ = d
ε ′ = − vε
Δl ε= l
求泊松比
4．金属材料在压缩时的力学性能
4.1 低碳钢压缩时的 σ − ε 曲线
(1) E,
σ s 与 拉伸时大致相同。
压缩
(2) 因越压越扁，名义压应力将 远远偏离实际压应力，最后也得 不到强度极限
= 0.2% 时的应力规定为
3.2 灰口铸铁
（ 1 ）应力应变关系近似服从胡克定 律，没有屈服、强化和局部变形阶段 （2）伸长率很小，是脆性材料
脆性材料：
δ < 2 % ~ %5
−ε
（3）脆性材料的弹性模量 工程上取总应变为 0.1% 时的 σ 曲线的割线斜率为弹性模量。 （4）脆性材料的强度指标只有
FN 1 50 kN σI = = = −0.87 MPa 2 A1 0.24 × 0.24 m
FN 2 − 150 kN σ II = = = −1.1 MPa 2 A2 0.37 × 0.37 m
柱子的最大工作应力在柱子的下段，为1.1MPa的压应力
§6-4 拉（压）杆的变形、胡克定律
1．应变的基本概念 线变形：受力物体变形时，两点间距离的改变量
σe
应力应变特征值 汇总：
1、应力特征值
屈服极限 σ s (σ y ) 强度极限 σ b
其中 σ e , σ s , σ b 为强度指标 2、应变特征值（塑性指标）
比例极限 σ P 弹性极限 σ e
伸长率 断面收缩率
2.3 材料的卸载规律和冷作硬化 卸载规律:
工程力学课后习题答案第六章 杆类构件的内力分析
第六章 杆类构件的内力分析6.1。
（a ）（b ）题6.1图解：（a ）应用截面法：对题的图取截面2-2以下部分为研究对象，受力图如图一所示：BM图一图二由平衡条件得：0,AM=∑6320N F ⨯-⨯=解得： N F =9KN CD 杆的变形属于拉伸变形。
应用截面法，取题所示截面1-1以右及2-2以下部分作为研究对象，其受力图如图二所示，由平衡条件有：0,OM=∑6210N F M ⨯-⨯-=（1）0,yF=∑60N S F F --=（2）将N F =9KN 代入（1）-（2）式，得： M =3 kN·m S F =3 KN AB 杆属于弯曲变形。
（b ）应用截面法 ，取1-1以上部分作为研究对象，受力图如图三所示，由平衡条件有：0,Fx =∑20NF-=图三MNF =2KN0,DM=∑210M -⨯= M =2KNAB 杆属于弯曲变形 6.2题6.2图解：首先根据刚体系的平衡条件，求出AB 杆的内力。
刚体1的受力图如图一所示D2m图一图二平衡条件为：0,CM=∑104840D N F F ⨯-⨯-⨯=（1） 刚体2受力图如图二所示，平衡条件为：0,EM=∑240N D F F ⨯-⨯= （2）解以上两式有AB 杆内的轴力为：N F =5KN6.3（a ）（c ）题6.3图解：（a ） 如图所示，解除约束，代之以约束反力，做受力图，如图1a 所示。
利用静力平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在图1a 中，作杆左端面的外法线n ，将受力图中各力标以正负号，轴力图是平行于杆轴线的直线，轴力图线在有轴向力作用处要发生突变，突变量等于该处总用力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，轴力图如2a 所示，截面1和截面2上的轴力分别为1N F =-2KN 2N F =-8KN ，n （b 2 （面N F题6.4图解（a ）如图所示，分别沿1-1，2-2截面将杆截开，受力图如1a 所示，用右手螺旋法则，并用平衡条件可分别求得：1T =16 kN·m 2T =-20 kN·m ，根据杆各段扭矩值做出扭矩图如2a 所示。
第6章内力和内力图(桁架内力计算)
工程力学教程电子教案
内力和内力图
13
例题 6-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方 先取整体为研究对象 受力如图所示。 受力如图所示 程 ∑Fx = 0，FAx + FE = 0
∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
联立求解得 FAx= －2 kN, FB = 2 kN
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内力和内力图
32
内力的大小及指向只有将物体假想地截开后才 能确定。 能确定。
拉压杆横截面上的内力，由任一横截面 拉压杆横截面上的内力，由任一横截面(m-m) 一边分离体的平衡条件可知， 一边分离体的平衡条件可知，是与横截面垂直的 分布力，此分布内力的合力称为轴力。 分布力，此分布内力的合力称为轴力。用符号 FN 表示。 表示。
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内力和内力图
20
例题 6-2
由平衡方程
先取整体为研究对象, 作受力图。 解：先取整体为研究对象 作受力图。
∑Fx = 0，FAx + FE = 0 ∑Fy = 0, FB + FAy − FC = 0 ∑MA(F) = 0,
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
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内力和内力图
12
6.1.3 平面简单桁架的内力计算 1. 节点法 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。 取节点为研究对象来求解桁架杆件的内力。
例题 6-1
如图平面简单桁架，已知铅垂力 如图平面简单桁架，已知铅垂力FC= 4 kN，水 ， 平力F 平力 E =2 kN。求各杆内力。 。求各杆内力。
− FC × a − FE × a + FB × 3a = 0
工程力学第六章：轴向拉压
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部 分而言是外力）。
3.应力
1）概念：内力在截面上的分布集度。 2）表达式 微面△A上的内力之和为△F，则
F p A
F1
△A
△F
局部点的应力：
p lim F dF A0 A dA
细长杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。
1. 强度问题
强度破坏动画演示
2.刚度问题
齿轮轴刚度变形大，影响工件的加工精度。
桥式吊梁弹性变形过大将造成 车子移动困难。
齿轮轴变形过大造成齿轮和轴 承的不均匀磨损，引起噪声。
3.稳定性问题
动 画 演 示
二、变形体的基本假设 对可变形固体做成的构件进行强度、刚度、稳定性计算时，常 略去其次要性质，根据主要性质作出一系列假设。 1. 连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，无空隙。
轴线
轴线：由各横截面形心构成的连线。 （直杆、曲杆）
横截面
横截面与轴线相互垂直
3. 工程构件受力模型
动画演示
轴向拉压
扭转
剪切 动画演示
弯曲
动 画 演 示
除了上述四种基本变形，工程上常见的还有拉弯、压弯、弯扭等组合变形。
四、内力与应力的概念 1. 内力
构件受到外力作用而变形时，其内部各部分之间的相互作用
工作。这些都会使构件或结构失去承受载荷的能力。
工程上破坏实例
上海工地塔吊折断 泰国皇家大饭店倒塌 美 国 州 际 大 桥 断 裂 汽车碰撞试验
构件的承载能力包括三个方面： ◎强度： 杆件在外载荷作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。 ◎刚度： 杆件在外载荷作用下，抵抗过度弹性变形的能力。
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M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
YB
P 2
()
例: 求图示刚架的支座反力
q
ql2 解:
ql
Fx 0, X A ql 0, X A ql()
l
A
Fy 0,YA ql 0,YA ql()
XA
l 2
MA YA
l 2
M A 0, M A ql l ql2 0,
M A 2ql2 (逆时针转)
C
B
XB
例3: 求图示刚架的支座反力
梁的剪力图和弯矩图。
x
F
A
B
Cab解：来自1、求支反力FAFb； l
FB
Fa l
FA
FS
l
FB
Fb/ l
Fa/ l
2、建立剪力方程和弯矩方程
AC段
:
FS (x) M (x)
FA FA
Fb 0
l x Fbx
l
x a 0 x a
M
Fab/ l
CB段
:
FS
(
x)
M (x)
FB
FA l
M
MM
l
l
M
M
M
l
l
MM
lM
M
l
1 ql2 2
l 2M
P 1 ql2
4
l/2 l/2
M
MM
M
M
M MM
MM
1 ql2 2l
M
l
q
l
M M
l
P
1 Pl 4
P 1 Pl
4
1 Pl 4
l/2 l/2 l/2
l/2 l/2
q
1 ql 2 4
ql 1 ql 2 4
l/2 l/2 l/2
l/2 l/2
§6–5静定平面刚架的内力
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
轴力图表示轴力与截面位置关系的图形。 习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。 轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴
力大小。
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题2 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
注意： （1）在采用截面法之前不允许使用力的
可传性原理；
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
（2） 在采用截面法之前不允许预先将 杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。
一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。
1
2
20KN
40KN
20KN
20KN
20KN
1
1 40KN
FN1
2
FN 2
FN1 0 1
弯矩规定以刚架的内侧纤维受拉为正，反之 为负（弯矩一律画在杆件的纤维受拉侧，图 中无须标明正负号）。
例: 求图示刚架的支座反力
C
B
C
B
l
2
YB
P
lP
A
l
2
A X A YA
解:
Fx 0, X A P 0, X A P()
MA
0, P
l 2
YB
l
0,YB
P 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
M1 Pl / 4(上侧受拉) M1 M 2 (外侧受拉)
例题1: 作图示结构弯矩图
Pl / 2
Pl / 2
练习: 作弯矩图
Fa l
x
a x l
Fa l x a x l
l
例五 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M
，作该梁x的剪力M图和弯矩图。解： 1、求支反力
A
B
a
C
b
FA
M； l
FB
M l
FA
l
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
M /l
FS
Mb/ l
AC段
:
FS ( x) M (x)
FA FA
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴 沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
例题 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
Fx
A l
剪力、弯矩方程：
B
FS (x) F M (x) Fx
FS
F
| FS |max F
Fl
| M |max Fl
M
例题 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力
弯曲内力
以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁是 一类常用的构件几乎在工程中都占有重要地位。
静定梁：支座反力可以由静力平衡方程来求解 的梁。
超静定梁：支座反力仅由静力平衡方程不能求 解的梁。
梁按支承方法的分类
悬臂梁
简支梁
外伸梁
固定梁
连续梁
半固定梁
弯曲内力 F a
A
B
FA
l
FB
FA x
M Fs
复合刚架 (主从结构)
§6–5静定平面刚架的内力
平面刚架的杆件截面上一般有弯矩﹑剪力和轴 力三种内力。然而，在线性弹性范围内，它们 比较而言，弯矩影响起主要作用。由于刚结点 能承受负弯矩作用，从而削减了结构中最大正 弯矩值，因此刚架的受力情况较简支梁合理。
§6–5静定平面刚架的内力
1 8
ql2
FN 2 40kN
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同 横截面上的轴力将各不相同。为了表明横截 面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力 的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系 的图线，称为轴力图。
M 0
l
x Mx 0
l
x
x
a a
M
Ma/ l
CB段
:
FS
(
x)
M (x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
l
弯曲内力
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值 等于集中力的大小，从左向右作图，突变方 向沿集中力作用的方向。
FS FA M FAx
①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的
剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用 点，弯矩图发生突变，其突变值为集中 力偶的大小。
外力情况 q<0(向下)
无荷载段
剪力图上的特 ↘(向下斜直线) 征
弯矩图上的特 (下凸抛物线) 征
水平线 斜直线
最大弯矩可 能 剪力为零的截面 的截面位置
集中力F作用处： 集中力偶M作用 处：
突变，突变值 为F
有尖角
连接两个杆端的刚结点,若 刚架指定截面内力结计点算上无外力偶作用,则两
个杆端的弯矩值相等,方向
与梁的指定截面相内反力. 计算方法相同.
例: 求图示刚架1,2截面的弯矩
M1
M
C1 2 l
2
M2
P
A
XA
l
2
YA
l
2
B
l
XB
2
YB
M
P/4
P/4
解:
M 2 Pl / 4(右侧受拉)
YB P / 2() YA P / 2() X B P / 4() X A P / 4()
4l
2l l l
1 ql 2
ql
1 ql 2