第8章 杆件结构的内力及计算
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杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
杆件与结构的内力计算
FS F Fl
| FS |max F | M |max Fl
M
例题 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪 力图和弯矩图。
q
A
解： 1、求支反力
B
x
FA
由对称性知： FA FB ql 2
l
FB
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql FS ( x) FA qx 2 qx qx2 qLx qx2 M ( x) F x A 2 2 2
M /l
FS
Mb/ l
M
Ma / l
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
2Fl
C D
F
B
FCs F
FCs F
MC Fl
MC Fl
l
l
FCs
MA FA
A
MC 2Fl Fl 0
l
C
MC
MA
FCs
2Fl
MC
C D
FDs F
F
B
MD 0
l
FDs
MD
F
D
B
弯曲内力
FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0
dFS ( x ) q( x ) dx
d2 M ( x) dx
2
q( x )
目录
这些式子的几何意义是： １、剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载集度， 但符号相反； 2、弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。
A
x
M
a
C
B b
FA
M M ； FB l l
截面法求桁架杆件内力
截面法1截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力系。
每个隔离体上有3个独立平衡方程。
一般表示 为： ∑ FX = 0 投影法 ∑ FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
一. 力矩法例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2VAVB解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。
Ⅰ3Ⅰ（1）求1杆轴力N1K14选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。
N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA（2）求2杆轴力N2N2 K2 VAY252X2由∑MK2 = 0 ,比例关系从而求出所求未知力Y2。
2杆轴力N2（3）求3杆轴力N3Y3 N3 X3K3 VA6由 ∑MK3 = 0比例关系从而求出所求未知力X3。
3杆轴力N3力矩法要点：7欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。
对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。
（2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。
例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力890kN30kN作Ⅰ—Ⅰ截面Ⅰ9Ⅰ求NaNa 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩，10C由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝030kN解得： Na =－ 60kN求NbD Xb E Yb Nb30kN11求Nb时，对点D取矩。
将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN由比例关系得到：N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN求NcYc XcD Nc12求Nc时，对点E取矩。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
杆系结构的内力计算—杆件的基本变形及内力的概念
F
F
轴向压缩
变形特点概化图
a
轴线
d
l
a
横截面形状
轴向拉伸
aʹ
F
F
lʹ > l
dʹ
aʹ
dʹ < d
aʹ < a
轴向伸长
横向收缩
a
轴线
d
a
横截面形状
l
轴向压缩
aʹ
F
F
lʹ < l
dʹ
dʹ > d
aʹ
aʹ > a
轴向变形杆的内力分析
目
录
1添加标题
1.内力的基本概念
10
CD段
x
=
2、绘制轴力图。
= =
讨论题
1.图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB、BC、
CD段的横截面面积分别为A、2A、3A，则三段杆的横
截面上轴力值分别是
，如果把三段杆换成等值
杆，则各横截面上轴力值分别是
。
D
C
B
A
F
F
C
B
A
F
F
F
F
D
杆件的基本变形
目
录
1
刚体与变形体
2
杆件的基本变形
添加标题
1.刚体与变形体
刚体
变形固体
忽略物体变形
回归实际情况
外力系的合成
与平衡问题
材料强度、刚度与
稳定性的问题
简支梁
1、变形固体的概念
通常将在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。
变形固体的变形按其性质可分为两种：
一是弹性变形，即外力解除后，变形也随之消失；
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
9第八章 杆件变形分析与刚度
2, 由强度条件可得: 由强度条件可得:
由刚度条件可得: 由刚度条件可得:
所以,空心轴的外径应不小于 所以,空心轴的外径应不小于147mm. .
8.5.2 杆件的刚度设计 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件,梁 有关. 截面的惯性矩 ,材料的弹性模量 有关.故提高 梁刚度的措施为: 梁刚度的措施为: 1) 改善结构受力形式,减小弯矩 ; 改善结构受力形式, 2) 增加支承,减小跨度 ; 增加支承, 3) 选用合适的材料,增加弹性模量 .但因各 选用合适的材料, 种钢材的弹性模量基本相同, 种钢材的弹性模量基本相同,所以为 提高梁的刚 度而采用高强度钢,效果并不显著; 度而采用高强度钢,效果并不显著; 4) 选择合理的截面形状,提高惯性矩 ,如工字形 形状,
4,由于实际无变形,所以: ,由于实际无变形,所以:
解得: 解得:
已知α=30.,杆长 杆长L=2m,直径 直径d=25mm, 【例8.3 】已知 直径 , E=210GPa,P=100kN,求节点 的位移. 求节点A的位移 , 求节点 的位移.
【解】
§8.2 圆轴的扭转变形
圆截面直杆在扭转时,小变形情况下, 圆截面直杆在扭转时,小变形情况下,可认为各 横截面之间的距离保持不变,仅绕轴线作相对转动, 横截面之间的距离保持不变 , 仅绕轴线作相对转动 , 表示. 两横截面间相对转过的角度称为 扭转角 , 用 φ表示 . 表示 取一微段dx研究,设徽段d 的相对扭转角为dφ, 取一微段 x研究,设徽段dx的相对扭转角为 ,沿 轴线方向的变化率为dφ/dx . 在线弹性范围内 , 由 轴线方向的变化率为 x 在线弹性范围内, 5-22) 式(5-22)可知 :
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
第八章 -结构力学
二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
第八章 轴向拉压杆的强度计算
x截面上的轴力为
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。
时， 时， 沿杆长的分布规律如图（c）所 示；并可得
横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。
时， 时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其 断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上 的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研 究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。
应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压） 杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
0.33
胡克定律 只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下， 即在杆为l长度内变形是均匀的情况。 若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度 。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则
杆的内力
M(x1) M(x2) x2
CB段：
qa FS ( x2 ) 4 ( a x2 2 a )
FA
x1
FS ( x2 )
FB
qa M ( x2 ) FB (2a x2 ) (2a x2 ) 4 ( a x2 2 a )
解题指导
用截面法求任意截面上的内力时：
2qa
M max 2qa2
(FS) 2qa ( M)
qa
2
E
2qa2
例题 悬臂梁受力如图，作剪力弯矩图，并求 FS 和 M max 。
qa 2
a B
max
q
A
2a
C
解： 1.求约束力
A
qa 2
qa 2
a B
q 2a
3 a 2
qa 2
2
qa 3qa FC 2qa () 2 2 qa qa2 M C 2qa a 3a ( ) 2 2 MC
dFS q ( x) 根据微分关系绘图原则： dx
dM FS dx
d 2M q( x) 2 dx
（1）某段梁若q(x)=0,则FS=常数，M=一次函数 FS为平行于轴线的直线，M为斜率是FS的斜直线。 （2）若q(x)=常数=q,则FS=一次函数，M=二次函数
FS为斜率是q的斜直线， M为抛物线：当q>0,
x2
扭矩方程为： T(x1)=MA=m0b
(0<x1 a)
m0
A
B C
T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
a
b
m0b
(T )
A B
C
CB段：
qa FS ( x2 ) 4 ( a x2 2 a )
FA
x1
FS ( x2 )
FB
qa M ( x2 ) FB (2a x2 ) (2a x2 ) 4 ( a x2 2 a )
解题指导
用截面法求任意截面上的内力时：
2qa
M max 2qa2
(FS) 2qa ( M)
qa
2
E
2qa2
例题 悬臂梁受力如图，作剪力弯矩图，并求 FS 和 M max 。
qa 2
a B
max
q
A
2a
C
解： 1.求约束力
A
qa 2
qa 2
a B
q 2a
3 a 2
qa 2
2
qa 3qa FC 2qa () 2 2 qa qa2 M C 2qa a 3a ( ) 2 2 MC
dFS q ( x) 根据微分关系绘图原则： dx
dM FS dx
d 2M q( x) 2 dx
（1）某段梁若q(x)=0,则FS=常数，M=一次函数 FS为平行于轴线的直线，M为斜率是FS的斜直线。 （2）若q(x)=常数=q,则FS=一次函数，M=二次函数
FS为斜率是q的斜直线， M为抛物线：当q>0,
x2
扭矩方程为： T(x1)=MA=m0b
(0<x1 a)
m0
A
B C
T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
a
b
m0b
(T )
A B
C
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
理论力学中的杆件受力分析与应力计算
理论力学中的杆件受力分析与应力计算杆件在力学中是一种常见的结构元件，广泛应用于工程领域。
在使用杆件的过程中，对其受力分析与应力计算是十分重要的，这有助于了解杆件的工作状态和承受外部力的能力。
在理论力学中，杆件的受力分析和应力计算是相互关联的，通过分析杆件上的受力情况可以计算出其内部所受的应力。
一、杆件受力分析杆件在受力时一般会存在拉力、压力和剪力等力的作用，为了分析杆件上的受力情况，我们首先需要了解以下几个概念：1. 内力：杆件内部产生的相互作用力被称为内力，包括拉力、压力和剪力等。
内力可以分为轴向力、弯矩和剪力三种类型。
2. 外力：杆件受到的外部施加的力被称为外力，可以分为集中力和分布力。
集中力是沿杆件轴线方向的作用力，可以通过杆件两端的连接点传递；分布力是沿杆件长度方向分布的作用力。
3. 杆件端点的支座条件：杆件连接点的支座条件可以分为固定支座、铰接支座和滑动支座。
固定支座可以防止杆件端点的位移和旋转；铰接支座只能防止位移，而滑动支座只能防止垂直位移。
通过分析杆件上的受力情况，可以得出杆件内部所受的内力大小和方向。
具体的受力分析方法包括静力平衡方程和弹性力学原理等。
二、应力计算杆件在受力时会发生变形，产生应力。
应力是指杆件内力对杆件截面积的比值，常用符号表示为σ。
杆件所受的应力可以分为轴向应力、剪应力和弯曲应力。
1. 轴向应力：杆件受到拉力或压力时，在截面上会产生轴向应力。
轴向应力可以通过杆件所受的轴向力与截面面积的比值来计算，即σ= F/A，其中F为轴向力，A为截面面积。
2. 剪应力：杆件在受到剪力时会产生剪应力。
剪应力可以通过杆件所受的剪力与截面面积的比值来计算，即τ = V/A，其中V为剪力，A 为截面面积。
3. 弯曲应力：杆件在受到弯矩作用时会产生弯曲应力。
弯曲应力可以通过弯矩对截面矩型模量的比值来计算，即σ_b = M/W，其中M为弯矩，W为截面矩型模量。
根据杆件所受的外力和材料的性质，可以计算出杆件所受的内力和应力。
第八章-结构的位移计算
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
⑵ 变形体的变形，产生内部应变（有位移，也有应变）。 如下图，简支梁在荷载 q 作用下， 各点产生线位移(挠度ω )；同时， 梁内由于承受弯矩 M 而产生曲 率 κ 和应变 ε 。 ◆计算结构的位可以用几何方法： 计算结构的位可以用几何方法： 例如：在第一种情况下， 杆AC的角位移：α = c A
∑ ∫ (M κ + N ε + Q γ )ds − ∑ R
0
K
c K 求出位移 ∆ 。
注意： 在结构位移计算公式里， 注意： 在结构位移计算公式里，乘积 M κ 、 ε 、 γ 0、 K c K 是力 N Q R 与变形之间的乘积。当力与变形的方向一致时，则乘积为正(例如， 与变形之间的乘积。当力与变形的方向一致时，则乘积为正(例如， 使微元体的同侧纤维受拉时， 为正) 当 M 与κ 使微元体的同侧纤维受拉时，则乘积 M κ 为正)． 是正值， 如果按结构位移计算公式求得的 ∆ 是正值，则表明位移 ∆ 的 实际方向与所设单位荷载方向一致。 实际方向与所设单位荷载方向一致。
A A
相对位移
， 包含： CD两点的水平相对线位移： (∆ CD ) H = ∆ C + ∆ D ϕ AB两截面的相对转角： AB = ϕ A + ϕ B
水平线位移 ∆ AH 竖向线位移 ∆ AV
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移 以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
§8-2 结构位移计算的一般公式
—般情况下，结构发生位移在结构内部产生应变，因此，结构的位移计算 属于变形体体系的位移计算问题。计算变形体体系的位移采用的方法以虚 功原理最为普通。推导结构位移（变形体）计算的一般公式有两种途径： 一是根据变形体体系的虚功原理，然后由此导出变形体体系的位移公式， 另一种是先应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后应 用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。 α dλcK∑ ∫ M κ ds
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8.4.3 多跨静定梁的内力及内力图
例 试作图a所示多跨静定梁。
解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分， 层叠图如图b。
各段梁的 隔离体图 如图c。
先算附 属部分； 后算基 本部分； 弯矩图 如图d； 剪力图 如图e。
例 图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰B、E的位置。 最大正弯矩为MI AB段中点I的弯矩为
Me FS ( x) l
(0 x l )
(1)
AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
FA
A
Me
FB
B b x
C a x l
m M ( x) x l
CB段
(0 x a )
(2)
m m M ( x ) x m (l x ) l l
(a x l )
(0 x a )
( 2)
FA A
F
FB B b x
Fa M ( x) (l x ) l
(a x l )
C a x l
( 4)
由(2)，(4)式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜 直线. +
Fba l
FA 在集中荷载作用处的左，右 两 A
F
FB B
侧截面上剪力值(图)有突变 。
设用坐标 x 表示横截面的位置，则梁各横截面上的剪力和 弯矩可以表示为坐标 x 的函数，即
FS FS ( x )
M M (x)
上述关系式分别称为剪力方程和弯矩方程。 绘图时通常将正值的剪力画在 x 轴的上侧，负值的剪力 画在 x 轴的下侧。弯矩画在梁的受拉一侧，即正值的弯矩
画在 x 轴的下侧，负值的弯矩画在 x 轴的上侧。
x = 5m
(3)弯矩图 AC
MA0
FA
F1=2kN
q=1kN/m C
Me=10kN.m
FB
F2=2kN
q 2 M C 4 F A 4 20 2
A
D 4m
4m
B 3m 6
E
CD
M D左 7 F 2 4F B M e 16
4m
M max M F 20.5
M D右 7 P2 4 F B 6
解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。
q(l x) 2 MI 8
AC段中点H的弯矩为
ql 2 M C MH 8 2
截面C弯矩的绝对值为 M qlx C
CD段的最大弯矩发生在跨中G
2
MH >MG
ql 2 MG MC 8
令MI =MC可得
解得
q(l x) 2 qlx 8 2
m dx m
FS
dx
m
-
FS
2、弯矩符号 当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部
+
M m
M
m （受拉）
受拉压）时，横截面m-m 上的弯矩为负
3、轴力符号 当dx 微段受拉时为正，受压为负
-
m
m （受压）
8.1.2 截面法求内力
E
4m
4m
FSC左 F A 4q 3kN
CD 向下斜的直线 ( ) FSC右 F A 4q P 1 1kN
FSD P2 FB 3kN
AC 向下斜的直线() FSA右 7kN F
FSC左 3kN
F1=2kN
A
Me=10kN.m
q=1kN/m
C 4m 4m 3kN D 4m
突变 值等于集中荷载F。弯矩 图形成尖角，该处弯矩值最大。
C
a x
b x l
Fb l
+
Fa l
+
Fba l
例8-4 图示的简支梁在 C点处受矩为Me的集中力偶作用。 试作此梁的的剪力图和弯矩图。 解 求梁的支反力 Me
FA
A a
FB
B b l
Me FA l
Me FB l
C
将坐标原点取在梁的左端. 因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
+
DB
6
16
M B 3P2 6
BE
ME 0
20 20.5
8.3
用叠加法作剪力图和弯矩图
作图a所示简支梁的弯矩图 将作用的荷载分解如图b、c
MA、MB作用下的弯矩图 F 作用下的弯矩图 图b、c 相加后的弯矩图如图d 弯矩图的叠加是指纵坐标叠加
8.4
静定梁
8.4.1 单跨静定梁与多跨静定梁
其内部各部分之间因相对位置改 变而引起的相互作用力的改变量。 如图， 距A端x处截面上内力有 剪力FS 、 弯矩M 、轴力FN，对 于梁，一般不考虑轴力的影响。
FS
C
FN M F
FA
FN
M FS
C
FB
内力的符号规定
+
FS
m
1、剪力符号
使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错 动时，横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微 段有顺时针转动趋势的剪力为正。 使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 动时，横截面m-m上的剪力为负.或使dx微段 有逆时针转动趋势的剪力为负.
(3)
Me FS ( x) l
(0 x l ) (1)
FA
Me
FB
A
a
C b l
B
由(1)式可见，整个梁的剪力图
是一条平行于 x 轴的直线.梁的
任一横截面上的剪力为 FS
Me l
Me l
绘出梁的剪力图
+
Me M ( x) x l
(0 x a )
(2)
FA A a x
Me
M 0 M 0
A
FA
x
l
FB
绘出弯矩图
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
dM ( x ) ql 令 qx 0 dx 2 l 得驻点 x 2
l/2
2
+
ql 8
2
q
A
由图可见，此梁在跨中点截面 B
x
上的弯矩值为最大
l
FA
ql/2
FB
ql M max 8
第8章 杆件结构的内力及计算
8.1 杆件的内力及计算
8.2 内力方程与内力图
8.3 用叠加法作剪力图和弯矩图
8.4 静定梁 8.5 静定平面刚架
8.6 静定拱
8.7 静定平面桁架
8.1
杆件的内力及计算
a
m m l x
8.1.1 杆件的内力 建筑力学中所要讨论的内力 AF NhomakorabeaB
是指杆件受到外力作用而变形时，
x= l ， M = 0
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截 面上的弯矩值(图)发生突变，其突变 值等于集中力偶矩的数值.此处剪力 图没有变化.
FA A a
Me
FB B b
C
l
Me l M eb l
+
+
M ea l
例8-5 图示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载用。试
作此梁的的剪力图和弯矩图。 q
x2 6x l 2 0
x (3 2 2 )l 0.1716 l MG 0.0858 ql2 弯矩图如图c
内力方程
BC 段：FN2 F 0
FN2 F
内力方程
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ），称为轴力图
8.2.2 梁的内力方程和内力图
单跨静定梁是指由一根梁形成的静定结构，而多跨静
定梁是由若干根梁用铰连接而成，并用若干支座与基础相 连而组成的静定结构。
8.4.2 多跨静定梁的几何组成
用于公路桥的多跨静定梁 计算简图 层叠图 计算顺序：先附属部分 后基本部分 基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性， 如AB、CD部分； 附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性， 如BC部分；
FA A FA
F
B
FB
FA A
m m
F
B FB
F (l a) Fy 0 , Fs FA l M C 0 , M FA x
FA
x
FS
M
FA
M FS
C
F C FB
8.2
内力方程与内力图
（F1=F，F2=2F）
8.2.1 轴力与轴力图
FR F2 F1 F
AB 段：FN1 F
解 (1) 求支反力
FA FB ql 2
A FA
B
x
l
FB
(2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) RA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) RA x qx (0 x l ) 2 2 2
ql FS ( x) qx (0 x l ) 2
例8-3 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F作用。
试作此梁的剪力图和弯矩图. 解 (1)求梁的支反力 FA
Fa FB l
F
FB B b
Fb FA l
A a
C
因为AC段和CB段的内力方程不同， 所以必须分段写剪力方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
l