杆件的内力
杆件的内力截面法
33mm
FN
44mm
150kN
材料力学电子课堂
§5-2 扭转的概念.扭矩与扭矩图
一、扭转的概念
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面 内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。
2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴 线发生相对转动。
轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
从动轮B 轴
主动轮A
M
FAy
FS1 1
M
2
FS
2
FS
FBy
2.求内力
得
FAy
FBy
m0 l
在AC段内
FS1 ( x)
FAy
m0 l
, 0
x
a
M1(x)
FAy
x
m0 l
x, 0
x
a
在BC段内
FS2 (x)
FBy
m0 l
, a
x
l
FBy
M
2
(x)
FBy
l
x
m0 l
l
x, a
x
l
3.画剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，
Fy M
0, FA
A (F ) 0,
FB FB
l
F
0 Fl
3
0
得
FA
2 3
F,
FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
FS D MD
FA FA
2F
3 a
2
3
Fa
同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
,
M
C左＝
轴向拉压杆件内力计算公式
轴向拉压杆件内力计算公式在工程力学中，轴向拉压杆件是一种常见的结构元件，它在工程实践中被广泛应用于各种机械设备和建筑结构中。
轴向拉压杆件内力计算公式是用来计算轴向拉压杆件在受力作用下内部产生的拉力或压力的公式，它是工程设计和分析中非常重要的一部分。
在本文中，我们将介绍轴向拉压杆件内力计算公式的推导和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的工程知识。
一、轴向拉压杆件的受力分析。
轴向拉压杆件是一种受拉或受压的结构元件，它通常由材料制成，具有一定的截面形状和尺寸。
当轴向拉压杆件受到外部力的作用时，内部会产生拉力或压力，这种内力的大小和方向是由外部力和结构本身的特性共同决定的。
在进行轴向拉压杆件的内力计算时，需要先进行受力分析，确定受力情况和受力方向。
通常情况下，轴向拉压杆件受到的外部力可以分为两种情况，拉力和压力。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部拉力的方向相同；对于受压的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部压力的方向相反。
在受力分析的基础上，可以得到轴向拉压杆件内力计算的基本公式：N = A σ。
其中，N为轴向拉压杆件的内力，A为截面积，σ为应力。
根据受力分析的结果，可以确定σ的正负号，从而确定N的正负号，进而确定内力的方向。
二、轴向拉压杆件内力计算公式的推导。
1. 受拉的轴向拉压杆件。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部拉力的方向和内部拉力的方向相同，因此内力的大小可以直接由外部拉力计算得到。
假设外部拉力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
因此，受拉的轴向拉压杆件内力计算公式为：N = P。
2. 受压的轴向拉压杆件。
对于受压的轴向拉压杆件，外部压力的方向和内部压力的方向相反，因此内力的大小需要考虑结构的稳定性。
假设外部压力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
然而，受压的轴向拉压杆件在实际应用中往往需要考虑结构的稳定性，因此需要引入材料的材料的屈服强度和稳定性系数，从而得到更加精确的内力计算公式。
杆件的内力分析
qa 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
例题2-1-5 根据内力方程作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解： 分段列剪力方程和弯矩方程 1.AB段 (0 x a)
F1 ( x) 2qa M1 ( x) 2qax 2.BC段 (a x 2a) F2 ( x) 3qa qx 7 2 1 2 M 2 ( x) qa 3qax qx 2 2 3.CD段 (2a x 3a) F3 ( x) qa 3 2 M 3 ( x) qa qax 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部 与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定 的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯 曲变形。
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
3.梁的内力图坐标系及分段原则 1）内力图坐标系 土木类
x
FS
1.坐标系：
M
x
机械类
M
FS
2.坐标系：
M为正
M为负
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
二、杆件的内力方程与内力图
内力随横截面位置变化的规律函数 1.内力方程： FN方程 2.内力图： FN 图 FS 图 T图 M图 FS方程 T方程 M方程
平行杆的轴线坐标表示横截面的位置；
垂直杆的轴线坐标表示对应横截面的内力大小。
三、典型例题
§ 2-1
2.坐标系： 2.积分关系
B
x
M 2 M1 m
FS1
xB A xA
P
C
M2
FS1
C
m
M2
FSB FSA dF（ qdx S x） M B M A dM（x） FS dx
第二章 杆件的内力分析
3 3
B 6 kN
2 2
C 3 kN 1
解： 1.分段求轴力
D
6 kN
FN 1
3 kN 3 kN
1
10 kN 10 kN 10 kN
1 、CD段
F
x
0, 10 FN1 0
FN 2
FN 1 10(kN) 2、BC 段
6 kN
3 kN 3 kN
F
x
0, 10 2 3 FN 2 0
若有单位需写上单位。
9
试作图示杆在均布荷载q作用下的轴力图。
B
x
ql
●
q
l
x
A
●
FN
FN ( x) qx
10
2、T及T图
(轴：发生扭转变形的杆件）
功率：P
单位：kW, PS
转速：n
外力偶矩：
单位：rpm
r/min
P kW m N m 9549 n rpm
P (PS) m (N m) 7024 n (rpm)
FN FN
FN为正
FN为负
扭矩T ：外法线方向为正，内法线方向为负
T T
T为正
T为负
4
剪力（FS）：顺时针为正，逆时针为负
FS FS
FS为正
FS为负
弯矩（M）：下凸上凹为正,上凸下凹为负
M为正
M为负
5
2. 内力分量的确定 利用研究对象的静力平衡条件：
F M
x
0 0
F
y
0
y
F
z
0
z
FN 3
6 kN
3 kN
10 kN
求解杆件内力的基本方法
求解杆件内力的基本方法嘿，咱今儿个就来唠唠求解杆件内力的那些事儿！你说这杆件内力啊，就像是个藏起来的小秘密，得用对方法才能把它给揪出来。
先来说说截面法吧，这就好比是一把神奇的小铲子，能把杆件给“咔嚓”一下切开。
然后呢，看看切开的这一小段，这边受到啥力，那边又有啥力，嘿，内力不就显形啦！就像你找东西，把大箱子打开，里面的东西不就一目了然了嘛。
还有呢，就是那静定结构的内力分析。
哎呀呀，这就像是解一道有趣的谜题。
你得仔细观察这个结构，看看哪儿是关键节点，哪儿的力是相互关联的。
这可需要点耐心和细心哦，就跟你拼图似的，一块一块地找对位置，最后才能拼成一幅完整的画。
咱再打个比方，求解杆件内力就像是走迷宫。
你得知道从哪儿进，往哪儿走，遇到岔路口该咋选。
有时候可能会走点弯路，但别怕呀，多试试几种方法，总能找到正确的路。
你想想看，要是工程师们不懂这些基本方法，那盖出来的房子、架起来的桥，能结实吗？那肯定不行呀！所以说，这求解杆件内力的方法可太重要啦，就跟吃饭得用筷子，写字得用笔一样自然。
这内力分析可不简单是个技术活，还是个考验脑子的活儿呢！你得会思考，会分析，能从那些复杂的结构里找出关键所在。
而且呀，还得不断练习，就像练功一样，只有练得多了，才能越来越熟练，越来越厉害。
有时候遇到难题了，别急，慢慢来，就跟解数学题似的，一步一步来，总能找到答案。
这求解杆件内力也是一样的道理呀，只要用心，就没有解不开的谜题。
咱可不能小瞧了这些基本方法，它们可是建筑、机械等好多领域的基础呢！就好像盖房子得先打地基一样，这基础不牢，那可不行。
所以啊，大家可得好好掌握这些方法，以后才能在各自的领域里大显身手呀！总之呢，求解杆件内力的基本方法就是我们打开杆件内力这个神秘大门的钥匙，有了它，我们就能在这个领域里畅游无阻啦！加油吧，朋友们！让我们一起把这些方法掌握得牢牢的，为我们的未来打下坚实的基础！。
钢架中的杆件一般产生的内力
钢架中的杆件一般产生的内力钢架结构是一种常见的建筑结构形式，它由许多杆件组成，这些杆件承载着建筑物的重量和外部荷载。
在钢架结构中，杆件一般会产生各种不同的内力，这些内力对于结构的稳定性和安全性至关重要。
我们来讨论一下钢架中的拉力。
拉力是指杆件受到的拉伸力，它主要发生在钢架中的长杆件上。
当外部荷载作用在杆件上时，杆件会受到拉伸变形，产生拉力。
拉力的大小与杆件的截面积、材料的弹性模量以及受力情况有关。
钢材具有良好的抗拉性能，所以在钢架中，拉力对于承载建筑物的重量和外部荷载起到了重要的作用。
另一种常见的内力是压力。
压力是指杆件受到的压缩力，它主要发生在钢架中的短杆件上。
当外部荷载作用在杆件上时，杆件会受到压缩变形，产生压力。
与拉力类似，压力的大小也与杆件的截面积、材料的弹性模量以及受力情况有关。
钢材具有较高的抗压性能，所以在钢架中，压力对于承载建筑物的重量和外部荷载同样起到了重要的作用。
除了拉力和压力，还有一种内力是弯矩。
弯矩是指杆件在外部荷载作用下产生的弯曲力矩。
当外部荷载不均匀地分布在杆件上时，杆件会受到弯曲变形，产生弯矩。
弯矩的大小与杆件的长度、截面形状以及受力情况有关。
钢材具有较高的弯曲强度，所以在钢架中，弯矩对于承载建筑物的重量和外部荷载同样起到了重要的作用。
还有剪力是钢架中常见的一种内力。
剪力是指杆件受到的剪切力，它主要发生在钢架中的横杆件上。
当外部荷载作用在杆件上时，由于杆件的抗弯刚度限制，杆件会受到剪切变形，产生剪力。
剪力的大小与杆件的截面积、材料的剪切模量以及受力情况有关。
钢材具有较高的抗剪性能，所以在钢架中，剪力对于承载建筑物的重量和外部荷载同样起到了重要的作用。
总的来说，钢架中的杆件一般会产生拉力、压力、弯矩和剪力等内力。
这些内力是钢架结构承载建筑物重量和外部荷载的关键因素。
在设计和施工钢架结构时，需要确保杆件承受内力的能力与外力的要求相匹配，以保证结构的稳定性和安全性。
同时，在使用过程中，也需要进行定期的检测和维护，以确保钢架结构的性能和使用寿命。
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法哎呀，这可是个不简单的问题啊！不过别着急，我来试试。
我们得明确一点：求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法，其实就是要找出杆件内部各个部位受到的力，然后把这些力加起来，就得到了杆件的总内力。
那么，接下来我就一步一步地给大家讲解吧！
第一步，我们得先搞清楚杆件的结构。
杆件是由许多小段组成的，每个小段都有自己的形状和尺寸。
我们可以把这些小段看作是一个个“细胞”，而杆件就是由这些“细胞”组成的一个整体。
要想求出杆件内部的力，就得先了解每个“细胞”内部的情况。
第二步，我们要用一些工具来观察杆件的内部结构。
比如说，可以用X光机来扫描杆件，看看里面有什么结构；也可以用超声波来探测杆件内部的情况。
这样一来，我们就可以知道每个“细胞”的大小、形状和材质了。
第三步，我们要把这些信息整合起来。
比如说，如果我们知道某个“细胞”很大、很厚，那它就可能承受着很大的压力；如果我们知道某个“细胞”很小、很薄，那它就可能只承受着一点点的力量。
把这些信息综合起来，我们就可以大致估算出杆件内部各个部位所受的力了。
第四步，我们要把这些力加起来。
这个过程有点像做加法题。
比如说，如果我们知道杆件左边的部分承受了60牛顿的力量，右边的部分承受了80牛顿的力量，那我们就把这两个数相加，得到总内力为140牛顿。
当然啦，实际情况可能会更复杂一些，但是基本原理都是一样的。
好了，这就是我对于如何求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法的一些看法啦！希望对大家有所帮助！。
工程力学工程力学杆件内力
详细描述
在机械工程中，各种机械设备都需要进行杆 件内力分析。通过分析杆件的内力分布，可 以优化机械设备的结构设计，提高设备的稳 定性和使用寿命，确保机械设备在运行过程
中的安全可靠。
06 结论
总结
01
杆件内力是工程力学中的重要概念， 它描述了杆件在受力作用下的内部应 力分布情况。通过分析杆件的内力， 可以评估杆件的承载能力和安全性能 ，为工程设计和施工提供重要的依据 。
02
在本篇论文中，我们介绍了工程力学 中杆件内力的基本概念、计算方法和 应用实例。首先介绍了杆件内力的定 义和分类，然后详细阐述了如何通过 截面法和平衡法计算杆件的内力。此 外，还结合实际工程案例，介绍了如 何运用杆件内力分析解决实际问题。
03
通过对杆件内力的研究和分析，我们 可以更好地理解杆件在受力作用下的 行为和性能，为工程实践提供更加科 学和可靠的依据。同时，随着科学技 术的发展和工程实践的深入，我们需 要不断探索新的方法和手段，以更加 精确和高效地分析杆件内力，推动工 程力学的发展和应用。
弯曲力是杆件内力的一种，当杆件受到外力作用导致发生弯曲变形时，杆件内部会产生弯曲力。弯曲 力的方向与外力的方向相反，大小与外力和杆件截面积有关。弯曲力会导致杆件的弯曲变形，对结构 的承载能力和稳定性有一定影响。
04 内力分析的方法
解析法
总结词
通过数学解析公式计算杆件内力。
详细描述
解析法基于弹性力学理论，通过数学公式推导杆件的内力分布，适用于简单结构 和理想化的模型。
05 工程实例
桥梁工程中的杆件内力分析
总结词
桥梁工程中，杆件内力分析是确保结构安全和稳定的关键环节。
详细描述
在桥梁工程中，杆件内力分析是必不可少的环节。通过分析桥梁各部分杆件的内力分布， 可以确定杆件的承载能力和安全储备，从而优化结构设计，提高桥梁的稳定性和安全性。
求杆件的内力方法
求杆件的内力方法
杆件的内力方法主要有以下几种：
1. 静力法：通过平衡条件，分析杆件的受力情况，求解各个连接点的内力。
2. 切割法：将杆件沿着一条或多条截面切割，分析切割面的内力平衡关系，求解切割面上的内力。
3. 弯矩法：将杆件看作是梁，根据梁的弯曲理论，通过计算弯矩来求解杆件内力。
4. 变形法：根据杆件的变形情况，利用杆件的本构关系和变形方程，求解杆件内力。
5. 外力法：根据外力作用在杆件上的情况，利用杆件的受力平衡条件，求解杆件内力。
根据具体的杆件结构和受力情况，可以选择合适的内力方法来求解杆件的内力。
不同的方法适用于不同的情况，有时也需要结合多种方法进行分析。
第二章 杆件的内力分析
（3）集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于 P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。
（4）集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图 在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
1.轴力图 §2-3 内力图 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。 用x轴表示 杆轴线，其值代表截面位置， y轴表示对应截面的轴力。正值绘
FP1
y FR
My
M
FQ y
FQ z FQ x
x
Mz
(b)
FP2
z
为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用
一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分，将
弃去部分对保留部分的作用以内力的形式表示,然后
以保留部分为研究对象建立力学模型，再根据平衡
原理求出该截面上的内力 ，称为截面法。是确定构
件任意截面上内力值的基本方法 。
应用截面法不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控 制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩 将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分
别按不同的函数规律变化。进一步，根据荷载集度、剪力和弯 矩之间的微分关系及其几何意义，可得出画内力图的一些规律
如下： （1）q(x)=0 ： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
§2-1内力与内力分量
1. 内力主矢与主矩
弹性体受力后产生变形，其内部各点均会发生相对位移，因 而产生附加的相互作用力，称为内力。无论杆件横截面上的内 力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得
到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。
杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的
杆件内力的基本方法
杆件内力的基本方法
分析梁或桁架内力的基本方法包括：
（1）微元分析法：它是把梁或桁架分割成有限数量的微元，用每一微
元来模拟实体的性质和特征，通过结合弹性理论的原理，运用计算机
求解出梁或桁架上的内力变化规律，从而完成梁或桁架内力的分析。
（2）全局弯矩法：当复杂梁或桁架系统上呈现完全弹性，可以将系统
分解成若干独立的直线段。
由此，可以推导出每个横截面上受力平衡
的完整方程，从而求出不同横截面上的弯矩，并用弯矩来进一步计算
和验算梁或桁架内力。
（3）单元抗压屈服线法：这是一种评估梁或桁架内力的方法，其基本
思想是将梁或桁架的每个横截面分割成许多小单元，并对每个单元进
行有限元分析，将每个横截面形成的抗压屈服线称为梁或桁架的抗压
屈服特征线，并利用抗压屈服特征线的缓冲闽来评价梁或桁架的内力，推算出梁或桁架的内力分布，从而实现对梁或桁架内力的分析。
（4）工序折返线弯矩拆分法：它是把梁或桁架上Boundary梁段分解
为若干小线段，然后把每一小线段内力拆分成工序及结果，即把绕流
量和把扭矩拆分成工序及结果。
经过系列计算后，可以得到梁或桁架
上每一横截面上的弯矩及绕流量，根据最终得到的弯矩分布，由物理
定律的的关系，从而算出梁或桁架上内力的分布，达到了对梁或桁架上内力分析的目的。
第章杆件的内力讲解
图a所示一圆截面的受扭杆，
用截面法求1-1截面上的内力。
假设取左段为研究对象 ，由
平衡方程
Mx 0
T Me 0
得
T Me
如果取右段为研究对象（图c），所得
到的1-1截面上的扭矩T，
其值仍为M
所示相反。
，但转向与图b中
e
作用在轴上的外力偶矩往往有多个，因此不同轴段上横 截面的扭矩也各不一样。为了表示沿轴线各截面上的扭矩 的变化情况，可仿照作轴力图的方法绘制扭矩图。
lim T dT
A0 A dA
p,, 三者之间的关系： p2 2 2
应力的单位：牛/顿 米 2(N/m2)，或帕( Pa ) 。
1 Mpa (兆帕〕= 106 Pa , 1 GPa 〔吉帕〕 = 109 Pa。
三、 应 变〔衡量变形程度的根本量〕
一、正应变〔线应变〕定义
av
u s
棱边 ka 的平均正应变
习惯上将正值的轴力画在坐标轴的上侧，负值的轴力画在 下侧。轴力图上可以确定最大轴力的数值及其所在横截面的 位置。
画轴力图时应注意两个问题： 1.求轴力时，外力不能沿作用线随意挪动。 2.截面不能刚好截在外力作用点处。
21
例5–1 求图示杆的轴力，并画轴力图。
A F
mB
n 2F
m
n
a
b
l
C F
A F
解：〔1〕分段求轴力
FN1 F
F
FN2 F
FN
〔2〕画轴力图
mB
n 2F
m
n
a
b
l
m F N1
m
n F N2
n F
+ -
F
钢架中的杆件一般产生的内力
钢架中的杆件一般产生的内力钢架结构是一种常见的建筑结构，它由多个杆件组成。
在钢架结构中，杆件承受着各种力的作用，从而产生内力。
这些内力对于钢架结构的稳定性和安全性起着重要的作用。
本文将从不同方面介绍钢架中杆件产生的内力。
钢架中的杆件一般会受到拉力和压力的作用。
当外力作用于杆件上时，杆件会产生相应的内力，使杆件受力平衡。
对于受拉的杆件，内力为正，表示杆件受到拉力的作用；对于受压的杆件，内力为负，表示杆件受到压力的作用。
这种拉力和压力的作用使得钢架结构具有一定的刚度和稳定性，能够承受外部荷载的作用。
钢架中的杆件还会受到弯矩的作用。
当杆件在水平方向上受到扭转力矩或不平衡荷载作用时，杆件会发生弯曲变形，产生弯矩。
弯矩会使杆件上不同截面产生不同大小的内力，以抵消外力的作用。
同时，弯矩还会对杆件的截面产生扭转力，使杆件更加稳定。
钢架中的杆件还会受到剪力的作用。
当杆件受到垂直于其轴线的力作用时，杆件上会产生剪力。
剪力会使杆件上不同截面产生不同大小的内力，以平衡外力的作用。
在设计钢架结构时，需要考虑剪力的大小，以保证杆件的强度和稳定性。
钢架中的杆件还可能受到扭矩的作用。
当杆件受到扭转力矩作用时，杆件会发生扭转变形，产生扭矩。
扭矩会使杆件上的不同截面产生不同大小的内力，以平衡外力的作用。
在设计钢架结构时，需要考虑扭矩的大小和方向，以保证杆件的稳定性和安全性。
除了上述的内力，钢架中的杆件还可能受到温度变化引起的热应力的作用。
当钢架结构受到温度变化时，杆件会发生热胀冷缩，产生热应力。
热应力会使杆件产生内力，以平衡温度变化引起的应变。
在设计钢架结构时，需要考虑热应力的大小和方向，以保证杆件的稳定性和安全性。
钢架中的杆件一般会产生拉力、压力、弯矩、剪力、扭矩和热应力等内力。
这些内力对于钢架结构的稳定性和安全性起着重要的作用。
在设计和施工过程中，需要合理考虑这些内力的大小和方向，以保证钢架结构的正常使用和持久安全。
只有充分理解和掌握杆件内力的产生机理，才能正确设计和使用钢架结构，确保其在各种荷载作用下的稳定性和安全性。
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二、载荷的分类
1. 集中载荷
q(x)
2. 分布载荷
3. 集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况， 一般可以简化为三种基本形式：
1. 固定铰支座
2. 可动铰支座
3. 固定端支座
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型
简支梁
P
P
外伸梁
悬臂梁
2 梁的计算简图
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
2 梁的计算简图
火车轮轴简化
2 梁的计算简图
3 剪力和弯矩
a
b
P
１
A
B
１
x
l
a
1
A
1
x
b
P
1)求支反力
RA l P b
Pb
B
RA l
Pa
RB l
RA M
l
M
P RB
2）1-1面上的内力
Pb Q RA l
Q
x
Q
RA
外力偶矩 扭矩和扭矩图
5.4 弯曲内力
• 1 概述 • 2 梁的计算简图 • 3 剪力和弯矩 • 4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 • 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
0
1 概述
起重机大梁
1
镗刀杆
火车轮轴
弯曲变形
受力特征： 外力的作用线垂直于杆轴线(称为横向力) （有时还包括力偶）。
分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A
P1=2kN A
P2=3kN C
P3=1kN B
1
FN1
2
FN1
´=2kN
P2 =3kN
1
1C
P3 =1kN B
P1 =2kN A
A
P2 =3kN FN2
C
1
2
2kN
C
B
FN2´
2 轴力图
P3 =1kN B
1kN
例2：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴 力
X 0: Y 0:
S1 S2
注意：1、用截面法求内力，依情况不同可用不同的截面法 2、内力的大小仅与所受外力的大小和分布有关 3、内力的大小与截面尺寸、形状以及构件的材料无关
思考题
5.3扭转内力
工程中的扭转问题
汽车传动轴
一、概 述
工程中的扭转问题
汽车方向盘
工程中的扭转问题
丝锥攻丝
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。
P FN ' 0 FN ' P
轴力的符号规定： 拉力——离开截面为正，压力——指向截面为负 拉为正，压为负
注意：内力符号规定与静力学不同， 截面上的未知内力皆用正向画出
轴力图： 为直观表示出杆的轴力情况，用一图线来表示轴力沿杆轴变 化，这种图线称为轴力图
例 题：
• 例1 设一杆轴线同时受力P1,P2,P3的作用，其作用点
60
P─kW
m
9549
P n
n─r/min m─N m
P─PS(马力)
m
7024
P n
n─r/min m─N m
2.扭矩和扭矩图
Tm
T m
扭矩
扭矩T的符号规定： n
T m
n
T m
扭矩图
外力偶矩 扭矩和扭矩图
解: (1)计算外力偶矩
外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
（5）剪力图和弯矩图具有自封闭性
5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系
q(x)
q(x) M(x)
M(x) dM(x)
x
dx
Q(x) Q(x) dQ(x)
Q(x) dQ(x) Q(x) q(x)dx d Q(x) q(x) dx
M(x) dM(x) M(x) Q(x)dx 1 q(x)dx2 0 2
FP1
y
Fy
FR
FS
My M
Mx FN x
z Fz FP2
外力与内力
外力: 材料力学中的外力是指构件的所有力——包括载 荷 和约束力
内力：材料力学中的内力是指构件由于受到外力作用， 因抵抗变形所产生的附加内力。
注意： 1.与物系中的内力相区分 2.与物理学中的微观粒子的作用力相区分
截面法：截、取、代、平———求内力的基本方法
(1) 在梁上没有分布载荷的地方，剪力图 为一水平线；弯矩图为一直线。
(2) 在有均布载荷的一段梁内，剪力图为 倾斜直线；弯矩图则为一抛物线。
(3) 在集中力作用处，剪力图有突变，突 变之值即为该处集中力之大小，弯矩图在此则为 一折角。
(4) 在集中力偶作用处，剪力图没有变化； 弯矩图则有突变，突变之值即为该处集中力偶之 力偶矩。
q(x)
d M (x) Q(x) M(x) dx
M(x) dM(x)
Q(x) Q(x) dQ(x)
载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:
d Q(x) q(x) dx
d M (x) Q(x) dx
d2 M(x) d x2
d Q(x) dx
q(x)
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
剪力Q: 平行于横截面的内力的合力,在数值上它等 于截面一侧所有外力在梁轴垂线上投影的代数和。 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶矩，在数值 它等于截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。
3
4 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程：用函数表达式表示沿梁轴线各横截面 上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 。 即
解：由 M B
0得
RA
5qa 4
由 M A 0得 5qa
Q1 RA 4
RB
7qa 4
M2
M1
RA
a
5qa 2 4
Q3
Q2
RA
qa
qa 4
M3
RA
2a
qa
a
3qa 2 2
Q4
qa RB
3qa 4
,
5qa 2 M4 4
3 剪力和弯矩
求图示简支梁E 截面的内力
FAy
FBy
解： 1. 确定支反力
M RA x
Pbx
RB
l
3 剪力和弯矩
截面的左段对右段向上相 对错动时或剪力对梁上任意
+
_
一点的矩为顺时针转向时，
剪力为正；反之为负。
左上右下为正；反之为负
截面上的弯矩使
得梁呈凹形（即该段 的下半部受拉 ）为正； 反之为负。
+
_
左顺右逆为正；反之为负
例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和 弯矩。 （ 1-1、2-2截面无限接近于P所作用 的截面）。
弯矩图为直线(Q=0,水平直线;Q>0,上倾直线;Q<0,下倾直线)。
2.q＝常数，Q(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线（q>0,
上倾直线; q<0,下倾直线)。
M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（q < 0），抛物线呈凸形。
ME
5F 3a 32
2F a 2
3 Fa 2
Q M 顺逆
Q M 逆顺
弯曲内力的计算：
横截面上的剪力在数值上等于此截面左 侧或右侧梁上外力的代数和，符号按材 力规定确定。
横截面上的弯矩在数值上等于此截面左 侧或右侧梁上外力对该截面形心的力矩 的代数和，符号按材力规定确定。
3 剪力和弯矩
第五章 杆件的内力
5.1内力的概念·截面法
什么是内力？
内力－变形引起的物体内部附加力
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
假想截面
F2
分布内力
Fn
内力的特征:
(1)空间连续分布力系
(2)与外力组成平衡力系
F1
F2
F3
Fn
内力主矢与内力主矩
F1
F2
F3
Fn
F1
F3
FR M
内力分量： 轴力FN，剪力FS(Fy Fz )，扭矩Mx ，弯矩My Mz
(0 x l)
M (x) q l x qx x
ql
2
2
2
q 2
x
2l
2
ql2 8
(0 x l)
x
x
P
A
C
RA
a
b
l
B
Pb
Pa
RA
, l
RB
l
RB
AC段：
Q(x)
RA
Pb l
Pb M(x) RA x l x
(0 x a) (0 x a)
CB段：
Q(x)
RB
Pa l
(a x l)
变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
1 概述
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
1 概述
平面弯曲
•具有纵向对称面:梁的轴线与横截面的对称轴所 构成的平面
•外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
1 概述
常见弯曲构件截面
目录
2 梁的计算简图
一、杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁 折杆或曲杆用中心线代替
截——用假想截面在要求内力的截面处将杆截为两段。 取——将截开的杆件，保留任一段作为研究对象。 代——并用内力代替另一段对它的作用。 平——考虑保留段的平衡条件，由平衡方程确定内力的大小 和方向。