高三数学课件 复数与平面向量、三角函数的联系
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问题①：复数Z=a+bi可以用点Z(a,b)和向量 还有没有其他的表示呢？
[设计意图] 提出新挑战，激发求知欲。
2.5 探究问题
教师展示动画，学生观察、分 析、讨论，如果有难度，教师有针
对性的提示：设点z(a, b)，r=
，
θ是以x轴非负半轴为始边，以
所在射线为终边的角，那么a、b与
r、θ是什么关系？
情感目标：培养学生自主参与、积极交流的主体意识、 协作意识和乐于探索、勇于创新的科学精 神，以及用联系的眼光看问题的意识。
二、学法分析
我们的教学对象是高三学生,大多数具有一定的知识储备，具备较好 的数学素养和较强的自主意识，但是仍有一部分学生存在思维或情感上 的障碍。因此，教师要通过设置一系列的问题来引导学生的思维与探究 活动，将探索学习、协作学习、个别辅导三者有机结合。
老师要求各个小组在课前做好准备工作 ：复习相关内容(平面向量 的概念和坐标运算、三角函数的概念与相关公式、复数已学知识)、收 集资料和讨论研究。
[设计意图] 收集处理信息的能力、合作意识和合作能
力都是现代人才必备的基本素质，设计该环节 就是让学生成为问题的主体，在查阅资料和与 人合作的过程中培养学生的上述两种能力。
学生重在参与、合作、交流，重在联想、分析讨 论。适当借助多媒体有利于突出重点，突破难点。
三、教学过程及设计意图
1、课前准备
1.1 划分学习小组 让学生自愿组合，分若干组，然后微调，争取
在每组中安排数学能力、表达能力、组织能力较强 的同学至少一位，并让学生推选出组长。
1.2 明确学习任务 研究复数与平面向量、三角函数的联系
决问题的能力，通过演示动画让学生增进对复 数乘法的几何意义的理解，同时激发学生学习 数学的兴趣。
3、小结
让学生小结学习方法和情感体验。
4、作业
4.1 查阅资料：了解笛卡儿、高斯、韦达、棣莫弗等 数学家在这方面的贡献。
4.2 研究性作业： 利用复数的三角形式，研究复数的乘方、开方运算。
[设计意图] 通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识，
③。从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、 接纳新知识的心理倾向, 同时培养学生用联系的观点看 问题的意识，并让学生明确探究方向。
各个小组自主探究，自由讨论，教师巡视，亦可参加某 个小组的讨论，根据情况，教师适时适当的点拨，发问或针 对某个同学，某一小组或面向全体。
① Z1+Z2、Z1－Z2均是复数，设它们的对应点分别为Z、Z’，则点Z、Z’的 坐标为多少？
2、教学的重点与难点
研究性学习重在学习过程而非结论，重在亲身参与主 动探究而非单纯的被动的接受。因此，我认为本内容的重 难点是复数与平面向量、三角函数的联系的探究过程。
3、教学目标
认知目标：了解复数与平面向量、三角函数的联系。
能力目标：在知识的探究过程中，培养学生收集、处 理信息的能力、研究能力、表达能力、评 价和自我评价能力。
2.2 探究问题 学生讨论得到：
复数Z=a+bi
一一对应
点Z(a,b)
a.b∈R
一
一
一
一
对
对 应
应
平面向量 坐标为(a,b)
OZ
接着提出问题③：我们可以用平面向量
OZ 表示复数Z，
两个复数的和与差仍是复数，那么，我们用什么向量表示
两个复数的和与差呢？
[设计意图] 通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题②
同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神，数学表 达能力以及评价和自我评价能力。
设复数z1=a+bi，z2=c+di，分别对应向量
OZ1，OZ 2
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1－z2=(a－c)+(b－d)i
对应向量
OZ
对应向量
OZ
y Z1
Z来自百度文库
y Z1
Z
Z2
O
x
Z2
O
x
讨论(二)复数与三角函数的联系 2.4 提出问题
在整个过程中，教师根据反馈得到的信息，运用一系列问题来调控进 程与节奏，调控学生的思维、情感活动，注重老师的引导，组织作用，突出 了学生的主体地位。学生的自主意识、协作能力、探究能力、应用知识解决 问题的能力都得到了培养和提高，也大大增强了学生学习数学的兴趣。
OZ OZ
OZ 表示，
[设计意图] 此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。
学生通过观察得到：
a r cos，b r sin
则复数Z=a+bi还可以表示成：
Z r(cos i sin )
这个表达式叫做复数Z的三角形式，其中r叫做复
数Z的模，当r≠0时,θ叫做复数Z的辐角。
② 复数0的辐角呢？ ③ 复数的三角形式有哪些基本特征？
2、课堂教学
提出问题
探究复数与平面向量的联系
探究
复数的 向量表示
探究
复数的加 减法运算
应用
提出问题
探究复数与三角函数的联系
探究
复数的 三角形式
探究
复数的乘 除法运算
探究
作业
2、课堂教学
讨论(一)复数与平面向量的联系
2.1 提出问题 ① 复数、平面向量与平面直角坐标系中的点有 什么关系? ② 由① 看，复数与平面向量有什么关系?你能 得到那些结论？
不完善的地方，请其他同学补充完善。
设z1 r1(cos1 sin2 )，z2 r2 (cos2 i sin2 )
分别对应向量OZ1、OZ2
z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)]
z1 r1[cos(θ1－θ2) z2 r2+isin(θ1－θ2)]
[设计意图] 通过这样的过程培养学生应用已有知识解
② 向量 OZ、OZ’分别是 OZ1、OZ2 的和与差吗？
③ 第②问从向量的坐标运算入手能得到结论吗？
[设计意图] 根据杜威倡导的“从做中学”，布鲁纳的发现学习论，
设置此环节，学生自主探究，自由讨论，充分发挥学生的 主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。
学生在组内讨论交流比当着老师或全班同学的面发言 心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时，也便于 学生作出评价和自我评价(肯定的话，学生能体味到成功的 喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短，从 而作出调整，提升自我)，这也体现了“研究性学习”的宗旨。
课课案
复数与平面向量、三角函数的联系
人教版高中数学选修(Ⅱ)第四章研究性学习课题 松滋市第四中学 艾云鹏
一、教材分析
1、 教材的地位和作用
本内容是已学复数知识的延续和深化，是学生学习高等 数学的基础，有着承前启后的作用。作为研究性学习课题， 它主要的作用是通过学生对知识的主动探究来培养学生的数 学研究能力，合作意识和交流能力等。
老师的巡视，参与讨论，适时提问，主要是为了调控 学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。
2.3 展示成果 根据巡视情况，教师让各小组派代表上台发言，或将
写有结论及证明过程的答题纸放在投影仪上展示，不完善 的地方请其他同学帮助完善。教师应给出肯定性评价，并 表扬较好的小组及个人。
[设计意图] 让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感，
[设计意图] 通过这些问题调控学生的思维，探究活动，同时培养
学生的演绎推理能力和归纳能力。
学生讨论出问题③的答案后，提出问题：
④ 设复数Z1的模与辐角为r1、θ1,复数Z2的模与辐角
为r2、θ2,那么Z1 ·Z2的模与辐角跟Z1 、Z2的模与辐角有
什么关系？
Z1 Z2
(Z2
0)呢？
2.6 展示成果 教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。如有
通过作业让学生带着问题和任务走出课堂，使研究性学 习，数学学习从课内走到课外，促使学生良好习惯的养 成。
四、教学评价
按照“提出问题，自主探究，合作交流，得出结论，应用实践(在讨论 新问题的过程中运用刚刚得到的结论)”这个程序展开两轮讨论，让学生的思 维完成了“认识→实践→认识→实践→……”的螺旋式上升过程，让学生深 刻体会到数学的系统演绎性与实验归纳性的统一，以及数形结合之美，明白 了事物间普遍联系的道理。
[设计意图] 提出新挑战，激发求知欲。
2.5 探究问题
教师展示动画，学生观察、分 析、讨论，如果有难度，教师有针
对性的提示：设点z(a, b)，r=
，
θ是以x轴非负半轴为始边，以
所在射线为终边的角，那么a、b与
r、θ是什么关系？
情感目标：培养学生自主参与、积极交流的主体意识、 协作意识和乐于探索、勇于创新的科学精 神，以及用联系的眼光看问题的意识。
二、学法分析
我们的教学对象是高三学生,大多数具有一定的知识储备，具备较好 的数学素养和较强的自主意识，但是仍有一部分学生存在思维或情感上 的障碍。因此，教师要通过设置一系列的问题来引导学生的思维与探究 活动，将探索学习、协作学习、个别辅导三者有机结合。
老师要求各个小组在课前做好准备工作 ：复习相关内容(平面向量 的概念和坐标运算、三角函数的概念与相关公式、复数已学知识)、收 集资料和讨论研究。
[设计意图] 收集处理信息的能力、合作意识和合作能
力都是现代人才必备的基本素质，设计该环节 就是让学生成为问题的主体，在查阅资料和与 人合作的过程中培养学生的上述两种能力。
学生重在参与、合作、交流，重在联想、分析讨 论。适当借助多媒体有利于突出重点，突破难点。
三、教学过程及设计意图
1、课前准备
1.1 划分学习小组 让学生自愿组合，分若干组，然后微调，争取
在每组中安排数学能力、表达能力、组织能力较强 的同学至少一位，并让学生推选出组长。
1.2 明确学习任务 研究复数与平面向量、三角函数的联系
决问题的能力，通过演示动画让学生增进对复 数乘法的几何意义的理解，同时激发学生学习 数学的兴趣。
3、小结
让学生小结学习方法和情感体验。
4、作业
4.1 查阅资料：了解笛卡儿、高斯、韦达、棣莫弗等 数学家在这方面的贡献。
4.2 研究性作业： 利用复数的三角形式，研究复数的乘方、开方运算。
[设计意图] 通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识，
③。从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、 接纳新知识的心理倾向, 同时培养学生用联系的观点看 问题的意识，并让学生明确探究方向。
各个小组自主探究，自由讨论，教师巡视，亦可参加某 个小组的讨论，根据情况，教师适时适当的点拨，发问或针 对某个同学，某一小组或面向全体。
① Z1+Z2、Z1－Z2均是复数，设它们的对应点分别为Z、Z’，则点Z、Z’的 坐标为多少？
2、教学的重点与难点
研究性学习重在学习过程而非结论，重在亲身参与主 动探究而非单纯的被动的接受。因此，我认为本内容的重 难点是复数与平面向量、三角函数的联系的探究过程。
3、教学目标
认知目标：了解复数与平面向量、三角函数的联系。
能力目标：在知识的探究过程中，培养学生收集、处 理信息的能力、研究能力、表达能力、评 价和自我评价能力。
2.2 探究问题 学生讨论得到：
复数Z=a+bi
一一对应
点Z(a,b)
a.b∈R
一
一
一
一
对
对 应
应
平面向量 坐标为(a,b)
OZ
接着提出问题③：我们可以用平面向量
OZ 表示复数Z，
两个复数的和与差仍是复数，那么，我们用什么向量表示
两个复数的和与差呢？
[设计意图] 通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题②
同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神，数学表 达能力以及评价和自我评价能力。
设复数z1=a+bi，z2=c+di，分别对应向量
OZ1，OZ 2
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1－z2=(a－c)+(b－d)i
对应向量
OZ
对应向量
OZ
y Z1
Z来自百度文库
y Z1
Z
Z2
O
x
Z2
O
x
讨论(二)复数与三角函数的联系 2.4 提出问题
在整个过程中，教师根据反馈得到的信息，运用一系列问题来调控进 程与节奏，调控学生的思维、情感活动，注重老师的引导，组织作用，突出 了学生的主体地位。学生的自主意识、协作能力、探究能力、应用知识解决 问题的能力都得到了培养和提高，也大大增强了学生学习数学的兴趣。
OZ OZ
OZ 表示，
[设计意图] 此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。
学生通过观察得到：
a r cos，b r sin
则复数Z=a+bi还可以表示成：
Z r(cos i sin )
这个表达式叫做复数Z的三角形式，其中r叫做复
数Z的模，当r≠0时,θ叫做复数Z的辐角。
② 复数0的辐角呢？ ③ 复数的三角形式有哪些基本特征？
2、课堂教学
提出问题
探究复数与平面向量的联系
探究
复数的 向量表示
探究
复数的加 减法运算
应用
提出问题
探究复数与三角函数的联系
探究
复数的 三角形式
探究
复数的乘 除法运算
探究
作业
2、课堂教学
讨论(一)复数与平面向量的联系
2.1 提出问题 ① 复数、平面向量与平面直角坐标系中的点有 什么关系? ② 由① 看，复数与平面向量有什么关系?你能 得到那些结论？
不完善的地方，请其他同学补充完善。
设z1 r1(cos1 sin2 )，z2 r2 (cos2 i sin2 )
分别对应向量OZ1、OZ2
z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)]
z1 r1[cos(θ1－θ2) z2 r2+isin(θ1－θ2)]
[设计意图] 通过这样的过程培养学生应用已有知识解
② 向量 OZ、OZ’分别是 OZ1、OZ2 的和与差吗？
③ 第②问从向量的坐标运算入手能得到结论吗？
[设计意图] 根据杜威倡导的“从做中学”，布鲁纳的发现学习论，
设置此环节，学生自主探究，自由讨论，充分发挥学生的 主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。
学生在组内讨论交流比当着老师或全班同学的面发言 心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时，也便于 学生作出评价和自我评价(肯定的话，学生能体味到成功的 喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短，从 而作出调整，提升自我)，这也体现了“研究性学习”的宗旨。
课课案
复数与平面向量、三角函数的联系
人教版高中数学选修(Ⅱ)第四章研究性学习课题 松滋市第四中学 艾云鹏
一、教材分析
1、 教材的地位和作用
本内容是已学复数知识的延续和深化，是学生学习高等 数学的基础，有着承前启后的作用。作为研究性学习课题， 它主要的作用是通过学生对知识的主动探究来培养学生的数 学研究能力，合作意识和交流能力等。
老师的巡视，参与讨论，适时提问，主要是为了调控 学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。
2.3 展示成果 根据巡视情况，教师让各小组派代表上台发言，或将
写有结论及证明过程的答题纸放在投影仪上展示，不完善 的地方请其他同学帮助完善。教师应给出肯定性评价，并 表扬较好的小组及个人。
[设计意图] 让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感，
[设计意图] 通过这些问题调控学生的思维，探究活动，同时培养
学生的演绎推理能力和归纳能力。
学生讨论出问题③的答案后，提出问题：
④ 设复数Z1的模与辐角为r1、θ1,复数Z2的模与辐角
为r2、θ2,那么Z1 ·Z2的模与辐角跟Z1 、Z2的模与辐角有
什么关系？
Z1 Z2
(Z2
0)呢？
2.6 展示成果 教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。如有
通过作业让学生带着问题和任务走出课堂，使研究性学 习，数学学习从课内走到课外，促使学生良好习惯的养 成。
四、教学评价
按照“提出问题，自主探究，合作交流，得出结论，应用实践(在讨论 新问题的过程中运用刚刚得到的结论)”这个程序展开两轮讨论，让学生的思 维完成了“认识→实践→认识→实践→……”的螺旋式上升过程，让学生深 刻体会到数学的系统演绎性与实验归纳性的统一，以及数形结合之美，明白 了事物间普遍联系的道理。