高三数学课件 复数与平面向量、三角函数的联系
复数的三角形式(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
由此可以得到
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
探究新知
核心知识点：一
复数的三角形式的概念
复数z=0在复平面内与原点O（0，0）对应，向量是零向量，这时复数的模为0，
辐角是任意的。
由任意角三角函数的定义知道：
设复数z=a＋bi（z≠0）的辐角为θ，则cosθ= ,sinθ= , 其中r= + 。
’
的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的
向量
O
Z1
x
探究新知
核心知识点：二
复数乘除法运算的三角表示
所对应的复数r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即
为z1z1，这就是复数乘法的几何意义。
y
Z
当z2≠0时，
+
Z（a，b）和平面向量之间存在着一一对应的关系。
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在
y
的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数
b
z=a＋bi的辐角。例如， 就是复数z=1＋i的一个
辐角，而 ＋2kπ（k∈Z）也都是复数z=1＋i的
辐角。
Z:a+bi
θ
O
a
x
探究新知
核心知识点：一
，故( − ) =
因此，这个复数的模为2，辐角为 ＋2k（k∈Z）.
重点探究
探究三
求复数2(cos -isin )的模与辐角。
复数的概念及复数的几何意义ppt课件
复数的乘法与除法在复平面上表现为向量的旋转与缩放。
复数的乘方与开方
01 02
乘方运算规则
设$z = a + bi$，则$z^n = (a + bi)^n = a^n + C_n^1 a^{n-1} bi + C_n^2 a^{n-2} (bi)^2 + ldots + (bi)^n$，其中$C_n^k$表示组合数 。
复数与三角函数的对应关系
01
复数的三角形式与三角函数有密切联系，通过欧拉公式可以将
三角函数表示为复数的指数形式。
复数在三角函数计算中的应用
02
利用复数的三角形式和欧拉公式，可以方便地计算三角函数的
值，以及解决与三角函数相关的问题。
复数与三角函数的周期性
03
复数的周期性性质与三角函数的周期性相一致，通过复数运算
几何意义
复数的加法与减法在复平 面上表现为向量的合成与 分解。
复数的乘法与除法
乘法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
除法运算规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c + di}{a + bi} = frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i$。
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2
高中数学《复数的三角表示》单元教学设计
复数的三角表示单元教学设计一、内容和内容解析1.内容复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.本单元的知识结构：本单元建议用2课时：第一课时，复数的三角表示式；第二课时，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.2. 内容解析复数的三角表示是复数的一种重要表示形式，复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，是复数代数形式及其乘除运算等知识的延续和复数的三角表示，实际上是用有序数对（r,）来确定一个复数z=a+bi，并把它表示成r(cos+isin)的形式.复数的三角形式与代数形式有着紧密联系，可以借助三角函数的知识，将三角形式和代数形式进行互化；基于复数的三角表示，按照复数的乘法运算法则，并利用三角恒等变换知识，就能推导得出复数乘法运算的三角表示，因此复数的三角表示是本单元的基础.由复数乘法运算的三角表示可以推导出复数除法运算的三角表示.复数乘、除运算的三角表示不仅形式简洁，给复数的乘、除运算带来了便利，而且它们的几何意义明显，实际上，复数乘、除运算三角表示的几何意义就是平面向量的旋转和伸缩.借助复数乘、除运算三角表示的几何意义，可以将一些复数、三角和平面几何问题转化为向量问题去解决. 因此，复数乘、除运算的三角表示式及其几何意义在本单元中具有重要地位.比的研究方法，如三角表示的两个复数相等的充要条件是类比代数形式两个复数相等的充要条件得到的，复数除法三角表示的几何意义是类比复数乘法三角表示的几何意义得到的，等.运用好本单元的相关知识素材，让学生体会这些数学思想和方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于以上分析，确定本单元的教学重点：复数的三角表示式，复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，以及这些内容所体现的数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.（2）了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.（3）了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（4）在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.2. 目标解析达成目标（2）的标志是：学生能根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化；能够类比复数代数形式表示的两个复数相等的充要条件得出三角形式表示的两个复数相等的充要条件，并会判断两个用三角形式表示的复数是否相等.达成目标（3）的标志是：学生能根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式推导出复数乘法运算的三角表示式，并能用文字语言阐述其含义；能根据复数乘法运算的三角表示，得出复数乘法的几何意义；会类比复数乘法运算的三角表示及其几何意义得出复数除法运算的三角表示及其几何意义；会依据复数乘、除运算的三角表示及其几何意义进行相关的计算，能解决简单的复数、三角和平面向量问题.达成目标（4）的标志是：在教师的引导下，学生能够运用数形结合的思想，探究复数三角表示式和复数乘、除运算几何意义；在复数除法运算三角表示的推导过程中，能体会化归与转化的思想；能够运用类比的方法，探究两个三角表示的复数相等的充要条件，探究复数除法运算三角表示的几何意义；在复数三角形式和代数形式的互化过程中，能感受事物之间在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点.三、教学问题诊断分析在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点z(a,b)以及向量的一一对应关系；掌握了复数乘、除运算的运算法则，为本单元学习复数的三角表示奠定了基础.但从复数的几何意义出发探究得出复数的三角表示式，从思维角度看学生还缺乏经验；并且复数的三角表示式与复数的向量表示、三角函数有很强的关联性，其形式也比较复杂，而且有些学生会错误地认为，只要复数的表达式中含有正弦和余弦函数就是复数的三角表示式.因此，探究和理解复数的三角表示式有一定难度.在能力基础上，学生通过高一上学期的学习，对高中数学学习中常用的基本数学思想方法已经有所了解，有运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的意识，也知道类比是研究数学问题的一种常用的方法，但在实际应用中，学生运用起来还不够熟练，而且往往很难针对具体问题的特点选择合适的数学思想方法解决问题，所以在运用类比的方法探究三角形式表示的两个复数相等的充要条件，利用数形结合、类比等方法探究复数乘、除运算几何意义的过程中，学生可能会遇到障碍.在学习态度上，由于高考不涉及本单元的内容，所以学生在重视程度上可能不够，需要教师设置比较好的问题情境，并指出学习本节内容的重要意义和价值，从而激发学生的学习兴趣和学习主动性.综上所述，本单元的教学难点为：利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具有助于帮助学生探究并理解辐角.例如，可以使用信息技术工具画出平面向量表示的复数z=a+bi，让学生通过观察、比较，初步确定可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角刻画平面向量的方向；然后改变复数对应的平面向量的位置（在不同象限或在实轴、虚轴上），进行动态演示，感受选择来刻画平面向量方向的一般性和合理性. 也可以通过上述图形，让学生直观感受复数a+bi 与平面向量的对应关系，体会辐角的多值性和辐角主值的唯一性.在复数乘、除运算的三角表示几何意义的教学中，也可使用几何画板、GeoGebra等信息技术工具，使学生感受两个复数相乘（或相除）时，模和辐角的变化情况，从而加深学生对几何意义的理解.五、教学过程设计第一课时7.3.1 复数的三角表示式（一）课时教学内容复数的三角表示式（二）课时教学目标1. 了解复数三角表示式的推导过程，了解复数的三角表示式.2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化，了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.（三）教学重点与难点教学重点：复数的三角表示式教学难点：复数的三角表示式（四）教学过程设计师生活动：学生思考、回答，指出z=a+bi(a，b∈R)称为复数，以及复数的两种几何意义：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应；复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应.师生活动：学生回答，教师利用几何画板、GeoGebra等信息技术工具或在黑板上画出复数z=a+bi对应的平面向量.追问2：已知平面向量=(a,b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？师生活动：学生思考并回答，由于复数z=a+bi与平面向量=(a,b)一一对应，所以已知平面向量=(a,b)能唯一确定与之对应的复数，其表达式为z=a+bi.教师总结，复数z可以由向量的坐标(a,b)唯一确定.问题2 我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a,b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a,b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？师生活动：学生在教师的引导下，观察图形、思考讨论，发现解决问题2的首要环节是，应定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量的大小可以用复数的模来表示，向量的方向可以借助角来表示.追问2：如何用文字语言表述角呢？师生活动：学生思考回答，可能给出的表述不很确切. 教师逐渐引导纠正，逐步得出：角是以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角.追问3：你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？设计意图：要求学生进一步借助图形，得出模r和角与平面向量的坐标(a,b)的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想. 这是得出复数三角表示式的另一个关键环节.追问4：刚才我们画的图形，角的终边落在第一象限，得到a+bi=r(cos +isin)，这个式子是否具有一般性呢？即：若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？师生活动：教师借助几何画板、GeoGebra和PPT等软件，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有a+bi=r().教师指出r()叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称为三角形式，并板书复数的三角表示式，介绍辐角的概念，说明辐角既设计意图：让学生分析角的终边落在各个象限或实轴、虚轴的情况，由具体到抽象，由特殊到一般，归纳出复数的三角表示式，感受数学的严谨性，培养抽象概括能力.师生活动：学生思考回答，因为任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差的整数倍.设计意图：让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性.设计意图：由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特征作出判断.例1判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并进行个别指导，学生都完成后进行反馈交流，教师帮助更正错误，指导学生依据复数三角表示式的结构特征进行反思，并总结：熟练应用三角函数的诱导公式进行恒等变换，是将复数的非三角表示式转化为三角表示式的一个关键环节.设计意图：辨析复数的三角表示式，帮助学生进一步理解三角表示式的概念，学会将复数的非三角表示式化为三角表示式的方法.4. 概念应用，巩固新知例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：师生活动：先由学生思考发言，师生共同总结解题的基本思路，教师板书第1小题，学生书写第2小题完整的解题步骤.教师总结解题思路：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.而利用即可求得模，先借助向量的坐标判断辐角的终边所在的象限，再利用cos或sin求辐角.设计意图：一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；更为重要的是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法.师生活动：学生在练习本上独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生都完成后请学生展示交流. 教师指导学生反思：应注意辐角的值不只一个，写出的辐设计意图：例3主要有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中r,的含义，进而认识到复数实质上可以由有序实数对(r,)来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系；二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.师生活动：引导学生利用类比的方法思考、回答.教师可以引导学生按照下面的思路进行探究：两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等.通过推理，顺理成章地得出结论.设计意图：让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.5. 课后作业教科书习题7.3 第1，2题.（五）目标检测设计1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：设计意图：考查学生将复数的代数形式化为三角形式的能力．2. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.设计意图：考查学生对复数三角形式的掌握程度．3. 将下列复数表示成代数形式：设计意图：考查学生将复数的三角形式化为代数形式的能力.第二课时7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（一）课时教学内容复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（二）课时教学目标1. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.2. 在知识的探究和发现中，感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘、除运算的三角表示教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.（四）教学过程设计引言：在7.2节，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式——三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题.1.知识回顾问题1我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？师生活动：学生回忆后回答：设a，b,c,d∈R，则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)设计意图：复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫.2.复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用问题2 上节课，我们学习了复数一种新的表示方法——三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？师生活动：教师给学生充分的自主活动的时间，学生经过独立思考和演算后，由学生汇报交流，教师及时补充或纠正错误，师生共同完成复数加法和乘法是否能用三角形式表示的探究过程.发现：一般说来复数的加法不便表示成三角形式；师生活动：学生用纸笔画出草图，分组讨论交流.教师借助几何画板、GeoGebra等软件画出对应的向量，演示乘法运算的过程，学生归纳得出复数乘法运算三角表示的几何意义（图2）.师生活动：学生独立做题，教师巡视答疑，学生完成后利用多媒体进行交流展示.教师指导学生反思：运用复数乘法的三角表示式进行运算的前提是，给出的复数必须都是三角形式，然后才能利用“模数相乘，辐角相加”的算法进行运算. 教学中应提醒学生：当不要求把计算结果化为复数的代数形式时，也可以直接用三角形式表示结果.设计意图：让学生运用复数乘法的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义.设计意图：让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性.3. 复数除法运算的三角表示及几何意义的探究与应用问题6 除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？师生活动：教师引导，学生讨论，得出将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），学生自己推导得出复数除法运算三角表示公式，教师板书公式：用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．追问：你还有其他的推导方法吗？追问：若模伸长或缩短倍呢？4. 课堂练习（1）教科书第89页练习1（1）（3）.（2）教科书第89页练习2（1）（2）.5. 单元小结（1）回顾并叙述得出复数三角形式的研究思路和基本过程，并说说研究方法.（2）复数三角表示式的基本结构特点是什么？辐角和辐角的主值的概念和特点是什么？（3）三角形式表示的两个复数相等的充要条件是什么？它是怎么得出的？（4）复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么？它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法.（5）简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有什么优势？分别适合哪些运算？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.是利用复数的几何意义，借助数形结合进行探究.回顾研究过程和研究方法有利于培养学生思维的严谨性，积累基本的数学活动经验.（2）让学生进一步理解复数三角表示式和辐角、辐角的主值等核心概念.使学生对概念形成清晰的认识，有利于复数三角形式的后续应用.（3）让学生进一步明确两个复数相等的充要条件，体会类比的研究方法.（4）让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法.有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.（5）通过比较，让学生体会复数代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系.6. 课后作业：习题7.3第3，4，6，7，8题（五）目标检测设计1. 计算下列各式，并做出几何解释：2.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.。
三角函数与复数函数的关系
三角函数与复数函数的关系三角函数是数学中常见的函数之一，而复数函数则是运用复数进行运算的函数。
尽管它们在实际应用中的概念和运算方式有所不同，但三角函数和复数函数之间存在一定的关联和联系。
本文将从几何角度和数学运算的角度，讨论三角函数与复数函数的关系。
一、几何角度1. 正弦函数和余弦函数：正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它们可以用于表示角度与直角三角形边长之间的关系。
而复数则可以用于表示平面上的点和向量。
在直角坐标系下，复数的实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
因此，可以将正弦函数和余弦函数与复数函数建立联系。
2. 正切函数和割函数：正切函数和割函数是三角函数中另外两个重要的函数。
正切函数可以表示角度与直角三角形斜边与相邻直角边之比，而割函数则表示角度与直角三角形斜边与对边之比。
复数的辐角可以表示平面上的向量与正实轴之间的夹角，在这个角度上取切函数和割函数的值与直角三角形中的值有一定的关系。
二、数学运算的角度1. 欧拉公式：欧拉公式是数学中的一个重要等式，它将三角函数与复数函数联系在一起。
欧拉公式表示为e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中e为自然对数的底数，i为虚数单位。
欧拉公式表明，复数e^(ix)可以写成一个正弦函数和一个余弦函数的和。
这个公式不仅连接了三角函数和复数函数，还在数学中有广泛的应用。
2. 欧拉公式在复数运算中的应用：欧拉公式的一个重要应用是在复数运算中，它可以简化复数的乘法和幂运算。
通过使用欧拉公式，我们可以将复数写成模长和辐角的形式，从而更方便地进行复数运算。
同时，在复数平面上，欧拉公式还可以表示为一个旋转运算，即复数的乘法可以看作平面上的一个向量的旋转。
综上所述，三角函数与复数函数之间存在密切的关系。
从几何角度来看，三角函数可以用于描述角度与直角三角形边长之间的关系，而复数函数可以表示平面上的点和向量。
从数学运算角度来看，欧拉公式将三角函数与复数函数联系了起来，简化了复数运算。
高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点， 所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
2020年高三数学三轮复习回归基础专题平面向量与复数
基本定理
不共线，存在唯一的实数对 ，使 。若 为 轴上的单位正交向量， 就是向量 的坐标。
一般表示
坐标表示（向量坐标上下文理解）
共线条件
（ 共线 存在唯一实数 ，
垂直条件
各种运算
加法
运算
法则
的平行四边形法则、三角形法则
算律
，
与加法运算有同样的坐标表示
减法
运算
法则
的三角形法则
分解
数乘
运算
概念
复数
复数
概念
虚数单位
规定： ；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。 。
复数
形如 的数叫做复数， 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部。 时叫虚数、 时叫纯虚数。
复数相等
共轭复数
实部相等，虚部互为相反数。即 ，则 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运算
加减法
， 。
乘法
，
除法
几何意义
复数 复平面内的点 向量
向量 的模叫做复数的模，
为向量， 与 方向相同，
与 方向相反，
算律
， ，
与数乘运算有同样的坐标表示
数量积运算
概念
主要性质
，
，
算律
， ，
。
与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。
平面向量
平面向量
重要概念
向量
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
向量
长度为 ，方向任意的向量。【 与任一非零向量共线】
平行向量
方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
向量夹角
起点放在一点的两向量所成的角，范围是 。 的夹角记为 。
高中数学第五章复数3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义课件北师大版必修第二册
π
6
,于是
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式
(1) 2 cos
π
12
π
+ isin
π
· 3 cos
12
π
(2)3 cos 4 + isin 4 ·7 cos
π
π
(3) 2 cos 3 + isin 3
4
;
(4)(cos 36°+isin 36°)5.
3π
4
5π
且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
π
3π
显然当a>0时,arg a=0,arg(-a)=π,arg(ai)=2 ,arg(-ai)= 2 .
如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是
任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)复数的三角形式的特征:
6
i= 2 -1 −
2
2
3
2
i = 2(-cos 60°-isin 60°)
= 2(cos 240°+isin 240°).将绕点 O 按顺时针方向旋转 120°,
然后将所得向量的模伸长到 2 倍,则所得向量对应的复数为:
1
2(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 120°+isin 120°)
=3(0+i)=3i;
(2)原式=9(cos 360°+isin 360°)=9(1+0)=9.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
2
设 z=- 2 −
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
高中数学苏教版必修第二册第十二章《复数的三角表示式》示范公开课教学课件
这些辐角的值之间有什么关系呢？
在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
一个复数的辐角的值有多少个？
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．
利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．
因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
⟺ 两个复数对应的向量相同
角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角．
为了解决问题2，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角呢？
你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？
由可以得到复数a+bi=，
其中r，，．
刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：复数
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z
对应的点在第一象限，则下列结论正确的是
√A.复数
z
的虚部为
3 2
√B.1z＝12－
3 2i
C.z2＝z＋1
D.复数
z
的共轭复数为－12＋
3 2i
设复数z＝a＋bi(a，b∈R). 因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
∵z·i3＝1－2i， ∴－zi＝1－2i， ∴z＝1－－i2i＝(1－－i22i)i＝2＋i， ∴ z ＝2－i，
∴ z 的虚部为－1.
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其
中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫
(c＋di≠0).
知识梳理
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意 义，即O→Z＝ —OZ→1 ＋—OZ→2 ，—Z1→Z2＝ —OZ→2 －—OZ→1 .
常用结论
1.(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11－＋ii＝－i. 2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). 3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
高中数学知识点归纳复数的应用
高中数学知识点归纳复数的应用在高中数学中，我们经常会遇到复数的应用。
复数是由实部和虚部组成的数，可以表达实际问题中的某些特性。
接下来，我将归纳总结一些高中数学中涉及到复数的应用知识点。
一、复数与平面几何在平面几何中，复数可以与向量相互转化。
假设复数 z = a + bi，其中 a 和 b 分别代表实部和虚部，那么可以将 z 视为平面上的一个点 P(x, y)，其中x = a，y = b。
这样，复数的加减乘除运算就对应了点的平移、旋转和缩放等几何变换。
1. 复数的加法和减法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的加法和减法运算如下：- 加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i- 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法和除法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的乘法和除法运算如下：- 乘法：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i- 除法：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) /(a2^2 + b2^2)]i二、复数与方程复数的引入，使得一些原本无解的方程也可以得到解决。
在高中数学中，我们常常会遇到二次方程和高次方程的求解问题。
1. 二次方程的根对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 均为实数且a ≠ 0，如果其判别式Δ = b^2 - 4ac 小于 0，那么方程没有实数根，但可以用复数根来表示。
复数根的计算如下：- 当Δ < 0 时，方程的两个根为 x1 = [-b + √(-Δ)] / (2a) 和 x2 = [-b -√(-Δ)] / (2a)2. 高次方程的根在解高次方程时，复数的引入可以帮助我们找到一些特殊的根。
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系平面向量和复数在数学中都有重要的地位，它们之间存在着密切的联系和相互转化。
本文将探讨平面向量和复数之间的关系，并展示它们在几何、代数和应用方面的应用。
一、平面向量的表示与复数形式的转化在平面几何中，平面向量通常采用箭头表示法，即用有向线段表示向量，线段的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。
而复数则可以用实数部分和虚数部分组成，形式上通常表示为 a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。
平面向量与复数之间的联系可以通过向量的坐标表示和复数的实部与虚部的对应来实现。
假设平面向量 A 的坐标表示为 (x, y)，则可以将其转化为复数的形式 A = x + yi。
反之，已知一个复数 w = a + bi，则可以将其转化为平面向量的表示形式 (a, b)。
二、平面向量的运算与复数的运算平面向量有加法和数量乘法两种运算，而复数也有加法和乘法两种运算。
这使得平面向量的运算与复数的运算之间出现了明显的相似性，并且可以通过复数的运算规则来推导和解决平面向量的运算问题。
1. 平面向量的加法与复数的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，形成一个平行四边形，向量的和就是对角线的向量。
复数的加法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的起点连接起来，所得线段为它们的和。
2. 平面向量的数量乘法与复数的乘法平面向量的数量乘法是将向量的长度与一个实数相乘，结果是一个新的向量，方向与原向量相同或相反。
复数的乘法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的长度相乘，同时将它们的辐角相加，所得结果即为它们的乘积。
三、平面向量与复数的几何应用平面向量和复数在几何学中都有广泛的应用，它们可以用于解决平面上的几何问题，如平移、旋转和缩放等。
1. 平面向量的应用平面向量可以表示位移，因此可以用于平移和旋转问题。
例如，对于平面上的一个点 A，设向量 OA 表示 A 的位置向量，若将 A 沿向量u 平移，则新位置点 B 的位置向量 OB = OA + u。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
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26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
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19
在几何图形中求解角度问题
《高考调研》高三数学第一轮复习 第六章《平面向量和复数》课件6-2
• • • • •
3．平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 则a＋b＝( x1＋x2，y1＋y2 ) x1－x2，y1－y2 a－b＝( ) λx1，λy1 λa＝( )
• 1．如果e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题正确 的是( ) • A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ＋λ＝0 • B．空间内任一向量a，都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2其中λ1 ，λ2∈R • C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R • D．对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、 λ2有无数组 • 答案 A • 解析 B中不能是空间向量，C中λ1e1＋λ2e2一定在平面α内 ，D中λ1，λ2是唯一的
• 探究2 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法 则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向 量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使 用运算法则．
思考题 2
(高考题改编)在平行四边形 ABCD 中，AC
解析 ∵c∥b，∴c＝λd，即 ka＋b＝λ(a－b)．又 a、 b
k＝λ， 不共线，∴ 1＝－λ， λ＝－1， ∴ k＝－1.
∴c＝－d，∴c 与
d 反向．
• 4．设两非零向量e1，e2不共线，且(ke1＋ e2)∥(e1＋ke2)，则k等于________． • 答案 ±1 • 解析 (ke1＋e2)∥(e1＋ke2)，∴ke1＋e2＝ λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＋(1－λk)e2＝0 • ∴k－λ＝0,1－λk＝0，∴k＝±1.
→ ＝OM → －OC → ＝3c， (3)∵CM → ＝3c＋OC → ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴OM ∴M(0,20)． → ＝ON → －OC → ＝－2b， 又∵CN → ＝－2b＋OC → ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴ON → ＝(9，－18)． ∴N(9,2)．∴MN
新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第2讲平面向量基本定理及坐标表示课件
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点 A(－1,1)，B(0,2)，若向量A→C＝(－
2,3)，则向量B→C＝( )
答案 B
解析 对于 A，e1∥e2，不能作为基底；对于 B，－1×7－2×5≠0，所 以 e1 与 e2 不共线，可以作为基底；对于 C，e2＝2e1，所以 e1∥e2，不能作为 基底；对于 D，e1＝4e2，所以 e1∥e2，不能作为基底．
(3)如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若A→E＝λA→B＋μA→C，则 λ
121A→C，则实数
m
3 的值为____1_1___.
解析 设B→P＝λB→N， ∵P 是 BN 上的一点，A→N＝13N→C， 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋λB→N ＝A→B＋λ(A→N－A→B)＝(1－λ)A→B＋λA→N ＝(1－λ)A→B＋4λA→C＝mA→B＋121A→C. ∴m＝1－λ，4λ＝121，解得 λ＝181，m＝131.
2．平面向量的坐标运算
□ 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ 01 (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝
□ □ 02 (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ 03 (λx1，λy1)
，|a|＝ x21＋y21，|a＋b|＝
x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示
a∥b,0<α<π2，
则 α＝____6____.
解析 因为 a∥b，所以 sin2α＝cosα，即 cosα(2sinα－1)＝0，又 0<α<π2， 所以 cosα>0，所以 sinα＝12，解得 α＝π6.
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2.2 探究问题 学生讨论得到：
复数Z=a+bi
一一对应
点Z(a,b)
a.b∈R
一
一
一
一
对
对 应
应
平面向量 坐标为(a,b)
OZ
接着提出问题③：我们可以用平面向量
OZ 表示复数Z，
两个复数的和与差仍是复数，那么，我们用什么向量表示
两个复数的和与差呢？
[设计意图] 通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题②
② 向量 OZ、OZ’分别是 OZ1、OZ2 的和与差吗？
③ 第②问从向量的坐标运算入手能得到结论吗？
[设计意图] 根据杜威倡导的“从做中学”，布鲁纳的发现学习论，
设置此环节，学生自主探究，自由讨论，充分发挥学生的 主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。
学生在组内讨论交流比当着老师或全班同学的面发言 心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时，也便于 学生作出评价和自我评价(肯定的话，学生能体味到成功的 喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短，从 而作出调整，提升自我)，这也体现了“研究性学习”的宗旨。
在整个过程中，教师根据反馈得到的信息，运用一系列问题来调控进 程与节奏，调控学生的思维、情感活动，注重老师的引导，组织作用，突出 了学生的主体地位。学生的自主意识、协作能力、探究能力、应用知识解决 问题的能力都得到了培养和提高，也大大增强了学生学习数学的兴趣。
课课案
复数与平面向量、三角函数的联系
人教版高中数学选修(Ⅱ)第四章研究性学习课题 松滋市第四中学 艾云鹏
一、教材分析
1、 教材的地位和作用
本内容是已学复数知识的延续和深化，是学生学习高等 数学的基础，有着承前启后的作用。作为研究性学习课题， 它主要的作用是通过学生对知识的主动探究来培养学生的数 学研究能力，合作意识和交流能力等。
不完善的地方，请其他同学补充完善。
设z1 r1(cos1 sin2 )，z2 r2 (cos2 i sin2 )
分别对应向量OZ1、OZ2
z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)]
z1 r1[cos(θ1－θ2) z2 r2+isin(θ1－θ2)]
[设计意图] 通过这样的过程培养学生应用已有知识解
老师要求各个小组在课前做好准备工作 ：复习相关内容(平面向量 的概念和坐标运算、三角函数的概念与相关公式、复数已学知识)、收 集资料和讨论研究。
[设计意图] 收集处理信息的能力、合作意识和合作能
力都是现代人才必备的基本素质，设计该环节 就是让学生成为问题的主体，在查阅资料和与 人合作的过程中培养学生的上述两种能力。
③。从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、 接纳新知识的心理倾向, 同时培养学生用联系的观点看 问题的意识，并让学生明确探究方向。
各个小组自主探究，自由讨论，教师巡视，亦可参加某 个小组的讨论，根据情况，教师适时适当的点拨，发问或针 对某个同学，某一小组或面向全体。
① Z1+Z2、Z1－Z2均是复数，设它们的对应点分别为Z、Z’，则点Z、Z’的 坐标为多少？
通过作业让学生带着问题和任务走出课堂，使研究性学 习，数学学习从课内走到课外，促使学生良好习惯的养 成。
四、教学评价
按照“提出问题，自主探究，合作交流，得出结论，应用实践(在讨论 新问题的过程中运用刚刚得到的结论)”这个程序展开两轮讨论，让学生的思 维完成了“认识→实践→认识→实践→……”的螺旋式上升过程，让学生深 刻体会到数学的系统演绎性与实验归纳性的统一，以及数形结合之美，明白 了事物间普遍联系的道理。
问题①：复数Z=a+bi可以用点Z(a,b)和向量 还有没有其他的表示呢？
[设计意图] 提出新挑战，激发求知欲。
2.5 探究问题
教师展示动画，学生观察、分 析、讨论，如果有难度，教师有针
对性的提示：设点z(a, b)，r=
，
θ是以x轴非负半轴为始边，以
所在射线为终边的角，那么a、b与
r、θ是什么关系？
2、课堂教学
提出问题
探究复数与平面向量的联系
探究
复数的 向量表示
探究
复数的加 减法运算
应用
提出问题
探究复数与三角函数的联系
探究
复数的 三角形式
探究
复数的乘 除法运算
探究
作业
2、课堂教学
讨论(一)复数与平面向量的联系
2.1 提出问题 ① 复数、平面向量与平面直角坐标系中的点有 什么关系? ② 由① 看，复数与平面向量有什么关系?你能 得到那些结论？
情感目标：培养学生自主参与、积极交流的主体意识、 协作意识和乐于探索、勇于创新的科学精 神，以及用联系的眼光看问题的意识。
二、学法分析
我们的教学对象是高三学生,大多数具有一定的知识储备，具备较好 的数学素养和较强的自主意识，但是仍有一部分学生存在思维或情感上 的障碍。因此，教师要通过设置一系列的问题来引导学生的思维与探究 活动，将探索学习、协作学习、个别辅导三者有机结合。
决问题的能力，通过演示动画让学生增进对复 数乘法的几何意义的理解，同时激发学生学习 数学的兴趣。
3、小结
让学生小结学习方法和情感体验。
4、作业
4.1 查阅资料：了解笛卡儿、高斯、韦达、棣莫弗等 数学家在这方面的贡献。
4.2 研究性作业： 利用复数的三角形式，研究复数的乘方、开方运算。
[设计意图] 通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识，
同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神，数学表 达能力以及评价和自我评价能力。
设复数z1=a+bi，z2=c+di，分别对应向量
OZ1，OZ 2
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1－z2=(a－c)+(b－d)i
对应向量
OZ
对应向量
OZ
y Z1
Z
y Z1
Z
Z2
O
x
Z2
O
x
讨论(二)复数与三角函数的联系 2.4 提出问题
学生重在参与、合作、交流，重在联想、分析讨 论。适当借助多媒体有利于突出重点，突破难点。
三、教学过程及设计意图
1、课前准备
1.1 划分学习小组 让学生自愿组合，分若干组，然后微调，争取
在每组中安排数学能力、表达能力、组织能力较强 的同学至少一位，并让学生推选出组长。
1.2 明确学习任务 研究复数与平面向量、三角函数的联系
OZ OZ
OZ 表示，
[设计意图] 此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。
学生通过观察得到：
a r cos，b r sin
则复数Z=a+bi还可以表示成：
Z r(cos i sin )
这个表达式叫做复数Z的三角形式，其中r叫做复
数Z的模，当r≠0时,θ叫做复数Z的辐角。
② 复数0的辐角呢？ ③ 复数的三角形式有哪些基本特征？
[设计意图] 通过这些问题调控学生的思维，探究活动，同时培养
学生的演绎推理能力和归纳能力。
学生讨论出问题③的答案后，提出问题：
④ 设复数Z1的模与辐角为r1、θ1,复数Z2的模与辐角
为r2、θ2,那么Z1 ·Z2的模与辐角跟Z1 、Z2的模与辐角有
什么关系？
Z1 Z2
(Z2
ห้องสมุดไป่ตู้
0)呢？
2.6 展示成果 教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。如有
2、教学的重点与难点
研究性学习重在学习过程而非结论，重在亲身参与主 动探究而非单纯的被动的接受。因此，我认为本内容的重 难点是复数与平面向量、三角函数的联系的探究过程。
3、教学目标
认知目标：了解复数与平面向量、三角函数的联系。
能力目标：在知识的探究过程中，培养学生收集、处 理信息的能力、研究能力、表达能力、评 价和自我评价能力。
老师的巡视，参与讨论，适时提问，主要是为了调控 学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。
2.3 展示成果 根据巡视情况，教师让各小组派代表上台发言，或将
写有结论及证明过程的答题纸放在投影仪上展示，不完善 的地方请其他同学帮助完善。教师应给出肯定性评价，并 表扬较好的小组及个人。
[设计意图] 让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感，