大学物理学3章习题解答

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3-4 质量为m 的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是v ，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α，如图3-3所示。若小球与桌面作用的时间为δt ，求小球对桌面的平均冲力。

解 设桌面对小球的平均冲力为f ，并建立如图所示的坐

标系，根据动量定理，对于小球可列出

,

.

由第一个方程式可以求得

,

由第二个方程式可以求得

.

根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为

,

负号表示小球对桌面的平均冲力沿y 轴的负方向。

.

3-7 求一个半径为r 的半圆形均匀薄板的质心。

解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立

如图3-5所示的坐标系。在这种情况下，质心c 必定处

于y 轴上，即

,

.

质量元是取在y 处的长条，如图所示。长条的宽度为d y ，长度为2x 。根据圆方程

,

故有

.

如果薄板的质量密度为σ，则有

图

3-3 图3-5

.

令

, 则

，对上式作变量变换，并积分，得

.

.

.

3-10 如图3-9所示，一个质量为1.240 kg 的

木块与一个处于平衡位置的轻弹簧的一端相接触，

它们静止地处于光滑的水平桌面上。一个质量为

10.0 g 的子弹沿水平方向飞行并射进木块，受到子

弹撞击的木块将弹簧压缩了2.0 cm 。如果轻弹簧的

劲度系数为2000 n ⋅m -1 ，求子弹撞击木块的速率。

解 设木块的质量为m ；子弹的质量为m ，速度为v ；碰撞后的共同速度为v 。此类问题一般分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧。

第一步遵从动量守恒，故有

. (1)

第二步是动能与弹力势能之间的转换，遵从机械能守恒，于是有

. (2)

有式(2)解得

.

将v 值代入式(1)，就可求得子弹撞击木块的速率，为

.

3-11 质量为5.0 g 的子弹以500 m ⋅s -1 的速率沿水平方向射入静止放置在水平桌面上的质量为1245 g 的木块内。木块受冲击后沿桌面滑动了510 cm 。求木块与桌面之间的摩擦系数。

图3-9

解这个问题也应分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑动而克服桌面的摩擦力作功的过程。

第一步遵从动量守恒，有

.

式中v是木块受冲击后沿桌面滑动的速度。

第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式

.

由以上两式可解得

3-14 如图3-10所示，用长度为l的细线将一个质量为m的小球悬挂于o点。手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为m的物体作完全弹性碰撞。求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角α。

解小球与物体相碰撞的速度v1可由下式求得

. (1)

小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞

后小球的速度变为v2，物体的速度为v，在水平方向上应有

. (2)

完全弹性碰撞，动能不变，即

. (3)

碰撞后，小球在到达张角α的位置的过程中满足机械能守恒，应有

. (4)

由以上四式可解得

.

将上式代入式(4)，得

, .

图3-10