曲率连续讲解
§7 曲率
§7 曲率一、弧微分设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数，在曲线()f x 上取固定点000(,)M x y 作为度量弧长的基点，并规定依x 增大的方向作为曲线的正向。
对于曲线上任意一点(,)M x y ，规定有向弧0M M 的值s 如下：s 的绝对值等于弧的长度，当有向弧的方向与曲线的方向一致时为正，否则为负，则曲率为0limx MM x∆→'∆，易有ds =，这就是弧微分公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
定义：.sK M M ∆∆='α的平均曲率为弧段曲线C 在点M 处的曲率s K s ∆∆=→∆α0lim,lim0存在的条件下在dsd s s αα=∆∆→∆.ds d K α=注意:(1) 直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 2.曲率的计算公式,)(二阶可导设x f y =,tan y '=α ,arctan y '=α有,12dx y y d '+''=α.12dx y ds '+=.)1(232y y k '+''=∴,),(),(二阶可导设⎩⎨⎧==t y t x ψϕ ,)()(t t dx dy ϕψ''= .)()()()()(322t t t t t dx y d ϕψϕψϕ''''-'''=.)]()([)()()()(2322t t t t t t k ψϕψϕψϕ'+''''-'''=∴例1?2上哪一点的曲率最大抛物线c bx ax y ++= 解：,2b ax y +=',2a y =''.])2(1[2232b ax a k ++=∴显然, ,2时当abx -=.最大k ,)44,2(2为抛物线的顶点又a ac b a b ---.最大抛物线在顶点处的曲率∴三、曲率圆与曲率半径 定义：.),(,.1,,).0(),()(处的曲率圆称此圆为曲线在点如图为半径作圆心为圆以使在凹的一侧取一点曲线的法线上处的在点处的曲率为在点设曲线M D kDM D M k k y x M x f y ρρ==≠=,曲率中心---D .曲率半径---ρ注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数..1,1ρρ==k k 即 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).以前我们利用描点法作图，这样作出的图形往往与实际图形相去甚远．这是因为，尽管我们比较准确地描出曲线上的一些点，但两点之间的其它点未能更细地描出，尤其是曲线的升降、凹凸性及有无极值点等问题不明了．为了提高作图的准确程度，现在我们可以利用函数的一阶与二阶导数，根据曲线的升降、极值点、凹凸性、拐点与渐近线等特性来作图，使图形能正确反映函数的性态．作函数)(x f y =图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域；(2) 考察函数的奇偶性(对称性)、周期性； (3) 确定水平渐近线与垂直渐近线；(4) 求y '与y ''，找出y '和y ''的零点、它们不存在的点以及函数的间断点； (5) 利用(4)中所得的点 将定义域划分为若干个区间，列表讨论各个区间上曲线的升降与凹凸性，并讨论每个分界点是否为极值点或产生拐点．(6) 描出极值点，拐点与特殊点，再根据上述性质逐段描出曲线．Def1. 若当∞→x (有时仅当+∞→x 或-∞→x )时，b x f →)(，则称直线b y =为曲线)(x f y =的水平渐近线．例如，由于212lim =-∞→x x x ，故直线2=y 是曲线xx y 12-=的水平渐近线．同理可知，直线2π=y 与2π-=y 都是曲线x y arctan =的水平渐近线．Def2. 若当c x →(有时仅当-+→→c x c x 或)时，∞→)(x f ，则称直线c x =为曲线)(x f y =的垂直渐近线．例如，当+→0x 时，-∞→x ln ，所以直线0=x 是对数曲线x y ln =的垂直渐近线．同理可知，0=x 是曲线xx y 12-=的垂直渐近线． 为求曲线)(x f y =的垂直渐近线，应先找)(x f 的间断点c ，再看当c x →(或单侧)时，是否有∞→)(x f ．例4 作函数2221x ey -=π的图形．解 (1) 定义域为),(+∞-∞∈x ．(2) )(x f y =为偶函数，图形对称于y 轴．我们可先讨论),0[+∞上函数的图形，再据对称性作出左边的图形．(3) 0)(lim =∞→x f x ，有水平渐近线0=y ．但图形无垂直渐近线．(4) 222x ex y -='π，22221x ex y --=''π．令0,0=''='y y ，得),0[+∞上两点1,021==x x ．(5) 列表讨论：得极大值点⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,01M ，拐点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅e M π21,12．(6) 描出点21M M 、和点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321,2e M π，根据上表所列性质，描出)(x f y =在),0[+∞上的图形，再利用对称性描出函数在)0,(-∞上的图形，所得图形如图3－15所示．图3－15图3－16例5 描绘函数2)1(12--=x x y 的图形． 解 (1) 定义域为1≠x ． (2) 1)1(12lim21=⇒∞=--→x x x x 垂直渐近线．00)1(12lim2=⇒=--∞→y x x x 水平渐近线．(3) 3)1(2--='x x y ， 4)1(24-+=''x x y ． 令0,0=''='y y ，得0,2121=-=x x ．此外，在13=x 处y '不存在． (4) 列表讨论如下：故有拐点⎪⎭⎫⎝⎛--98,21A 、极小值点)1,0(-B ，再在曲线上取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛97,4)3,2(D C 、，描出这些点，注意到渐近线和表中所列的性质，描出图形如图3－16所示．。
曲率及讲义其计算公式00517
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
UG曲线连续性定义
曲线绘图的连续性简介G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。
曲线无断点，曲面相接处无裂缝。
判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。
G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。
判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。
G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。
对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。
G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。
因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。
9、Gn连续的定义1、Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。
G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。
G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲状，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。
我们通常的倒圆角就是这种情况。
G2两个对象光顺连续，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。
G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。
曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有相同的曲率半径。
外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。
在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。
UG关于连续的几种方式
关于连续的几种方式，以下是我个人的一点看法：G0连续又叫——点连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线是连续曲线，没有断点，既曲线方程连续。
对曲面来说,说白了就是没有裂缝。
G1连续又叫——相切连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线平滑无折点（相切），既曲线方程一阶导数连续。
对曲面来说,说白了就是处处圆滑相切，没有楞，显示曲率时颜色有突变。
G2连续又叫——曲率连续。
是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率连续，作曲率分析的曲线是连续曲线，无断点。
既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线连续。
对曲面，最简单的判断方法就是斑马线圆滑无折点，显示曲率时颜色是渐变的。
G3连续又叫——？（我的叫它曲率变化连续）。
是指曲线或曲面与任意平面交线的各点曲率变化率连续，作曲率分析的曲线是平滑曲线，无折点。
既曲线方程一阶导数曲线平滑，二阶导数曲线平滑，三阶导数曲线连续。
小弟才疏学浅，除了用曲率分析外不知其他的判断方法，请各位大侠指教。
由上，我个人拙见：所谓G1、G2、G3是指曲线方程最高导数曲线连续的阶次，例如G2连续曲线1、2阶导数曲线都连续。
好像记得高等数学有这样一个定理：如果一个曲线方程一阶、二阶、三阶导数连续，则其n阶导数曲线连续（n为自然数）。
我想这也许是将G3连续称作完美曲线的原因吧，也许也是没有什么G4、G5连续的原因。
严重声明：本人是菜鸟一个，以上只是个人在这个论坛混了几个月的一点思考。
肯定有错误，请大侠不吝指教，我尽快改正，以免扰己误人。
另：本人作图说明各种连续，但是没有更简单明确的方式说明G3连续，请大侠门帮忙赐我一个例子。
各种连续的曲线说明：以下是简单曲面的说明：以下是班马线说明：曲面曲率分析说明：。
曲率及其计算公式ppt课件
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得
K
| (1
y | y2 )3
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
2．50单位长．
13
曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系：
r1
，
1 K
．
K
r
11
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
曲率变化率的化率连续逆向造型的A级曲面详解
在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为 Class A Engineering，重点是在确定曲面的质量可以符合A级曲面的要求。
所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在 0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到 0.001mm），切率改变 ( tangency Change )在0.16度以下，曲率改变 (curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。
a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。
当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。
但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。
G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。
汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。
关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
曲率连续讲解
上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面上图是从侧面看G0—G4的区别，，绿色的线是过度面的轮廓线，最里侧是G0(一条直线)，最外侧是G4注意看平面和过度面的连接处G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续用这些术语描述曲面的连续性。
曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。
连续性类型：G0-位置连续图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。
图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。
这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。
因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。
如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。
图中的两组曲线属于曲率线续。
顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。
这通常是制作光滑表面的最低要求。
也是制作A级面的最低标准。
G3-曲率变化率连续图中的两组曲线的连续性属于曲率变化率连续。
这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
高中数学(人教版)曲率课件资料
➢定义
设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为 y K(K≠0).在点M处的曲线的法线上,
在凹的一侧取一点D,使
DM 1
K
以D为圆心,ρ为半径作圆,
o
称为曲线在点M处的曲率圆.
其中: D 曲率中心 ρ 曲率半径
D 1
k
M
y f (x)
x
注 1. 曲率半径与曲率互为倒数. 2. 曲率半径越大, 曲线越平坦;曲率半径越小, 曲线越弯曲. 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧
d
y 1 y2
dx,
ds
1 y2dx
y
k 1 y2 3 2
C:
x y
(t) (t)
(t) (t) (t) (t)
k 2(t) 2(t) 3 2
例1 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大?
曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
(2) 有向弧段 M0 M的值为s
| s ||M0M|
M0 M 的方向与曲线的正向一致 M0 M的方向与曲线的正向相反
s为x的函数，记为：s(x)
s(x)为x的单调增加函数
x
s>0 s<0
➢弧微分
y
M
x的值： x 对应的点：M
x+Δx M' s MM
y
M
M0
R
s x
2
MM x
2
|
MM MM
➢定义
y
M M' | MM || s |
C
高等数学同济大学课件上第37曲率
理解曲率的几何意义：第37曲率 描述了曲线在某一点的弯曲程度， 可以用于描述曲线的形状和性质。Fra bibliotek添加标题
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理解曲率的计算公式：第37曲率 可以通过计算曲线在某一点的二 阶导数得到。
理解曲率的物理意义：第37曲率 可以用于描述物体在空间中的运 动轨迹，例如在物理学中的圆周 运动、天体运动等。
生物医学：利用曲率进行人体 器官建模，提高医疗诊断准确 性
汇报人：
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是微分几何 中的重要概念
曲率在物理学、 工程学等领域有 广泛应用
曲率定义：描述曲线在某一点的弯曲程度 曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r为半径 解析过程：首先，确定曲线在某一点的切线方向和法线方向 然后，计算切线方向和法线方向之间的夹角，即曲率角 最后，根据曲率公式计算曲率值
同济大学课件上 第37曲率的定义
同济大学课件上 第37曲率的计算 方法
同济大学课件上 第37曲率的应用 实例
同济大学课件上 第37曲率的注意 事项
曲率是描述曲线弯曲程度的量 第37曲率是描述曲线在某一点的弯曲程度 第37曲率与曲线的弧长、切线斜率等有关 第37曲率在微分几何、物理等领域有广泛应用
第37曲率是同济 大学高等数学课件 上的一个重要概念
第37曲率与其他 曲率相比，具有独 特的性质和特点
第37曲率与其他 曲率之间的关系， 可以帮助我们更好 地理解和掌握高等 数学中的曲率概念
第37曲率与其他 曲率的关系，可以 帮助我们更好地解 决实际问题中的曲 率问题
理解曲率的定义：曲率是描述曲 线弯曲程度的量，第37曲率是描 述曲线在某一点的弯曲程度。
曲面连续性G0--G4详解
G0 G1G2G3G4曲率线方向不一致曲率线断开但方向一致曲率线位置连续曲率线的切线连续曲率线的曲率连续位置连续切线连续曲率连续但不平滑曲率线为G0连续曲率线为G1连续曲率线为G2连续一阶导数连续二阶导数连续三阶导数连续斑马线错开不连续斑马线连续但有尖锐的拐角斑马线连续且平滑一. G0、G1、G2、G3是描述曲面、曲线的连续方式，平滑程度的，一般常用于判断修补曲面时的曲面质量。
国际模具网G0——点连续：是指曲面或曲线点点连续。
曲线无断点，曲面相接处无裂缝。
判定方法：曲线不断，但是有角；曲面没有窟窿或裂缝，但是有楞。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续。
G1——相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且所有连接的线段、曲面片之间都是相切关系。
判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。
G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续无断点。
对平面做斑马线分析，所有斑马线平滑，没有尖角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且二阶导数连续。
G3——曲率相切连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率曲线或曲率曲面分析结果为相切连续。
判定方法：对曲线做曲率分析，曲率曲线连续，且平滑无尖角。
因为对G3连续用到的比较少，目前还不知道什么更好的G3曲面判定方法，请高手补充。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且三阶导数连续。
二.Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
1. G0两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
G0连续（也称为点连续）在每个表面上产生一次反射，这种连续仅仅保证曲面间没有缝隙而是完全接触。
2. G1两个对象光顺连续，一阶微分连续，或者是相切连续的。
G1连续（也称为切线连续）将产生一次完整的表面反射，反射线连续但是扭曲壮，这种连续仅是方向的连续而没有半径连续。
高等数学课件3-5曲率
高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
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浅谈曲率的连续性在设计中的应用
浅谈曲率的连续性在设计中的应用作者：曾凡虎来源：《文艺生活·文艺理论》2015年第11期摘 ; 要：随着设计的进步与发展，设计背后的数学关系，越来越受到相关人士的关注，从公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派发现的黄金比例到公元12世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现的斐波那契数，越来越多的数学原则被应用到设计之中，这不仅是功能的需求，更是审美的需求，正是因为这些数学原则的应用，设计越发地符合人类视觉审美，而且背后蕴含的理性之美也令人观止。
本文意在阐释曲率的连续性这一种数学概念在当今设计中的应用及发展，让更多的人来关注其在设计中的重要作用。
关键词：曲率的连续性;设计;字体中图分类号：TP391.72 ; ; ; ;文献标识码：A ; ; ; ;文章编号：1005-5312（2015）32-0274-01一、曲率的连续性概述曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
而曲率的连续性就是按照其相互连接的曲线之间过渡的光滑程度，分别分为四个级别：G0、G1、G2、G3、G4，G0-位置连续：这只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致，这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种;G1-切线连续，不仅再连接处端点，而且切线方向一致（可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的）这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
G2-曲率连续：顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉，这通常是制作光滑表面的最低要求。
G3-曲率变化率连续：这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
曲率及其曲率半径的计算讲解
于是
da
y
1 y2
dx．又知 ds
1 y2 dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
|
j(t) (t) j(t) [j2 (t) 2 (t)]3
(t)
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0a ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
曲率连续讲解
上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面上图是从侧面看G0—G4的区别，，绿色的线是过度面的轮廓线，最里侧是G0(一条直线)，最外侧是G4注意看平面和过度面的连接处G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续用这些术语描述曲面的连续性。
曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。
连续性类型：G0-位置连续图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。
图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。
这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。
因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。
如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。
图中的两组曲线属于曲率线续。
顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。
这通常是制作光滑表面的最低要求。
也是制作A级面的最低标准。
G3-曲率变化率连续图中的两组曲线的连续性属于曲率变化率连续。
这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
曲面三角形的曲率-概述说明以及解释
曲面三角形的曲率-概述说明以及解释1.引言1.1 概述曲面三角形是计算机图形学中一个重要的概念，它描述了一个由三个曲线边界所围成的平面图形。
这些曲线可以是任意形状的，因此曲面三角形具有丰富的几何特征。
曲率是衡量曲面弯曲程度的重要参数，它可以帮助我们了解曲面的形态和特性。
本文将介绍曲面三角形的定义和曲率的概念，以及计算曲面三角形曲率的方法。
首先我们将说明曲面三角形的定义，包括如何定义曲面三角形的顶点和边界。
然后，我们将详细介绍曲率的概念，它是描述曲面的曲线度量。
我们将解释曲率如何反映曲面的局部形状特征，并讨论曲率对曲面弯曲程度的影响。
在曲率的计算方法部分，我们将介绍两种常用的曲率计算方法：离散方法和连续方法。
离散方法通过计算曲面三角形上的有限个点的曲率来近似整个曲面的曲率。
连续方法则通过数学公式来描述曲率的变化，可以更准确地反映曲面的曲率特性。
最后，我们将总结曲面三角形的曲率特点，包括曲面的凸凹性质和曲率的变化规律。
我们还将探讨曲面三角形曲率在实际应用中的意义，例如在计算机图形学中的三维建模和渲染中的应用。
同时，我们也会展望未来对曲面三角形曲率研究的方向，包括如何更准确地计算曲率和发现更多曲率与曲面形态的关联性。
通过本文的阅读，读者将能够深入了解曲面三角形的曲率概念和计算方法，以及曲率在曲面形态分析和应用中的重要性。
同时，读者也将带有一定的启发，对未来曲面三角形曲率研究的发展方向有更多的思考。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍了本文的组织结构和各个部分的内容概述。
通过清晰明了的文章结构，读者可以更好地理解文章的逻辑脉络和主要内容。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，我们将首先对曲面三角形的曲率问题进行概述，引起读者对该主题的兴趣。
然后，我们将详细介绍文章的结构和各个部分的主要内容，以便读者在阅读过程中能够有一个清晰的导引。
接下来是正文部分，我们将对曲面三角形的定义进行阐述，解释什么是曲面三角形以及它在几何形体中的重要性。
数学曲率知识点总结
数学曲率知识点总结数学曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的一种数学概念。
它在微分几何和微分方程中有着重要的应用，也是现代物理学和工程领域的重要基础知识之一。
本文将从曲率的定义、性质、计算、应用和相关概念等方面对数学曲率知识点进行总结和探讨。
一、曲率的定义1. 曲率的几何意义曲率是研究曲线和曲面弯曲程度的量，它能够描述曲线或曲面在某一点的弯曲程度和方向。
曲率可以用来描述曲线或曲面的局部几何属性，是几何学中的重要概念。
2. 曲率的定义对于曲线上的一点P，其曲率可以用切线法向量和曲线在P点的切线的夹角来表示。
在三维空间中，曲线的曲率定义为其切线方向的变化率。
在曲面上，曲率是指曲面在某一点处的弯曲程度。
二、曲率的性质曲率具有一些重要的性质，包括：1. 曲率的正负性：根据曲率的定义，可以得出曲率有正负之分。
凸曲线上的曲率为正，而凹曲线上的曲率为负。
2. 曲率的大小：曲率的大小表示了曲线或曲面的弯曲程度，可以通过曲率的绝对值来表示。
三、曲率的计算曲率的计算是数学曲率知识中的重要内容之一，它包括了曲线曲率和曲面曲率的计算方法。
1. 曲线曲率的计算：曲线曲率可以通过极限的定义进行计算，也可以通过向量微积分的方法进行计算。
2. 曲面曲率的计算：曲面曲率的计算相对复杂一些，通常需要利用高等数学知识，包括向量微积分、微分几何和微分方程等知识。
四、曲率的应用曲率在现代数学和物理学中有着广泛的应用，包括微分几何、数学物理、光学等领域。
1. 曲率在微分几何中的应用：微分几何研究的对象就是曲线和曲面的性质，曲率是微分几何中关键的概念之一。
2. 曲率在数学物理中的应用：曲率在广义相对论中有重要应用，它能够描述时空的弯曲程度。
3. 曲率在光学中的应用：光线在曲面上的反射和折射等现象都与曲率有着密切的关系。
五、相关概念与曲率相关的概念还包括了曲率半径、法曲率、主曲率、高斯曲率等。
1. 曲率半径：曲率半径是曲线或曲面在某一点处曲率的倒数，可以用来描述曲率的大小。
曲面G1、G2、G3与G4连续
G4-曲率变化率的变化率连续
“变化率的变化率”似乎听起来比较深奥，实际上可以这样理解，它使曲率的变化率开始缓慢，然后加快，然后再慢慢的结束。这使得G4连续级别能够提供更加平滑的连续效果。
ax^3+bx^2+cx+d=0
这是一个标准的三次方程，对它求导就成了标准的二次方程，因此它的曲率是一个二次函数，曲线的变化率是一个一次函数（在笛卡儿坐标上它就是一根斜线），因此它的曲率的变化率是连续变化的，这样的曲面，就应该是G2曲面了。
至于平面，它的曲率半径为无穷大，曲率的变化率为零。
从数学上来解释曲面，是不是这样？大家讨论讨论！
总结一下这几种连续级别:
G0由于使模型产生了锐利的边缘，所以平时都极力避免，甚至想尽办法摆脱这种效果。不常用
G1由于制作简单，成功率高，而且在某些地方及其实用，比如手机的两个面的相交处就用这种连续级别。比较常用
G2由于视觉效果非常好，是大家追求的目标，但是这种连续级别的表面并不容易制作（一些高手们出的题目基本上就是和这种连续级别表面的制作方法拼命的），这也是Nurbs建模中的一个难点。这种连续性的表面主要用于制作模型的主面和主要的过渡面。
如何在Pro/E中检查所做出来的面是G1连续还是G2连续呢？
在Pro/E里，边界面只能做到G1。
要做G2的话要用style构面，并且在构面后把紫色的单箭头点为双箭头
是吗？
[ Last edited by cboye on 2004-5-27 at 08:23 ]
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车辆路径曲率连续
车辆路径曲率连续
车辆路径的曲率连续性是指车辆行驶过程中路径的曲率变化连续，即车辆在行驶过程中不会出现突然的曲率变化。
曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度，是一个表示曲线弯曲程度的物理量。
当路径的曲率连续性较好时，车辆在转弯或弯道行驶时的操作更加稳定，减少了驾驶的突然变化，增加了驾驶的安全性和舒适性。
为了实现车辆路径的曲率连续性，在设计道路或者车辆运动轨迹时，需要考虑以下几个因素：
1. 道路设计：道路的设计要满足曲率连续的要求，避免在转弯处设计过急的弯道，以减少车辆突然变换方向的需要。
2. 汽车悬挂系统：合适的悬挂系统可以减少车辆在转弯时的倾斜和抖动，提高车辆行驶的平稳性。
3. 操控系统：车辆的操控系统要灵敏度适中，这样可以更好地控制车辆行驶的方向变化，避免突然转向。
4. 驾驶员技术水平：驾驶员的技术水平也是影响路径曲率连续性的关键因素。
驾驶员需要根据车辆行驶状态和道路情况进行合理的驾驶操作，适应不同曲率的道路。
综上所述，车辆路径的曲率连续性对于驾驶的安全性和舒适性
至关重要，需要在道路设计、汽车悬挂系统、操控系统和驾驶员技术水平等方面进行综合考虑和优化。
针对专科学生如何讲解《曲率》-文档资料
针对专科学生如何讲解《曲率》
1 背景知识
在微分几何学中，与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率。
瑞士数学家L·欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述
为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率，这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一。
1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程，亦即统称弗雷内公式.后来，G达布创造了空间曲线的活动标架概念，完整地建立起曲线理论。
2 知识点讲解方法
（一）曲率概念的引入与讲解
曲率是一个构造型的定义，通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理，再引出曲率概念其教法更为简捷，曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路弯度大，车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害，于是定义曲率就是描述曲线弯曲程度的量。
（二）曲率定义
由图形入手，分析曲线的弯曲程度与切线转角和弧长两个因素有关。
因此，就用这两个量来量化曲线的弯曲程度。
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上图中，从左到右依次为G0—G4的过度面上图是从侧面看G0—G4的区别，，绿色的线是过度面的轮廓线，最里侧是G0(一条直线)，最外侧是G4注意看平面和过度面的连接处G0—G4连续性的名称分别叫做：G0-位置连续；G1-切线连续；G2-曲率连续；G3-曲率变化率连续；G4-曲率变化率的变化率连续用这些术语描述曲面的连续性。
曲面连续性可以理解为相互连接的曲面之间过渡的光滑程度。
提高连续性级别可以使表面看起来更加光滑、流畅。
连续性类型：G0-位置连续图中的两组线都是位置连续，他们只是端点重合，而连接处的切线方向和曲率均不一致。
这种连续性的表面看起来会有各很尖锐的接缝，属于连续性种级别最低的一种。
图中的两组曲线属于切线连续，他们不仅再连接处端点，而且切线方向一致(可以看到连接的两条线段梳子图的刺在接触点位置是在一条直线上的)。
用过其他PC插图软件的拥护，比如COREDRAW，实际上通常得到的都是这种连续性的曲线。
这种连续性的表面不会有尖锐的连续性接缝，但是由于两种表面在连接处曲率突变，所以在视觉效果上依然会有很明显的差异，会有一种表面中断的感觉。
通常用倒角工具生产的过度面都属于这种连续性级别。
因为这些工具通常使用圆周与两各表面切点间的一部分作为倒角面的轮廓线，圆的曲率是固定的，所以结果会产生一个G1连续的表面。
如何想生成更高质量的过度面，还是需要自己动手。
图中的两组曲线属于曲率线续。
顾名思义，他们不但符和上述两种连续性的特征，而且在接点处的曲率也是相同的。
如图中所示，两条曲线相交处的梳子图的刺长度和方向都是一致的（可以为0）。
这种连续性的曲面没有尖锐接缝，也没有曲率的突变，视觉效果光滑流畅，没有突然中断的感觉（可以用斑马线测试）。
这通常是制作光滑表面的最低要求。
也是制作A级面的最低标准。
G3-曲率变化率连续图中的两组曲线的连续性属于曲率变化率连续。
这种连续级别不仅具有上述连续级别的特征之外，在接点处曲率的变化率也是连续的，这使得曲率的变化更加平滑。
曲率的变化率可以用一个一次方程表示为一条直线。
这种连续级别的表面有比G2更流畅的视觉效果。
但是由于需要用到高阶曲线或需要更多的曲线片断所以通常只用于汽车设计。
G4-曲率变化率的变化率连续图中的两组曲线的连续级别属于曲率变化率的变化率连续。
“变化率的变化率”似乎听起来比较深奥，实际上可以这样理解，它使曲率的变化率开始缓慢，然后加快，然后再慢慢的结束。
这使得G4连续级别能够提供更加平滑的连续效果。
但是这种连续级别将比G3计算起来更复杂，所以几乎不会在小家电一类的产品设计中出现。
实际上，就算出现了，我们也未必看得出来。
总结一下这几种连续级别。
G0由于使模型产生了锐利的边缘，所以平时都极力避免，甚至想尽办法摆脱这种效果。
不常用G1由于制作简单，成功率高，而且在某些地方及其实用，比如手机的两个面的相交处就用这种连续级别。
比较常用G2由于视觉效果非常好，是大家追求的目标，但是这种连续级别的表面并不容易制作（VFX的这些高手们出的题目基本上就是和这种连续级别表面的制作方法拼命的），所以需要大家多多用心练习，这也是Nurbs建模中的一个难点。
这种连续性的表面主要用于制作模型的主面和主要的过渡面。
G3,G4这两种连续级别通常不使用，因为他们的视觉效果和G2几乎相差无几，而且消耗更多的计算资源。
这两种连续级别的优点只有在制作像汽车车体这种大面积、为了得到完美的反光效果而要求表面曲率变化非常平滑的时候才会体现出来。
检测工具---斑马线介绍（也叫做高光测试）：斑马线实际上是模拟一组平行的光源照射到索要检测的表面上所观察到的反光效果。
G0的斑马线在连接处毫不相关，各走各的，线和线之间不连续，通常是错开的。
G1的斑马线虽然在相接处是相连的，但是从一个表面到另一个表面就会发生很大的变形，通常会在相接的地方产生尖锐的拐角。
G2的斑马线则是相连，且在连接处也有一个过渡，通常不会产生尖锐的拐角，也不会错位。
G3,G4的斑马线很难和G2的区分开。
但是要注意，有时候显示的误差也会产生错位或者尖锐的拐角。
注意鉴别哦。
可以调整一下显示精度之后再看。
A级面介绍：我们对A级曲面是这样理解的1.轮廓曲面--通常都是A级曲面，这样的曲面通常都要求曲率连续，沿着曲面和相邻的曲面有几乎相同的曲率半径（相差0.05或更小，位置偏差0.001mm或角度相差0.016度。
）2、A级曲面用高光等高线检测时显亮的曲线--这些曲线应该有一个共同的曲率特征，等高线连续且过度均匀、逐渐的发散或收缩，而不是一下子汇集消失到一点3、A级曲面上的控制点也应该按一定的规律分布，一行控制点与另一行相邻的控制点的角度变化应该有一定的规律可循，这是画高质量的曲线所必需的4、A级曲面模型的曲面的边界线又该可以被编辑、移动以生成另外一个曲线，同时这个新生成的曲线可以重新加入曲面来控制区面。
6、贝塞尔曲面的阶次和控制点数目一般应该是六，有时候可能会更高7、是说关于拔模角度、对称性、间歇以及同相关曲面德关系等都要考虑。
这个要求我们在造型是对相关的工程问题也要予以足够的重视。
8、这是专门就曲率的变化来说的，光是曲率连续是不足以做出class a的曲面的。
还要求曲率的变化本身也是光顺的，实际上就是引出了G3的概念。
当然并不是说class a要求G3，但是比较接近G3的品质对曲面的品质肯定是有好处的。
关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“位置续”是切线连C类，续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为G0、G1和G2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=G1）和它2阶导数（曲率=G2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(G1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
他们按独立分类做出了同样的定义。
物理定义：A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。
曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。
曲面是挺难做到这一点的切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。
点连续仅仅保证没有缝隙，完全接触。
事实上，切连续的点连续能满足大部分基础工业（航空和航天、造船业、BIW等）。
基于这些应用，通常并无曲率连续的需要。
A-surf首先用于汽车，并在消费类产品中渐增（牙刷，Palm，手机，洗机机、卫生设备等）。
它也是美学的需要。
*点连续（也称为G0连续）在每个表面上生产一次反射，反射线成间断分布。
*切线连续（也称为G1连续）将生产一次完整的表面反射，反射线连续但呈扭曲状。
*曲率连续（也称为G2连续的，Alias可以做到G3！）将生产横过所有边界的完整的和光滑的反射线。
在老的汽车业有这样一种分类法：A面，车身外表面，白车身；B面，不重要表面，比如内饰表面；C面，不可见表面。
这其实就是A级曲面的基础。
但是现在随着美学和舒适性的要求日益提高，对汽车内饰件也提到了A-Class的要求。
因而分类随之简化，A面，可见（甚至是可触摸）表面；B面，不可见表面。
这是历史，是由来。
CLASS A 曲面没有十分严格的数学描述也没有十分严格的概念定义有个等于没有解释的解释：VERY SIMPLE AND VERY BUEATIFUL SURFACE。
1、一般CLASS A的阶次与控制点数目都不多，UV方向大概在6~8个控制点2、单独一个CLASS A曲面在UV方向都保证曲率的连续性及变化趋势的一致3、CLASS A曲面之间的连接至少满足切向连续4、使用多种数学检验方法来检验CLASS A曲面，不应该出现视觉上的瑕疵。
（如使用高光等高线来检验时，等高线连续且过度均匀间隙均匀。
一般不太可能在一个视觉方向上出现多个高光点等）A级曲面全面介绍在整个汽车开发的流程中，有一工程段称为Class A Engineering，重点是在确定曲面的品质可以符合A级曲面的要求。
所谓A级曲面的定义，是必须满足相邻曲面间之间隙在0.005mm 以下（有些汽车厂甚至要求到0.001mm），切率改变( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改变(curvature change) 在0.005 度以下，符合这样的标准才能确保钣件的环境反射不会有问题。
a-class包括多方面评测标准,比如说反射是不是好看、顺眼等等。
当然，G2可以说是一个基本要求,因为g2以上才有光顺的反射效果。
但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是说有时虽然连续，但是面之间出现褶皱，此时就不是a-class通俗一点说，class-A就必须是G2以上连接。
G3连续的面不一定是CLASS-A曲面。
汽车业界对于a class要求也有不同的标准，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是说gap和angle要求要松一些。
关于A-class surfaces，涉及曲面的类型的二个基本观点是位置和质量。
位置——所有消费者可见的表面按A-Surface考虑。
汽车的console（副仪表台）属于A-surf，内部结构件则是B-surf。
质量——涉及曲面拓扑关系、位置、切线、曲面边界处的曲率和曲面内部的patch结构。
有一些意见认为“点连续”是C类，切线连续是B类，曲率连续是A类。
而我想更加适当地定义为C0、C1和C2，对应于B样条曲线方程和它的1阶导数（相切=C1）和它2阶导数（曲率=C2）。
因此一个A-surf有可能是曲率不连续的，如果那是设计的意图，甚至有可能切线不连续,如果设计意图是一处折痕或锐边,（而通常注塑或冲压不能有锐边，因此A-suuf一定是切线连续(C1)的）。
第二种思想以汽车公司和白车身制造方面的经验为基础，做出对A-surf更深刻的理解。
他们按独立分类做出了同样的定义。
物理定义：A-surf是那些在各自的边界上保持曲率连续的曲面。
曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有同样的曲率半径。
曲面是挺难做到这一点的切向连续仅是方向的连续而没有半径连续，比如说倒角。
点连续仅仅保证没有缝隙，完全接触。
事实上，切连续的点连续能满足大部分基础工业（航空和航天、造船业、BIW等）。
基于这些应用，通常并无曲率连续的需要。
A-surf首先用于汽车，并在消费类产品中渐增（牙刷，Palm，手机，洗机机、卫生设备等）。