程序,推理证明(含答案)
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。
5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：推理与证明、复数、算法(含答案)
推理与证明、复数、算法1．推理方法 （1）合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．[问题1] 图1有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则图2有体积关系：________.（2）演绎推理演绎推理是指如果推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论． 2．证明方法 （1）直接证明 ①综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法． ②分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．（2）间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法． （3）数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． [问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____________． 3．复数的概念对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做实部，b 叫做虚部；当且仅当b ＝0时，复数a ＋b i(a ，b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数a ＋b i 叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 叫做纯虚数． [问题3] 若复数z ＝lg(m 2－m －2)＋i·lg(m 2＋3m ＋3)为实数，则实数m 的值为________．4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟： （1）(1±i)2＝±2i ； （2）1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ；（3）i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i ；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0；（4）设ω＝－12±32i ，则ω0＝1；ω2＝ω；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.[问题4] 已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则|z |＝________.5．算法（1）控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．（2）条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值． [问题5] 执行如图所示的程序框图，如果输出a ＝341，那么判断框中可以是( )A ．k <4?B ．k >5?C ．k <6?D ．k <7?易错点1 复数的概念不明致误例1 若z ＝sin θ－35＋⎝⎛⎭⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．－7或－17易错点2 循环次数把握不准致误例2 执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.找准失分点 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误例3 用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d (n ∈N ＋)．找准失分点 本题的错因在于从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中，没有用到归纳假设．1．(2014·安徽)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i2．(2014·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于()A ．18B ．20C ．21D ．403．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i 为纯虚数，则实数a 等于( )A ．－2B ．－13C ．12D ．25．(2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人6．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根7．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 8．(2014·江苏)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．9．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.10．(2014·湖北)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.1．V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC 2．三角形三个内角都大于60° 3．－2 4．1 5．C1．A 2．4CBDABA 7．－20 8．21 9．b 2a 2 10．495。
高三复习导学案——推理、证明、数学归纳法(含详细答案)
1合情推理与演绎推理导学案【学习要求】1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．【课前准备】自主梳理推理⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧合情推理⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎨⎪⎧定义：由个别事实推演出 的结论.特点：是由 到整体、由 到一般的推理. ⎩⎪⎨⎪⎧定义：由两个(或两类)对象之间在某些方 面的相似或相同推演出它们在其他方面也相似或相同.演绎推理⎩⎪⎨⎪⎧模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧ ①大前提——已知的 ；②小前提——所研究的 ；③结论——根据一般原理，对作出的判断.特点：演绎推理是由 到 的推理.【自我检测】1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.2．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”．其中类比结论正确的个数是________________________________________________________．3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为____________________________________________________.【活动探究】探究点一 归纳推理例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移1 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二 类比推理例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有___________________________________________探究点三 演绎推理例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．【课堂小结】1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．【课后作业】一、填空题(每小题6分，共48分)1．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果分别为________________．22．设f (x )＝1＋x1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2 011(x )＝____________.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含有一个数1，第二组含有两个数3,5；第三组含有三个数：7,9,11；第四组含有四个数：13,15,17,19；…试观察每组内各数之和与组的编号数n 的关系为_____．5．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是________．6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____7．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1] .8．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为___________________________________________________． 二、解答题(共42分)9．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋1＋2＝0(n ≥2)．计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．10．(14分)已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0且a ≠1)，(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．11．(14分)如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．直接证明与间接证明导学案【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点. 2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．【课前准备】1．直接证明 (1)综合法①定义：从已知条件出发，以______________________为依据，逐步下推，直到推出所要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件，Q 表示要证的结论)． (2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使________________和______________________为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【自我检测】1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的________条件．(填“充分”、“必要”或“充要”) 2．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”的假设内容应是__________________． 3．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是________．(填序号)． ①|a －c |≤|a －b |＋|c －b |；②a 2＋1a 2≥a ＋1a ；③a ＋3－a ＋1<a ＋2－a ；④|a －b |＋1a －b≥2.4．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系为____________________．5．设x 、y 、z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，证明a ，b ，c 中至少有一个不小于2.【活动探究】探究点一 综合法3例1 已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .变式迁移1 设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .探究点二 分析法例2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.探究点三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．式迁移3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c中至少有一个大于0.转化与化归思想例 (14分)(2010·上海改编)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1)若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围．(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .多角度审题 (1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解．(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a 3＋b 3－2ab ab |>|a 2b ＋ab 2－2ab ab |成立．证明时注意提取公因式及配方法的运用．【答题模板】(1)解 由题意得||x 2－1＞1， 即x 2－1＞1或x 2－1＜－1.[2分]由x 2－1＞1，得x 2＞2，即x ＜－2或x ＞2； 由x 2－1＜－1，得x ∈∅.综上可知x 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[4分](2)证明 由题意知即证||a 3＋b 3－2ab ab ＞||a 2b ＋ab 2－2ab ab 成立．[8分] ∵a ≠b ，且a 、b 都为正数，∴||a 3＋b 3－2ab ab ＝||(a 3)2＋(b 3)2－2a 3b 3＝||(a 3－b 3)2＝(a a －b b )2，||a 2b ＋ab 2－2ab ab ＝||ab (a ＋b －2ab )＝ab (a －b )2＝(a b －b a )2，[10分] 即证(a a －b b )2－(a b －b a )2＞0，即证(a a －b b －a b ＋b a )(a a －b b ＋a b －b a )＞0，需证[](a －b )(a ＋b )[](a －b )(a ＋b )＞0，[12分] 即证(a ＋b )(a －b )2＞0，∵a 、b 都为正数且a ≠b ， ∴上式成立．故原命题成立．[14分] 【突破思维障碍】1．准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键．2．代数式|a 3＋b 3－2ab ab |与|a 2b ＋ab 2－2ab ab |中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便． 【易错点剖析】1．推理论证能力较差，绝对值符号不会去．2．运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错．【课堂小结】1．综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论．即由因导果．2．分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法．3．用反证法证明问题的一般步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(否定结论)（2）归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(推导矛盾) （3）存真：由矛盾结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．(结论成立) 【课后作业】(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”．假设内容应为____________________________________．2．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： （1）a ＋b >1；（2）a ＋b ＝2；（3）a ＋b >2；（4）a 2＋b 2>2；（5）ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)3．设a 、b 、c ∈(0，＋∞)，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的________条件．4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3； ⑤1a ＋1b≥2. 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形(填“锐角”“钝角”或“直角”)．6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是__________________________________________________________________________________________________________________________. 7．对于任意实数a ，b 定义运算a *b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，给出以下结论： ①对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b ＋c )＝(a *b )＋(a *c )； ②对于任意实数a ，b ，c ，有a *(b *c )＝(a *b )*c ；4③对于任意实数a ，有a *0＝a .则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号) 8．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知非零向量a 、b ，a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2.10．(14分)已知a 、b 、c >0，求证：a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．11．(14分)已知a 、b 、c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.学案37 数学归纳法【学习要求】1．了解数学归纳法的原理.2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【课前准备】1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法设{P n }是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切正整数成立．3．数学归纳法公理（1）(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时命题成立．（2）(归纳递推)假设______________________时命题成立，证明当________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．【自我检测】1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为___．2．如果命题P (n )对于n ＝k (k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，又若P (n )对于n ＝2时成立，则下列结论中正确的序号有________．①P (n )对所有正整数n 成立；②P (n )对所有正偶数n 成立；③P (n )对所有正奇数n 成立；④P (n )对所有大于1的正整数n 成立．3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式子等于______________．4．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________． 5．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，S 4分别为______________；由此猜想S n ＝__________.【活动探究】探究点一 用数学归纳法证明等式例1 对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．变式迁移1 用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .探究点二 用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．变式迁移2 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x >－1时，(1＋x )m ≥1＋mx . 探究点三 用数学归纳法证明整除问题例3 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．变式迁移3 用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f (n )＝32n ＋2－8n－9能被64整除．从特殊到一般的思想例 (14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．【答题模板】解 （1）由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12a 2a 5＝27，又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2，∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.[2分]∵T n ＝1－12b n ，∴b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝⎛⎭⎫1－12b n －1， 化简，得b n ＝13b n －1，[4分]∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .[6分]（2）∵S n ＝1＋n －2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2.5以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，∴1b 4>S 5.[9分]猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2.[11分] 那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n >S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.[14分]【突破思维障碍】1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N *上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．【易错点剖析】1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．【课堂小结】1．数学归纳法：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立，然后假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，并证明当n ＝k ＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立．这是因为第一步首先证明了n 取第一个值n 0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少k ＝n 0时命题成立，由假设合理推证出n ＝k ＋1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n 0＝1成立，又证明了n ＝k ＋1也成立，这就一定有n ＝2成立，n ＝2成立，则n ＝3成立，n ＝3成立，则n ＝4也成立，如此反复以至无穷，对所有n ≥n 0的整数就都成立了．2．(1)第①步验证n ＝n 0使命题成立时n 0不一定是1，是使命题成立的最小正整数．(2)第②步证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法．【课后作业】一、填空题 1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是________(填序号)．①假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立；②假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1 (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋2命题成立．2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则f (n )中共有_______项；当n ＝2时，f (2)＝___.3．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论正确的是________(填序号)．①P (n )对n ∈N *成立；②P (n )对n >4且n ∈N *成立；③P (n )对n <4且n ∈N *成立；④P (n )对n ≤4且n ∈N *不成立．4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上______.5．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是__________．6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2 (n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是____________________．8．凸n 边形有f (n )条对角线，凸n ＋1边形有f (n ＋1)条对角线，则f (n ＋1)＝f (n )＋________. 二、解答题9．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．10．数列{a n }满足a n >0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明．11．已知函数f (x )＝1x 2e －1|x |(其中e 为自然对数的底数)．（1）判断f (x )的奇偶性；（2）在(－∞，0)上求函数f (x )的极值；（3）用数学归纳法证明：当x >0时，对任意正整数n 都有f (1x)<n ！·x 2－n .合情推理与演绎推理导学案答案【课前准备】归纳推理 一般性 部分 个别 类比推理 ①一般性原理 ②特殊对象 ③特殊对象 一般 特殊 【自我检测】1．－g (x ) 解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．2 解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．3．1∶8 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大63,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除 大前提 2100＋1是奇数 小前提 所以2100＋1不能被2整除 结论 【活动探究】例1 解题导引 归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解 在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12， 所以通项公式a n ＝2n ＋1.变式迁移1 解 猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．例2 解题导引 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，p d ，且相应各面上的高分别为h a ，h b ，h c ，h d ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1.证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·pa 13S △BCD ·h a＝V P —BCDV A —BCD，同理有p b h b ＝V P —CDA V B —CDA ，p c h c ＝V P —BDA V C —BDA ，p d h d ＝V P —ABCV D —ABC，V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC ＝V A —BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC V A —BCD＝1. 变式迁移2 在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此三棱锥的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22例3 解题导引 在演绎推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ADB 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而M 是Rt △ADB 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，——小前提所以DM ＝12AB .——结论同理EM ＝12AB ，所以DM ＝EM .变式迁移3 解 证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定． 【课后作业】1．B *D ，A *C 解析 由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .2.x －1x ＋1 解析 计算f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1x ， f 3(x )＝f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x1－x， 归纳得f 4k ＋i (x )＝f i (x )，k ∈N *，i ＝1,2,3,4.∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1.3．2 解析 只有①、②对，其余错误．4．每组内各数之和等于n 3 解析 1＝13,3＋5＝23,7＋9＋11＝33.猜想每组内各数之和等于n 3.5．(5,7) 解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n (n ＋1)2＝55(个)数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．6．空间正四面体的内切球的半径是高的14解析 利用体积分割可证明．7．n 解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1] 8．n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.9．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.(2分) 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.(5分)当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.(8分)当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65， ∴S 4＝－56.(11分)7猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．(14分)10．(1)证明 函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．(2分) 由已知得y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，(4分)f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称．(7分) (2)解 由(1)有－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.(10分) ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f(1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.(14分)11．解 类似的结论为：VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.(4分)这个结论是正确的，证明如下：如图，过R 2作R 2M 2⊥平面P 2OQ 2于M 2，连结OM 2. 过R 1在平面OR 2M 2作R 1M 1∥R 2M 2交OM 2于M 1，则R 1M 1⊥平面P 2OQ 2.由VO —P 1Q 1R 1＝13S △P 1OQ 1·R 1M 1＝13·12OP 1·OQ 1·sin ∠P 1OQ 1·R 1M 1＝16OP 1·OQ 1·R 1M 1·sin ∠P 1OQ 1，(8分) 同理，VO —P 2Q 2R 2＝16OP 2·OQ 2·R 2M 2·sin ∠P 2OQ 2.所以VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1·OQ 1·R 1M 1OP 2·OQ 2·R 2M 2.(10分)由平面几何知识可得R 1M 1R 2M 2＝OR 1OR 2.(12分)所以VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1·OQ 1·OR 1OP 2·OQ 2·OR 2.所以结论正确．(14分)直接证明与间接证明导学案答案【课前准备】1．(1)①已知的定义、公理、定理 (2)①结论成立的条件 已知条件或已知事实吻合 2.不成立 矛盾 【自我检测】1．充分 解析 由分析法的定义可知．2.3a ≤3b 解析 3a >3b 的否定是3a ≤3b .3．④ 解析 ④选项成立时需得证a －b >0.①中|a －b |＋|c －b |≥|(a －b )－(c －b )|＝|a －c |，②作差可证； ③移项平方可证．4.a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 5．证明 假设a ，b ，c 均小于2，则a ＋b ＋c <6. ①又a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝(x ＋1x )＋(y ＋1y )＋(z ＋1z)≥6，这与①式相矛盾，∴假设不正确．∴a ，b ，c 至少有一个不小于2. 【活动探究】例1 解题导引 综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立，再进一步得出结论．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.∴a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2；∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥ab ＋bc ＋ca ＋2(ab ＋bc ＋ca )， ∴(a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )．∴原命题得证．变式迁移1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式， 有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .例2 解题导引 当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法．含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法．证明 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .(中间结果)因为a ，b ，c 是不全相等的正数，则a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0.且上述三式中的等号不全成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .(中间结果)所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .变式迁移2 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只要证 ⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4 a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ，只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．例3 解题导引 (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误．证明 假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ，8两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2相矛盾，因此1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．变式迁移3 证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0.∵a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，∴x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)≤0， ①又∵(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，π－3>0，∴(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)>0. ② ①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0. 【课后作业】1．假设a 、b 、c 都不是偶数2．(3)解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故(1)推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故(2)推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故(4)推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故(5)推不出；对于(3)，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.3．充要 解析 必要性是显然成立的，当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P >0，Q <0，R <0，则Q ＋R ＝2c <0，这与c >0矛盾，即充分性也成立．4．①③⑤ 解析 ①ab ≤(a ＋b 2)2＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立． ③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立．⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab≥2，即ab ≤1，由①知成立．5．钝角 解析 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12”7．②③ 解析 按新定义，可以验证a *(b ＋c )≠(a *b )＋(a *c )；所以①不成立；而a *(b *c )＝(a *b )*c 成立，a *0＝(a ＋1)(0＋1)－1＝a .所以正确的结论是②③. 8．18 解析 由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 9．证明 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. (2分)要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证：|a |＋|b |≤2|a －b |， (6分)平方得：|a |2＋|b |2＋2|a||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a·b )，(10分)只需证：|a |2＋|b |2－2|a||b |≥0， (12分)即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证. (14分)10．证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b 、c >0， ∴(a 2＋b 2)(a ＋b )≥2ab (a ＋b )， (3分)∴a 3＋b 3＋a 2b ＋ab 2≥2ab (a ＋b )＝2a 2b ＋2ab 2，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.(7分) 同理，b 3＋c 3≥b 2c ＋bc 2，a 3＋c 3≥a 2c ＋ac 2，将三式相加得，2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋a 2c ＋ac 2.(10分)∴3(a 3＋b 3＋c 3)≥(a 3＋a 2b ＋a 2c )＋(b 3＋b 2a ＋b 2c )＋(c 3＋c 2a ＋c 2b )＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)．∴a 3＋b 3＋c 3≥13(a 2＋b 2＋c 2)(a ＋b ＋c )．(14分)11．证明 方法一 假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，(3分)∵a 、b 、c ∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164.(8分)又(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14，(10分)同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确．(14分)方法二 假设三式同时大于14，∵0<a <1，∴1－a >0，(2分)(1－a )＋b 2≥ (1－a )b > 14＝12，(8分)同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12，(10分) 三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确．(14分)数学归纳法导学案答案【课前准备】3．(1)n 0 (n 0∈N *) (2)n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0) n ＝k ＋1 【自我检测】1．1＋a ＋a 2 解析 当n ＝1时左端有n ＋2项，∴左端＝1＋a ＋a 2.2．② 解析 由n ＝2成立，根据递推关系“P (n )对于n ＝k 时成立，则它对n ＝k ＋2也成立”，可以推出n ＝4时成立，再推出n ＝6时成立，…，依次类推，P (n )对所有正偶数n 成立”．3．1＋12＋13＋14 解析 当n ＝2时，中间的式子1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.4．5 解析 当n ＝1时，21＝12＋1；当n ＝2时，22<22＋1；当n ＝3时，23<32＋1；当n ＝4时，24<42＋1.而当n ＝5时，25>52＋1， ∴n 0＝5.5.32，74，158，2n－12n －1 【活动探究】例1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．证明 设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1. (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；。
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一旦你创业了，你就变成了所有人的孙子，员工是你大爷、客户是你大爷、市场是你大爷、ZF更是你大爷。
而你自己，就只能是小心翼翼的孙子。
——牛文文第一部分题目开始：1.有两根不均匀分布的香，香烧完的时间是一个小时，你能用什么方法来确定一段15分钟的时间？2.一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。
请问三个女儿的年龄分别是多少？3.有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了$2，总共是$29。
可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢？4.有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同，而每对袜了都有一张商标纸连着。
两位盲人不小心将八对袜了混在一起。
他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？5.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。
如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？6.你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？7.你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？8.你有一桶果冻，其中有黄色，绿色，红色三种，闭上眼睛，抓取两个同种颜色的果冻。
(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(含答案解析)
一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品2．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4003．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．0x y =，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为07．已知平面直角坐标系内曲线()1:,0C F x y =，曲线()200:(,),0C F x y F x y -=，若点()00,P x y 不在曲线1C 上，则下列说法正确的是（ ）A ．曲线1C 与2C 无公共点B ．曲线1C 与2C 至少有一个公共点C ．曲线1C 与2C 至多有一个公共点D ．曲线1C 与2C 的公共点的个数无法确定8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．9．===⋅⋅⋅=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4310．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A 1B 1CD12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．已知等差数列{}()*n a n N∈中，若10100a=，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b=，则与此相应的等式_________________恒成立.15．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．16．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一 图二17．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.18．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.19．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．22．23523．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由. （2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0f f x x =，求证：()00f x x =.24．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+； ()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+； ()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+． 记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算612i ⎫+⎪⎪⎝⎭．25．已知函数3()3xf x x =+，数列{}n a 对于*n ∈N ，总有1()n n a f a +=，112a =. (1)求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 26．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.5．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.7．A解析：A 【分析】利用反证法，假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，则()11,0F x y =和()1100(,),0F x y F x y -=同时成立，()00,0F x y ∴=，∴点()00,P x y 在曲线1C 上，这与已知条件点()00,P x y 不在曲线1C 上矛盾. ∴假设不成立，所以曲线1C 与2C 无公共点. 故选：A . 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.8．C解析：C 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．B解析：B 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】==，====)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，故选B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.11．B【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ， 原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 14．【分析】根据等差数列的性质有等比数列的性质有类比即可得到结论【详解】已知等差数列中由等差数列的性质得等比数列且有等比数列的性质得所以类比等式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质结合 解析：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【分析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论. 【详解】已知等差数列{}()*n a n N∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N∈，且1001b=，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.16．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力解析：73【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案. 【详解】[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A1322101217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰77263A V S h ==⨯=故答案为73【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.17．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力 解析：567891011121381++++++++=【解析】 【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】 【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100a b c 的值.【详解】若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾； 若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠；故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213． 【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.19．【解析】【分析】根据递推关系利用叠加法求结果【详解】因为所以【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)比较(比较已知数列)归纳转化(转化为特殊数列)联想(联想常见的数列)等方法 解析：271【解析】 【分析】根据递推关系16(1)n n a a n +-=-，利用叠加法求结果 【详解】因为16(1)n n a a n +-=-， 所以1010998211=()()()6[981]1271.a a a a a a a a -+-++-+=++++=【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a bc x x++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来， 则可得，114x<< 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）利用分析法，0,0a b >>，要证22a b aba b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，只需证明()20a b -≥即可，该式显然成立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设,,a b c ,不全是正数,这时需要逐个讨论,,a b c 不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换,,a b c 的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如a ，其他两个数〔例如,b c 〕与这种情形类似. 试题 （1）证明：0,0a b >>，要证22a b ab a b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，即证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立，故22a b aba b+≥+成立. （2）假设,,a b c 不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设0a ≤，下面分0a =和0a <两种情况讨论，如果0a =，则0abc =与0abc >矛盾，0a ∴=不可能，如果0a <，那么由0abc >可得，0bc <，又0,0a b c b c a ++>∴+>->，于是()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这和已知0ab bc ca ++>相矛盾，因此，0a <也不可能，综上所述，0a >，同理可证0,0b c >>，所以原命题成立.【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22．详见解析 【分析】，=边平方整理，推出矛盾即可. 【详解】则由等差数列的性质可得=∴1225=++∴5=∴25＝40（矛盾），故假设不成立， ∴【点睛】本题主要考查反证法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值． （3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0． 【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭， 即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+， 即3442x a x -<<-恒成立， ∵()341,2x -∈-∴2a ≥； ∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =. （3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =. 【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题. 24．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】 （1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 266i i ππ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 25．（1）237a =，338a =，439a =，*3()5n a n n =∈+N （2）见证明 【解析】 【分析】(1) 计算得到237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)利用数学归纳法验证，假设，推导的顺序证明猜想. 【详解】(1)解：由3()3xf x x =+，得13()3n n n na a f a a +==+，因为11326a ==，所以237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)证明：用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立；②假设当*()n k k =∈N 时猜想成立，即35k a k =+， 则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立.由①②知，对*n ∈N ，35n a n =+都成立. 【点睛】本题考查了数列的计算，归纳猜想，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.26．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题 由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()23f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.。
推理证明
4．(2012·陕西)观察下列不等式 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74， …… 照此规律，第．五．个．不等式为________．
解析：由前几个不等式可知
1
＋
1 22
＋
1 32
＋
1 42
＋
…
＋
1 n2
2n－1 <n.
【答案】 962
变式迁移
对于集合 N＝{1,2,3，…，n}及其他的每一个非空子集，定义 一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从
最大数开始交替地减、加后边的数．例如：集合{1,2,4,6,9}的交替 和是 9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为 5；当集合 N 中的 n ＝2 时，集合 N＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的 “交替和”的总和 T2＝1＋2＋2－1＝4，请你尝试对 n＝3，n＝4 的情况，计算它的“交替和”的总和 T3，T4，并根据其结果猜测 集合 N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Tn ＝________.(不必给出证明)
【解析】 E 在 AC 上， OE 的方程为：1b－1cx＋1p－1ay＝0. F 在 AB 上，它们的区别在于 B，C 互换． 因而 OF 的方程应为： 1c－1bx＋1p－1ay＝0.∴括号内应填：1c－1b.
【答案】 1c－1b
【探究提高】 “观察、类比”是解决本题的基本思路， 由于直线 OE，OF 在图形上的“对称性”在其方程上也必然 有某种“对称性”，观察直线 OE 的方程和题目中给出的直 线 OF 的部分信息，它们的共性是 y 的系数一样，那就只有 x 的系数具备“对称性”，这样就可大胆、合理地进行解答 了．
高一 推理证明复数算法知识点+例题+练习 含答案
1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________． ①使用了归纳推理； ②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误； ④使用了“三段论”，但小前提错误． 答案 ③解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．3．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________． 答案 1∶8解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N *)题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000 解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． 答案 (1)3×2n －3 (2)9－9×⎝⎛⎭⎫23n解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3) (n ∈N *)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝⎛⎭⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝⎛⎭⎫230＋3×⎝⎛⎭⎫231＋…＋3×⎝⎛⎭⎫23n －1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎫23n . 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________． 答案 (1)183 (2)8解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，am ＋n ＝nb －man －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误； ④非以上错误．答案 ③解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．10．高考中的合情推理问题典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：①b 2 014是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9×(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2 014＝⎝⎛⎭⎫2 0142×5⎝⎛⎭⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故①是；对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故②是；对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故③是．④不符合，不是保序同构． 答案 (1)①5 035 ②5k (5k －1)2(2)④温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足P A ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理． 2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________． ①结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确； ④全不正确．答案 ③解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n )＝__________. 答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是________．答案 1解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为__________．①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n②d n ＝c 1·c 2·…·c n n ③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n n n ④d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 ④解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·(1)2n n q -， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列．6．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，121211()()3333x x f x f x +=+++ 1212121212(33)(33)3323(33)(33)33(33)3x x x x x x x x x x ++++++==+++++ 12121212332333233.33(33)233(3323)x x x x x x x x ++++===++⨯++ 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明：如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 127解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 12．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是________．(填序号)答案 ①解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 111222111222O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为 111222111222.O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅ 14．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)． (2)因为T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n ，所以T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2且n ∈N *时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N *时，S n <T n .15．已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0，且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－a a x ＋a， 则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a x a x ＋a， f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a x a x ＋a， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称． (2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(含答案解析)
一、选择题1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种2．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得12x +==（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-3．观察下列一组数据12a = 246a =+ 381012a =++ 414161820a =+++…则20a 从左到右第三个数是（ ） A ．380B ．382C ．384D ．3864．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人5．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．222a b c ++B ．222a b c ++C ．3333a b c ++D ．3abc6．现有1A ，2A ，…，5A 这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计1A ，2A ，3A ，4A 这4个球队已经赛过的场数分别为：1A 队4场，2A 队3场， 3A 队2场，4A 队1场，则5A 队比赛过的场数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()()()112233,,y f x y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---.若令10x =，2π2x =，3πx =，请依据上述算法，估算2πsin 5的近似值是（ ） A ．2425B ．1725C ．1625D ．358．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20189．下列说法中正确的个数是（ ）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±；④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．410．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）A ．自然数a 、b 、c 中至少有一个是偶数B ．自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数C ．自然数a 、b 、c 都是奇数D ．自然数a 、b 、c 都是偶数11．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩最高. 乙:我的成绩比丙的成绩高 丙:我的成绩不会最差成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、丙、甲 C ．甲、乙、丙D ．丙、甲、乙12．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测二、填空题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若(1n +=“穿墙术”，n T 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则9T 的值为______．14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．15．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如123451,2,2,4,2,S S S S S =====⋯⋯，则33S =____________① ② 17．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 18．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++222?··“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x . 这可以2x x +=确定x＝2，则11111+=++_______.19．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m=_____.20．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．三、解答题21．已知0a b >>，求证： （1）322a b ab a b ++>；（21212a a b b ++>++22．（1）设a b 0≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+； （267225 23．给出以下四个式子：①22sin 8cos 22sin8cos 22+-⋅； ②22sin 15cos 15sin15cos15+-； ③22sin 16cos 14sin16cos14+-⋅； ④()()22sin 5cos 35sin 5cos35-+--⋅.（1）已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个， 求出这个常数； （2）分析以上各式的共同特点，写出能反应一般规律的等式，并对等式正确性作出证明.24．设0a >，0b >，且222211a b a b+=+.证明：22a a +<与22b b +<不可能同时成立.25．（1)3.a <>（2）求由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积.26．已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，2()2g x x x b =-+，当1[,2]2x ∈时，()f x 与()g x 有两个交点，求实数b 的取值范围； （3）证明：*2222223451ln(1)()1234n n n N n++++++>+∀∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.3．D解析：D 【分析】先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第三个数． 【详解】由题意可知，n a 可表示为n 个连续的偶数相加，从1a 到19a 共有()119191902+⨯=个偶数，所以20a 从左到右第一个数是第191个偶数，第n 个偶数为2n ， 所以第191个偶数为2191382⨯=，20a 从左到右第三个数为386. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．4．B解析：B 【解析】试题分析：用,,A B C 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 也最多只有1个，得C 的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA 满足条件，故选B ．考点：合情推理的应用．5．A解析：A 【解析】 【分析】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求. 【详解】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，SA a =，SB b =，SC c =是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径R =.故选A. 【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，进而可得A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又由A 4队只赛过一场，分析可得A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5五支球队进行单循环比赛，已知A 1队赛过4场,所以A 1队必须和A 2，A 3，A 4，A 5这四个球队各赛一场，已知A 2队赛过3场，A 2队已和A 1队赛过1场，则A 2队只能和A 3，A 4，A 5中的两个队比赛，又知A 4队只赛过一场（也就是和A 1队赛过的一场），所以A 2队必须和A 3、A 5各赛1场，这样满足A 3队赛过2场，从而推断A 5队赛过2场． 故选B ． 【点睛】本题主要考合情推理的应用，利用A 1队比赛场数得出A 2队、A 4队比赛过的对应球队是解题关键．7．A解析：A 【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论． 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，π2x =，πx =处的函数值分别为 1(0)0y f ==，2π()12y f ==，3(π)0y f ==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--， 故2222444()()2f x x x x x x πππππ=--=-+， 即2244sin x x x ππ≈-+，∴222424224sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，准确理解题目所给运算法则是解决本题的关键，属于中档题．8．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，9．C解析：C 【分析】根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则201yq =>-，0y ∴<.由等比中项的性质得()()2144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误；对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】对结论进行否定可得出正确选项. 【详解】“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数a 、b 、c 中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数a 、b 、c 中两个偶数一个奇数或全是偶数”， 即“自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数”，故选B. 【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多n 个”与“至少1n +个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 【分析】假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意． 【详解】若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙． A 、B 、C 、D 中只有D 可能． 故选D ． 【点睛】本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．12．A解析：A 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次． 【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．因此，第三名是甲，故选A．【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．二、填空题13．【分析】归纳出数列的通项公式利用裂项求和法可求得的值【详解】以此类推由可知事实上因此故答案为：【点睛】本题考查归纳推理同时也考查了裂项求和法考查计算能力与推理能力属于中等题解析：36 55【分析】归纳出数列{}n a的通项公式，利用裂项求和法可求得9T的值.【详解】2 23============，以此类推，由(1n+=()211na n=+-，事实上((11n n+=+====()()211111122211na n n n nn⎛⎫∴===-⎪++⎝⎭+-，因此，9111111111111361123243591122101155 T⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：3655.【点睛】本题考查归纳推理，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．1＋＋＋…＋＜【分析】根据规律得到不等式左边为1＋＋＋…＋右边为得到答案【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和即1＋＋＋…＋不等式的右边为所以第n 个不等式应该为1＋＋＋…＋＜故答案为：1＋＋解析：1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 【分析】根据规律得到不等式左边为1＋212＋213＋…＋21(1)n +，右边为211n n ++，得到答案.【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1＋212＋213＋…＋21(1)n +不等式的右边为211n n ++，所以第n 个不等式应该为1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 故答案为：1＋212＋213＋…＋21(1)n +＜211n n ++ 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.15．32【解析】【分析】根据题意可分析第一组第二组第三组…中的数的个数及最后的数从中寻找规律使问题得到解决【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数最后一个数为12即解析：32 【解析】 【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决． 【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n ）＝4（1+2+3+…+n ）＝2n （n+1）．∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组． 故答案为32． 【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．16．【分析】首先确定全部是1的行在此基础上确定33行和【详解】由题得全行的数都为 1 的分别是：第1行第2行第4行第8行第16行第32行又因为数 1281632… 的通项为所以第5次全行的数都为1的是第 解析：2【分析】首先确定全部是1的行，在此基础上确定33行和. 【详解】由题得，全行的数都为 1 的分别是：第1行，第2行，第4行，第8行，第16行，第32行， 又因为数 1,2,8,16,32,… 的通项为12n - ， 所以第5次全行的数都为1的是第32行， 则第33行为除了首尾为1，其余都为0， ∴332S = 故答案为2 【点睛】本题考查了归纳推理的能力，意在考查学生的逻辑推理能力.17．【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案【详解】观察已知中等式：…则故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相解析：()()1*322n n f n N ++>∈ 【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案. 【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=， ()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈，故答案为()()1*322n n f n N ++>∈.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.18．【分析】根据题目已知的例子令即求得结果【详解】由题意可令即即x2x1＝0解得故【点睛】本题主要考查的是类比推理读懂题目中整体代换的方法理解其解答过程是解题的关键属于基础题解析：12+ 【分析】根据题目已知的例子，令11111x+=++,即11x x+=，求得结果. 【详解】 由题意，可令11111x +=++，即11x x+=，即x 2-x -1＝0，解得x =，故11111+=++. 【点睛】本题主要考查的是类比推理，读懂题目中整体代换的方法，理解其解答过程是解题的关键，属于基础题.19．45【解析】【分析】归纳可知的三次方就是个连续奇数相加且从2开始这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现由此规律即可找出的分裂数中有一个是2017时的值【详解】由归纳可得从到正好用去从3开始的连续解析：45 【解析】 【分析】归纳可知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出3m 的“分裂数”中有一个是2017时n 的值. 【详解】由333235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅， 归纳可得，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()21234 (2)m m m +-++++=个，2017是从3开始的第1008个奇数，当44m =时，32到344，用去从3开始的连续奇数共()()4424498192+-=个，当45m =时，32到345，用去从3开始的连续奇数共()()45245110092+-=个，所以3m 的“分裂数”中有一个是2017，则45m =，故答为45. 【点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形并从三解数阵中找出行与行之间数的关系探究规律并其表示出来详解：类比观察得将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数而相邻解析：111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来． 详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +， 而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题21．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】(1) 因为0a b >>，所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++>2）利用分析法证明不等式>【详解】（1）因为0a b >>，所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++ >所以3a b ++>.（2>>又即证明22>成立，即证明()()12a b ++++()()12b a >++++即证明()()()()1212a b b a ++>++成立， 即证明2222ab a b ab a b +++>+++成立， 即证明a b >成立. 故不等式成立得证. 【点睛】本题主要考查综合法和分析法证明不等式，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22．（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）根据题目可采用作差法求证（2）用分析法，采用平方的方法可证明 【详解】 （1）332222()()()a b a b ab a a b b b a +-+=-+-222()()()()a b a b a b a b =--=-+而2()00a b a b -≥+>，3322()0a b a b ab ∴+-+≥ 3322a b a b ab ∴+≥+（2，只需证22>，>，只需证22>，即4240>，而4240>显然成立，故原不等式得证. 【点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件. 23．（1）34；（2）见解析 【解析】分析：(1)利用第二个式子，结合同角三角函数的平方关系，以及正弦的倍角公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果；(2)根据题中所给的角之间的关系，归纳推理得到结果，证明过程应用相关公式证明即可.详解：（1）22sin 15cos 15sin15cos15︒︒︒︒+- 131sin3024︒=-=. （2）()()223sin cos 30sin cos 304αααα︒︒+---=. 证明如下：()()22sin cos 30sin cos 30αααα︒︒+--- ()()22sin cos30cos sin30sin sin cos30cos sin30sin αααααα︒︒︒︒=++-+222233131sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=. 点睛：该题考查的是有关三角公式的问题，涉及到的知识点有同角三角函数的关系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正确使用公式是解题的关键. 24．见解析 【解析】试题分析：运用反证法证明，假设22a a +<与22b b +<同时成立，结合0a >，0b >，和基本不等式，即可得到与1ab =矛盾，即可得出证明. 试题假设22a a +<与22b b +<同时成立， 则有224a a b b +++<. 而由222211a b a b+=+得221a b =， 因为0a >，0b >，所以1ab =.因为2222a b ab ≥+=（当且仅当1a b ==等号成立），22a b ab ≥+=（当且仅当1a b ==等号成立），所以22a a b b ≥+++ 224ab ab +=（当且仅当1a b ==等号成立），这与假设矛盾，故假设错误.所以22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 25．(1)见解析； （2）163. 【解析】试题分析：（1）根据不等式的性质利用综合法进行证明；（2）利用定积分的几何意义求封闭图形的面积. 试题 (1)证明：∵，∴∴∴（2）解：联立方程得到两曲线的交点，因此曲线，直线及轴所围成的图形的面积为26．（1）),1[+∞；（2）12ln 1<≤-b ；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识求解；（3）借助题设运用（1）的条件和结论求解. 试题 （1）()f x 在[)1,+∞上单调递减∴()0f x '≤在[)1,+∞上恒成立∴()()()()2111220x ax f x ax a x x +-'=-+-=-≤在[)1,+∞上恒成立 ∴1a x ≥在[)1,+∞上恒成立max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴1a ≥ （2）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，()f x 与()g x 有两个交点∴ 2ln x x x -+=22x x b -+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个根∴ 2ln 23b x x x =-+ ∴令()2ln 23x x x x T =-+ ∴()()()411143x x x x x x+-'T =-+=- ∴()0x 'T >时，112x <<，∴()x T 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增∴()0x 'T <时，12x <<，∴()x T 在()1,2上单调递减∴1x =处有极大值也是最大值，()11f =11ln 202f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()2ln 220f =-< ∴1ln 21b -≤<（3）由（1）知当1a =时，()f x 在[)1,+∞上单调递减∴()()10f x f '≤=当且仅当x=1时，等号成立即2ln x x x <-在()1,+∞上恒成立令11n x n+=>，（n *∈N ） ∴211lnn n n n ++<，∴()21ln 1ln n n n n++-< 1n =时，22ln 2ln11-<2n =时，23ln 3ln 22-<3n =时，24ln 4ln 33-<…………n n =时，()21ln 1ln n n n n ++-<累加可得()2222223451ln 11234n n n++<++++⋅⋅⋅+（n *∀∈N ）考点：导数与函数单调性极值等方面的有关知识的综合运用． 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是在函数单调的前提下求参数a 的取值范围,求解先求导再转化为不等式恒成立求解得到1≥a .第二问的求解时先将问题进行等价转化,再构造()2ln 23x x x x T =-+,对构造函数()2ln 23x x x x T =-+运用导数的知识求解得到1ln 21b -≤<.第三问的证明问题是运用第一问的结论当1=a 函数()f x 在[)1,+∞上单调递增减进行变形分析和推证,从而使得问题简捷巧妙获证.。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．16．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．设a ，b 均为正数，且ab ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2）a b a b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n -； 由n=k ，末项为121k-到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+， ∴应增加的项数为2k ． 故选C ．9．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是cc ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A. 点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．10．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线． 故选C ．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49， 则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217． 可求得100的所有正约数之和为217； 故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
精选高中数学单元测试试题-推理与证明专题模拟考试题库(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题推理与证明专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a≠⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是-----------------------------------（）(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交．(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题3．用数学归纳法证明:(31)(1)(2)()2n nn n n n+++++++=*()n N∈的第二步中,当1n k=+时等式左边与n k=时的等式左边的差等于▲.4．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成5．观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出第(1,)n n n N *≥∈个不等式是 ▲ ．6．观察下列等式：311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.7．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM= ▲ 8．已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子： 111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ．9．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·+ S OAC ∆· +S OAB∆·= ,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .10．用反证法证明命题“),(*∈⋅Z b a b a 是偶数，那么a ，b 中至少有一个是偶数．”那么 反设的内容是 ；11．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ．12．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么12a a +≤．证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤．根据上述证明方法，若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 ▲ .（不必证明）13．观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是____________；2条直线相交， 3条直线相交， 4条直线相交，最多有1个交点 最多有3个交点 最多6个交点14．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .15．若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是三、解答题16．>本题满分14分）17．已知a i ＞0（i=1，2，…，n ），考查 ①； ②； ③．（15分）归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．18．已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。
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复数练习1.【2012高考真题浙江理2】已知i是虚数单位，则31ii+-=A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数21zi=-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z=22:2p z i=3:p z的共轭复数为1i+4:p z的虚部为1-()A23,p p()B12,p p()C,p p24()D,p p343.【2012高考真题四川理2】复数2(1)2ii-=（）A、1B、1- C、i D、i-【答案】B【解析】22(1)1221222i i i ii i i--+-===-4.【2012高考真题陕西理3】设,a b R∈，i是虚数单位，则“0ab=”是“复数bai+为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】00=⇔=aab或0=b，而复数biaiba-=+是纯虚数00≠=⇔ba且，ibaab+⇐=∴0是纯虚数，故选B.5.【2012高考真题上海理15】若i21+是关于x的实系数方程02=++cbxx的一个复数根，则（）A．3,2==cb B．3,2=-=cb C．1,2-=-=cb D．1,2-==cb6.【2012高考真题山东理1】若复数z满足(2)117z i i-=+（i为虚数单位），则z为（A）35i+（B）35i-（C）35i-+（D）35i--【答案】A【解析】iiiiiiiiz5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=。
故选A。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数22ii-=+(A)3455i- (B)3455i+ (C)415i- (D)315i+9.【2012高考真题广东理1】 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i【答案】D【解析】56i i-=i ii i i 56156)65(2--=-+=-．故选D ． 10.【2012高考真题福建理1】若复数z 满足zi=1-i ，则z 等于 A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i 【答案】A.【解析】根据i zi -=1知，i iiz --=-=11，故选A. 11.【2012高考真题北京理3】设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.【2012高考真题安徽理1】复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+213．【2012高考真题天津理1】i 是虚数单位，复数= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i【答案】B 【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 14.【2012高考真题全国卷理1】复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【答案】C 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 15.【2012高考真题重庆理11】若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b +=16.【2012高考真题上海理1】计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
【答案】i 21- 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
17.【2012高考江苏3】（5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． ii+-3718.【2012高考真题湖南理12】已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.19．我们用记号eiθ来表示复数cosθ＋isinθ，即eiθ＝cosθ＋isinθ.(其中e ＝2.718…是自然对数的底数，θ∈R)，则①2ei π2＝2i ②eiθ＋e －iθ2＝sinθ ③(eiθ)2＝e2iθ ④eiα·eiβ＝ei(α＋β) (α、β∈R)． 其中正确的式子个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] ①2ei π2＝2⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝2i 正确．②eiθ＋e －iθ＝cosθ＋isinθ＋cos(－θ)＋isin(－θ) ＝2cosθ，eiθ＋e －iθ2＝cosθ.②错． ③(eiθ)2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2(cosθ·sinθ)i ＝cos2θ＋isin2θ＝e2iθ，∴③正确． eiα·eiβ＝(cosα＋isi nα)(cosβ＋isinβ)＝cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i ＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝ei(α＋β)，∴④正确．19. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125推理、框图1．如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )【答案】A2． 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）A ．25B ．66C ．91D ．120【答案】C3、观察不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N*)． 1＋12＋13＋…＋12n －1>n2 4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n n ＋2，第n 个正方形数为b n ＝n 2.由此可排除D(1378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形表达式中检验可知，符合题意的是C 选项．答案：C5、现有5男5女共10个小孩设想做如下游戏：先让4个小孩(不全为男孩)等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他(她)们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动．这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都为男孩为止，则这样的活动最多可以进行________次．解析：按照小孩初始位置可以分为以下几种情况分类讨论： ①3男1女时，如下图所示，要经过4次活动可变为4个男孩：②2男2女时，经过2次或3次活动可变为4个男孩； ③1男3女时，如下图所示，要经过4次活动可变为4个男孩；④4个女孩时，经过1次活动可变为4个男孩． 综上可得，这样的活动最多可以进行4次． 答案：46． 已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1）， （1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第80个数对是 。
（2,12） 7．如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( )A ．2500,2500B ．2550,2550C ．2500,2550D ．2550,2500 [答案] D[解析] 解法1：由程序框图知：S>T ，排除选项A 、B 、C ，故选D. 解法2：S ＝100＋98＋96＋ (2)＋2＝2550.T ＝99＋97＋…＋3＋1＝＋2＝2500，故选D.8、下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121 [答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i≥10，输出x 的值1320.9、下面的程序框图运行时，依次从键盘输入a ＝0.312，b ＝55，c ＝0.3－2，则输出结果为( )A ．0.312B.55C ．0.3－2D ．以上都有可能[答案] B[解析] 此程序框图是比较a ，b ，c 的大小，输出三数中的最小数， ∵y ＝0.3x 是单调减函数，12>－2，∴0.312<0.3－2， ∵55＝⎝⎛⎭⎫1512＝0.212，y ＝x 12在第一象限内为增函数，0.2<0.3.∴0.212<0.312，即55<0.312， ∴55<0.312<0.3－2，故输出55.10、、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 为( )A ．2B ．－12 C ．－3 D.13[答案] B[解析] 程序运行过程为：S ＝2，i ＝1，i≤2010满足，S ＝1＋21－2＝－3，i ＝1＋1＝2，再判断i≤2010满足，S ＝1＋－1－－＝－12，i ＝2＋1＝3，再判断i≤2010仍满足，S ＝1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－12＝13，i ＝3＋1＝4，依次进行下去，S ＝2，i ＝5，S ＝－3，i ＝6，…，可见S 的值以4为周期重复出现，i ＝2008判断后，得S＝2，i ＝2009，继续运行得S ＝－3，i ＝2010，得S ＝－12，i ＝2011，此时不满足i≤2010，输出S ＝－12后结束．11、．下图给出的是计算12＋14＋16＋…＋1100的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i>100?B ．i≤100?C ．i>50?D ．i≤50? [答案] B[解析] 最后加的一项为1100，不满足条件时跳出循环，故循环终止条件为i≤100.12、、已知函数f(x)＝ax3＋12x2在x ＝－1处取得极大值，h(x)＝f ′(x)，如图所示的程序框图运行后，输出结果S>20092010，那么判断框中可以填入的关于k 的判断条件是( )A ．k<2010B ．k<2009C ．k>2010D ．k>2009 [答案] A[解析] 由条件知f ′(－1)＝(3ax2＋x)|x ＝－1＝3a －1＝0，∴a ＝13，∴h(x)＝x2＋x ，程序框图表示的算法是计算S ＝11×2＋12×3＋…＋1＋＝k k ＋1，由于输出结果S>20092010，∴k ＝2010，故条件为k<2010，选A.13、如图所示的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是( )A ．2500,2500B ．2550,2550C ．2500,2550D ．2550,2500 [答案] D[解析] 解法1：由程序框图知：S>T ，排除选项A 、B 、C ，故选D. 解法2：S ＝100＋98＋96＋…＋2＝＋2＝2550.T ＝99＋97＋…＋3＋1＝＋2＝2500，故选D. 14、、已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 。