高二数学理科期末试卷

高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 不等式0322<--x x 的解集是（ ）✌．()1,3- ．()3,1- ．()3,-∞- ()+∞,1．()1,-∞- ()+∞,3 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ） ✌．103-．6- ． ．103．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是☎ ✆✌ ab ac >  ()0c b a -<  22cb ab <  ()0ac a c -> 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是☎ ✆✌．  ．  ．  ．   下列有关命题的说法正确的是☎ ✆ ✌．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）✌ 25 5  已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ） ✌  51  53  57 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为☎ ✆ ✌．．43．8- ．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为☞，若过☞且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） ✌．[]2,1．()2,1 ．()+∞,2 ． [)+∞,2若抛物线24y x =的焦点是F 准线是l 则经过点F 、M （ ， ）且与l 相切的圆共有（ ）． ✌个 个 个 个二、填空题 本大题共 小题，每小题 分，满分 分 请把答案填在答题纸的相应位置．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a +  已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是  已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为  点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件011,01,110099100991<-->->a a a a a ，给出下列结论：（ ）10<<q ； （ ）1198<T ；（ ）110199<a a ；（ ）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号）三、解答题 本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤  （本小题满分 分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与 的等差中项， ⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。

．（本小题满分 分）已知0,1a a >≠，命题:p ❽函数xa x f =)(在(0,)+∞上单调递减❾，命题:q ❽关于x 的不等式21204x ax -+≥对一切的x R ∈恒成立❾，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围．（本小题满分 分）在 ✌中，♋、♌、♍分别是角✌、 、 的对边，且cab b ac a -=++， （ ）求角 的大小；（ ）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长．．（本小题满分 分）运货卡车以每小时⌧千米的速度匀速行驶 千米☎♎⌧♎✆☎单位：千米 小时✆．假设汽油的价格是每升 元，而汽车每小时耗油☎＋⌧✆升，司机的工资是每小时 元．☎✆求这次行车总费用⍓关于⌧的表达式；☎✆当⌧为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． ．（本小题满分 分）如图，在四棱锥 —✌中， ⊥ 底面✌， 底面✌是正方形， ，☜、☞分别为✌、 的中点。

（ ）求证：☜☞⊥ ；（ ）求 与平面 ☜☞所成角的正弦值； （ ）在平面 ✌内求一点☝，使☝☞⊥ 平面 ，并证明你的结论。

．（本小题满分 分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是☞ （－♍， ）、☞ （♍， ），✈是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点 是线段☞ ✈与该椭圆的交点，点❆在线段☞ ✈上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （ ）设x 为点 的横坐标，证明x aca F +=||1；（ ）求点❆的轨迹 的方程；（ ）试问：在点❆的轨迹上，是否存在点 ， 使△☞ ☞ 的面积 .2b 若存在，求∠☞ ☞ 的正切值；若不存在，请说明理由高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）一、选择题 — 、 ✌ — 、✌二、填空题 、 、 、32、2 、（ ）（ ）（ ） 三、解答题 、2n S =+n 解:由已知得2a ① 分☞由①得：122S =+⇒=112a a 分2224S =+=++⇒=21222a a a a 分☎✆解：12n S +=+n+12a ②② ①得12n n S S +-=-=∴=n+1n n+1n+1n2a 2a a a a 分∴数列}{n a 以 为首项，以 为公比的等比数列分即1222n n-=⋅=n a 分、解：p 为真：01a <<；⑤⑤分；q 为真：0142≤-=∆a ，得2121≤≤-a ，又0,1a a >≠，210≤<∴a ⑤⑤⑤分因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假⑤⑤分 （ ）当p 真q 假1212110<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<a a a ⑤⑤⑤⑤⑤分（ ）当p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤<>2101a a 无解 ⑤⑤⑤⑤分综上，a 的取值范围是1(,1)2⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤分、解：（♊）由ca b b a c a -=++整理得))(()(b a a b c c a +-=+，即222a b c ac -=+， 分 ∴2122cos 222-=-=-+=ac ac ac b c a B ， ∵π<<B 0，∴32π=B 。

（♋）∵32π=B ∴最长边为b ，∵A C sin 2sin =，∴a c 2=， ∴a 为最小边，由余弦定理得)21(2247222-⋅⋅-+=a a a a ，解得12=a ， ∴1=a ，即最小边长为、解：☎✆行车所用时间为♦＝ ⌧☎♒✆，⍓＝ ⌧ ☎＋⌧ ✆＋ ⌧，⌧∈☯． 所以，这次行车总费用⍓关于⌧的表达式是⍓＝ ⌧＋ ⌧，⌧∈☯．☎✆⍓＝ ⌧＋  ⌧♏ ，当且仅当 ⌧＝ ⌧，即⌧＝  时，上述不等式中等号成立． 当⌧＝  时，这次行车的总费用最低，最低费用为  元． 、PD ⊥面ABCD ∴,PD DA PD DC ⊥⊥，又底面✌是正方形，∴DA DC ⊥(0,0,0)000000022200.222DA DC DP x y z AD a a a aD A a B a a C aE aF a a a F P a =以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）（，，）、（，，）10000.22a aEF DC a EF DC ⋅=-⋅=∴⊥（）（，，）（，，），(,,).(,,)(,,)0,()0.02222(,,)(,,0)0,0.221,2,1,(1,2,1).cos ,62DEF n x y z a a a ax y z x y z n DF a a n DE x y z a ax y BD n x y z n BD n a BD nDB DEF =⎧⎧⋅=++=⎪⎪⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩⋅=+=⎪⎪⎩⎩⋅==-=∴=-<>===∴（2）设平面的法向量为由，得取则与平面所成角的正弦20.,,,222,,(,0,0)()0,;22222,,(0,,)()0,0.2222200.2a a aG x z G PAD FG x z a a a a aFG CB x z a a x x a a a a aFG CP x z a a a z z aG G AD ∈=---⋅=---⋅=-==⋅=---⋅-=+-==∴（3）设（，，），则平面。

（）（）（）点坐标为（，，），即点为的中点 解法二、☎✆证明：PD ⊥面ABCD ∴PD CD ⊥，又ABCD 是正方形∴AD CD ⊥PDAD D =∴CD ⊥面PAD ∴CD PA ⊥☜、☞分别为✌、 的中点∴EFPA ，故CD EF ⊥AD OE EB AE OE FO O BD //.∴=，、，连结的中点（证法二）取.//.PD FO FB FP CD OE CD AD ∴=⊥∴⊥，，又PD ABCD FO ABCD ⊥∴⊥∴底面，底面，FO CD ⊥OE OF O = ∴CD ⊥面OEF EF ⊂面OEF ∴CD EF ⊥☞22211..33111224221153.224B DEF F DEB DEF DEBDEBB DEF d d FO aa FO a a EF AP a DF PB a DE a V V S S S --∆∆∆=∴⋅=⋅=======+=（2）设到平面的距离为，设底面边长为，则，，，， .6363sin .6121418686.90454342222222222所成角的正弦值为与平面，，则所成角与平面设，，DEF DB DB d DEF DB a d a a d a a DEF DE a a a DF EF S DEF o ∴===⇒⋅=⋅∴=∴=∠∴==+=+∆θθ .G AD （3）答：是的中点.PC H DH PD DC DH PC =∴⊥（方法一）取的中点，连结，.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥又平面，，平面1.////2DA G GF FH HF BC DG DGFH ∴取中点，连结、，四边形为平行四边形 //.DH GF GF PCB ∴∴⊥，平面.....AD G PG GB GF PGD BGA PG GB F PB GF PB GO FO ABCD OG AD FG AD FG BCFG PBC ∆≅∆∴=∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥（方法二）取中点，连结、、，又为中点，连结底面，，，平面、解：（ ）证法一：设点 的坐标为).,(y x 由 ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=……………………… 分 证法二：设点 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x aca r F cx r r a r r +===-=+得 （ ）解法一：设点❆的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ， ）和点（－a ， ）在轨迹上当 0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥ 又||||2PF PQ =，所以❆为线段☞ ✈的中点在△✈☞ ☞ 中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+综上所述，点❆的轨迹 的方程是.222a y x =+ 解法二：设点❆的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ， ）和点（－a ， ）在轨迹上 当 0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥ 又||||2PF =，所以❆为线段☞ ✈的中点设点✈的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点❆的轨迹 的方程是.222a y x =+…………………… 分（ ）解法一： 上存在点 （00,y x ）使 2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点 ，使 2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点 ……………………… 分当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二： 上存在点 （00,y x ）使 2b 的充要条件是③ ④⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当cb a 2≥时，存在点 ，使 2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点 ……………………… 分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， 由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F ………… 分③ ④。