数值积分论文

数值积分的理论及其应用

研究数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用

张冲聪

（西安文理学院数学系陕西西安 710065）

摘要：数值积分的多种问题及其在现代工程中的广泛应用

的探讨是计算数学的一个重要课题，数值积分是数学上的重要课题之

一，是数值分析中的重要内容之一，也是数学的研究重点。并在实际问

题及应用中有着广泛的应用。常用于科学与工程的计算中，如涉及到积

分方程，工程计算，计算机图形学，金融数学等应用科学领域都有着相

当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究方法有插

值法和抽样插值法等。当然大家都知道计算积分可以借助原函数和查找

积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，而且在计算的

过程中，肯定会产生误差，我们要想法子使得误差尽可能的小。因此，

数值积分的公式应满足：计算简单，误差小，代数精度高等。

首先，我们通过构造函数并运用罗必达法则探讨数值积分中的矩形公式，梯形公式吧，抛物线公式，高斯公式的渐进性质。结果表明，

当积分区间的长度趋于零时，不但可以确定求积公式余项中的中介点的

位置，还可以得到与之相应的修正公式，而且通过数值试

验还能发现经过修正后的求积公式具有较高的代数精确度，我们

可以通过构造函数运用分部积分的方法得到矩形公式，梯形公式吧，抛

物线公式，高斯公式的推广并结合一些例子。

关键字：数值积分，矩形公式，梯形公式，抛物线公式，高斯公式

近些年来，有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域，所以研究数值积分有很重要的意义。设f是闭区间[]b

a,上某一给定的可积函数，现在要计算定积分⎰dt

x

f)

(，我们可以借助原函数，或借助函数逼近的方法来计算，对于不熟悉的我们也可以借助参考积分表。但

都有一定的局限性，由于许多函数的无定积分无法用简单的函数表达出

来，如一些离散点上的函数。

在微积分理论中，我们知道了牛顿—莱布尼茨（N ewtou_Leibniz）公式

⎰-

=)

(

)

(

)

(a

F

b

F

dx

x

f

其中f(x)在闭区间[]b

a,上连续，F（x）是被积函数f(x)的某一个原函数，但是对于很多实际问题都无能为力。主要原因：

1.被积函数f(x)的原函数F(x)理论上存在，但无法用简单函数表示出来，即无

法用与上式计算，例如：

x x

e y x

sin

,等初等函数；

2. 被积函数f(x)无法详尽描述，即没有可用的计算表达式，也就是如f(x)是在一些离散点上的函数，就无法显示微分方程的解。

3. 被积函数f(x)的原函数F(x),表示相当复杂，求值困难。

因此，需要研究计算定积分的近似方法，即数值积分法。当然，可积函数的种类是极其多的，那么我们应该考虑满足：计算简单，误差小，代数精度高，故此，我们常寻找新的方法来修正已知的求积公式。

当()x f 的情况使得无法精确计算()dx x f b

a ⎰时，若能已知()x f 在部分点上的

函数值，利用已经学过的差值知识，可以构造一个多项式()x P 来逼近被积函数

()x f ，而多项式()x P 为被积函数，在区间[]b a ,上的定积分是容易计算的，这样

得到计算定积分()dx x f b

a

⎰的一种数值积分方法，即

()()dx x p dx x f b

a

b

a

⎰

⎰

≈

下面，我们就根据这一想法构造计算积分的各种近似计算公式。

（一）牛顿-柯特斯求积公式 一 梯形公式

过

b x a x ==10,两点作一次拉格朗日插值多项式

)()()(1

b f a

b a

x a f b a b x x L --+--= ()()()()()()b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x L b

a b

a +-=⎪⎭

⎫

⎝⎛--+--=⎰⎰21用()()x f x L 代替1得 ()()()()b f a f a

b dx x f b

a

+-≈⎰2

()1,1,4 称式

()1,1,4为梯形公式，式()1,1,4也可以写成

()()()10

10x f A x f A dx b a x f +≈⎰ 其中0A =1A =2a b -。

图（1）给出了梯形公式的几何意义，()dx x f b

a ⎰是以()x f y =为顶的曲

边梯形的面积，()dx x L b

a

⎰

1是以直线

AB 为顶的梯形的面积，因此，梯

形公式就是以梯形的面积来近似代替以()x f y =为顶的曲边梯形面积。

图（1） 定理4,1 若函数f(x)在[]b a ,上具有连续的二阶导数，则梯形公式的截断误

差为 ()()()()()()ηf a b b f a f a b dx x f R b

a

''--=+--=⎰

12

23

1

[](

)b a ,∈η 证明：()()()()[]()()()dx b x a x f dx x L x f dx x L dx x f R b

a

b

a

b

a

b

a

--''=-=-=⎰

⎰⎰⎰!

2111ξ

其中，

ξ

是依赖于x 的函数。由已知条件

()x f ''

在[]b a ,上连续，而()()0≤--b x a x 在[]b a ,上不变号， 由积分中

值中值定理，在[]b a ,上一定存在η，使得

()()()()()()()()ηηξf a b dx b x a x f dx b x a x f b

a

b

a

''--=--''=

--''⎰⎰

6

3

[]()b a ,∈η