一种提高判断矩阵一致性程度的方法

FENG Qiming
Department for Basic Course Teaching, Wuxi Institute of Commerce, Wuxi 214153, Jiangsu Province, China
Abstract While making decision by Analytic Hierarchy Process (AHP), the consistency of judgement matrix must be checked. If it can not pass the test, some entries of the judgement matrix should be adjusted, and the consistency should be tested again. Accordingly, it is important to find methods regulating the consistency of the judgment matrix. However, with many such methods, the variations of many entries are too great, and the number of adjusted entries are too large, as is not very convenient for decision-makers. This paper proposes a method for regulating the consistency of the judgment matrix, where the revision and the identification of error-elements are based on the maximum deviation of the related element to the arithmetic mean obtained from multiplying a row vector by a column vector. This method can better describe the information of the original judgment matrix, and the threshold of the regulation can also be pre-established. The unreasonable elements can be identified easily, efficiently and quickly. The computation is simple, and the regulation can be done manually or by computer. Keywords analytic hierarchy process; judgment matrix; consistency matrix; approximate consistency matrix
学者提出了提高判断矩阵一致性程度的多种方法， 但这些方法的局限性是有时某些元素调整前后的变化太大， 且需调整的元素较
多，这显然违背了决策者的最初意愿。 本文提出由判断矩阵中行列对应元素乘积的算术平均值与相应元素偏差的最大值来判别与调
整不合理元素，进而提高判断矩阵一致性程度的方法。 该方法可预先设定调整幅度，最大程度地保留原有信息。 不合理元素的判别方
法具有简洁、有效、快速的特点。 整个调整过程计算简单，既可人工也可利用计算机进行。
关键词 层次分析法；判断矩阵；完全一致矩阵；基本一致矩阵
中图分类号 N945.12
文献标识码 A
文章编号 1000-7857（2010）06-0032-03
A Method in Regulating the Consistency of the Judgment Matrix
0 引言
美 国 匹 兹 堡 大 学 Thomas L. Saaty 于 20 世 纪 70 年 代 提 出 的 层 次 分 析 法 （Analytic Hierarchy Process，AHP）是 一 种 定 性 与 定 量 相 结 合 的 决 策 工 具[1]。 近 年 来 ，AHP 由 于 具 有 系 统 性、实用性、简洁性的特点，被广泛应用于社会、经济、科技等 领域的系统分析与战略研究。
2） 当 bij<0 时 ，表 明 aij 偏 大 或 aikakj（k=1, 2, …, n）中 有 几
个数值偏小。 讨论过程与上面①、②类似。
2.2 调整步骤
根 据 以 上 分 析 ，可 由 矩阵 B=A(A－nI)中 的 绝 对 值 较 大 元
素确定、调整不合理元素，反复进行，直至达到判断矩阵的一
因此， 本文力求从原来判断矩阵中提炼出准确信息，并 尽可能地减少调整元素，从而简洁、高效地提高判断矩阵的 一致性程度。
1 基本概念
定义 判断矩阵 A=(aij)n×n 对 于 任意 i、 j，都 有 aij>0 且 aij= 1 成立，则有 aji
1） 如果对于任意 i、 j、 k， aikakj=aij，则 称 A 为完 全 一 致 矩 阵。
为充分尊重决策者的意愿，应使元素的调整值不超出已
有数值范围。 同时，结合考虑判断矩阵的正互反性，根据定理
n
1
仪 1，采用aij =( aikakj) n 作为 aij 的近似值。
k=1
假设矩阵 B 中 bij 为最大，调整元素的判别过程如下：
1） 当 bij>0 时 ，表 明 aij 偏 小 或 aikakj（k=1, 2, …, n）中 有 几
矩阵 A 为基本一致矩阵的充要条件是对于任意 i、j，bij 都与 0
比较接近。
2 一致性程度的调整方法
2.1 不合理元素的判别与调整
为讨论方便，先引入一些符号 。 E={x|0<x≤17, x∈N}；层 次分析法中的 1~9 标度用 di, i∈E 表示， 且设 d1<d2<…<di<…<
d17； dk 为与几何平均值aij 最接近的标度，k 为其在标度序列中 的序号； m 为决策者允许原标度向左右两边调整的最大位置 数；Dmk 为标度范围内，标 度 dk 所 在 位 置 左右 两 边 各 m 个 标 度 组成的集合，即 Dmk =dk－m, dk－m+1, dk－m+3, …, dk－1, dk+1, …, dk+m。
个数值偏大。 为使判别过程简单，规定总是优先讨论 aij。
n
1
仪 ① 计算aij =( aikakj) n 。 在 aij 所对应的 Dmk 中若能找到与
k=1
aij 最接近的dk ，则表明矩阵 A 中元素 aij 的调整幅度在所给范
围内。 此时，用dk 及其倒数分别替代 aij 和 aji。 一次判别过程结
2） 如果判断矩阵 A 可通过一致性检验， 则称 A 为基本 一致矩阵。
定 理 1 设 A =(aij)n×n 是 完 全 一 致 矩 阵 ，A1=( aij )n×n， aij =
1
仪仪 仪 n
n
aikakj ，则 A1 是完全一致矩阵[4]。
k=1
定理 2 对于判断矩阵 A=(aij)n×n，设 A(A－nI)=(bij)n×n。 判断
近年来，许多学者提出了灵敏度分析法、迭代法等多种
收稿日期： 2009-11-11 基金项目： 江苏省 2006 年度“青蓝工程”项目 作者简介： 冯其明，副教授，研究方向为数学模型，电子信箱：wuxifqm@
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研究论文（Articles）
提高判断矩阵一致性程 度的 方 法[3-5]。 这 些 方 法 各 有 特点 ，但 普遍的局限性是有时某些元素调整前后的变化太大，从根本 上违背了判断者的最初意愿，且计算繁琐。
致性要求。 具体步骤如下：
1） 确定符合决策者意愿的标度左右调整幅度 m。
2） 求判断矩阵 A 的一致性比率 r。 若通过一致性检验则
结束调整，否则进入 3）。
3） 计算矩阵 B=A(A－nI)，找出 B 中最大的 bij 。 根据 2.1
节的方法进行判别与调整，一个元素被调整后得到的新矩阵
仍用 A 表示。
4） 返回步骤 2），重新进行上述过程。
如果偏大或偏小元素集中出现在某一行、列中，上述过
程可能只对矩阵中某几个元素进行反复调整。 为充分利用判
断矩阵中的其他信息，从第二次开始，应在前面绝对值最大
元素所在行列以外的其他行列中查找。
2.3 计算实例
运用本方法对一些文献[2-6]中 的 例 子 进 行 了 验 证 ，一 般 只
束。
② 若不能找到，则 aij 为不需要调整的元素 ，则 aikakj（k=1, 2, …, n）中可能有一个或几个数值偏大 。 假设 aipapj 是其中最 大的一个，即元素 aip 和 apj 中至少有一个偏大。 显然，在 B 中 找出的 bip、 bpj 不可能同时大于 0。
当 bip、bpj 同 时 小 于 0 时 ，表 明 aip 和 apj 都 偏 大 。 若 0>bpj>
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研究论文（Articles）
先考虑调整 a14=9， 标度 9 在标度序列中位于第 17 个位 置，即 k=17。 因此，D137 ={6, 7, 8}。 计算得a14 =9埸D137，表明 a14 为 不需要调整的元素。
层次分析法的 关 键 是构 造 合 理 的 判 断 矩 阵[2]。 当判 断 矩 阵满足完全一致性条件时可得到评价对象实际权向量的精
确解，而判断矩阵不满足完全一致性条件时只能得到权向量 的近似解。 判断矩阵的一致性程度越高，近似程度也就越好， 反之，近似程度则越差，甚至可能得出与评价对象实际权向 量截然不同的结果[3]。 由于评价对象的复杂性及不确定性，决 策者给出的判断矩阵肯定不满足完全一致性条件。 显然，通 过判别、调整不合理元素来逐步提高判断矩阵的一致性程度 是一个具有实际应用意义的课题。